Изображение, полученное таким образом, представляет собой мозаику из многоугольников, в вершинах которых располагаются атомы или их группировки.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1


Московский ордена Ленина,

ордена Октябрьской Революции

и ордена Трудового Красного Знамени

Государственный университет имени М.В. Ломоносова

ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра кристаллографии и кристаллохимии.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Геометрические особенности
построения двумерных
апериодических покрытий с использованием осей
некристаллографических порядков.




Выполнила студентка 105 группы

Пересецкая Екатерина Витальевна

Научный руководитель:

Ассистент Еремина Татьяна Александровна







Москва

2016


2



Содержание

Введение

…………………………………………………………3

История развития плоскостной мозаики
……………………….5

Первые непериодические
узоры………………………………...7

©Предшественникиª мозаик Пенроуза
…………………………10

Роджер Пенроуз
………………………………………………….11

Построение мозаик

Пенроуза
.......................................................12

Божественная пропорция
………………………………………..15

Свойства

мозаик Пенроуза
……………………………...............16

Квазикристаллы
………………………………………………….18

Заключение
……………………………………………………….21

Список использованной литератур
ы
…………………………...22




3


Введение

Вопрос замощения чего бы то ни было (различных геометрических объектов)
без пропусков и наложений является основой, краеугольным камнем
кристаллографии. Этой проблемой в различной (той или иной) степени
занимались все крупные к
ристаллографы, а также ученые других
специальностей.

Французский минералог Гаюи, решивший выяснить причину образования
кристаллов правильной геометрической формы, предполагал, что
кристаллическое вещество состоит из частиц, имеющих форму
параллелепипеда. П
о его мнению, кристаллы представляют собой кладку из
молекулярных ядер
-
кирпичиков

(рис.1)
.


Продолжателем идей Гаюи стал французский
кристаллограф О.Браве, который сделал
вывод о том,
что центры тяжести
©кирпичиковª располагаются в кристалле в
виде узлов пространственной решетки, и
установил 14 законов трехмерной
периодичности расположения материальных
частиц (атомов, молекул) в кристаллическом
пространстве. Ученый рассматривал
простран
ственные кристаллические решетки и выделял в них
параллелепипеды повторяемости, отражающие главные симметрийные
особенности каждой из них. В результате такого разбиения трехмерная
решетка разбивалась равномерно без пробелов и наложений

[6
]
.

Русский кристал
лограф Е.С. Федоров был первым ученым,
заинтересовавшимся выяснением геометрических законов расположения
атомов, молекул в кристалле. Ему удалось вывести 230 способов размещения
частиц в кристаллическом пространстве. Федоров считал, что кристаллы
Рис.1. Построение ромбододекаэдра
из кубических ядер
-
кирпичиков

4


состоят и
з молекул
-
параллелоэдров, расположенных параллельно друг
относительно друга.

[5]

Русский математик Вороной вывел другой способ разбиения пространства.
Внутри некоторого решетчатого комплекса пространственной группы была
выбрана точка (узел решетки) и соеди
нена прямыми со всеми соседними
точками. Затем проводились плоскости, проходящие через середины
получившихся отрезков и перпендикулярные им. Выпуклая часть
пространства, ограниченная такими плоскостями, была названа областью
Вороного
-
Дирихле для данной точ
ки. (Дирихле


немецкий математик,
впервые построивший такие области на плоскости).

Еще одним способ разбиения трехмерного пространства является разбиение
Делоне. Математик соединял ближайшие точки системы, вследствие чего
образовывалась совокупность смеж
ных выпуклых многогранников. Грани
многогранников Дирихле перпендикулярны ребрам многогранников Делоне
(рис.2)
и наоборот

[9]
.

Таким образом, мы видим, что вопросы
замощения интересовали не только
кристаллографов, но и других ученых (физиков, математиков, химиков) в
различные времена. В приведенных случаях замощение плоскости
рассматривается как первый этап выполнения трехмерного пространства без
пропусков.




Рис.
2
. Построение многогранников Делоне

(б)

и Дирихле

(в) вокруг системы узлов (а)

5


Истори
я развития ©плоскостной мозаикиª

Одним из наиболее удобных способов описания кристаллической структуры
является ее проецирование на координатную плоскость (метод плоских
атомных сеток). Изображение, полученное таким образом, представляет
собой мозаику из м
ногоугольников, в вершинах которых располагаются
атомы или их группировки.

Если задать произвольную точку на графике одной из 17 двухмерных групп
симметрии (федоровских групп), а затем размножить ее всеми операциями
симметрии данной группы, то будет получ
ена система эквивалентных точек.
Соединяя ближайшие точки прямыми непересекающимися линиями,
плоскость разбивается на многоугольники без промежутков. Таким образом
можно получить огромное количество различных замощений, но лишь 11 из
них будут состоять из

правильных многоугольников

(рис.
3
)
. Эти замощения
будут получены только в том случае, если произвольная точка выбрана в
месте с максимальной симметрией. Такие мозаики были названы сетками
Кеплера в честь ученого, занимающегося их изучением.

Работы Кеплера

в
области симметрии часто
применяются в кристаллографии.

Ученые давно заинтересовались
изучением плоских мозаик. Еще в
17 веке Иоганн Кеплер доказал,
что плоскость может быть
заполнена правильными фигурами
(треугольниками, квадр
атами, 6
-
,
8
-

и 12
-
угольниками) и их
комбинациями одиннадцатью
различными способами.

Рис.3. 11 сеток Кеплера

6



Большее число разбиений плоскости возникает в том случае, если не
учитывать условие правильности полученных многоугольников. В 1916
году
Шубников построил 60 систем покрытий (планатомов) таким образом, чтобы
в каждой вершине сходились симметричные пучки прямых. Таким образом,
11 замощений Кеплера являются частн
ым случаем планатомов Шубникова

[4,9].

Если рассматривать несколько видов м
ногоугольников с равным числом
сторон, то можно получить еще около трехсот дополнительных сеток. Их
изучением занимались Смирнова, Урусов в 1985 году.

Все вышеперечисленные системы являются периодическими и не выходят за
рамки 17 плоских пространственных г
рупп. Но ученых всегда волновал
вопрос: можно ли построить закономерную
,

но не периодическую плоскую
конструкцию.



Рис. 1. 11 плоских сеток Кеплера

7


Первые непериодические узоры

О

существовании и возможности построения апериодических мозаик люди
узнали
очень давно
.


В начале 21 века физики Питер Лу и Пол
Стейнхарт

занялись исследованием
различных узоров, которыми украшены
Азиатские мечети, построенные еще в
Средневековые времена. Такие рисунки,
называемые гирихами (в переводе
girih



узел), выложены из мозаичной плитки,
состоят из множества фигур (в том числе и
фигур, обладающих симметрией пятого
порядка)
. (Рис.

4
).

Так как в исламской
культуре запрещали изображать живых
существ, всевозможные геометрические орнаменты стали очень
поп
улярными в архитектуре. Питера Лу очень заинтересовали мозаики,
которыми были украшены древние постройки 13
-
16 веков в разных странах
Азии, он обнаружил сходства между этими узорами. Для составления
мозаик
-
гирихов мастера использовали пять различных видов
плиток
-
многоугольников (
десятиугольник, пятиугольник, шестиугольник, бабочка и
ромб), причем ребра этих
фигур имели одинаковую
длину

(рис.
5
)
.

Такими
плитками полностью
заполняли плоскость, не
оставляя промежутков между
ними. В результате получались как пер
иодические мозаики, обладающие
трансляционной симметрией, так и апериодические мозаики, имеющие
симметрию пятого порядка

[11
]
.


Рис.
5
. Образец укладки плитки. Цветом выделены 5
повторяющихся фигур, использованных при построении
мозаики.

Рис.
4
. Портал
мечети в Иране
. На схеме
отчетливо видно наличие осей

симметрии
5 порядка

8


Многие ученые занимались изучением непериодических узоров. Например, в
1961 году математик Хао Ван заинтересовался задачей о неп
ериодическом
замощении плоскости с помощью равных квадратов, стороны которых
окрашены в различные цвета. При построении мозаики необходимо
совмещать между собой лишь те стороны, которые имеют одинаковый цвет;
переворачивать и зеркально отображать фигуры за
прещается. Ван
предполагал, что любой набор домино, с помощью которого можно
замостить плоскость, позволяет построить периодическую мозаику. Но в
1966 году Роберт Берджер доказал, что предположение Вана ошибочно.
Берджеру удалось найти такой набор домино,
используя который, можно
заполнить плоскость лишь апериодически. Предложенный ученым набор
включал в себя 20426 плиток, впоследствии Роберт Берджер сократил
количество фигур в наборе до 104.

Позднее другие ученые пытались обнаружить еще меньший комплект
квадратов Вана, из которых можно было бы построить апериодическую
мозаику. В 1996 году Карелу Кулику
удалось это сделать. Он доказал, что в
такой набор может входить лиш
ь 13
плиток, раскрашенных в 5 цветов
определенным образом

(рис.
6
)
.


Каждый набор домино Вана можно превратить в многоугольные фигуры, из
которых можно составить апериодический узор. Для этого на сторонах
одного цвета необходимо сделать выступ и впадину одн
их и тех же формы и
размеров. Соответствие ©шиповª и ©пазовª сможет заменить условие
совпадения цветов примыкающих друг к другу сторон фигур.



Рис.
6
. 13 плиток Вана, из которых можно
построить
апериодическую мозаику

9


Рафаэль

Робинсон, допустив отражение
и поворот плиток Вана, обнаруж
ил
набор из 6 фигур, допускающих
построение апериодической мозаики

(рис.

7
)
. А в 1977 году Роберту Амману
удалось найти другой набор, также
состоящий из 6 плиток. В настоящее
время считается, что для построения
апериодической мозаики из фигур квадратного
типа необходимо
использовать не менее 6 различных плиток

[
3]
.

Рис.
7
. Апериодическая мозаика Робинсона

10


Предшественники мозаик Пенроуза

Многие ученые занимались изучением замощения плоскостей и делали
попытки заполнить плоскость таким образом, чтобы составляющие мозаику
плитки не были наложены др
уг на друга, а между ними не оставалось
промежутков.

Изучая особенности заполнения плоскости правильными фигурами, Кеплер
попытался использовать и правильные пятиугольники. Его варианты
замощения очень похожи на мозаики Пенроуза

(рис.8)
.
Кеплер интуитивн
о
осознавал возможность существования апериодических покрытий задолго до
открытия мозаик Пенроуза

[8
]
.



В 1523 году Дюрером было получено другое
интересное замощение
плоскости с использованием правильных
пятиугольников

(рис.9)
. Ромбы,
остававшиеся после заполнения пространства
пентагонами, в точности повторяли
©тонкиеª
ромбы из мозаики Пенроуза.





Рис.
8
. Замощение плоскости с использованием пятиугольников,
найденное Кеплером (а); мозаика Пенроуза (б)

Рис.
9
. Фрагмент мозаики Дюрера

11


Роджер

Пенроуз


Роджер Пенроуз родился в Англии в 1931 году. Во время обучения в школе
он впервые стал интересоваться математикой. Роджер Пенроуз окончил
Университетский колледж в Лондоне и, последовав примеру старшего брата
Оливера, поступил в Кембриджский Университет
, где начал заниматься
исследованиями по алгебраической геометрии. В 1957 году Пенроуз получил
степень доктора философии за исследования в области геометрии. В 1974
году ученый приобрел широкую известность как изобретатель

мозаики
Пенроуза, с помощью
которой можно полностью замостить

плоскость
никогда не повторяющимся узором.


Несмотря на то, что родители Роджера Пенроуза
имели медицинское образование, они всегда
увлекались математикой, в том числе геометрией
. В
50
-
е годы Роджер Пенроуз вместе со своим отцом
(Лайонелом Пенроузом) опубликовал статью, в
которой были описаны две необычные фигуры


бесконечная лестница и невозможный треугольник

(рис.

10
)
. Изучив статью Пенроузов, голландский художник Эшер
заинтере
совался невозможными фигурами и впоследствии
создал свои
знаменитые литографии (©Водопадª и некоторые другие)

[1
]
.



Рис.
1
0
. Невозможный треугольник
Пенроуза

12


Построение мозаик Пенроуза

Математики
в течение долгого времени
пытались создать набор из
наименьшего количества фигур, с помощью которых можно было бы
замостить плоскость так, чтобы полученная мозаика являлась
непериодической.

В

1973 году Роджер
у

Пенроуз
у
, профессор
у

математики Оксфордского
университета, удалось обнаружить комплект из 6 фигур (неквадратного
типа), используя которые при замощении плоскости образуется
непериодическая мозаика

(рис. 11)
. Исходная мозаика Пенроуза включала в
себя 3 вид
а правильных пятиугольников, отличающихся друг от друга
правилами сочетаний с другими фигурами; ромб; пятиконечную звезду; а
также ©лодочкуª,
представляющую собой звезду
с двумя отрезанными лучами.


Вскоре ученый сократил
количество многоугольников,
исполь
зуемых для построения
апериодической мозаики, до
двух. Форма двух основных
фигур Пенроуза может быть
различной, однако наиболее
интересной парой
многоугольников являются так
называемые ©наконечник
дротикаª и ©воздушный змейª.
Для построения этих фигур Пенр
оуз использовал ромб с углами 72 и 108
градусов. Большая диагональ ромба была разделена в отношении, равном
золотому сечению, а затем найденная на диагонали точка была соединена с
вершинами тупых углов. В результате образуются фигуры, длины ребер
которых р
авны 1 или значению золотого сечения, а величины всех углов
Рис. 1
1
. Исходная мозаика Пенроуза, состоящая из шести
фигур

13


кратны 36.

(рис.

12
)

Очевидно, что ромбами с углами 72 и 108 градусов
можно выложить периодическую мозаику, но Пенроуз не рассматривал такие
варианты замощения. Для этого на каждой фигуре проводил
ись дуги
окружностей разных цветов, каждая дуга делила стороны многоугольника в
отношении, равному золотому сечению. Одним из главных принципов
построения мозаики Пенроуза является совмещение сторон, при котором
одноцветные дуги соединяются друг с другом.
Используя это правило,
можно составить огромное количество различных апериодических
замощений, в том числе и мозаик, содержащих ось си
мметрии пятого
порядка.


Разрезая наконечники и змеи на
меньшие части и пересоставляя полученные
фигуры, Пенроуз обнаружил еще одну пару плиток, с помощью которой
можно построить апериодическую мозаику

(рис.13)
. Две основные
составляющие такой мозаики имеют форму ромба. Эти плитки имеют равные
стороны, но разл
ичные углы при вершинах (острый угол узкого ромба
составляет 36 градусов, широкого ромба


72 градуса).

Рис.
1
2
. Построение ©наконечника дротикаª и ©воздушного змеяª

14





П
остроение основных элементов мозаики Пенроуза

Для построения этих фигур используется правильный пятиугольник
(пентагон). После проведения всех
диагоналей, в центре исходной
фигуры обр
азуется пентагон
меньшего размера, вокруг которого
расположены по пять
равнобедренных остроугольных и
тупоугольных треугольн
иков

(рис.
14
)
.

Отношение большей
стороны к меньшей в каждом треугольнике равно золотому сечению. При
совмещении двух одинаковых треу
гольников образуются два типа ромбов, с
помощью которых можно построить мозаику Пенроуза. Интересно, что
соотношение количества ромбов различной ширины, необходимых для
построения мозаики, также стремится к величине золотого сечения (1,618…).
Непериодичнос
ть таких мозаик так же достигается путем маркировки сторон
ромбов различными цветами.



Рис.1
4
. Два вида ромбов, необходимых для
построения мозаики Пенроуза

Рис. 13. Мозаики Пенроуза, в состав которых входят 2 типа фигур: наконечник
дротика и воздушный змей (слева), тонкий и толстый ромбы (справа)

15


Божественная пропорция

Золотое число Т

является фундаментальным
для
геометрии с симметрией пятого и десятого
порядков.
Длина диагонали правильного
пятиугольника с единичной длиной ребра,
также радиус окружности, описанной вокруг
правильного единичного десятиугольника,
равны Т. Таким образом
,

золотое число внутренне присуще мозаикам
Пенроуза.

Золотое сечение


деление целого на две неравные части, причем большая
часть так относится к целому, как меньшая к большей.
Золотое сечение
выражается иррациональным числом; о
тн
ошение отрезков численно

равно

(рис. 15)
:

Части золотого сечения составляют
приблизительно 62% и 38% исходного отрезка.

Золотое сечение использова
лось

Евклидом (3 в.
д
о н. э.) для построения правильных
многоугольников и многогранников.
Но о
но
было известно и ранее. Изучая теорию гармонии,
Пифагор и его ученики пытались найти что
-
то
магическое в числах и их отношениях. Для этого
они использовали пентагон, в котором
прово
дились все диагонали

(рис.16)
. В
результате таких построений получалась
пятиконечная звезда. Интересно, что каждая из пяти проведенных линий
делит другую в отношении золотого сечения

[8
]
.




Рис.15. Деление отрезка в отношении
золотого сечения: большая часть
отрезка так относится к целому, как
меньшая к большей.

Рис. 16. Пентагон, используемый для
нахождения золотого сечения

16


Свойства

мозаик Пенроуза

Роджеру Пенроузу удалось
обнаружить удивительное свойство
созданных им апериодических
мозаик. Это явление наиболее
наглядным образом можно
продемонстрировать с помощью
треугольников Робинсона (два
равнобедренных треугольника;
отношение длины большей сторон
ы
каждого треугольника к длине
меньшей стороны равно величине
золотого сечения, а углы при
основаниях равны соответственно 72 и 36 градусов). Такие треугольники
также называют ©золотымиª. Они могут быть разрезаны на меньшие
треугольники так, что каждая пол
ученная фигура будет подобна одной из
исходных. Причем линейный размер ©золотыхª треугольников, полученных
в результате разрезания, отличается от размеров исходных фигур в Т раз
(1,618

).

При разрезании всех плиток
-
ромбов построенной мозаики Пенроуза вдол
ь
диагонали, образуются 2 золотых треугольника. Заменив каждый из них
треугольниками, описанными выше, можно получить новый апериодический
узор, детали которого будут иметь меньший размер. Пенроуз назвал такое
явление дефляцией (уменьшением), а обратное п
реобразование
-
©склеиваниеª треугольников и получение подобных фигур большего размера

(рис.17
)
-

получило название ©инфляцияª (расширение)

[
3
,7
]
.




Рис.1
7
. Инфляция мозаики Пенроуза

17


Особый интерес представляют мозаики Пенроуза, имеющие не единый центр
с осью пятого порядка. Именно такие
мозаики считаются наиболее удачными
изображениями, характеризующими квазикристаллические структуры.

Но
такие узоры составляют лишь малую часть всех мозаик Пенроуза. По
мнению самого ученого, непериодическая мозаика с осью пятого порядка
может объяснить вну
треннее строение объектов с икосаэдрической
симметрией.

18


Квазикристаллы

В 1984 году израильский ученый Дан Шехтман впервые сообщил об
открытии нового состояния вещества. Он смог синтезировать необычный

сплав алюминия с марганцем
(Mn
14
Al
86
)

при ультрабыстром охлаждении
расплава (
со скоростью около 1 млн градусов в секунду)
. Ученые были
шокированы: на рентгеновской дифрактограмме этого вещества наблюдались
пятна, обладающие симметрией пятого порядка.
Подробный анализ дифракционных картин,
пол
ученных вдоль различных кристаллографических
направлений, показал наличие шести осей симметрии
пятого порядка, десяти осей третьего порядка и
пятнадцати осей второго порядка

(рис.18)

[
2
,8
]
.
Согласно математическим доказательствам, пятерная
симметрия несовм
естима с трансляционной
периодичностью, на которой на тот момент
основывалось понятие кристаллического состояния
вещества. Таким образом, Шехтман

экспериментально доказал существование вещества с
апериодической структурой (то есть не обладающей
трансляцией
, совмещающей части структуры сами с
собой). В то же время на картине электронн
ой
дифракции наблюдался дальний порядок
(
упорядоченность
,


повторяющаяся

на

неограниченно

больших
расстояниях
)
, характерный для кристаллов.

Открытие ученого

поставило под вопрос многие
широко распространенные научные представления о
ст
роении кристаллов и расположении

атомов в них
.
Ведь до открытия Шехтмана было известно, что
элементарная ячейка (бесконечно повторяющийся фрагмент кристаллической
Рис 1
8
. Картины дифракции
электронов икосаэдрической фазы
Al
69,5
Pd
21
Mn
9,5

а) вдоль оси
симметрии 2 порядка, б) вдоль оси
симметрии 3 порядка, в) вдоль оси
симметрии 5 порядка.

19


структуры) тра
нслируется в трех независимых направлениях, а симметрия
таких веществ может включать в себя лишь оси 1,2,3,4 и 6 порядков.

Синтезированное Шехтманом вещество, проявляющее икосаэдрическую
симметрию

(
рис.1)
, было первым из множества обнаруженных впоследствии

материалов, обладающих особым типом структурного строения. Такие
вещества, структура которых обладает дальним порядком, но не обладает
трансляционной симметрией, были названы квазикристаллами
(
лат
.

quasi



мнимый, ложный
). Позже было доказано, что в квази
кристаллах (кроме осей
5 порядка) могут реализовываться оси 8, 10 и 12 порядков.




В квазикристаллах несколько элементарных ячеек комбинируются между
собой, не создавая трансляционную периодичность. Основным наглядным
способом объяснения такого расположения атомов стали мозаики Пенроуза,
созданные еще до открытия квазикристаллов

(рис.19)
.

Открытие квазикристаллов не отменяет классическую кристаллографию. Так
как в квазикристаллическом варианте кристаллизуется, во
-
первых, очень
ограниченное число соединений и, во
-
вторых, такие вещества образуются
лишь в редчайших, специфических условиях,
их распространение
чрезвычайно мало.

К настоящему времени обнаружено около ста систем на
Рис. 1
9
.

Изображение квазикристал
ла
, полученное с помощью просвечивающего
электронного микроскопа высокого разрешения
(слева),
фрагмент
мозаик
и

Пенроуза
(справа)

20


основе марганца, алюминия, галлия, меди, кадмия, никеля, титана и
некоторых других металлов, в которых образуются квазикристаллические
вещества.
Довольно долго считало
сь, что квазикристаллы не встречаются в
природе, но в 2009 году на Дальнем Востоке были обнаружены первые
природные квазикристаллы. Размеры найденных квазикристаллов достигали
200 микрон, а в их состав входили железо
,

медь и алюминий

[
10
]
.

Применение
квазикристаллов

В настоящее время активно развивается интерес к применению
квазикристаллов, что связано с их высокой твердостью, износостойкостью и
коррозионной стойкостью. Также квазикристаллы обладают повышенной
хрупкостью, поэтому их использование в кач
естве конструкционных
материалов невозможно. Но на основе квазикристаллических фаз можно
создавать покрытия
, устойчивые к коррозии и высоким температурам. При
добавлении квазикристаллической фазы в некоторые сплавы, они становятся
более прочными. Таким об
разом, применение квазикристаллов становится
все более перспективным, поэтому изучение их строения очень важно

на
сегодняшний день

[2
]
.
21


Заключение

Апериодические покрытия находят
применение в различных сферах
нашей
жизни. Как уже было отмечено,
определенные мозаики Пенроуза
являются хорошими двуме
рными
аналогами квазикристаллов, изучение
строения которых очень важно с
промышленной точки зрения.

Т
акже в

связи с многообразием апериодических мозаик на их основе мо
жно создавать
увлекательные игры
-
головоломки

(рис.20)
, достаточно непростые в решении.
По мнению самого Роджера Пенроуза, ©наука и забава


вещи
неразделимыеª.





Рис.20
. Головоломка ©Цыплята Пенроузаª

22


Список использованной литературы
:

1)

Берд К.// Книга о странном, 2003

2)

Векилов

Ю.Х., Черников М.А. Квазикристаллы// Успехи физических
наук, 2010, Т. 180, №6

3)

Гарднер М.//От мозаик Пенроуза к надежным шифрам, 1993

4)

Егоров
-
Тисменко Ю.К., Литвинская Г.П.// Теория симметрии
кристаллов, 2000

5)

Егоров
-
Тисменко Ю.К.// Кристаллография и Кристал
лохимия, 2014

6)

Загальская Ю.Г., Литвинская Г.П., Егоров
-
Тисменко Ю.К.//
Геометрическая кристаллография, 1986

7)

Корепин В.//Узоры Пенроуза и квазикристаллы// Квант, 1987, №6

8)

Лорд Э.Э., Маккей А.Л., Ранганатан С.// Новая геометрия для новых
материалов, 2010

9)

Уру
сов В. С.// Теоретическая кристаллохимия, 1987

10)

Luca Bindi
,
//
Natural
Quasicrystals
//

Science

05 Jun 2009

11)


and Quasi
-
Crystalline Tilings in
Medieval Islamic Architecture
//
Science 315, 2007





Приложенные файлы

  • pdf 3239407
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий