Непрерывные математические модели. § Обязательный курс для студентов магистратуры 1 г/о по направлению «Прикладная математика и информатика».


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Непрерывные математические модели



Обязательный курс для студентов магистратуры 1 г/о

по направлению «Прикладная математика и информатика»



Читается в 3 семестре, объем 32 часа.



Курс
разработан кафедрами

Исследования операций

и Автоматизации научных
исследований



Автор
ы

программы: д.ф.
-
м.н., профессор Бе
лолипецкий Александр Алексеевич,




д.ф.
-
м.н.,

доцент Сычугов Дмитрий Юрьевич



Форма проведения занятий: лекции.



Лектор

-

д.ф.
-
м.н.,

доцент Сычугов Дмитрий Юрьевич




Форма ит
оговой аттестации


экзамен. Итоговая оценка
определяется по результатам
промежуточной отчетности в форме

реферата (презентации)
на тему обзора результатов
математического моделирования в той или иной области физики, техники, биологии,

экологии,

экономики,

в гуманитарной сфере
,
и оценки

устного экзамена.




П
римечание
.

Наличие реферата является обязательным условием получения отличной
оценки.

Аннотация

Излагаются и обсуждаются методы математического моделирования физических, биологических
и экономических пр
оцессов.
Выводятся уравнения, составляющие
основу рассматриваемых
моделей. Обсуждаются постановки задач.
Подробно изучаются методы решения задач, которые
возникают в процессе моделирования этих процессов.

Приводиться также обзор некоторых
результатов в области суперкомпьютерного моделирования.


Цели и задачи курса

Привить навыки математического моделирования, необходимые исследователю, изучающему
те или иные явления физической
,

биологической
,

или экономиче
ской природы.

Компетенции, формируемые курсом

Предполагается, что студент, прослушавший курс «Непрерывные математические модели»,
должен:

-

знать
принципы

построения математических моделей в таких классических областях
естествознания как физика, биология и

экономика;

-

уметь выводить уравнения, составляющие основу рассматриваемых в курсе моделей;

-

знать постановки задач, соответствующих рассматриваемых в курсе моделям;


-

уметь
выбирать базовые переменные и параметры, присущие изучаемому явлению и

составлять количественные или иные соотношения между ними;

-

владеть
арсеналом математических инструментов, позволяющих решать возникающие
математические проблемы.

Содержание курса

Часть I. Введение. Основные представления о роли математического
моделирования
.


М
атематическое м
оделирование в науке как
средство изучения

природных, инженерных и
обще
ственных систем
.
Типы моделирования. Особенности матем
атического моделирования.
Понятие вычислительного

эксперимента. Понятие виртуальных аналогов сложны
х объектов и
суперкомпьютерное моделирование.
Примеры явлений, которые могут быть изучаемы только
методами математического моделирования
.

Часть II
. Математические модели на основе уравнений в частных производных второго
порядка.

Типы линейных уравнений в
час
т
ных производных второго порядка.

Инвариантность типа
относительно замены переменных.
Уравнения гиперболического, параболического и
эллиптического типов.

Процессы теплопроводности и диффузии в одномерном и трехмерном
случаях. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
Корректная постановка краевых
задач для уравнений параболического типа.

Метод разделения переменных для

решения задач
теплопроводност
и в одномерном и трехмерном случаях.
Модель цепной реакции в
диффузионном приближении, критическая масса. Задача для уравнения теплопроводности на
неограниченной прямой и
в неограниченном пространстве. Решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности мет
одом функций Грина.


Процессы, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнение колебаний струны.
Уравнение продольных колебан
и
й ст
ержня. Уравнения акустики. Уравнения Максвелла и вывод
из них волнового уравнения. Постановка
задач для уравнения
колебаний. Формула Даламбера и
скорость распространения волн.
Метод разделения переменных для ре
шения задачи о колебания
струны.

Вынужденные колебания, явление резонанса.


Описание стационарного распределения тепла с помощью уравнения эллиптического типа.
Уравнения электростатики и магнитостатики.
Корректная постановка краевых задач для
уравнений эллиптического типа.
Метод разделения переменных
. Потенциалы.

Часть
II
I
.

М
атема
тические модели биологии
, экологии и
с
оциально
-
экономических
процессов
.

Модели неогр
аниченного роста популяции и модель с

учетом ограниченности
ресурса.
Модели потребления
-
восстановления биоресурса. Понятие
об устойчивом и
неустойчиво
м стационарных режимах.



Классическая модель Лотки
-
Вольтерра

«хищник
-
жертва». Режимы установившихся колебаний.
Модели трофической цепочки, конкуренции и симбиоза. Обобщенная модель Лотки
-
Вольтерра.
Математиче
ские модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой.

Математическая
модель очистки сточных вод. Уче
т пространственных распределений в модели Лотки
-
Вольтерра.


Математическое моделирование социально
-
экономических систем.
Модель динамики
популяции (модель Хотеллинга).
Модель разделения и сосуществования двух групп населения
города.
Модель

классовой борьб
ы. Модель боевых действий (модель Ланчестера)

и ее
модификации.


Учебный план курса





Название темы

Лекции
(час.
)

Контр
.
раб. (час.
)

Самостоят.
раб. (час.
)

1.

Часть I. Введение. Основные представления о роли
математического моделирования

6


5

2.

Часть
I
I
.

Математические модели на основе
уравнений в частных производных второго порядка.

1
2


9

3.

Часть III.
Некоторые математические модели
биологии.

1
2


9

4.

Часть I
V
.

Обзор основных математических моделей
социально
-
экономических процессов

6


5



Итоговая контрольная работа


2



Создание
реферата в форме

презентации по теме курса


6



Итого:

3
6

8

28


Всего часов аудиторных занятий и самостоятельной
работы студентов

72


Оценочные средства

О
ценочным инструментом уровня
знаний студентов являются
:

1)

Проведение контрольной

работы. При выполнении контрольных работ разрешается
использование любых пассивных источников информации (книг, учебных пособий,
справочников, конспектов лекц
ий)

2)

Разработка слушателем курса реферата
по тем
е курса и его презентация

3)

Устный экза
мен проводится в форме
опроса по вопросам экзаменационных билетов. На
устном экзамене никакими вспомогательными материалами пользоваться не разрешается.

Экзаменационный билет состоит из двух вопросов. Первый вопрос бере
т
ся из списка
вопросов к
части
II
, второй вопрос
-

из списка вопросов к
части
II
.



Вопросы к экзамену


А. Вопросы по темам части II.


1.

Классификация уравнений
в частных прои
зводных 2 порядка
.

2
.

Вывод уравнений диффузии и
теплопроводности

(одномерный и трехмерный случаи).



3
. Вывод уравнения цепной реакции в диффузионном приближении.

4
. Постановки задач

для уравнения теплопроводности на отрезке

и в трехмерном
параллелепипеде.

Физический смысл граничных условий.


5
. Принцип максимума для

уравнения теплопроводности.

Понятие корректно поставленной

задачи.

6
. Редукция общей краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.

7
. Решение
однородного
уравнения теплопроводности на отрезке.

Построение функции Грина.

8
. Решение
однородного
уравнения теплопроводности

в параллелепипеде
.

9
.

Нахождение величины критической массы для цепной реакции в кубическом реакторе.

1
0
. Решение неоднородной задачи теплопроводности с однородными граничными условиями.

11
. Вывод

уравнения динамики популяции с
учетом двух пространственных переменных.


1
2
. Постановка задачи
для уравнения теплопроводности на

прямой. Принцип максимума.

13
.
Функция Грина.
Решение з
адачи

Коши для уравнения теплопроводности на прямой
.

15. Вывод уравнения колебания
струны

и
продольных
колебаний упругого стрежня.

16
. Вывод уравнения колебания плоской мембраны.

17. Вывод уравнения

колебаний

в эл
ектрическом контуре.

18. Вывод уравнений акустики.

19. Сведение уравнений Максвелла к волновому уравнению.

20. Редукция общей задачи для уравнени
я колебаний на отрезке.

22
.

Решение
однородного
уравнения колебаний струны
на отрезке
методом разделения
переменных.

23
.

Вынужденные колебания струны при нулевых начальных и граничных условиях.

24
.
Воздействие периодической внешней силы с частотой, близкой

к собственной частоте
колебаний системы. Резонанс.

В. Вопросы по темам части
I
II.

25

Уравнение динамики популяции с неограниченным и ограниченным ресурсами.
Исследование устойчивости установившихся состояний.

2
\
6
. Уравнение динамики популяции при наличии
отлова. Исследование устойчивости
установившихся состояний.

27
. Вывод уравнения динамики популяции с учетом одной и двух пространственных
переменных.

28
. Классическая м
одель Лотки
-
Вольтерра.

Явление периодических колебаний численности
популяций.

29
. Обобще
ние модели
Лотки
-
Вольтерра.

30
. Система уравнений трофической цепочки.

31
. Модель «хищник
-
жертва» с учетом внутривидовой конкуренции.

32
. Модели конкуренции и симбиоза.

33
. Модель «мертвой» очистки загрязнений.

34
. Модель взаимодействия загрязнения и окр
ужающей среды.

35
. Математическая модель очистки сточных вод.

36
. Простейшая модель классовой борьбы.

37
. Математическая модель очистки сточных вод.

38
. Модель разделения и сосуществования двух групп населения города.

39
. Классическая модель Ланчестера

и ее модификации.


Список литературы

1.

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.


М., Наука, 1977, 735 с.

2. Е.В.Захаров, И.В.Дмитриева, С.И.Орлик.
Уравнения ма
тематической физики.


М.., изд. центр

«Академия» , 2010,
3
1
5 с.

3
.

А.А.Са
марский, А.П.Михайлов. Математическое моделирование.


М., Физматлит, 2001.

4
. Т.Пу. Нелинейная экономическая динам
ика. Научно
-
издательский центр.
«Регулярная и
хаотическая динамика», г. Ижевск, 2002., 198с.

5
.

П.С.Краснощеков, А.А.Петров. Принципы построе
ния моделей.


М.: МГУ, 1983.

6
.

Д.И.Трубецков. Феномен математической модели Лотки
-
Вольтерры м сходных с ней. Изв.
вузов «ПНД», т.19. № 1, 2011, стр. 69
-
87.



Приложенные файлы

  • pdf 3272900
    Размер файла: 240 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий