Классификция моделей Модели роста. популяции, капитала. 1. Классификация моделей: регрессионные, • качественные (базовые), имитационные. Мягкие и жесткие модели (По Арнольду).


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Модели
нелинейного мира

Галина Юрьевна Ризниченко

Каф. биофизики Биологического ф
-
та Московского
государственного университета им.
М.В.Ломоносова
,

к.
119

тел
: +
7
(
095
)
9390289
;
факс
: (
095
)
9391115
;

E
-
mail:
[email protected]


www.biophys.msu.ru



http://mathbio.ru/lectures

Лекция 2

Классификция моделей


Модели роста


популяции, капитала


1
. Классификация моделей: регрессионные,
качественные базовые, имитационные. Мягкие и
жесткие модели По Арнольду. Линейные и
нелинейные модели. Понятие переменных и
параметров. Нелинейное мышление и экологическое
сознание.

2.
Модели роста. Рост популяции. Рост капитала


Модель роста человечества. Детерминированные и
вероятностные модели роста. Непрерывные и
дискретные модели. Динамические режимы в
дискретных моделях. Роль запаздывания

Типы моделей:

стохастические вероятностные


механизменные



Вероятностные


Стохастические

-



Не претендуют на
понимание
«механизмов»


Можно говорить только
о вероятности
«событий»


И некотором
допустимом интервале
изменения измеряемой
величины


Механизменные
(
mechanistical
)



Описывают процессы в
системе на основании
знаний гипотез о
механизмах
взаимодействия ее
компонентов

Классификация моделей



Регрессионные


описывается «форма»
зависимости



«Механизменные»

Mchnistic”


В модель заложены гипотезы о «механизмах»
взаимодействия элементов


1. Качественные



Базовые



Концептуальные


2. Имитационные


Задание

Примеры моделей в
Вашей науке

Как можно их
классифицировать?

Модели в биологии


До половины 20 века


отдельные модели
-
аналогии:


Модели популяций


Математическая генетика


Модели кровообращения Бернулли


Механические модели движения



2
-
я половина 20 века
.



Качественные базовые нелинейные модели.


Модели популяционной динамики


Клеточные автоматы



Молекулярное моделирование


Агентное моделирование



21 век


модели сложных систем


Фибоначчи, 13 век

Мальтус, 1798

1800

1900

Ферхюльст, 1848, логистическая кривая

Вольтерра, Лотка , 1926

Тьюринг,
1952

Ляпунов,
1972

2000

Ось Времени

Модели в биологии

2
-
я половина 20 века
.

Качественные базовые
нелинейные модели


Молекулярное
моделирование


Карплюс, 1971



21 век


модели сложных систем


Молекулярное
моделирование

Колмогоров
1937

21 век


Системная биология.

Изучение сложных систем регуляции

Классификация



"
top
-
down
" и "
bottom
-
up
",

в зависимости от способа построения
модели
.


При ‘
top
-
down
’ подходе моделирование идет от наблюдения некоторых свойств
целой системы и построения гипотез о причинах такого наблюдаемого поведения.


В этом случае переменные модели соответствуют наблюдаемым характеристикам
системы, а модель описывает возможный механизм, посредством которого
реализуется такое поведение системы.
например, динамика концентраций опр
веществ





"
bottom
-
up
"

подход начинает с изучения свойств отдельных компонентов системы
и затем интегрирует их с целью предсказания свойств целой системы. Близкое к
этому разделение модельных подходов на "
hypothesis
-
driven
"
and

"
data
-
driven
".



"
middle
-
out
"

подход, когда моделирование начинается с некоторого
промежуточного уровня например уровня клетки или
c

уровня метаболизма, а
затем система расширяется до включения как более низких, так и более высоких
уровней организации.

Статические
-

динамические


Статические модели основываются исключительно
на стехометрии взаимодействия компонентов
системы часто представляются в виде графа и не
несут кинетичской информации. Наиболее
популярный метод генерации статических моделей
-





or
-
omics data
. Для
анализа таких моделей могут применяться разные
статистические и логические методы. К анализу
статических моделей также применим
Flux balance
analysis

(
FBA
).



Динамические модели по определению учитывают
временной компонент и следовательно могут
описывать кинетику.


Зоопарк" различных модельных языков, или
инструментов/ методов моделирования,
придуманных


by computer scientists


Применяются для моделирования
различных аспектов биологических
систем. Могут включать элементы как
детерминистского так и стохастического
описания, непрерывности и
дискретности, в зависимости от задачи
и объекта моделирования.


Например
-

с
ellular automata
,
rule
-
based modeling
,
.

Аnt s moin ABM и
Rule
-
based modelling.


Rule
-
base modeling

-

позволяет успешно справляться с
проблемой комбинаторной сложности. Например, когда каждый
компонент белкового комплекса может быть в нескольких
состояниях, и возможны разные типы взаимодействий между
комплексами. Число комбинаций состояний, которые нужно
рассматривать, становится слишком большим, не поддающимся
традиционным способам моделирования из
-
за большого
размера ОДУ системы
-

невозможно решать и анализировать.
Биологические взаимодействия определяют в терминах
"правил", которые могут определяться как формальным
специальным языком, так и графическим способом более
удобно для пользователя

обзор по АВМ
-

http
://
www
.
ncbi
.
nlm
.
nih
.
gov
/
pubmed
/
20835989
,

http://mook.inf.ed.ac.uk/twiki/bin/view.cgi/SysBioClub/InformalForums
.

Hybrid

и

Multi
-
scale modeling
.


Эти подходы предназначены для того чтобы объединять
описания для разных временных/пространственных шкал
и модели, построенные разными методами например
объединять дискретное и непрерывное описание.






Обзоры:


hybrid modelling: www.csl.sri.com/~tiwari/papers/hscc
04
b.ps



http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/
20525331



Multi
-
scale modeling (with examples from biology):
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/
21212881

Насколько детальными должны
быть модели?




Владимир Игоревич Арнольд


1937
-
2010




20
-
летним учеником Академика

Андрея Николаевича
Колмогорова

М
осковском государственном университете
,


в

1957 году

что

любая непрерывная функция нескольких
переменных может быть представлена

в

виде комбинации конечного числа функций

от

двух переменных
,
тем

самым решив тринадцатую проблему Гильберта.



один из инициаторов выделения

симплектической геометрии

как

отдельной дисциплины
.


В. И. Арнольд.

Математические методы классической механики.



В. И. Арнольд.

Теория катастроф.



В. И. Арнольд.

Математическое понимание природы.



Мягкие и жесткие
модели

Владимир Игоревич

Арнольд 1937
-
2010

Математики


философы


Математики
-
исчислители

Теория мягкого моделирования


искусство получать
относительно надежные выводы из анализа
малонадежных моделей

Не пользуящаяся математическими
символами человеческая логика зачастую
запутывается в словесных определениях
и делает вследствие этого ошибочные
выводы


и вскрыть эту ошибку за
музыкою слов стоит огромного труда

Особенность мягкой модели


структурная устойчивость.

Топология решения не должна меняться
при малом изменении входящих в
модель функций

Топология


резиновая геометрия

Важность наглядного
представления.


«Есть два способа научить
дробям


разрезать либо
пирог, либо яблоко». Пуанкаре

Пример модели


Взаимодействие
хищник
-

жертва

X



численность жертв

Y


численность хищников

Вито Вольтерра

Жесткая модель

Мягкая модель

Системный
Анализ

Общие принципы организации
сложных систем

Проблемы растут как снежный ком

Сигналы о затруднениях приходят с
запаздыванием, и их труднее решить



Богатые беднеют, бедные


богатеют

Конкурентное исключение



Не кладите яйца в одну корзину

сложная система с развитыми
связями более устойчива

Система


совокупность
элементов, связанных
между собой


больше,
чем сумма частей

Вы думаете, что если Вы знаете, что такое «один», то
Вы знаете и что такое «два», потому что один и один
будет два. Но Вы забываете о том, что должны
понимать, что такое «и».


Суфийская притча

Составляет ли совокупность
элементов систему?


Можете ли Вы идентифицировать составные части?


переменные


Влияют ли части друг на друга? функции правых
частей 


Могут ли части, взятые вместе, дать такой результат,
к которому они не смогут привести в отдельности?


Достигается ли тот же результат, сохраняется ли то
же поведение, если меняются внешние условия?
изменение параметров


Можно ли указать назначение цель системы? что
оптимизирует система?
Flux balance analysis
.

Теория
управления


Сколь сложной ни казалась
бы проблема на первый
взгляд, она, если правильно
к ней подойти, окажется еще
сложнее

П
ол Андерсен, амер. писатель
-
фантаст


Система


совокупность элементов


Взаимосвязи
:

Запасы и потоки




Обратные связи


положительные и
отрицательные


Запаздывание


Эволюция законов взаимодействия


Основная задача
любой теории


-

сделать так, чтобы базовые элементы
были максимально просты и так
малочисленны, как только возможно
без ущерба для адекватного
представления… о том, что мы
наблюдаем на практике

Исследование одного
уравнения

Основные понятия
автономность

Обыкновенное
дифференциальное
уравнение


1
-
го порядка

Автономное уравнение.

Правая часть не зависит
явно от
t


Переменные и параметры

x, t


переменные


a,b,d,w
-

параметры

Стационарное состояние

Скорость изменения
переменной
x


равна нулю

Правая часть
уравнения

равна нулю

Устойчивость

стационарного состояния

Стационарное
состояние
устойчиво, если
малые отклонения
с течением
времени остаются
малыми

Графический метод анализа
устойчивости стационарного
состояния

устойчиво

неустойчиво

неустойчиво

Метод Ляпунова


исследования устойчивости
стационарного состояния


Метод линеаризации
функции в окрестности
стационарного состояния

Выразим переменную
x

через отклонение от
стационарного значения:

Правую часть разложим в ряд


Тейлора в точке


Брук Тэйлор 
1685
-
1731
)


Английский


математик, музыкант,
живописец, философ.

Формула Тэйлора

Значение функции
f
(
x
)
в точке
x

в
окрестности точки
a
выражается в виде
степенного ряда

Отбросим члены более
высокого порядка. Получим
линеаризованное
уравнение:

Решение линеаризованного
уравнения

С



произвольная постоянная. С=
ч
(0)

Метод Ляпунова

У
стойчивость стационарного
состояния уравнения

dx/dt=f
(
x
)

определяется знаком производной
правой части в стационарной точке.

Если эта производная равна нулю,
требуется рассмотрение в разложении
f

(
x
)

членов более высокого порядка




Типы аттракторов



У
стойчивая

точка

покоя



П
редельный

цикл



режим

колебаний

с

постоянными

периодом

и

амплитудой

начиная

с

размерности

системы

2
)



Области

с

квазистохастическим

поведением

траекторий

в

области

аттрактора,

например,

«странный

аттрактор»

начиная

с

размерности

3
)
.



Приложенные файлы

  • pdf 3238259
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий