Такой вектор называется нулевым. ТТ – нулевой вектор ( ТТ О) В. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Векторы в пространстве Содержание Понятие вектораРавенство векторовСложение и вычитание векторовСумма нескольких векторовУмножение вектора на числоКомпланарные векторыПравило параллелепипеда Разложение вектора по трем некомпланарным векторамМатематический диктантКонтрольный тест А В С D T Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. ТТ – нулевой вектор ( ТТ = О) А В Длина вектора Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.Длина вектора АВ(вектора a) обозначается так: АВ ( a ).Длина нулевого вектора считается равной нулю: 0 =0 А В С D К М F L T O P Два ненулевых вектора называются коллинеарными ,если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.Два ненулевых вектора ОР и КМ коллинеарны и при этом лучи ОР и КМ соноправлены Векторы ОР и КМ называются соноправленнымиЕсли лучи не являются соноправленными, то векторы называются противоположно направленными.Нулевой вектор считается соноправленным с любым вектором.ОР КМ; CD КМ ; TL AB ; CD OP A B D N K E C M Равенство векторов Векторы называются равными, если они соноправлены и их длины равны. АЕ = DK, так как АЕ DK и АЕ = DK , а АВ = DC, так как АВ DC. а М N От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Доказательство. В самом деле, пусть а – данный вектор, М – данная точка. Проведем через начало и конец вектора а и точку М плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = a. Очевидно, что вектор MN искомый. Из построения ясно также, что MN – единственный вектор с началом М, равный вектору а. А С В а а b b a + b а b A C B a b a + b Сложение и вычитание векторов Правило треугольника.Для любых трех точек А,В, и С имеет место равенство АВ + ВС =АС а а + в b a b Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов Свойства сложения векторов.Для любых векторов а, b, с справедливы равенства:1) а + b = b + a ( переместительный закон)2) ( а+b ) + c = a + ( b + c ) ( cочетательный закон ) А В Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.АВ и ВА - противоположные векторы а b - b а - b а В А О А О В а b а - b Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле а - b = a + (-b) , где (-b) – вектор, противоположный вектору b. O C A B a b c Сумма нескольких векторов Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.Правило многоугольника.Если А1 , А2, …, Аn - произвольные точки, то А1А2 + А2А3+…+Аn-1Аn = А1АnOC = a + b + c Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число к называется такой вектор b, длина которого равна к * а , причем векторы а и b сонаправлены при к > 0 и противоположно направлены при к < 0. Если а = 0, то b = 0.Если к = 0, то b = 0.Основные свойства (kl)a = k(la) сочетательный законk( a + b ) = ka + kb I распределительный закон( k + l )a = ka + la II распределительный законЕсли а и b коллинеарны и а = о, то существует к, что b=ka. а b c B1 D C B O A E Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.На рисунке векторы ВВ1, ОD и ОЕ компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный ВВ1 , то получится вектор ОС, а векторы ОС, ОD и ОЕ лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. В1 А1 С а b ОА1=х*ОА ОВ1=у*ОВ ОС= х*ОА + у*ОВ В А Признак копланарности трех векторов Если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с = ха + уb, где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с компланарны. Доказательство. Будем считать, что векторы а и b не коллинеарны. Отложим от произвольной точки О векторы ОА=а и ОВ= b. Векторы ОА и ОВ лежат в плоскости ОАВ. Очевидно, в этой же плоскости лежат векторы ОА1=х*ОА и ОВ1=у*ОВ, а следовательно, и их сумма – вектор ОС= х*ОА + у*ОВ, равный вектору с. Итак, векторы ОА=а, ОВ= b и ОС=с лежат в одной плоскости, т.е. векторы а, b и с компланарны.Справедливо и обратное утверждение : если векторы а, b и с компланарны, а векторы а и b не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. а b B1 C B O E D c A Правило параллелепипеда Пусть а, b, с – некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы ОА=а, ОВ=b, ОC=с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами. Тогда диагональ ОD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с : ОD = а + b + с. Действительно, ОD = ОЕ + ЕD = (ОА + АЕ) + ЕD= ОА + ОВ + ОC = а + b + c С с О Р р В Р2 а А b P1 Разложение по трем некомпланарным векторам Если вектор р представлен в виде р = ха + уb + zc, где x, y и z – некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.Теорема.Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.Доказательство.Пусть а, b и с – данные некомпланарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде р = ха + уb + zc. Отметим произвольную точку о и отложим от этой точки векторы: ОА=а, ОВ=b, OC=c, OP=p. Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОС, и обозначим через точку Р1 точку пересечения этой прямой с плоскостью АОВ. Затем через точку Р1 проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через точку Р2 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2 Р1 + Р1Р.Векторы ОР2 и ОА, Р2 Р1 и ОВ, Р1Р и ОС коллинеарны, поэтому существуют числа х,у и z такие, что ОР2 = х* ОА, Р2 Р1 = у*ОВ, Р1Р= z* OC. Подставив эти выражения в равенство ОР = ОР2 + Р2 Р1 + Р1Р, получим ОР = х* ОА + у*ОВ + z* OC. Отсюда, учитывая равенства ОА=а, ОВ=b, OC=c, OP=p, приходим к р = ха + уb + zc. Докажем теперь, что коэффициенты разложения в формуле определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеется и другое разложение вектора р: р – х1а + у1b + z1c. Вычитая это равенство из равенства р = ха + уb + zc и используя свойства действий над векторами, получаем : 0 = (х - х1 )а + (у - у1)b + ( z - z1)c. Это равенство выполняется только тогда, когда х - х1 = 0, у - у1 =0, z - z1 = 0. Коэффициенты разложения определяются единственным способом. Теорема доказана. Математический диктант Нарисуйте параллелепипед АВСDA1В1С1D1.Найдите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов : а)АВ + A1D1 + СA1; б) СA1 + АD + D1 С1.Найдите вектор, равный: а) АD - С1D1 - ВВ1 ; б) АВ - АA1 - С1В1Представьте вектор ВС1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор ВD1; вектор D1В.Упростите выражение: а) MN – PQ – NM + RQ + TR; б) LP + MS + EN – MN – PL + STУпростите выражение: а) 3( a + b ) – 4( 2a – b ) + a; б) m + 3( 2m – n) – 2( m – 4n) Контрольный тест 1.Дан параллелепипед АВСDA1В1С1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:а) A1В1 + ВС + DD1 + СDа) В1С +АВ +ВВ1 + В1Аб) АВ - СС1б) DС - ВВ1 2. Дан тетраэдр DАВС. Точка М – середина ребра ВС, точка N - середина отрезка DМ. Выразите вектор AN через вектора а=АВ, b=АС и с=AD ( I вариант)Дан тетраэдр DАВС. Медианы треугольника BDC пересекаются в точке Р,К – середина отрезка АР. Выразите вектор ВК через векторы а=АВ, b=Ас и с=AD (II вариант).3. В параллелепипеде АВСDA1В1С1D1 медианы треугольника АВD пересекаются в точке Р. Разложите вектор В1Р по векторам а = В1А, b = В1С, c = В1В (I вариант).В параллелепипеде АВСDA1В1С1D1 точка О лежит на отрезке В1D1, причем В1О : ОD1 = 2 :1. Разложите вектор АО по векторам а=АВ1 , b = АD1, c= A1А (II вариант).

Приложенные файлы

  • ppt 3282640
    Размер файла: 187 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий