Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P

17. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей
окружности равен 10, а BC = 16.

Решение.
А) Доказательство (1-й способ).
Проведем через точку А касательную АD к окружностям.
13 EMBED Equation.3 1415.
А) Доказательство (2-й способ).
Рассмотрим гомотетию с центром в точке А и коэффициентом 2.
13 EMBED Equation.3 1415. По свойству гомотетии 13 EMBED Equation.3 1415.
[Кроме того, 13 EMBED Equation.3 1415 При этом АВ=2АК, АС=2АМ, АР=2АL, ВС=2МК ]
Б) В решении будем использовать, что М и К – середины сторон АС и АВ треугольника АВС, что следует из 2-го способа доказательства пункта (А).
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) По свойству касательной и секущей: ВР2=ВК
·ВА, ВР2=ВК
·(2ВК), откуда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Аналогично получаем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) Пусть РВ=2х, тогда СР=16-2х, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
По теореме косинусов для треугольника АВС имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
4) По свойству пересекающихся хорд: AL
·PL=KL
·ML.
Так как KL=х, ML=8-х, AL=PL, то
х
·(8-х)=AL2, AL2=13 EMBED Equation.3 1415, AL=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 3225355
    Размер файла: 232 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий