Окружности Аполлония на службе у флибустьеров. Макарова Елена, МОУ «Лицей № 10» г. Пермь, 10 кл. Арестова Анна Владимировна, учитель математики МОУ «Лицей № 10».


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Краевой конкурс учебно
-
исследовательских и проектных работ учащихся

«Прикладные вопросы математики»










Геометрия


Окружности Аполлония на службе у флибустьеров


Макарова Елена
,

МОУ «
Лицей № 10
»
г. Пермь
,
10
кл.

Арестова Анна Владимировна
,

учитель мат
ематики

МОУ «
Лицей № 10
»



Содержание:



Вступление



Цель проекта



Определение окружностей Аполлония




Аполлоний Пергский



Основная задача, на которой
базиру
ется проект



Геометрический способ



Метод координат



Нахождение расстояния между 2 точками на плоскости



Ре
шение основной задачи



Вывод



Литература

















Вступление
:
Последнее время в новостях все чаще и чаще появляются
сообщения о нападении пиратов. Еще с давних времен они ловили и грабили
корабли. Несмотря на то,
что моря огромны, у них все равно получалось
захватывать галеоны.
У
флибустьеров
было несколько способов найти
координаты наилучшего места нападения
. Основной из этих способов

это при
помощи окружностей Аполлония
.
В одной замечательной книге Г.Штейнгау
за
«Математический калейдоскоп» приведен ряд примеров использования
окружностей Аполлония, связанных с нахождением наилучшей тактики
преследования одного корабля другим. Мне стало интересно, каким образом
пираты
использовали эти окружности.

Цель
проекта
:
П
редлагаю
выяснить, что такое
окружности Аполлония, и
ка
ким
образом
их использовали флибустьеры
.

Итак, предлагаю ознакомиться с окружностями на конкретном примере.
















Определение окружностей Аполлония:
геометрическое место точек плоскости,
отн
ошение расстояний от которых до двух заданных точек

величина
постоянная.


Аполлоний Пергский
.
[4]

Годы жизни (ок. 262
-
190 гг. до н.э.)



Древнегреческий ученый, величайший математик и астроном.



Доказал 387 теорем



Обобщил и развил теорию конических сечений.



Работал в Александрии при Птолемее
III




Ввел термины эллипс, парабола, гипербола, асимптота, абсцисса, ордината,
аппликата.



Обнаружил, что парабола

предельный случай эллипса



Нашел уравнение параболы



Открыл асимптоты гиперболы



Считается предшественником
аналитической геометрии.



Разработал общую теорию эпициклов (астрономия), на которую опирались
Гиппарх из Ника и Клавдий Птолемей.



Открытия Аполлония оказали огромное влияние на развитие астрономии,
механики, оптики.



Усовершенствование системы счисления








Задача.

Ф
либустьеры с острова

Гаити узнали, что на якоре перед Каракасом
стоит испанский галион, груженный золотом. Как только закончится шторм,
галион выйдет в Карибское море и возьмет курс на остров Ямайка. Флибустьеры
тоже ждут конца шторма, поэтом
у выйти в море они смогут одновременно с
испанцами. Какой курс следует взять флибустьерам, чтобы не разминуться с
испанцами, если скорость флибустьерского судна вдвое меньше скорости
галиона?
[
2]


Весь проект будет основан на данной задаче. Итак, перейдем
к основам.







Рассмотрим
два способа решения задач с окружностями Аполлони
я:
геометрический
[

1]
и метод координат
[3]
.
Предлагаю начать с
геометрического
.

Вернемся к задаче.
Назовем

место нахождения пиратов

А, место нахождения
галеона

В
, а место
нападения

М
. Сейчас возьмем тот случай, когда М

є
АВ. По
определениям окр. Ап. ВМ/АМ= К. из этого
можно вывести 2 варианта
: М
принадлежит отрезку АВ и М находится на продолжении отрезка
АВ.


М є АВ
Случай 1
ВМ = К∙АМ
АМ+МВ=АВ
АМ+К∙АМ=АВ
АМ(1+К) =АВ
Случай 2
МВ=МА+АВ
К∙АМ
-
АМ=АВ
АМ(К
-
1)=АВ


Значит в случае, когда М прин
адлежит АВ есть только 2 такие точки!










Помимо этих 2х случаев возможен вариант, когда М не принадлежит прямой АВ.
В таком случае образуется треугольник АВМ. Также, как уже было доказано, на
прямой АВ есть 2 точки М, удовлетворяющие условию ВМ/АМ=К.
мы можем
отметить их. Назовем ту, которая лежит на АВ


Q
, а ту, которая лежит на
продолжении АВ

Р.
Но пока оставим их.

Пусть М

какая
-
либо точка, принадлежащая искомому множеству и не лежащая
на прямой АВ. Проведем биссектрису ММ
1
треугольника АВМ. П
о теореме о
биссектрисе треугольника

Согласно предыдущей задаче, точки М и
Q
совпадают.

Аналогично проведем биссектрису ММ
2
внешнего угла треугольника АВМ (М
2



точка пересечения этой биссектрисы с прямой АВ).
По теореме о биссектрисе
внеш
него угла треугольника


Согласно предыдущей задаче, точки М
2
и Р совпадают.








Теорема о биссектрисе треугольника
: биссектриса треугольника делит
противолежащую сторону на части, пропорциональные 2м другим сторонам.

Теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника
: биссектриса внешнего
угла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла треугольника,
смежного с ним, угол в 90
0


Итак,
MQ


биссектриса треугольника АВМ, а МР

биссектриса внешнего угла
треугол
ьника АВМ. Поэтому МР перпендикулярна
MQ
. Но это значит , что
отрезок
PQ
виден из точки М под прямым углом
, и , значит, что точка М лежит на
окружности с диаметром
PQ
.

Мы доказали, что любая точка искомого множества лежит на окружности с
диаметром
PQ
.

Д
анная окружность с диаметром
PQ


это и есть окружность Аполлония.












Нахождение радиуса и центра окружности.




Центр окружности

О
1
, О
1


середина
PQ
, О

середина АВ.












Метод координат
.


Для
лучшего
объяснения геометрического сп
особа нахождения
окружностей
Аполлония
р
ассмотрим задачу
. Нужно
найти геометрическое место точек
плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек

величина
постоянная.

Для решения этой задачи используем метод координат, а именно: получим

уравнение фигуры, образуемой ГМТ.

Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве ее начала одну из
заданных точек А или В ( например В), а ось Ох

так, чтобы вторая точка (пусть
это будет точка А) лежала на положительной полуоси.

В данной сист
еме координат точка В имеет координаты (0;0) , а точка А

(а;0) ,
где а>0. Пусть М (х; у)

произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи,
то есть АМ=К*ВМ, где К

заданное положительное число.

Если К=1, то это означает, что искомое множество точек с
остоит из точек,
равноудаленных от данных точек А и В. Из
свойств серединного перпендикуляра
к отрезку следует, что искомым мно
жеством в этом случае будет серединный
перпендикуляр отрезка АВ.

Но мы возьмем отличный от этого случай
-
К
≠1.

Для этого
нам пон
адобится формула для определения расстояния между двумя
точками на плоскости.










Нахождение расстояния между 2 точками на плоскости

Но прежде, чем перейти к плоскости, найдем формулу, по которой можно найти
расстояние между двумя данными точками на п
лоскости. Допустим это
K
и
N
.

K
(
x
k

;
y
k
)
N
(
x
n
;
y
n
)

По теореме Пифагора находим величину отрезка
KN
.

Теорема Пифагора:

в прямоугольном треугольнике
сумма квадратов катетов
равна квадрату гипотенузы.




KN
2
=(x
n
-
y
k
)
2
+(y
k
-
y
n
)
2










Решение основ
ной задачи


Возвращаемся к треугольнику АВМ на плоскости. При помощи той формулы,
которую только что вывели, находим величину отрезка АМ и ВМ.






Подставляем в полученное ранее уравнение ВМ=АМ

К, новые величины отрезков
АМ и ВМ.













Т
еперь мы знаем все что нужно для того, что бы построить окружность
Аполлония.

Центр окружности



Радиус окружности



а = АВ

Возвращаемся к задаче о флибустьерах.
Как задано в задаче, К= 2. Зная форму
лы
нахождения радиуса и уравнения окружности, можем подставить
в эти формулы
2
вместо К.
тогда получаем, что
R
=
АВ, ОО
1
=
АВ

Теперь можно отложить на карте точку О

середина АВ, потом отрезок ОО
1
, а
затем
провести из точки О
1
ок
ружность с радиусом в 2/3 АВ. Таким образом
может получиться несколько точек пересечения. В случае с пиратами естественно
нужно брать ближайшую к ним.



Итак, я решила задачу. Испанцам в ней не повезло. Могло случиться и так, что
нарисованная на карте
окружность Аполлония не пересекает курс галиона и даже
не касается его. Тогда флибустьерам пришлось бы признать , что догнать
испанцев они не могут.

Вывод:
В этой работе
я выяснила, что такое окружности Аполлония и объяснила
,
каким образом они помогали
фли
бустьерам.

В основе некоторых современных навигационных приборах используются
свойства окружностей Аполлония, которые лежат в основе теории параллельного
сближения и преследования.






Литература
:

1)

Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса.
А
танасян Л.С. , Бутузов В.Ф. , Кадомцев С.Б. издательство «Вита
-
Пресс», 2002.

2)

«Математический калейдоскоп» Г. Штейнгауз (библиотечка
«Квант»
-
1981.
-
вып.8)

3)

http://ru.wikipedia.org/wiki/

4)

http://www.faqo.ru/20100
429315/uchenye/matematiki/apollonii
-
pergskii.html


Приложенные файлы

  • pdf 3300706
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий