Предмет исследования: Лента Мёбиуса. Задачи. Сделать ленту Мёбиуса. Узнать свойства ленты Мёбиуса. Найти математические развлечения с лентой Мёбиуса.

СОШ с.Журавлевка
Краснокутского района Саратовской области








Тема: «Лента Мёбиуса»




Выполнили: Кузнецова Алёна и
Мыльникова Наталья, 6 класс.
Руководитель проекта:
Ворожейкина Татьяна Евтифьевна






с.Журавлевка
2013 год









Оглавление
Стр
I. Введение .3

II. Основная часть
1. Историческая справка 4
2. Использование листа Мёбиуса4
3. Изготовление Ленты Мёбиуса7
4. Увлекательное исследование . 8

III. Заключение 10

IV. Литература 11
































Тема проекта: «Лист Мёбиуса»

Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного.
Предмет исследования: Лента Мёбиуса.

Задачи.
Сделать ленту Мёбиуса.
Узнать свойства ленты Мёбиуса.
Найти математические развлечения с лентой Мёбиуса.
Узнать об использовании ленты Мёбиуса в жизни.


Вопросы, направляющие проект
Основополагающий вопрос
Какие загадки хранит лист Мёбиуса
Проблемные вопросы
Что можно сделать с листом Мёбиуса?
Где можно встретить лист Мёбиуса?
Когда появился лист Мёбиуса?
Учебные вопросы
Кто открыл лист Мёбиуса?
Какая наука изучает лист Мёбиуса?
Где применяется лист Мёбиуса?
Можно ли делать фокусы с листом Мёбиуса?


Результат проекта: увлекательное исследование, фокусы с лентой Мёбиуса и выводы












I. ВВЕДЕНИЕ
Реализация данного проекта осуществляется во внеурочное время на занятиях кружка по математике.
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни. Мы с удовольствием работали над проектом «Лист Мёбиуса». Мы считаем эту тему очень увлекательной и познавательной. Очень надеемся, что проект принесёт пользу и моим ровесникам, и старшеклассникам, и учителям.
В энциклопедии написано, что Лист (лента) Мёбиуса
– простейшая односторонняя поверхность с краем,
- относится к числу "математических неожиданностей"




































II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. История создания ленты Мебиуса
Ленту Мёбиуса обнаружили независимо друг от друга немецкие математики Август Мёбиус и Иоганн Листинг в 1858 году. Их поразило то, что у листа Мёбиуса - всего одна сторона. Оба немецких математика - ученики «короля математиков» Гаусса. Августу Фернанду Мёбиусу (1790 - 1868) в возрасте 68 лет удалось сделать открытие ленты, которая была названа его именем. То ли от скуки он это сделал, то ли ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. Именно так и появилась еще в XIX веке знаменитая лента Мёбиуса. Чем же она знаменита?
2. Использование ленты Мёбиуса 
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе  является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому
генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса.
- Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса (в метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса), что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.  - Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
- Устройство под названием резистор Мёбиуса  это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Благодаря ленте Мёбиуса появился "Механизм управления", на который получено Авторское свидетельство №1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото.
-В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.
Лента Мёбиуса представлена в различных вариантах в скульптуре : от традиционных
-У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка.
- Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.
- Невероятный проект библиотеки в городе Астана (Казахстан) имеет вид ленты Мёбиуса. 
- Монумент у здания Президиума Национальной академии наук в Минске  - в Москве на станции метро Фрунзенская, напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса» - Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса
до самых невероятных  -скульптура "Лист Мёбиуса и шар"  составлена из множества консервных банок 
- среди ювелирных изделий также встречается лента Мёбиуса (Серебряное колечко в виде листа Мёбиуса ). 
Любят ленту Мёбиуса
-художники (голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы)  множество своих работ посвятил листу Мебиуса. Литография с муравьями), - писатели – фантасты (кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина цикл «В глубине великого кристалла».
Бабушкин внук и его братья Роман (отрывок)
Рельсы Мёбиуса
И правда, это были рельсы. Но рельсовое полотно было очень узким  уже, чем у детской железной дороги в городском парке. И к тому же шпалы и рельсы не лежали на земле. Они взвились вверх гигантской перекрученной петлей. Немного похоже было на аттракцион “Американские горы”.
Нижний край опирался на решетчатое сооружение. Высотою оно было метра два.
 Смотрите, а рельсы-то на шпалах с обеих сторон,  сказал Вячик.  Можно по ним ехать и внутри петли, и снаружи.
 Тут нету “снаружи” и “внутри”,  солидно разъяснил Арбуз.  Это знаете что? Это кольцо Мёбиуса. Нам про него физик рассказывал. И показывал. Голландский математик Мёбиус взял однажды бумажную ленту, перекрутил ее один раз и склеил концы. И получилось, что у этого длинного листа не две поверхности, а одна.
Я про такое кольцо тоже знал. И не раз удивлялся: простая вещь, а все равно непонятно  вроде бы две стороны у ленты, а на самом деле одна...
 А здесь по такой поверхности проложены рельсы,  продолжал Арбуз лекционным тоном.  Наверно, для какого-то опыта с пространством и временем. Может, это переход в параллельный мир.

-Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии. ( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова)
Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары: Познай любовь и ненависть изведай, Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай. Ты в одночасье насладись победой И горечь пораженья испытай. На грани бесконечного блаженства Испытывая суеверный страх, Найдешь свой путь. Достигнув совершенства, Окажешься в таинственных мирах. И, вдохновленный этим дерзновеньем, По экспоненте поднимаясь в высь, Ты ощутишь восторг освобожденья, Почувствуешь, как возникает Мысль. Покажется, что распростерлась Вечность, Что взломан Мироздания пароль. И вдруг твое стремленье в бесконечность Тебя вернет к исходной точке: в ноль. Как о порог, об этот ноль споткнешься. Но как бы ни был прежний путь тернист, Вновь выбирай (и ты не ошибешься!) Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

Загадочная лента Мёбиуса применяется для показа фокусов в цирке. 
- подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).\
- фокусник вручает зрителю два больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания
концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. Он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного – «Афганскую ленту». Разрезая второе кольцо, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое кольцо – лист Мёбиуса, у второго концы перекручивались перед склейкой дважды.
Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.
- Фокус. Завязать узел на шарфе, не отрывая рук.
3. Изготовление Ленты Мёбиуса.
Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы. Самое  удивительное то, что сделать модель ленты Мёбиуса своими руками совсем несложно: надо лишь взять вытянутую полоску бумаги, приблизительно размерами 15см х 2см, и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 18013EMBED Equation.31415. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса

4. Свойства ленты Мёбиуса
Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами, изучение которых становится увлекательной игрой.
Вопросы эксперимента
1. Если начать закрашивать ЛМ с одной стороны, не переходя через край, то какая часть ленты окажется закрашенной?
2. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль посередине?
2. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края?
4. Что получится, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?
В результате проделанного эксперимента пришли к выводам:
1. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя, имеет только одну сторону. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается. Особенность "ленты Мебиуса" состоит в возможности попадания из одной точки ее поверхности в любую другую, не пересекая края.
Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры. Парадромные кольца.
2. Проведите линию вдоль ленты, на одинаковом расстоянии от краёв. Если разрезать ленту вдоль посередине, то вместо двух колец получится 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже. «Афганская лента» (так называют её фокусники). Снова это кольцо разрежем вдоль посередине, получатся два сцепленных между собой кольца.
3. Если разрезать ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получится два кольца. Одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма "затейливое" переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине.
4. При повороте на 360 градусов получим двустороннюю поверхность. При закрашивании её непременно нужно перевернуть на другую сторону. При разрезании вдоль посередине получим два кольца, сцепленных между собой.
5. Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента».
6. Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края. Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.
7. Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы. А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет...
Чудеса?.. Поэкспериментируйте сами, продолжите разрезание.
















III Заключение
В результате выполнения этого проекта мы увидели, что простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - ТОПОЛОГИЯ. Это название ей дал Иоганн Листинг. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4... А зная чудесные свойства ленты Мёбиуса, можно сделать новые открытия и изобретения (очень полезные и совершенно бесполезные), изготовить полезные и нужные вещи, придумать различные фокусы и развлечения. И кто знает, вдруг, кто-то из нас станет со временем знаменитым топологом и совершит не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут нашими именами...




























Список использованной литературы:
Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.
Квант: научно-популярный журнал.-1975,№ 7; 1977, №7
Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс.
И.Ф. Шарыгин «Наглядная геометрия» 5-6 класс. «Дрофа» 2000г.
Крапивин В.П. Крапивин. Белый шарик Матроса Вильсона. Екотеринбург. Средне – уральское книжное издательство, 1993г.
М.Гарднер  «Математические чудеса и тайны»
Материал из свободной энциклопедии "Википедия".
8 Информационные ресурсы:
http://ru.wikipedia.org/wiki/; http://oriart.ru/publ/3-1-0-11
http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00046/48100.htm;
http://www.calend.ru/person/2637/ http://taina.aib.ru/biography/avgust-mjobius.htm













Приложенные файлы

  • doc 3195860
    Размер файла: 73 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий