Несколько учеников отвечали на уроке, и все они получили отметки не ниже тройки. Аня получила отметку, на 10 меньшую суммы отметок остальных Боря получил отметку

Муниципальный этап Российской олимпиады по математике 2012-13 учебного года
7 класс

Семь томов энциклопедического словаря стоят в следующем порядке: 1, 5, 6, 2, 4, 3, 7. Расставьте их в порядке возрастания номеров, применив несколько раз следующую операцию: перестановку трех рядом стоящих томов в начало, в конец или между двумя другими томами, не меняя порядка этих трех томов.
Решение. Перестановку можно, например, выполнить в таком порядке: 1 5 6 2 4 3 7 ---1, 6, 2, 4, 5, 3, 7 --- 1, 2, 4, 5, 6, 3, 7 --- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12 300?
Решение. Первое число равно 2345, так как если оно больше, то сумма трех чисел больше 12300, если меньше, то сумма меньше чем 12300. (В самом деле, если первое число равно 1234, то второе равно 4321, их сумма 5555 и третье число должно быть равно 6745, что невозможно. Аналогично, если первое число не меньше 3456, то второе – не меньше 6543, сумма их не меньше 9999 и третье число не больше 2301, что также невозможно).
Тогда второе число равно 5432, а третье – 4523.

Найдите площадь заштрихованной части квадрата.
Решение. Площадь большого квадрата 16х2 . Из нее надо убрать площадь среднего квадрата 9х2 и площади двух треугольников, из которых можно составить прямоугольник с размерами х на 4х. Площадь прямоугольника 4х2 . Значит, площадь заштрихованной части квадрата равна 3х2 .

Несколько учеников отвечали на уроке, и все они получили отметки не ниже тройки. Аня получила отметку, на 10 меньшую суммы отметок остальных; Боря получил отметку, на 8 меньшую суммы остальных отметок; Вера – отметку, на 6 меньшую суммы отметок остальных. Сколько человек отвечали на уроке, и какие отметки они получили?
Решение. Из условия ясно, что Аня получила самую низкую отметку из троих, Боря – большую, чем Аня, а В большую, чем Боря. Так как все получили не меньше тройки, то Аня получила 3, Боря – 4 и Вера – 5. Но тройка Ани по условию на 10 меньше суммы остальных отметок, поэтому сумма остальных отметок равняется 13, а общая сумма – 16. Аня, Боря и Вера в сумме получили 12. Остается еще 4. Значит, отвечал еще 1 человек, и получил он 4.

Андрей и Борис играют в следующую игру. Они по очереди берут камни из кучи, не меньше 1 и не больше 7 каждый раз. Не разрешается брать столько же камней, сколько взял другой игрок на предыдущем ходе. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В начале игры в куче было 15 камней. Первым ходит Андрей. Сколько камней он должен взять, делая первый ход, если он хочет наверняка выиграть игру?
Решение. Если Андрей первым ходом возьмет 7 камней, то Борис, чтобы сразу не проиграть, возьмет из оставшихся 8 камней 4. Андрей не может взять оставшиеся 4 камня, потому что Борис только что взял 4. Чтобы не проиграть на этом ходу, он берет 2 камня. Борису остается взять 1 камень из оставшихся двух, и у Андрея нет хода – он проиграл! Итак, 7 – плохое начало. Попутно мы выяснили, что если игроку достались 8 камней и перед этим не было хода 4, то он выиграл. Если же перед этим был ход 4, то он, очевидно, проиграл. Значит, если игроку достались 12 камней, то, беря 4, он ставит соперника в проигрышное положение. Итак, 12 камней – выигрыш. Значит, Андрею не нужно начинать игру с хода 3 – он предоставит выигрыш сопернику. Ясно также, что игрок, получивший 9 камней, проиграл: после хода 1 он предоставляет сопернику выигрышную позицию 8, а после любого другого хода проигрывает немедленно. Значит, если Андрей начинает с хода 6, то он поставит соперника в проигрышную ситуацию 9. Значит, 6 – верный ответ.
Мы выяснили, что 7 и 3 не подходят. Покажем, что не годятся и остальные возможные первые ходы: 5, 4, 2 и 1. Действительно, отвечая на каждый такой первый ход соответственно ходом 1, 2, 4 и 5, Борис ставит Андрея в проигрышное положение 9.

.
Заголовок 1 Заголовок 215

Приложенные файлы

  • doc 3226322
    Размер файла: 62 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий