Найдите количество делителей для каждого из чисел 23·35·5·112 и 27·3·114·17. Найдите число n меньшее 100, которое имеет наибольшее количество различных делителей.

06 Делимость. НОД и НОК.
11 октября
Разложим на множители число 48. Мы можем это сделать несколькими способами: 48 = 6 ( 8, 48 = 3( 16, 48 = 4(12. В каждом из этих разложений можно разложить на множители один из множителей, причём тоже различными способами. Получим дерево разложений на множители. А давайте доведём этот процесс до конца (то есть, до момента, когда каждый из множителей разложения – простое число). Оказывается, что на каждой веточке мы получим одно и то же разложение на простые множители – результат не зависит от того, каким образом мы к нему пришли. Это совсем не очевидное утверждение называется Основной Теоремой Арифметики и попозже мы его докажем, но пока примем это на веру.  Если число b делится на 12, то это означает, что его разложение на простые множители выглядит так: b= 2(2(3(
Как выглядит разложение числа на простые множители если известно, что оно: а) делится на 140? б) делится на 175 и на 48? в) делится на 72 и на 270?г)все это было сказано про одно и то же число.
Как должно выглядеть разложение числа на простые множители, чтобы оно делилось на 245?
Верно ли, что: а) если 24a делится на 9, то a делится на 3? б) если a делится на 24 и a делится на 15, то a делится на 360? в) если a13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, то a делится на 3 ? г) если a13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, то a13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9 ? д) если a13 EMBED Equation.3 1415 делится на 8, то a13 EMBED Equation.3 1415 делится на 64 ?
Определения. Натуральные числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей кроме 1. Наибольшим общим делителем НОД нескольких натуральных чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из этих чисел. Наименьшим общим кратным НОК нескольких натуральных чисел. называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.
Даны два числа: 23·35·5·112 и 27·3·114·17. Найдите их НОД и НОК.
а) Проверьте для чисел из предыдущей задачи выполнение равенства НОК(a, b) · НОД(a, b) = ab. б) Докажите, что произведение двух чисел всегда равно произведению их НОК на их НОД.
 Найдите пару натуральных чисел, если известно, что а) их НОД равен 56, а НОК – 112; б) НОД равен 18, а НОК – 630.
Найдите количество делителей для каждого из чисел 23·35·5·112 и 27·3·114·17.
Корней нашел во дворе три числа a, b и с. Вечером Корнею стало скучно, и он, от нечего делать, посчитал НОД(a, b), НОД(a, с) и НОД(b, с). У него получились такие результаты: 175, 225, 65. Докажите, что Корней где-то ошибся.
Найдите наименьшее натуральное n, при котором 45n делится нацело на 7510
Разбейте числа 2, 4, 6, 14, 42, 10, 40, 25 на две группы, так чтобы произведение всех чисел одной группы равнялось произведению всех чисел второй группы.
На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Какое наименьшее количество чисел нужно стереть так, чтобы оставшиеся можно было разбить на две группы с равными произведениями чисел в группе?
а) Можно ли прямоугольниками 10(4 выложить без пустот и наложений квадрат 750(750? б) Можно ли из кирпичей размером 4(5(6 выложить без пустот стенку в форме параллелепипеда размерами 19(20(16, если кирпичи нельзя ломать, но можно поворачивать?
А и В – такие натуральные числа, что 13 EMBED Equation.3 1415. Докажите, что число В делится на (НОД(А,В))2. (Ю.М. Лифшиц)
Про два натуральных числа известно, что их НОК в 27 раз больше, чем их НОД. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.
Про два натуральных числа a и b известно, что их НОК в 75 раз больше, чем их НОД, и a больше b. Докажите, что a больше, чем 8b
·.
Докажите, что если НОК(a, a + 5) = НОК(b, b + 5), то a = b.

Дополнительные задачи
Можно ли стенку без пустот в форме параллелепипеда размерами 19(15(16, выложить из кирпичей размером 4(5(6, если кирпичи нельзя ломать, но можно поворачивать?
Бумажный прямоугольник размером 6(11 клеток разрезали на фигурки вида 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 и 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 , после чего одну из фигурок потеряли. Докажите, что из оставшихся фигурок, используя их все, невозможно составить «по клеточкам» прямоугольник. Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Про натуральные числа m и n известно, что НОД(m,n) = 4НОД(m+6,n). Найдите все возможные значения НОД(m,n).

Письменное домашнее задание (сдать в тетради 18 октября)
Перечислите все делители чисел 3 · 5 · 5 · 11, 225, 1001.
Сколько делителей имеют числа 256, 2000, 2004? Объясните свой ответ.
Найдите число n меньшее 100, которое имеет наибольшее количество различных делителей. (Ответ объяснить)
Разложите число 10! на простые множители. Сколько различных делителей у этого числа?
Петя посчитал 80! Каким количеством нулей заканчивается полученный результат?








7 «М» класс Школа №25 2011-2012 учебный год



Вводные задачи:
Аня обнаружила что число А делится на 20. Боря утверждает, что оно делится на 45.
Можно ли утверждать, что число А делится на 900?
Какое наибольшее число мы можем назвать, на которое число А делится наверняка?
Витя – говорит, что А делится ещё и на 375. Что мы можем сказать о разложении этого числа на множители?
На этом анятии предполагается много разговоров и интерактивного решения задач.
Порисовать картинки: каждое число это мешок в котором лежат его простые делители. Делимость или не делимость. Можно обсудить отрицательные числа – есть ли там понятие простого числа, работает ли там основная теорема арифметики.
Обсудить, какую информацию получаем из обоих делителей. Сравнить с задачей: Есть черный ящик. С маленькой дыркой. Там в ящике лежит много шариков, когда заглядываешь – видишь не всё. Дима заглянул в дырку и увидел три желтых шарика и два красных. Света заглянула и увидела два красных, один желтый и один зеленый. Что мы можем наверняка утверждать о содержимом ящика?
Везде спрашивать почему, если да. Если нет, то спрашивать, что же мы можем знать наверняка.
Обязательно порисовать круги Эйлера. Заострить внимание на том, что НОД – пересечение множеств, а НОК – объединение.
В а) ответ единственный (56 и 112), а в б) важно указать все: у нас есть два дополнительных простых множителя: 7 и 5. Их надо распределить между двумя числами. Варианта два: либо вместе, либо порознь
Первое препятстве: если объем стенки не делится на объем кирпича, то сложить стенку не удастся. Заострить внимание: если делится, то это ничего не значит. Одно препятствие не отменяет возможности существования другого. Пример: Фигурку 4(6(7 не сложить из кирпичей 1(1(8. Хотя по делимости всё сходится.
Рассмотрим грань 19(15. Эту грань придется выкладывать прямоугольниками четной площади (других у нас нет).
После потери получаем суммарную площадь фигурок либо 62, либо 61. 61 – простое, а 62 можно получить только как прямоугольник 2(31. Но в него не влазят уголки, а из одних « сапожков» не сложить: 62 не делится на 4.






Приложенные файлы

  • doc 3255376
    Размер файла: 44 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий