Д.А. Лабунцов, В.В. Ягов МЕХАНИКА ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению 651100

Д.А. Лабунцов, В.В. Ягов
МЕХАНИКА
ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по направлению 651100 «Техническая физика»
Москва Издательство МЭИ 2000
УДК [email protected])
ББК 31.31я73
Л 127
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего
образования и фундаментальной науки на 19972000 годы»
Рецензенты: академик РАН А.И. Леонтьев (МГТУ им. Баумана),
доктор техн. наук Ю.А. Зейгарник (ИВТ РАН)
доктор техн. наук, профессор В.И. Хвесюк (МГТУ им. Баумана)
Лабунцов Д.А, Ягов В.В.
Л 127 Механика двухфазных систем: Учебное пособие для вузов М.:
Издательство МЭИ, 2000. 374 с: ил.
ISBN 5-7046-0758-6
Изложены общие принципы построения математического описания многофазных
систем; особое внимание уделено формулировке универсальных и специальных ус-
ловий совместности на межфазных границах. Анализируется гидростатическое рав-
новесие газожидкостных систем; волновое движение на поверхности тяжелой жид-
кости, классические неустойчивости Тейлора и Гельмгольца; гидродинамика грави-
тационных пленок. Рассмотрены закономерности стационарного движения дискрет-
ной частицы (капли или пузырька) в несущей фазе, механизм и количественные ха-
рактеристики роста паровых пузырьков в объеме равномерно перегретой жидкости и
на обогреваемой твердой стенке. Приводятся характеристики течения газожидкост-
ных потоков в канале, методы расчета истинного объемного паросодержания и тре-
ния в потоках различной структуры; методы расчеты теплообмена и кризисов при
пузырьковом кипении в трубах.
Для студентов технических университетов, специализирующихся в области теп-
ловой и атомной энергетики, авиационной и космической техники, химической тех-
нологии.
УДК [email protected])
ББК31.31я73
ISBN 5-7046-0758-6 О Лабунцов Д.А., Ягов В.В., 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава первая. Математическое описание двухфазных систем 11
1.1. Введение 11
1.2. Общая форма законов сохранения 18
1.3. Закон сохранения массы 20
1.4. Закон сохранения импульса 23
1.5. Закон сохранения энергии 29
1.6. Законы сохранения для смесей 33
1.7. Универсальные условия совместности 41
1.8. Специальные условия совместности (квазиравновесная схема) 57
1.9. Неравновесные эффекты на межфазной границе 60
Глава вторая. Основы гидростатики газожидкостных систем 78
2.1. Поверхностные явления 78
2.2. Общее уравнение гидростатического равновесия 89
2.3. Равновесная форма свободной поверхности жидкости, характеризу-
емой одним радиусом кривизны (капилляры, плоские задачи) 92
2.4. Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 101
2.5. Приближенные аналитические соотношения для малых капель
и пузырей 120
Глава третья. Волны на границе раздела фаз и устойчивость 125
3.1. Основные характеристики волновых движений 125
3.2. Анализ волнового движения плоской границы раздела неподвижных
фаз 130
3.3. Исследование результатов анализа. Волны на поверхности жидкости . . 136
3.4. Неустойчивость Тейлора 143
3.5. Волны на границе раздела при относительном движении фаз 146
3.6. Анализ результатов. Неустойчивость Гельмгольца 151
Глава четвертая. Гидродинамика жидких пленок 155
4.1. Основные понятия 155
4.2. Ламинарное течение жидкой пленки 156
4.3. Волновой режим течения пленки 162
4.4. Турбулентное течение в пленках 173
4.5. Теплообмен в гравитационных пленках 176
Глава пятая. Установившееся движение дискретной частицы
в жидкости 182
5.1. Общие свойства течения невязкой жидкости 182
5.2. Движение сферы в идеальной жидкости 187
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.3. Обтекание твердой сферы вязкой жидкостью при Re « 1 191
5.4. Качественные закономерности движения газовых пузырей
в жидкости 201
5.5. Закономерности движения сферических пузырей (капель)
в жидкости при Re « 1 210
5.6. Газовые пузырьки в жидкости при Re > 1 216
5.7. Особенности движения капель в газовых потоках 225
Глава шестая. Неустановившееся движение газовой полости
в жидкости 231
6.1. Динамика расширяющейся газовой полости 231
6.2. Кавитация. Схлопывание сферической полости 235
6.3. Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой
жидкости 242
6.4. Рост паровых пузырьков на твердой поверхности нагрева 262
6.5. Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности .... 271
Глава седьмая. Адиабатные двухфазные потоки в каналах 287
7.1. Классификация двухфазных потоков 288
7.2. Количественные характеристики двухфазных потоков 292
7.3. Структура (режимы течения) двухфазных потоков 298
7.4. Расчет истинного объемного паросодержания в потоках
квазигомогенной структуры 309
7.5. Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков
квазигомогенной структуры 318
7.6. Кольцевые двухфазные течения 326
7.7. Эмпирические методы расчета двухфазных потоков 331
Глава восьмая. Двухфазные течения в условиях теплообмена 334
8.1. Изменение структуры потока по длине обогреваемого канала 334
8.2. Теплообмен при пузырьковом кипении 340
8.3. Теплообмен при кипении жидкости в условиях вынужденного
движения 355
8.4. Кризис теплообмена при кипении жидкостей в каналах 361
Приложение. Запись основных дифференциальных уравнений в криволинейных
координатах 366
Список литературы 370
ПРЕДИСЛОВИЕ
Многие современные технологии, такие как тепловая и атомная
энергетика, химические, в частности нефтехимические производст-
ва, трубопроводный транспорт список легко может быть продол-
жен в большой мере основаны на использовании многофазных
систем, прежде всего газожидкостных. Процессы в таких системах
на протяжении уже нескольких десятков лет активно исследуются
в научных лабораториях, что отражено в многочисленных моногра-
фиях, перечень которых далеко не исчерпывается в списке литера-
туры к настоящему изданию. Более 25 лет существует специальный
международный журнал, посвященный многофазным течениям*,
множество статей публикуется в других журналах, в трудах между-
народных и национальных научных конференций.
На этом фоне учебная литература выглядит более чем скромно:
фактически на русском языке вышло лишь учебное пособие [17],
посвященное процессам в парожидкостных системах. Начальные
сведения о двухфазных системах даются в [13, 30, 39]. Между тем в
учебных планах ряда инженерных специальностей еще в 7080 гг.
(прошлого века) появились курсы, содержание которых, несмотря
на их разнообразие и непохожесть, можно отразить общим названи-
ем «Механика многофазных систем».
В Московском энергетическом институте курс «Механика двух-
фазных систем» преподается начиная с 1975 г. Настоящее учебное
пособие отражает опыт преподавания, накопленный за эти годы.
Как по построению, так и по содержанию пособие принципиально
отличается от [17] или от известной книги Уоллиса [42], в основу
которой положен конспект лекций, прочитанный ее автором для
студентов. Лишь две последние главы настоящей книги G и 8) со-
держат материал, включаемый в традиционные издания по механи-
ке многофазных систем. Ориентируясь на учебные цели, авторы
стремились не только к систематизации предлагаемого материала,
но и к доказательности основных положений, не избегая необходи-
* International Journal of Multiphase Flow, Elsevier Science Ltd.
ПРЕДИСЛОВИЕ
мых математических выкладок. При этом приоритет всегда отдавал-
ся физической интерпретации получаемых результатов.
Первая глава дает теоретическую основу для всего последую-
щего изложения общие принципы составления математическо-
го описания многофазных систем. При выводе уравнений сохране-
ния массы, импульса, энергии и массы компонента в бинарной
смеси, выражающих соответствующие фундаментальные законы
сохранения, используется универсальность содержания и формы
этих законов при эйлеровом методе описания. Тот же подход ис-
пользован при формулировке условий на межфазных границах
(поверхностях сильных разрывов): универсальные условия совме-
стности в общей форме выводятся из интегрального уравнения со-
хранения произвольного свойства сплошной среды, а конкретные
соотношения для потоков массы, импульса, энергии и массы ком-
понента смеси на границах раздела получаются из общего как ча-
стные случаи. В настоящем издании, по-видимому, впервые
в учебной литературе показано, что в реальных (необратимых)
процессах конечной интенсивности на поверхности, разделяющей
конденсированную и газовую фазы, всегда возникает неравновес-
ность, приводящая к появлению конечной скорости скольжения
газа относительно обтекаемой поверхности и к неравенству тем-
ператур соприкасающихся фаз («скачок температур»). При анали-
зе неравновесности на межфазной поверхности в книге использу-
ются новые научные результаты, полученные, в частности,
Д.А. Лабунцовым и А.П. Крюковым (см. [18]).
В учебном пособии впервые в практике инженерных вузов дает-
ся изложение задач равновесия газожидкостных систем, определяе-
мого массовыми и капиллярными силами (глава вторая). Эти задачи
актуальны, прежде всего, для космонавтики и поэтому обычно не
рассматриваются в книгах, посвященных двухфазным системам
«земного назначения». Однако отсутствие ясного представления
о содержании задач гидростатики, в которых существенны силы по-
верхностного натяжения, во многих случаях является причиной
ошибок, которые нередко встречаются не только в ответах студен-
тов, но и в научных публикациях.
Из огромного разнообразия задач, актуальных для волновых те-
чений жидкости [35], в книге рассматриваются в первую очередь две
классические проблемы устойчивости горизонтальной границы раз-
Предисловие
дела двух невязких жидкостей в отсутствие их относительного дви-
жения неустойчивость Тейлора и при наличии такого движения
неустойчивость Гельмгольца (глава третья). В настоящее время труд-
но указать какой-либо учебник для технических университетов, где
бы давалось достаточно полное изложение этого вопроса. В гл. 3 рас-
сматриваются также капиллярно-гравитационные волны на поверх-
ности тяжелой жидкости, даются краткие сведения о волнах конеч-
ной амплитуды, в частности об уединенных волнах (солитонах).
Четвертая глава учебного пособия посвящена течению в жид-
ких пленках. Здесь, как и в предыдущей главе, перед авторами
стояла задача отобрать наиболее существенное из чрезвычайно ши-
рокого круга вопросов, рассматриваемых в специальной литерату-
ре. Мы остановились на анализе течения ламинарных пленок, их
устойчивости (в линейном приближении), а также на анализе ус-
редненных характеристик турбулентных пленок. Эти начальные
знания гидродинамики пленочного течения дают необходимую ос-
нову для изучения более сложных задач, встречающихся в инже-
нерной практике. Четвертая глава знакомит читателя с задачами те-
плообмена, в данном случае с классической задачей Нуссельта о
конденсации пара на вертикальной плоскости и с задачей о тепло-
обмене при испарении пленки. Рассмотрение этих вопросов оправ-
дано, поскольку жидкие пленки чаще всего встречаются в различ-
ного рода теплообменных устройствах.
При моделировании поведения жидкостных систем в каналах
или объемах иной геометрической конфигурации во многих случаях
невозможно обойтись без информации о закономерностях взаимо-
действия дискретной частицы (капли или пузырька) с окружающей
(«несущей») фазой. Некоторые из этих закономерностей рассматри-
ваются в пятой и шестой главах книги. Пятая глава посвящена уста-
новившемуся движению дискретной частицы в сплошной среде.
Здесь рассмотрены классические задачи об обтекании сферы иде-
альной жидкостью и вязкой жидкостью при малых числах Рей-
нольдса, поскольку их результаты далее использованы при анализе
движения газовых пузырей и жидких капель. Экспериментальные
исследования всплывания газовых пузырьков в неподвижной жид-
кости показывают, что при различных сочетаниях объема пузырька
и свойств жидкости (прежде всего, вязкости) изменяются не только
закономерности его движения, но и форма. Это обстоятельство де-
ПРЕДИСЛОВИЕ
лает невозможным установление единого (универсального) закона
подъемного движения пузырька в жидкости и определяет целесооб-
разность использования в анализе методов теории подобия. Для раз-
личных диапазонов чисел Вебера и Рейнольдса в книге рассматри-
ваются результаты опытных наблюдений и теоретических исследо-
ваний взаимосвязи размеров, формы и скорости всплывающих пу-
зырьков. Методы анализа движения жидкости со свободной поверх-
ностью применены к гравитационному всплыванию крупных газо-
вых пузырей, имеющих форму сферического сегмента.
В шестой главе рассматривается нестационарное движение газо-
вых (паровых) пузырьков в жидкости. Наряду с классическими за-
дачами Рэлея о сферически симметричном росте и кавитационном
схлопывании газовой полости в жидкости здесь рассматривается за-
дача о росте парового пузырька в однородно перегретой жидкости,
ранее в учебную литературу не включавшаяся. При анализе динами-
ки паровых пузырьков на твердой стенке, т.е. при кипении, исполь-
зуются результаты оригинальных работ авторов книги, среди кото-
рых, в частности, принципиально важным является рассмотрение
задачи об отрыве паровых пузырьков от твердой стенки. В пособии
дается строгая постановка задач и излагаются приближенные асим-
птотические решения для отрыва пузырька в предельных случаях
высоких и низких приведенных давлений.
Гл. 7 и 8 в наибольшей степени имеют прикладной характер.
В гл. 7 вводятся основные количественные характеристики, обычно
используемые при одномерном описании двухфазных потоков в ка-
налах: расходные и истинные паросодержания, истинные и приве-
денные скорости фаз, скорость смеси, коэффициент скольжения,
плотность смеси. При рассмотрении методов прогнозирования ре-
жимов течения (структуры) двухфазной смеси акцент делается на
методы, основанные на определенных физических моделях. Расчет
трения и истинного объемного паросодержания дается раздельно
для потоков квазигомогенной структуры и кольцевых течений.
В гл. 8 описаны двухфазные потоки в трубах в условиях теплообме-
на. Приводится современная методика расчета теплоотдачи при пу-
зырьковом кипении жидкостей в условиях свободного и вынужден-
ного движения. Сложная проблема кризиса кипения в каналах изла-
гается прежде всего как качественная характеристика закономерно-
стей возникновения пленочного кипения при различных значениях
Предисловие
относительной энтальпии потока. Для кризиса кипения в условиях
больших недогревов жидкости до температуры насыщения и высо-
ких скоростей течения рассматривается простая физическая модель,
позволяющая получить надежное расчетное соотношение.
В приложении приводятся сведения об ортогональных криволи-
нейных координатах и даются выражения для некоторых дифферен-
циальных операторов поля в сферической и цилиндрической систе-
мах координат.
Такая структура и содержание учебного пособия, в главных чер-
тах, были заложены еще в 70-е годы под руководством и при непо-
средственном участии Дмитрия Александровича Лабунцова A929
1992 гг.). Вернувшись в 1973 г. на работу в МЭИ (в качестве заве-
дующего кафедрой) он горячо поддержал включение в учебные пла-
ны двух инженерных специальностей курса «Механика двухфазных
систем». Вместе с тем именно Лабунцов предложил решительно
отойти от того содержания курса, которое складывалось в те годы
под влиянием отечественных [16] и зарубежных [37, 42, 74] моно-
графий. В 1975 г. в течение одного семестра Дмитрий Александро-
вич прочитал первую часть курса, соответствующую первым трем
главам настоящей книги. Вторую часть (осенний семестр 1975 г.) го-
товить и впервые читать довелось мне, но Лабунцов тогда посетил
все мои лекции и его редкие и очень деликатные по форме замеча-
ния многое значили для дальнейшей работы над курсом. В условиях
полного отсутствия какой-либо учебной литературы для нас было
важным издать внутривузовским изданием в МЭИ учебные пособия
[1921], к которым позднее добавилось [23]. Содержание этих по-
собий в значительной мере вошло в гл. 13, 5, 6 настоящей книги.
В последующем я в течение многих лет читал «Механику двух-
фазных систем» в МЭИ и читаю аналогичный по содержанию курс
для студентов МФТИ, проходящих специальную подготовку
в ИБРАЭ РАН (Институт проблем безопасного развития атомной
энергетики). Безусловно, в некоторых разделах курса за эти годы
появился материал, отражающий новые научные результаты, заново
написаны гл. 4, 7, 8; многие вопросы изложены в новой редакции. Но
в целом книга выходит, на мой взгляд, такой, какой она могла бы
выйти при жизни Д. А. Лабунцова. В нее без существенных измене-
ний вошли разделы, написанные им для упомянутых выше учебных
пособий, его черновые материалы использованы при написании гл. 4.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга адресована, в первую очередь, студентам технических
университетов, специализирующимся в области тепловой и атомной
энергетики, авиационной и космической техники, химической тех-
нологии; она будет полезна студентам физических специальностей
классических университетов. Как учебник она естественным обра-
зом дополняется изданным в МЭИ сборником задач А.С. Куликова
и А.П. Крюкова*, представляющим расчетные задания и соответст-
вующие методические указания по большей части разделов курса.
Думаю, что необходимую для себя информацию найдут в этой
книге аспиранты соответствующих научных специальностей, а так-
же научные сотрудники.
Вместе с тем, я с благодарностью готов принять замечания и по-
желания по содержанию, построению и оформлению книги, кото-
рые будут особенно ценны в случае последующего ее переиздания.
Отзывы и пожелания следует направлять в Издательство МЭИ по
адресу: 111250, Москва, Красноказарменная, 14.
Автор признателен рецензентам академику РАН А.И. Леонтье-
ву, доктору техн. наук Ю. А. Зейгарнику и профессору В.И. Хве-
сюку за поддержку и полезные советы.
В. В. Ягов
* А.С. Куликов, А.П. Крюков. Механика двухфазных систем: Сборник задач. М.: Изда-
тельство МЭИ, 1999.
Глава первая
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
1.1.1. ОБЪЕКТ АНАЛИЗА
Природные явления и техника дают огромное число примеров
многофазных систем. Касаясь лишь технических устройств, укажем
на генерацию и последующую конденсацию пара в установках теп-
ловой и атомной энергетики, процессы дистилляции, ректификации,
выпарки, используемые в химической технологии, холодильной и
криогенной технике, пищевых производствах. Нетрудно убедиться,
что различные типы многофазных (гетерофазных) систем (жид-
костьгаз, жидкие эмульсии, потоки жидкости или газа с твердыми
частицами) встречаются чаще, чем однофазные. В настоящем изда-
нии предметом анализа будут в основном двухфазные системы.
На рис. 1.1, а и б, изображены типичные примеры двухфазных
систем: показано движение газовых (или паровых) пузырьков в по-
токе жидкости и расслоенный газожидкостный поток. При анализе
такого рода гетерофазных систем принимаются следующие предпо-
ложения:
1. Каждая фаза является сплошной средой. Она занимает макро-
скопические объемы пространства.
2. Межфазные границы интерпретируются как геометрические
поверхности. При переходе через границу свойства (плотность,
внутренняя энергия, энтальпия и т.п.) изменяются скачком.
В общем случае в системе может происходить обмен массой,
импульсом и энергией как между отдельными фазами, так и внутри
Рис. 1.1. Примеры объектов анализа меха- /JWL^-^-A
ники гетерофазных систем (Z"O4-?~~!)
а пузырьковый режим течения двухфаз- \__N
ной смеси; б расслоенный газожидкост- SJj,
ный поток /А
12 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
каждой из фаз. Под механикой гетерофазных систем будем пони-
мать не только движение и динамическое взаимодействие фаз, но
и процессы массо- и энергообмена. Следует отметить, что эти явле-
ния взаимосвязаны.
В пределах каждой отдельной фазы правомерны обычные диф-
ференциальные уравнения сплошной среды, отражающие фунда-
ментальные законы сохранения массы, импульса и энергии. Далее
их будем просто именовать уравнениями сохранения. На межфазных
поверхностях обязаны выполняться определенные граничные усло-
вия, отражающие эффекты взаимодействия фаз. Эти условия кратко
будем именовать условиями совместности.
Совокупность систем уравнений сохранения для каждой из фаз
и условий совместности составляет математическое описание (тео-
ретическую основу) механики гетерофазных систем.
Для простых систем математическое описание может быть проин-
тегрировано. В более сложных случаях получение аналитических ре-
шений сопряжено со значительными математическими трудностями.
Математическое описание гетерофазных систем является осно-
вой для анализа условий подобия двухфазных потоков.
1.1.2. СИСТЕМА ОТСЧЕТА
Понятие движения бессодержательно, если не указана система
отсчета (система координат), относительно которой происходит
перемещение объекта исследования. Выбор системы координат за-
висит от воли исследователя или местонахождения наблюдателя.
Поэтому один и тот же процесс может быть описан в разных систе-
мах отсчета. Часто системы отсчета, удобные для лабораторного
изучения процесса, называют лабораторными. В одних случаях
в качестве лабораторной системы координат может применяться
система отсчета, «привязанная» к поверхности Земли, в других
система отсчета, неподвижная относительно центра инерции авто-
номного объекта (спутника, самолета и т.д.). Часто удобно анали-
зировать процессы в системе отсчета, «закрепленной» на гранич-
ной поверхности области протекания явления, т.е. на стенках кана-
ла, на поверхности сосуда и т.д.
Однако следует отметить, что изучаемые движения и процес-
сы управляются физическими законами, которые не могут зави-
сеть от нашего субъективного выбора системы отсчета (или точки
наблюдения), что составляет содержание принципа относительно-
Введение
13
сти. Это положение открывает
возможность применения, кроме
естественных лабораторных сис-
тем отсчета, также иных, специ-
фических для каждой проблемы
координатных систем, удобных
для анализа ее отдельных деталей.
В частности, при описании двух-
фазных потоков в качестве таких
специфических систем могут вы-
ступать системы, привязанные
к центру инерции одной из фаз,
к поверхности раздела фаз и т.д.
G'=0
I i
Рис. 1.2. Схема движения газового
Такие системы называют совет- пузырька в жидкости в лаборатор-
ной (а) и собственной (о) системах
венными системами отсчета. лггпж ото
отсчета
В качестве примера (рис. 1.2, а)
показана картина всплывания газового пузырька в спокойной жидко-
сти при наблюдении из системы отсчета, в которой жидкость и стен-
ки заключающие ее сосуда неподвижны (лабораторная система коор-
динат). Для этой задачи можно также выбрать систему отсчета, при-
вязанную к центру инерции пузырька. Тогда картина процесса в этой
собственной системе координат примет вид рис. 1.2, б: вместо ста-
ционарного всплывания неподвижный пузырек обтекается встреч-
ным потоком жидкости.
Механика явления одинакова, но для описания процесса случай
(б) имеет ряд преимуществ технического характера.
1.1.3. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ
Кроме выбора системы отсчета в механике сплошных сред
принципиальное значение имеет сам метод описания процессов.
Рассмотрим этот вопрос. Пусть фиксирована некоторая декартова
система отсчета х1э х2, х3 или {хк}, к = 1, 2, 3. В пространстве {хк}
происходит движение сплошной среды.
Один из возможных методов анализа и описания заключается
втом, что в пространстве {хк} фиксируется некоторый контрольный
объем V с поверхностью К Этот объем неподвижен (в системе отсче-
та (х&}) и является лишь воображаемым контрольным элементом
14
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Рис. 1.3. Эйлеров контрольный
объем в системе координат {хк}
Рис. 1.4. Лагранжева контрольная мас-
са в системе координат {хк}
пространства. Среда свободно проходит через его границы (рис. 1.3).
Такой подход называют описанием «с точки зрения Эйлера».
Другой метод принадлежит Лагранжу. В той же системе отсчета
{хк} можно выделить в качестве объекта наблюдения определенную
индивидуальную порцию материи (вещества). Эта контрольная мас-
са вещества движется относительно системы отсчета {хк}. В разные
моменты ее объем в общем случае может быть разным; ее граница
перемещается в пространстве и деформируется во времени. Важно
отметить, что эта граница индивидуальной порции вещества макро-
скопически непроницаема. Условная графическая интерпретация та-
кого подхода показала на рис. 1.4, где для двух моментов времени
показаны пространственное расположение и форма индивидуальной
порции вещества, рассматриваемой в качестве объекта анализа. Та-
кой подход называют описанием «с точки зрения Лагранжа».
Различие подходов состоит в следующем:
эйлеров контрольный объем проницаем для вещества и непод-
вижен в пространстве {хк};
лагранжева контрольная масса вещества неизменна, ее поверх-
ность макроскопически непроницаема, она перемещается в про-
странстве \хк}.
В настоящем курсе будет отдаваться предпочтение эйлерову ме-
тоду описания как практически более рациональному.
1.1.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
В настоящем издании используется в основном математический
аппарат, к практическому применению которого студенты подготов-
Введение 15
лены обычным вузовским курсом высшей математики. Некоторая
специфика будет состоять в широком использовании векторных ве-
личин и соответствующих векторных дифференциальных операто-
ров, а также в использовании в различных действиях с такими вели-
чинами метода «немого суммирования», который был предложен
А. Эйнштейном. Сущность метода будет ясна из нижеследующего.
Векторный дифференциальный оператор V («набла») имеет смысл
вектора с проекциями (в системе координат {хк}):
дх{ дх2 дх3 ?=1 дхк дхк
где i^ (к = 1, 2, 3) единичные ортогональные векторы.
В последнем равенстве использован метод немого суммирова-
ния по дважды повторяющемуся индексу. Использование этого ме-
тода для записи в проекциях произвольного вектора А дает
т.е. немое суммирование позволяет опускать знак суммирования,
что заметно упрощает форму записи, а во многих случаях и мате-
матические выкладки.
В применении к вектору А оператор V можно представить как
скалярное произведение
( Э ^ ЪАк
(V.A)^divA= ik-Amim) =*.
\охк ) охк
Здесь использовано то обстоятельство, что произведение
A при к = т;
где 8^ символ Кронекера (единичный тензор второго ранга).
Заметим, что повторяющиеся индексы можно обозначать любой
буквой, т.е.
Ак1к=Ат1т=Ап1п = -'
Применение V к скалярной функции дает градиент этой функции
Эф
Уф = gradф = i*.
дхк
16 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Оператор Лапласа V ф = Дф можно представить как
У2ф = div(gradcp) = (V Уф) = .
дхкдхк
И, наконец, укажем, что
rot A = VxA,
при этом произвольная проекция вектора rotA выражается через
единичный тензор Леви-Чивита eik как
Э
rot,-A = eiJk Ак.
dXj
(Необходимые сведения о тензорном анализе можно получить, на-
пример в [34].)
1.1.5. МОДЕЛИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ
В общем случае положение и форма межфазных границ в много-
фазных системах не могут быть определены заранее. Этим гетеро-
фазные системы принципиально отличаются от гомогенных, для ко-
торых границы области протекания процесса, как правило, бывают
известны (твердые ограничивающие поверхности), и на них задают-
ся граничные условия условия однозначности математического
описания процесса. В многофазных (в частности, в двухфазных газо-
жидкостных) системах эволюция межфазных границ могла бы быть
определена только в процессе решения задачи. Это означает, что
в исходном математическом описании условия совместности могут
быть записаны для границ раздела неизвестной формы. В настоящее
время имеются лишь единичные примеры численного решения задач
механики газожидкостных систем в такой строгой постановке, когда
форма межфазной границы не задается, а определяется в процессе
решения. При этом речь идет о достаточно простых задачах, напри-
мер о росте одиночного парового пузырька на твердой обогреваемой
поверхности в первоначально неподвижной жидкости.
Для решения прикладных задач механики многофазных систем
вводят различные упрощающие модели. Простейшая из них го-
могенная модель, суть которой состоит в замене реальной много-
фазной среды некоторой гипотетической с эффективными свойст-
вами: плотностью смеси, скоростью смеси, вязкостью смеси. К та-
Введение 17
кой гомогенной среде применяют обычные уравнения сохранения
(как к однофазной жидкости). Чаще всего гомогенную модель ис-
пользуют в одномерном приближении, когда параметры двухфаз-
ного потока усредняются по сечению канала. Возможности этой
модели обсуждаются в гл. 7.
Модель раздельного течения представляет собой нечастый
случай, при котором реальная картина газожидкостного течения
воспроизводится в модели достаточно точно. Взаимодействие га-
зового (парового) потока со стекающей пленкой жидкости, коль-
цевые двухфазные потоки, в которых преобладающая часть жид-
кости течет в виде тонкой пленки по стенке, а в ядре потока дви-
жется газ, расслоенные течения в горизонтальных каналах это
те задачи, для которых модель раздельного течения вполне умест-
на. В рамках этой модели уравнения сохранения записываются от-
дельно для газовой и жидкой фаз, при этом форма границы разде-
ла предполагается известной (плоской или цилиндрической). Ре-
альная картина и в этих видах течений, как правило, намного
сложнее той, что принимается в модели (в ней обычно не учитыва-
ют наличие жидких капель в потоке газа, волны на межфазной по-
верхности), но модель раздельного течения здесь, конечно, значи-
тельно ближе к реальности, чем гомогенная.
Широкое применение вычислительной техники в проектных
расчетах сделало чрезвычайно популярной модель многоскоростно-
го континуума. Согласно этой модели каждая фаза заполняет собою
один и тот же объем, занятый многофазной смесью. Для каждой фа-
зы определяется плотность, отнесенная к полному объему смеси,
скорость и другие параметры. Таким образом, в каждой точке объе-
ма, занятого смесью, состоящей из N фаз, определяют N плотностей,
N скоростей и т.д. [30]. При таком подходе основные трудности рас-
чета переносятся на моделирование межфазного обмена массой, им-
пульсом и энергией. Для такого моделирования требуется вводить
гипотезы о форме и площади поверхности межфазных границ и за-
кономерностях переноса через эти границы. Наиболее естествен-
ным здесь является использование метода контрольной ячейки, т.е.
анализ такой структуры рассматриваемой многофазной системы, ко-
торая моделирует существенные характеристики этой системы.
В пределах контрольной ячейки форма межфазной поверхности
обычно идеализируется, что делает возможным получать строгие
18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
решения. При этом используется тот подход к анализу, который
в принципиальных чертах сформулирован в п. 1.1.1. Именно этот
подход выявляет те фундаментальные закономерности процессов,
без знания которых невозможно построение надежных моделей
двухфазных систем для инженерных расчетов.
1.2. ОБЩАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Содержание законов сохранения массы, импульса и энергии при
эйлеровом методе описания имеет идентичный характер. Общая
формулировка законов сохранения;
полное изменение за единицу времени некоторого свойства А
(массы, импульса, энергии) внутри эйлерова контрольного объема V
равно суммарному притоку этого свойства через поверхность F плюс
возможное объемное возникновение свойства А внутри объема V.
Менее строго это значит, что изменение свойства А определяет-
ся его внешним притоком в контрольный объем и возможным внут-
ренним возникновением в объеме, Свойство А при этом рассматри-
вается как удельная (на единицу объема), аддитивная величина.
Аналитически эта формулировка выражается так:
jydV = -jjkdFk + JNAdV. A.1)
V F V
Слева величина, определяющая изменение А внутри объема V в
единицу времени. Величина NA скорость объемного возникнове-
ния А в единице объема, так что второе слагаемое справа определя-
ет внутреннее производство А в контрольном объеме. Первый инте-
грал правой части характеризует суммарный приток свойства А че-
рез поверхность F. Действительно, произведение JkdFk есть индекс-
ная форма записи (с использованием суммирования по дважды по-
вторяющемуся индексу) скалярного произведения векторов (J*dF).
Вектор J характеризует плотность потока свойства A; dF направ-
ленный элемент поверхности, т.е. вектор с модулем, равным площа-
ди поверхности dF, и положительным направлением, совпадающим
с внешней нормалью к поверхности (рис. 1.5).
Общая форма законов сохранения 19
Таким образом, произведение JkdFk = x3li
= (J dF) есть «убыль» свойства А из объ-
ема V через площадку di% а взятый со зна-
ком минус интеграл от этого произведе-
ния по всей поверхности F соответствует
внешнему «притоку» свойства А в кон- yS tx j x2
трольный объем. У\
Соотношение A.1) будем называть об-
~ » ~ Рис. 1.5. Схема, поясняющая
щей формулировкой законов сохранения в ж , _
г чг г s г г смысл произведения JkuFk
интегральном виде, или интегральным ,Л ^ч
Г j в уравнении A.1)
уравнением сохранения в общей форме.
Если внутри контрольного объема среда однородна (т.е. весь
объем находится в пределах одной фазы), то из соотношения A.1)
можно получить общее уравнение законов сохранения в дифферен-
циальной форме.
В сплошной однородной среде все характеристики меняются не-
прерывным образом. В частности, Jk будут непрерывными и диффе-
ренцируемыми функциями координат. При выполнении последнего
условия справедлива формула ОстроградскогоГаусса (переводя-
щая интеграл по поверхности в интеграл по объему и обратно)
JkdFk=
(Для запоминания можно пользоваться правилом dFk ?-» dF).
дхк
Используя формулу ОстроградскогоГаусса и учитывая произ-
вольность объема, получаем из A Л);
г+ЛЪ' A.1а)
at дхк
Это соотношение определяет общую формулировку законов сохра-
нения в дифференциальном виде, или дифференциальное уравне-
ние сохранения в общей форме. Из самого метода вывода A.1а) яс-
но, что это соотношение и каждое его слагаемое имеют такой же
смысл, что и исходное уравнение A.1). Различие лишь в том, что
в A.1а) все величины относятся к бесконечно малому эйлерову
20 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
dJk
контрольному объему. В частности, - представляет суммар-
дхк
ное поступление свойства^ через поверхность внутрь бесконечно
малого эйлерова объема.
Важно иметь в виду, что уравнение A.1) имеет более общую
область применения. Оно правомерно и тогда, когда внутри эйлеро-
ва объема находятся две фазы (т.е. среда неоднородна). В этом
случае интегралы по объему разбиваются на части, охватывающие
области отдельных фаз, интеграл по поверхности подразделяется
на две части, отвечающие также двум фазам. Внутри контрольного
объема располагается также участок межфазной поверхности, на
котором возможно возникновение свойства А, учитываемое в по-
следнем слагаемом A.1).
Общая формулировка законов сохранения в виде уравнений
A.1) или A.1а) позволяет достаточно просто получать соотношения
для законов сохранения массы, импульса, энергии. При этом требу-
ется лишь расшифровка величин A,Jk,NA.
1.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
Для записи закона сохранения массы нужно принять: А = р
плотность (масса вещества в единице объема); J = ри массовая
скорость вследствие макроскопического движения среды; и мак-
роскопическая скорость среды; NA = О масса не может возни-
кать или исчезать (рассматривается нерелятивистская механика).
Тогда из A.1) и A.1а) имеем:
интегральное уравнение сохранения массы
= O; A.2)
V dt F
дифференциальное уравнение сохранения массы (уравнение не-
разрывности)
7=0. A.2а)
дхк
Закон сохранения массы 21
Закон сохранения массы позволяет получить полезное для по-
следующих преобразований соотношение. Вспомним сначала поня-
тие субстанциональной производной. Это понятие соответствует
методу описания движения сплошной среды по Лагранжу. Пусть
индивидуальная дифференциально малая масса вещества в момент
времени t находится вокруг точки xk{t) пространства. В следующие
моменты времени контрольная масса занимает другие области про-
странства, причем xk{t) могут всюду рассматриваться как координа-
ты контрольной массы. Если состояние вещества характеризуется
величиной В (плотность, внутренняя энергия, температура и т.д.), то
для лагранжевой контрольной массы
B=B[t,xk(t)].
Полная (субстанциональная, индивидуальная) производная от
В по времени по правилу дифференцирования сложной функции
имеет вид:
dB dB dB Эх*
= + .
dt dt dxk dt
Очевидно, что
dxk
= uk к-я проекция вектора скорости.
dt
Таким образом,
dB dB dB
= + uk ,
dt dt dxk
где первое слагаемое в правой части это локальная производная
по времени, а второе конвективная производная.
Поскольку в нашем учебном пособии предпочтение отдано эй-
лерову методу описания, субстанциональная производная будет ис-
пользоваться в основном в промежуточных выкладках. Пусть, в ча-
стности, В некоторое удельное (на единицу массы) свойство сре-
ды. Тогда использование для этого свойства общей формулировки
22 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
законов сохранения A.1а) во многих случаях приведет к появлению
выражения вида:
dt dxk
Элементарные преобразования и использование закона сохране-
ния массы A.2а) приводят к выражению
dt
dt dxt Idt kdxj
k idt дхк\
-»%. 03)
dt
Если, в частности, В удельный объем среды, т.е.
Р
то из A.3) следует:
дик _,. 1 dv
= div u = .
dxk v dt
Полученное соотношение позволяет дать определенное физиче-
ское толкование дивергенции скорости: дивергенция скорости пред-
ставляет собой относительное субстанциональное изменение удель-
ного объема среды.
Используя субстанциональную производную, уравнение A.2а)
можно записать в виде
p^ A.26)
dt д
Для несжимаемой среды (р = const) имеем
F dxk
Последнее соотношение это известное дифференциальное урав-
нение неразрывности (сплошности) несжимаемой среды.
Закон сохранения импульса 23
Пример. Применим соотношение A.2) для /I ц\
случая стационарного одномерного течения
среды через канал переменного сечения
(рис. 1.6). Выделим два сечения // и ////
площадью Fj и Fn. Ц1
Вследствие предположения о стационар-
ности первое слагаемое в A.2) равно нулю, I ^*rftf^\
второе слагаемое: Jfv |
г (с с ) l\ п\
- I ри, dF, = - ри. dF, + I ри. dF. =
J K k [jr f ) Рис. 1.6. Схема одномерного
течения в канале переменного
= (puF)j- (puF)jj = 0. сечения
Итак, в рассматриваемом случае имеем
puF = const,
где const = G массовый расход вещества.
(Конечно, это соотношение элементарно и может быть записано сразу же без
вывода.)
1.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
1.4.1. ВЫВОД В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
Импульс единицы объема сплошной среды определяется как р и,
а вектор скорости и можно толковать как импульс единицы массы.
Импульс единицы объема р и есть вектор. Векторное уравнение
баланса импульса можно разложить на три уравнения баланса про-
екций импульса на оси хк. Рассмотрим проекцию импульса на одну
из осей piif. Величина ри^ есть скаляр. Для нее могут быть приме-
нены общие соотношения закона сохранения A.1) и A.1а).
Здесь следует принять: А-ри1 /-проекция импульса единицы
объема; Jk = I\kl тензор плотности потока импульса (подробнее
ниже); NA = pg/ возникновение импульса вследствие действия
внешнего поля массовых сил g.
Под массовыми силами мы будем понимать только силы грави-
тации (так что в невесомости NA = 0). В общем случае в ускорение
g могут давать вклад массовые силы другой природы (центробеж-
ные, электрические, магнитные).
24
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Рис. 1.7. Схема перено-
са /-проекции импуль-
са через элементар-
ную площадку dF
Итак, имеем:
интегральное уравнение закона сохране-
ния импульса
dt
\V- A.4)
F V
дифференциальное уравнение сохранения
импульса
Э(рИ/) дПк
к1
Э/
A.4а)
Пояснений требует величина Пк1. Ее смысл ясен из рис. 1.7. Если
вектор плотности потока /-проекции импульса в некоторой точке по-
верхности F определяется величиной П/; то перенос /-проекции им-
пульса через бесконечно малую площадь поверхности dF в окрестно-
сти рассматриваемой точки выражается скалярным произведением
Тензор Пк1 может рассматриваться как Аг-проекция вектора Иг По-
скольку для любой другой проекции импульса, например рит, век-
тор плотности потока П^ отличен от П/? т.е. Пкт Ф Пк(, то стано-
вится понятной неизбежность использования тензорных величин
в уравнении сохранения импульса. В рассматриваемом случае пер-
вый индекс к у тензора П^ определяет направление нормали к пло-
щадке, а второй / показывает, какая из проекций импульса через эту
площадку переносится.
1.4.2. ТЕНЗОРЫ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИМПУЛЬСА, ДАВЛЕНИЙ
И ВЯЗКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
В сплошной среде перенос импульса через контрольную эйлеро-
ву поверхность осуществляется конвективным и молекулярным пу-
тем. В соответствии с этим тензор плотности потока импульса Пк1
подразделяется на две части:
Закон сохранения импульса 25
где р ukuj часть потока импульса, переносимого конвективным пу-
тем, т.е. вследствие макроскопического движения среды; Рк1 часть
потока импульса, переносимого молекулярным путем, т.е. за счет те-
плового движения и силового взаимодействия молекул среды. Эту
часть тензора плотности потока импульса называют тензором давле-
ний. Связь тензора давлений с другими параметрами среды определя-
ется моделью этой среды. В невязкой среде (идеальная жидкость)
гдер давление (скаляр);
11 при к = /; введенный ранее единичный тензор
к1 [0 при к * I (символ или дельта Кронекера).
Ясно, что в идеальной жидкости предполагаются только нор-
мальные напряжения.
В реальной (вязкой) среде в выражении (б) для тензора давле-
ний необходимо учесть вязкие напряжения
где тк1 тензор вязких напряжений^ знак «минус» отражает связь вяз-
ких напряжений именно с потерей импульса за счет внутреннего трения.
Тензор потока импульса симметричен, т.е.
(так как внутри текучей среды не могут существовать внутренние
неуравновешенные моменты импульса).
Вследствие симметрии всего имеется шесть различных компо-
нент YlkI: три нормальных Пи, П22, П33 и три касательных П12 =
= П21, П13 = П31, П23 = П32.
Развернутые выражения нормальных и касательных компонент
имеют следующий вид:
Пи = р«?+/?-ти;
П12 = П21 Z=PU1U2-T]2 И Т.Д.
Тензор вязких напряжений %kl возникает из-за наличия в пото-
ке относительного движения соседних слоев среды, что возможно
26 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
лишь при наличии градиентов скорости. Если эти градиенты не
слишком велики, то мерой такого движения являются производ-
ные вида дик /Эх/? т.е. первые производные скорости по коорди-
нате, а зависимость тензора вязких напряжений от этих производ-
ных должна быть линейной. При этом следует учитывать, что ве-
личина %к1 симметрична. Наиболее общий возможный вид такого
линейного соотношения
(дик диЛ дит
ikl = а\ + + Ъ Ьк1. (г)
[dxj дхк) дхт
В несжимаемой жидкости дит /дхт = 0. Поэтому в последнем
соотношении а = \х обычный коэффициент динамической вязко-
сти. В общем сдучае сжимаемой среды определение второго коэф-
фициента Ъ в соотношении (г) требует дополнительных соображе-
ний. Обычно постулируется, что среднеарифметическое трех нор-
мальных компонент тензора давлений Ркк равно давлению среды:
Этой предпосылки достаточно для определения коэффициента Ъ.
Действительно из (в) и (д) имеем
Это означает, что сумма трех нормальных компонент тензора вяз-
ких напряжений равна нулю (хотя каждая из этих компонент тп, т22,
т33 в общем случае отлична от нуля).
Используя последнее равенство в (г), получаем
дит дик
дхк
или
Закон сохранения импульса 27
Таким образом,
(дик duj 2 Ъит Л
[dxj дхк 3 дхт )
Это известный обобщенный закон вязкого трения Ньютона.
Физически более строгим было бы введение коэффициента
«второй вязкости» [24] по соотношению:
1 - . дит
1 и
- Pkk =pii .
3 дхт
дит
Можно показать, однако, что влияние члена ji' будет сущест-
венным лишь в условиях экстремально быстрого изменения плотно-
сти вещества (типа ситуации в ударных волнах). Однако из-за отсут-
ствия обоснованных теоретических и надежных^ опытных данных в
отношении |и/ даже в газовой динамике обычно полагают ц/ = 0.
1.4.3. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
С учетом отношения (а) уравнение A.4а) принимает вид
дРи
+
dt dxk dxk
Используя следствие из закона сохранения массы A.3) (здесь
В = Uj), находим
dut дРи
Р =- + PS/- A-46)
dt dxk
Дальнейшие преобразования связаны с рассмотрением выражения
для тензора давлений. Соотношение (в) дает
duj dp dxkl
28 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Это уравнение известно как дифференциальное уравнение сплош-
ной среды в напряжениях. (При выводе этого уравнения учтено,
что = ).
Подстановка в A.4в) выражения для тензора вязких напряжений
согласно соотношению (е) при ц = const приводит к уравнению На-
въеСтокса для вязкой сжимаемой жидкости
dui dp ( Э2«7 1 Э диЛ
р = - + \х\ + + Р?/ ¦ 0 -4г)
dt OX[ [^dxkdxk 3 axl dxkj
В случае несжимаемой жидкости второе слагаемое в круглых скоб-
ках обращается в нуль.
Наконец, приведем векторную форму уравнения НавьеСтокса
для несжимаемой жидкости
Эй 2
р + р(и V)u = -V/7 + fiV u + pg. 0-4д)
dt
Пример. Учитывая A.4) и остальные соотношения § 1.4, записать выражение
для перепада давлений при одномерном стационарном течении сжимаемой невяз-
кой среды в канале постоянного сечения (рис. 1.8).
Применяя к контрольному объему ///соотношение A.4), имеем
Но
поэтому
ХП _ и2 2
1 П\ L^2 ' " '" 1'
у///////////////////// Х1 Используя уравнение сохранения массы
где G массовый расход, имеем окончательно
г ТТ 1 а г? 11 1
Таким образом, если скорость увеличива-
Рис. 1.8. Схема одномерного ется (плотность падает), то pt > рп, если ско-
течения в канале постоянного падает (плОТ1ЮСТЬ растет) то <р
сечения
Закон сохранения энергии 29
1.5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
1.5.1. ВЫВОД В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
В движущейся сплошной среде вследствие внутреннего вязкого
трения часть механической энергии переходит в тепло. Это явление
называют вязкой диссипацией механической энергии. Вместе с тем
в условиях теплообмена происходит тепловое расширение отдель-
ных участков среды; при этом внутренняя (тепловая) энергия среды
частично переходит в механическую энергию движения.
В силу этого при формулировке закона сохранения энергии сле-
дует рассматривать полную энергию среды
1 2
е* = е + - и ,
2
т.е. сумму внутренней е и кинетической - и энергии единицы мас-
сы вещества. Аналогично вводится понятие полной энтальпии среды
h* = h + - и = е* +р/р,
2
где р и р давление и плотность среды; h = е + pi p обычная эн-
тальпия среды.
Для перехода от общих соотношений A.1) и A.1а) к уравнению
закона сохранения энергии необходимо принять: А = р е* полная
энергия единицы объема; J = Е (Jk = Ек) плотность потока энер-
гии; NA - pgfrUfr + qy, где pukgk мощность внешней массовой
силы (силы тяжести), которая в нашем рассмотрении выступает как
источник энергии (в невесомости эта часть NA = 0); qy внутрен-
ние источники тепла (эта часть NA актуальна, например, для элек-
тропроводных жидкостей).
Имеем:,
интегральное уравнение сохранения энергии
- Э(ре*)
f dV
ot
A.5)
30 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
дифференциальное уравнение сохранения энергии
+ = Р?кик~*~ Я у- A.5а)
dt дхк
1.5.2. ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ
Рассмотрим поток энергии Ек (точнее, к-ю проекцию вектора
плотности потока энергии). Через поверхность эйлерова контроль-
ного объема энергия подводится:
за счет конвективного потока полной энергии вследствие макро-
скопического движения среды puke*\
вследствие работы сил давления и вязкого напряжения в едини-
цу времени utPkl\
за счет молекулярного механизма переноса энергии qk (в одно-
компонентной среде эта часть потока энергии называется потоком те-
плоты и согласно закону Фурье определяется как qk = - А, , где
дхк
X теплопроводность).
Таким образом, плотность потока энергии (в проекции на ось хк)
Ек = рике* +UlPkl+qk. (a)
Используя развернутую запись тензора давлений Рк1, получаем
другое выражение для плотности потока энергии. Действительно,
рике* + и^к1 - рике* + Ujp&j^f- ulxkl = р ик(е* +р/р)-и1хк1.
Вспоминая определение полной энтальпии среды, получаем
Согласно последнему соотношению поток энергии через любой
элемент контрольной поверхности состоит из конвективного потока
полной энтальпии среды, работы вязких напряжений в единицу вре-
мени и молекулярного переноса энергии.
Закон сохранения энергии 31
Такая интерпретация удобна тем, что в невязкой (тл/ = 0) и нете-
плопроводной (дк = 0) среде поток энергии сводится лишь к Ек =
= pukh*, т.е. представляет собой конвективный поток полной эн-
тальпии. Такой подход широко используется в газовой динамике.
Выражение плотности потока энергии (а) или (б) представляет
интерес для анализа двухфазных систем. Поскольку эта величина
определяет поток энергии, переносимой через любую контрольную
поверхность, выражение Ек может быть использовано для анализа
переноса энергии через поверхности раздела фаз. Такой анализ при-
водится в следующих разделах.
1.5.3. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Запишем уравнение A.5а) с учетом (а)
Э(ре*) Э(р^е*) d(PkluI) dqk
+ = + pgk uk + qy.
dt dxk dxk dxk
Используя соотношение A.3), имеем
de* dPkl dqk duj
P =-«/ V~-T~-P*/ + Qgkuk + qv. A.56)
ш oxk oxk oxk
Умножив на иi уравнение сохранения импульса A.46), получим
соотношение баланса кинетической энергии
du, dPkl
PU; =-Ul+pillgl.
at dxk
„ 2
1ак как ulul = ukuk = u , то
dpki
+ p A.5b)
dt
32 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Вычитая из уравнения сохранения полной энергии A.56) урав-
нение сохранения кинетической энергии A.5в), получаем уравнение
баланса внутренней энергии
0-5г)
de
r\
P f -
dt
Далее имеем
D
pkiT~ =
дхк
Рк1-
U дхк
[
дик
р -1
дхк
Используя последнее
д_Як .
дхк
ди,
дхк
1
= Р ~
V
соотношение
dv
dt~
вA
ди,
U дхк
.5г), получаем
(de dv\ dui dqk .
p [~Z+pt) =TklT~~^ + qv A-5д)
Vd^ . dt) дхк дхк
Теперь видно, что это обычная запись уравнения первого закона
термодинамики: приращение внутренней энергии плюс работа рас-
ширения равны подводимому теплу. Последняя величина склады-
вается из тепла, подводимого извне через поверхность единичного
dqk д (. ЭТ)
контрольного объема - = Л , и тепла, выделяюще-
дхк дхк{ дхк)
гося внутри объема: %к1 ? которое представляет собой интен-
дхк
сивность вязкой диссипации кинетической энергии потока, и внут-
ренних источников тепла qv.
Для р = const и в отсутствие внутренних источников тепла
(qv = 0) это уравнение упрощается:
dh Ъщ dqk
Р =т*/ -Г"- ^ A.5е)
d^ дхк дхк
Поскольку при р = const dh = cpdT (с изобарная теплоем-
кость), то при замене qk согласно закону Фурье уравнение A.5е) по-
зволяет найти поле температур в однородной среде.
Законы сохранения для смесей 33
Пример. Одномерное стационарное невязкое течение нетеплопроводной жид-
кости (см. рис. 1.6).
Из уравнения A.5) для рассматриваемых условий имеем
F
так как Ек = Е{ = ри1 /г*, то
=0>
т.е. имеем:
(pulFh*)J = (pulFh*)n = pWjF/г* = const.
Поскольку Qu{F = const, то окончательно: /г* = const.
Таким образом, в рассмотренном примере закон сохранения энергии приводит
к выводу о постоянстве полной энтальпии потока в канале переменного сечения.
1.6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ СМЕСЕЙ
1.6.1. БИНАРНЫЕ СМЕСИ
В предыдущих параграфах объектом анализа была однокомпо-
нентная сплошная среда. Настоящий параграф посвящен рассмотре-
нию законов сохранения для сплошной среды смеси. (Например,
влажный воздух как смесь воздуха и пара, растворы двух жидко-
стей, растворы твердого вещества в жидкостях). Анализируя, огра-
ничиваемся случаем, когда в объеме среды не происходит химиче-
ских реакций (гомогенных реакций), а смесь является бинарной.
Обозначим компоненты бинарной смеси верхними индексами
«а» и «Ь». Состав смеси может быть задан в виде объемной концен-
трации массы компонентов (парциальной плотности компонентов)
Р = Р* + Р* (а)
или в относительных массовых долях, так называемых массовых
концентрациях
1=С" + С\ (б)
Здесь ра и р количество вещества а и Ь в единице объема сме-
си; р плотность смеси; Са = р^/р, СЬ = р^/р массовые кон-
центрации компонентов смеси.
34 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Известно, что применяются и иные формы задания концентра-
ции: молярные концентрации и объемные доли. В данном курсе они
не используются.
Введенные выше законы сохранения массы импульса и энергии
остаются справедливыми в своей общей форме записи также и для
смеси в целом. Специфика того, что перенос энергии и импульса
молекулярным путем в смеси происходит несколько иначе, чем в
однокомпонентной среде9 находит свое отражение в конкретном ви-
де потока энергии ёк и вязких напряжений xkl. Эти выражения рас-
сматриваются ниже.
Поскольку для бинарной смеси число переменных увеличивает-
ся на единицу (дополнительной зависимой переменной является
концентрация одного из компонентов), должно существовать еще
одно уравнение, которое совместно с уже выведенными законами
сохранения образует математическое описание процессов в смеси.
В качестве этого дополнительного уравнения выступает уравнение
диффузии, в основе которого лежит закон сохранения массы компо-
нента бинарной смеси.
Выведем это уравнение. Используя общую форму записи законов
сохранения, рассмотрим массу компонента а. Тогда имеем: А = ра
плотность компонента; J = Ja массовый поток компонента смеси
через эйлерову контрольную поверхность; NA = О масса не воз-
никает и не исчезает в объеме смеси.
Имеем:
интегральная форма закона сохранения массы компонента
kadFk; A.6)
V Bt F
дифференциальная форма
да" dJka
dt дхк
Аналогичные выражения можно записать для ^-компонента.
Например,
dt
Законы сохранения для смесей 35
Потоки Ja и J можно представить состоящими из двух частей.
Перенос вещества а или Ъ через элемент поверхности эйлерова объ-
ема прежде всего связан просто с движением смеси, как целого, со
скоростью и. Соответствующие величины равны, очевидно:
и представляют собой конвективные потоки массы компонентов
смеси. Вторая часть потоков Ja и J обусловлена молекулярным пе-
ремешиванием компонентов (диффузией). Диффузионные потоки
будем обозначать символами \а и j .
Итак,
Та а .а л
J =p u+j ; I
г (в)
J = p u+j J
Поскольку сумма Ja+J = р и, из последних соотношений сле-
дует, что \а + j =0.
Таким образом, дополнительное уравнение диффузии, представ-
ляющее собой закон сохранения массы компонента смеси, имеет
вид (в дифференциальной форме)
0.66,
dt dxk дхк
Аналогичный вид имеет уравнение для второго компонента, но оно
не дает новых сведений, так как является следствием уравнения со-
хранения массы смеси в целом и уже записанного соотношения для
компонента а.
Итак, в бинарной смеси (при отсутствии гомогенных химиче-
ских реакций) выполняются общие для сплошных сред законы со-
хранения массы, импульса и энергии, а также закон сохранения мас-
сы компонента (уравнение диффузии). Совокупность уравнений,
выражающих законы сохранения для бинарных смесей, дана (с ис-
пользованием общего соотношения A.1) или A.1а)) в табл. 1.1 и 1.2.
Подчеркнутые величины в табл. 1.2 это молекулярные пото-
ки массы компонента fk , «вязкой» составляющей /-проекции им-
пульса %к1 и энергии ек. Они обусловлены необратимыми процесса-
36
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Таблица 1.1. Величины, входящие в
уравнения законов сохранения для
бинарных смесей
Закон
сохранения
массы (смеси)
массы компо-
нента а
импульса
энергии*
А
Р
р"
ри/
ре,
h
рик
Ек
NA
0
0
pgk«k + qv
* В уравнении энергии ввиду малого
значения кинетическая энергия диффузии не
учитывается. Эта величина квадратична от-
носительно диффузионных потоков:
Таблица 1.2. Расшифровка значений
ПОТОКОВ Jk
Поток Jk
массы (смеси)
массы компо-
нента J,
/-проекции им-
пульса Щ/
полной энер-
гии Ек
Развернутая запись
рик
а .а
р uk+h
рики, + РЬкГхк1
puke* + Pklul + ej
ми молекулярного перемешивания в объеме смеси. Эти молекуляр-
ные потоки определяют специфику бинарных смесей по сравнению
с однокомпонентной средой. Для замкнутого описания процессов
необходимо иметь развернутые выражения для потоков jk ,%к1иёк.
1.6.2. МОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПОТОК МАССЫ КОМПОНЕНТА В СМЕСИ
Основной причиной появления молекулярных потоков массы
компонентов в смеси является неоднородность их концентраций.
Вследствие молекулярного перемешивания смеси осуществляется
перенос вещества данного компонента из области с более высокой
концентрацией в область с пониженной концентрацией. Этот про-
цесс описывается законом концентрационной диффузии законом
Фика (который во многом похож на закон теплопроводности Фурье):
f =-pDVC° =-pD
dxt
(r)
Законы сохранения для смесей
37
где D коэффициент взаимной диффузии, который обычно для
данной пары веществ практически не зависит от концентрации, м2/с
(знак «минус» отражает взаимообратную ориентацию векторов гра-
диента и потока).
Однако, строго говоря, закон молекулярной диффузии в общем
случае имеет существенно более сложный вид. Перенос массы ком-
понентов в смеси происходит также под действием градиентов тем-
пературы и давления. Соответствующие эффекты именуют термо-
и бародиффузией. Общее выражение для ]а и j имеет вид:
а _
J = -9D


^
Т
Р
rrba
(д)
Безразмерные коэффициенты термодиффузии Кт и бародиффу-
зии К зависят от концентрации и при переходе к чистому одноком-
понентному веществу обращаются в нуль:
0; К,
0.
1)
rr T^ab T~ba T,ab T^ba ~
Кроме того, очевидно, что Кт = -Кт ; Кр = -Кр . Это сле-
дует из условия \а + j =0. Эффекты бародиффузии обычно на
практике совершенно незначительны и с полным основанием мо-
гут не учитываться. Заметное влияние эффекты термодиффузии
могут оказывать в газовых смесях при существенно различной мас-
се молекул (водородфреон и т.п.), значительных температурных
градиент а! и средних концентрациях компонентов. Все эти усло-
вия одновременно имеют место не часто. Поэтому во многих слу-
чаях могут быть опущены и термодиффузионные эффекты. Тогда
мы возвращаемся к соотношениям (г) закона Фика. Именно эти
случаи и будут рассматриваться далее.
38 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
С учетом выражения для fk уравнение конвективной диффузии
A.66) принимает вид
1.6.3. ВЛИЯНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТОКОВ МАССЫ НА ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА
И ЭНЕРГИИ В СМЕСИ
В бинарной смеси поверхность эйлерова контрольного объема
пересекают не только конвективный поток смеси, но и молекуляр-
ные потоки массы компонента, которые переносят импульс и
энергию. Это и вносит особенности в выражения для тензора вяз-
ких напряжений и вектора плотности молекулярного потока энер-
гии в смесях.
Потоки массы компонентов смеси:
обусловливают перенос импульса, определяемый выражениями:
J- тата . J_ ть ть
JkJl > , JkJl
p p
(аналогично выражению pukuj=- (рм^Хрм/) для однокомпонент-
Р
ной среды).
Раскрывая выражения Ja и J , имеем
/ п Ьк , .а ,6ч / м .Ь^ 1 ,а .а А .Ъ Ъ
(р +р )ukul+ul(Jk+jk) + uk(j +J) + JJ +J
a b
Первое слагаемое равно pukui, т.е. представляет собой перенос им-
пульса сплошной среды вследствие конвекции. Второе и третье сла-
гаемые равны нулю, так как \а + j =0. Два последних определяют
искомый перенос импульса вследствие диффузии. При \а = - jЬ = 0
эти слагаемые исчезают. Однако молекулярный перенос импульса
Законы сохранения для смесей 39
(из-за вязкости среды) остается, так что строгое выражение для вяз-
ких напряжений в смеси при наличии диффузии имеет вид
t.a .а .Ъ .Ь\
~7+Уу (е)
о
где хк1 касательное напряжение, выраженное через динамиче-
скую вязкость смеси. Добавка за счет диффузионных потоков квад-
ратична относительно малых величин \а и j и потому обычно не-
существенна.
Таким образом, вязкие напряжения в бинарной смеси с хорошим
приближением можно выражать в той же форме, которая использо-
валась для однокомпонентной среды. При этом динамическая вяз-
кость \х в таком соотношении приобретает смысл вязкости смеси
\ха . Ее значения для различных бинарных смесей приводятся в
справочниках. Правило аддитивности для \ха не выполняется. Из-
вестны теоретические и полуэмпирические формулы, выражающие
аЪ а Ъ
\х через |ы , jut и концентрацию компонентов.
Поток энергии е, переносимый молекулярным путем при на-
личии диффузионного переноса вещества, должен включать з себя
перенос энергии за счет диффузии. В этих условиях (из-за прони-
цаемости контрольной поверхности, относительно которой дан-
ный поток энергии рассматривается) понятие потока теплоты ста-
новится неоднозначным и его применение может привести к раз-
личным двусмысленностям и недоразумениям. Поэтому при ана-
лизе процессов в смесях предпочтительнее использовать понятие
потока энергии, переносимого молекулярным путем, а не потока
теплоты. (Мы пишем е, а не q.)
Выражение для потока энергии в бинарной смеси имеет вид
е = -Л VT+h j +h j . (ж)
Первый член имеет структуру закона Фурье, причем здесь исполь-
зуется теплопроводность смеси, которая задается в таблицах
свойств смесей; для нее существуют приближенные соотношения,
позволяющие найти Ха по Ха и ХЬ и концентрации (правило адди-
тивности обычно не выполняется). Два следующих слагаемых ха-
40 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
рактеризуют перенос энергии за счет диффузии. Величины ha и hb
представляют собой парциальные энтальпии компонентов (см. тер-
модинамику растворов) h = haCa + h С .
Для газов при не очень высоких давлениях ha = ha0, h = Ао,
т.е. парциальные энтальпии равны энтальпиям чистых компонентов
(идеальные смеси). В жидких смесях при растворении компонентов
выделяется теплота смешения, отличная от нуля (неидеальные сме-
си). В этих условиях ha Ф hа0, h *h0.
Выражение для потока энергии (ж) можно записать, используя
равенство f + j = 0, в виде
e = -XabVT+(ha-hb)ja.
Ранее такая форма записи была популярна. При этом величина ё
нестрого именовалась «потоком тепла», а разность (ha - h ) называ-
лась «теплотой переноса» вследствие диффузии.
Для газов энтальпия смеси h практически не зависит от давле-
ния. Используя известное в термодинамике растворов выражение
для полной производной энтальпии смеси прир = const:
(dh\ a а Ъ Ъ
и выражение закона Фика \а = - pD VCa, j = - р D VC , находим, что
fdh\ 1 а.a rb.b.
VA = VT- (h j + h j ).
\oTJc pD
Отсюда имеем
*Y + *V = p0At1 vr-Pz)VA.
\6TJc
Величина I I = cap называется «замороженной» теплоемко-
стью, т.е. теплоемкостью при неизменном составе. Для идеальных
смесей (применимо для смеси газов)
a b a si a b ^b
ср =срС +срС .
Универсальные условия совместности 41
В итоге исходное соотношение (ж) принимает вид
ё = -Xab(l-Le)VT-pDVh.
Здесь введено число ЛьюисаСеменова*
pDc D
I ел
Lc ,
л ab ab
X a
ab
где а температуропроводность смеси.
Удобство новой записи состоит в том, что для многих газо-
вых смесей число Le ~ 1. Полагая Le = 1, находим, что поток
энергии в бинарной газовой смеси определяется лишь градиен-
том энтальпии смеси
ё = -pDVh.
В жидкостях такого рода преобразования не дают существенных
выгод. При этом следует иметь в виду, что для жидкостей из-за мало-
го коэффициента диффузии и относительно большой теплопроводно-
сти (Le « 1; D « а ) обычно оправдано приближение, не учиты-
вающее диффузионного переноса энергии. Применимость этого за-
ключения требует конкретных оценок для тех или иных условий.
1.7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
1.7.1. СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ФАЗ
При феноменологическом подходе граница раздела фаз рассмат-
ривается как геометрическая поверхность, разделяющая области
с резко отличными свойствами (фазы). Такого рода поверхности на-
зывают поверхностями сильных разрывов [34]. В общем случае
межфазная граница проницаема для вещества (фазовые переходы),
импульса (относительное движение фаз) и энергии (теплообмен и
фазовые переходы). При описании условий межфазного взаимодей-
ствия важное значение имеет понятие скорости движения поверхно-
сти раздела фаз в пространстве.
Если через движущуюся поверхность раздела фаз происходит
перенос вещества (фазовые переходы), то скорости движения по-
* Иногда этому названию ставят в соответствие обратную величину.
42
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
g
-*~ кристаллизации
I
ttttft
_ _ _ _ _ с
//////////////У/.
б)
Рис. 1.9. Схема движения в пространстве фронта кристаллизации жидкости
(а) и фронта испарения (б)
верхности нельзя поставить в соответ-
ствие скорости каких-то материаль-
Л ^, S'(t+At) ных частиц той или иной фазы.
На рис. 1.9 в виде примеров пока-
заны качественные схемы движения
фронта кристаллизации жидкости
(рис. 1.9, а) и фронта испарения
(рис. 1.9, б). Во втором случае предпо-
лагается, что нижняя и боковые стен-
ки сосуда адиабатны, тепло к свобод-
ной поверхности жидкости подводит-
ся сверху за счет излучения qn.
Скорость движения границы С в обоих случаях не совпадает
со скоростями фаз у границы. В случае а твердая фаза неподвижна
(ит = 0), в жидкости может иметь место свободная конвекция, но
иж ^ С. В случае б неподвижна жидкая фаза (иж = 0), образую-
щийся пар поднимается вверх (иг > 0), поверхность раздела пере-
мещается вниз (С < 0).
В общем случае скорость перемещения границы (поверхности
разрыва) в некоторой точке М в системе координат {хк} определяет-
ся соотношением (рис. 1.10)
Рис. 1.10. К определению ско-
рости движения границы
раздела фаз
C=n°
ton ^
< о At
dt
A.7)
или
C=|C|-n°,
Универсальные условия совместности
43
где п° единичный вектор нормали, проведенной из данной точки
поверхности в сторону перемещения границы; An = MN расстоя-
ние вдоль нормали между исходной точкой Ми новым положением
границы; \С\ модуль вектора С.
Выведем соотношение для С при условии, что уравнение по-
верхности раздела фаз (поверхности разрыва) задано в аналитиче-
ской форме. Уравнение поверхности имеет вид
<ЗД, г@] = 0, (*)
где г (t) радиус-вектор, проведенный из начала координат к дан-
ной точке поверхности.
Дифференцируя уравнение (*), находим
ЭФо дФаЭг
? , ? U * _ А
Э^ Эг dt
Отсюда
Эг _
Имея в виду определение A.7), скорость поверхности С опреде-
ляется как dr/dt, если приращение радиус-вектора г происходит
вдоль нормали и к поверхности (см. рис. 1.10). Тогда производная
ЭФе ЭФг
Эг Эп
Следовательно,
С =-
d<$>s/dt
УФ,
A.8)
Модуль скорости границы: | С\ = \ л/С I, т.е.
ЭФ<
\С\ =
dt
A.8а)
44
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Единичный вектор п°, определяющий направление скорости, нахо-
дится из выражения
Соотношения A.8) и A.8а) правомерны при рассмотрении дви-
жения границы в любой системе координат как декартовой, так и
криволинейной ортогональной (например, сферической). Ниже эти
соотношения даны для декартовой системы координат и приведены
примеры их использования.
В декартовой системе координат:
ЭФ
S .
дхк
дхк дхк
Соотношения A.8) и A.8а) принимают вид:
дФ8 дФ8/дхк
A.9)
дхк дхк
\С\ =
A.9а)
дхк дхк
Пример 1. Найти выражение для скорости движения поверхности раздела фаз,
показанной на рис. 1.11.
Рис. 1.11. Волновое движение границы
раздела фаз
Универсальные условия совместности
45
Величина h(t, х{) есть известная функция времени и координаты х}. Напри-
мер, если по поверхности распространяется прогрессивная волна, то h = h0 +
+ a sin(&x - со t) (см. гл. 3).
Уравнение поверхности
Поэтому
dt dt'
Имеем:
2 2 dx, l !
\C\ =
dh/dt
n" =
dh/dt
\dh/dt\
'1 +
dx,
Пример 2. Сферический паровой пузырек в жидкости изменяет свой объем (за
счет фазового перехода). Известна зависимость Rs(t). Найти скорость движения
границы (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Схема роста парового пузырька в объе-
ме жидкости _
46
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Уравнение границы:
<&s=Rs(t)-r = O.
Находим:
ЭФС
dt ~ dt '
Имеем:
dRQ
С =
dt
\с\ =
dt
dRs/dt
d/
Этот результат, конечно, можно было получить сразу из физических соображений
ввиду его простоты.
1.7.2. СОБСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА
Пусть известно, что в точке М на межфазной поверхности ско-
рость движения поверхности относительно лабораторной системы
координат {хк } равна С (рис. 1.13, а). Если теперь поместить в точ-
ку М начало новой координатной системы {п, т}, которая движется
со скоростью С, то в этой новой системе отсчета точка М оказывает-
ся неподвижной (рис. 1.13, б). Такая система координат, «привязан-
а) б)
Рис. 1.13. Граница раздела в лабораторной (а) и собственной (б) системах
отсчета
Универсальные условия совместности 47
ная» к данной точке поверхности раздела фаз, называется собствен-
ной системой отсчета. При этом одну из ее осей целесообразно на-
правлять по нормали к поверхности ось п, другие оси располо-
жить в плоскости, касательной к поверхности. На рис. 1.13, б изо-
бражен плоский случай, которому соответствуют оси п и т.
Дифференциально малый элемент межфазной поверхности в ок-
рестности точки М всегда может рассматриваться с достаточной
точностью как плоский (см. рис. 1.13, б) при любой плавной форме
очертания границы (без изломов).
Введенная в рассмотрение собственная система отсчета позво-
ляет определить так называемые универсальные условия совместно-
сти на границе раздела фаз (на поверхности разрыва).
1.7.3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ
В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
Построим в собственной системе отсчета вокруг точки М кон-
трольный эйлеров объем AF(h' + h"), который состоит из малых
объемов соприкасающихся фаз AF/z' и AFh" и содержит элемент
межфазной поверхности площадью AF (рис. 1.14).
Запишем для этого объема общее соотношение законов сохране-
ния в интегральной форме
\d-?dV+\jkdFk=\NAdV.
vdt f v
Если теперь устремить И и h" к нулю, то первый интеграл ле-
вой части уравнения сохранения стремится к нулю:
+ AFh' -0;
1
1
1
1
г
1
п
т
1
1
1
h"
h" О О Г Л' о
второй интеграл при тех же условиях
[ Jk dFu = AF(J"-J'),
F , ^ Рис. 1.14. Контрольный
объем в окрестности точ-
т.е. при h" -* О, К -> 0 остается конеч- ки д/ на поверхности раз-
48 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Наконец, интеграл правой части
J NA dV = AF h"N^ + AF W NJ + AFNF
A'->0
при ti > 0, h" -» 0 стремится к AFNF, где Л^ есть поверхност-
ная плотность возникновения свойства А на поверхности раздела
фаз, которая может быть отлична от нуля (см. ниже).
Таким образом, при стягивании объема &F(h" +h') к плоской по-
верхности AF из общего соотношения законов сохранения получаем
Это соотношение представляет собой общую форму записи
универсальных условий совместности на границе раздела фаз: раз-
ность нормальных проекций потоков свойства А по обе стороны
границы равна поверхностной плотности возникновения свойства
А на границе. Подчеркнем, что соотношение записано в собствен-
ной системе отсчета.
Из вывода непосредственно следует, что универсальные усло-
вия совместности есть просто специфическая форма записи общих
законов сохранения применительно к межфазной поверхности (или,
иначе, к поверхности разрыва).
Для сокращенной записи разности одноименных величин по обе
стороны границы раздела фаз (поверхности разрыва) будем исполь-
зовать далее символ «прямые скобки»:
= Т" -Г;
[«и! = и"п ~ К
и т.д. После введения этого сокращения общая форма записи уни-
версальных условий совместности принимает вид
[Jn}=NF. A.10a)
Из вывода этого соотношения видно, что потоки Jn свойства А
должны записываться в собственной системе отсчета.
Универсальные условия совместности 49
1.7.4. РАЗВЕРНУТАЯ ЗАПИСЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ СОВМЕСТНОСТИ
Для записи универсальных условий совместности в развернутом
виде нужно лишь конкретизировать Jn и NF. Сделаем это сначала
для однокомпонентных систем.
Поток массы. Масса вещества не может возникать (исчезать) на
поверхности. Поэтому NF = 0; Jn = рИп, где ип нормальная
проекция скорости данной фазы, причем сама скорость определена
в собственной системе отсчета (на что указывает индекс «тильда»).
Иначе говоря, ип скорость частиц данной фазы по нормали к эле-
менту межфазной границы при «наблюдении» этого движения из
системы координат, «привязанной» к границе.
Имеем:
[рй„]=О. A.11)
Это соотношение определяет материальный баланс на границе раз-
дела фаз.
Поток импульса. В собственной системе координат {п, т1?т2}
компоненты тензора плотности потока импульса имеют вид:
Ппп перенос вдоль нормали к поверхности нормальной про-
екции импульса;
IIWT перенос вдоль нормали к поверхности касательной %х
проекции импульса;
Т\пх перенос вдоль нормали к поверхности касательной т2
проекции импульса;
Пт т , Пт т , Пт т не дают вклада в перенос импульса вдоль
Т1Т1 Т2Х2 Т2Т1 г
нормали п к поверхности.
Таким образом, необходимо рассматривать перенос нормальной
Ппп и касательных компонент П„т импульса через поверхность
(символом Ипх мы будем в дальнейшем обозначать тензор потока
любой из касательных компонент импульса).
На межфазной границе, разделяющей две жидкости или жидкую
и паровую фазы, действует поверхностное натяжение, которое при
50 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
наличии кривизны границы вызывает поверхностную плотность
возникновения нормальной компоненты импульса NF = 2оН, где
Н средняя кривизна поверхности; а коэффициент поверхност-
ного натяжения (подробнее см. гл. 2).
Итак,
[П„„] = 2аЯ. A.12)
Для касательных компонент NF = 0 (если а не изменяется
вдоль поверхности), следовательно,
[П„т] = 0. A.13)
Поток энергии. Если в системе отсутствует лучистый или иной
внешний подвод энергии к границе раздела фаз, то следует считать,
что поверхностная плотность возникновения энергии равна нулю:
Имеем:
[/g-o. (U4)
Совокупность соотношений A,11)A.14) представляет собой
искомые универсальные условия совместности на межфазной по-
верхности (поверхности разрыва) в однокомпонентных двухфазных
системах.
Развернутые выражения потоков Т1пп> Ппх и Еп в собственной
системе отсчета имеют следующий вид:
Mn s puju- iifini т qn (суммирование по / = и,х),
где
r , S
A* =/? + .
2
* Изменение избыточной свободной энергии поверхности раздела фаз (da/d/) во всех
практически важных случаях может не учитываться.
Универсальные условия совместности 51
В бинарной двухфазной системе уравнения A.11)A.14) спра-
ведливы (с учетом анализа, содержащегося в § 1.6). При этом в вы-
ражении для полного потока энергии Еп поток теплоты qn должен
быть заменен молекулярным потоком энергии еп по соотношению
(ж) § 1.6. Кроме указанных уравнений, для бинарной системы не-
обходимо записать уравнение сохранения массы компонента на
границе раздела, т.е. еще одно универсальное условие совместно-
сти. Для компонента а имеем
[/„"]'= 0. 0.15)
где Jn = р ип +jn поток компонента а через межфазную по-
верхность.
Соотношение A.15) означает, что вещество а не возникает (ис-
чезает) на поверхности раздела фаз (поверхности разрыва).
Таким образом, в общем случае совокупность соотношений
A.11)A.15) представляет собой универсальные условия совмест-
ности на межфазных поверхностях.
1.7.5. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
Рассмотрим частные случаи записи универсальных условий со-
вместности для однокомпонентных систем,
1. Обе фазы невязкие, нетеплопроводные (т ~ 0, q - 0), влиянием
поверхностного натяжения можно пренебречь (су - 0),
Имеем:
для потока массы [рип] = 0, т,е,
р"~и"п = р'й'„ = т
поток массы, пересекающий единичную площадку поверхности
раздела фаз;
для нормал! ной компоненты потока импульса
l = 0;
52 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ ^^^^
для касательной компоненты потока импульса
р"и"пи"х-р'и'пи'х = т[их] = 0,
т.е. [их] = 0;
для потока энергии
+ ^1=0.
2
Это так называемые условия РенкинаГюгонио, лежащие в основе
газодинамики разрывных течений (ударные волны, скачки уплотне-
ния и т.д.).
2. Скорости фаз \Тл\ « Сзв {где Сзв скорость звука в паре),
т.е. фазовые переходы, происходящие в системе, имеют умеренную
интенсивность (следует отметить, что это условие удовлетворяется
в большинстве практических ситуаций).
В рассматриваемом случае фазы считаются вязкими и теплопро-
водными. Универсальные условия совместности имеют вид:
[Р«„] =0;
т{Мп\ + [р] - [tnri] = 2g#;
т[их]-[хпх\ = 0.
В вязкой среде обычно выполняется дополнительное кинемати-
ческое условие отсутствия «скольжения» фаз на границе раздела
(подробнее ниже):
[их] =0.
Отсюда имеем
что означает равенство касательных вязких напряжений по обе сто-
роны границы. Уравнение энергетического баланса принимает сле-
дующий вид:
m[h] + [qn] =0,
причем здесь [h] = hLG теплота фазового перехода, которая пред-
полагается существенно большей по сравнению со слагаемым й /2,
Универсальные условия совместности 53
т.е. и /2 « hLG, что и дает основание опустить изменение кинети-
ческой энергии при фазовом переходе в уравнении энергетического
баланса. При испарении и конденсации [h] = hLG теплоте испаре-
ния, представляющей собой разность энтальпий пара и жидкости на
линии насыщения (hLG = h"s - h's )f. Как квадратичная по Ъ величина,
слагаемое (UjXni) также может быть исключено из баланса энергии.
3. Поверхность раздела фаз непроницаема (т = 0); обе фазы
вязкие и теплопроводные, скорости фаз намного меньше скорости
звука. Это приводит к дальнейшим упрощениям:
[их] =0;
Последнее условие означает, что поток тепла теплопроводностью
при переходе через поверхность раздела фаз не испытывает скачка.
Если фазы неподвижны и теплообмен отсутствует, то тпп = хпх =
= 0; мт = 0; qH=0.
Тогда из вышеприведенных соотношений остается лишь первое,
которое принимает вид
Это известная формула Лапласа для скачка давлений на искривлен-
ной поверхности газжидкость.
1.7.6. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ В «ЛАБОРАТОРНОЙ» СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
Соотношения A.11)A.15) получены для «собственной» систе-
мы отсчета. То же относится и к рассмотренным выше частным слу-
чаям. Между тем, в приложениях универсальные условия совмест-
* Такое обозначение теплоты фазового перехода рекомендовано Международным коми-
тетом по тепло- и массообмену. В отечественной литературе теплота испарения обозначается
обычно буквой г. В настоящей книге мы следуем рекомендации Международного комитета,
поскольку обозначение hLG указывает на физический смысл теплоты парообразования как
разности энтальпий соответствующих фаз. Кроме того, традиционное обозначение создает
некоторые неудобства, так как той же буквой обозначается радиальная координата в сфериче-
ской и цилиндрической системах координат.
54 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
ности удобно записывать не в собственной, а в лабораторной систе-
ме координат, в которой поверхность сама движется со скоростью
С. Такой переход достаточно прост. При раскрытии соотношений
A.11)A.15) следует всюду вместо скоростей писать их выражения
в лабораторной системе координат:
ип = ип-С.
Таким образом, например соотношение A.11) приобретает вид
или
Остальные величины:
где
(ип-С) и^
2 2 "
При расшифровке этих выражений задача сводится к записи в ла-
бораторной системе координат составляющих скорости ип и их, теп-
лового потока qn и компонент тензора вязких напряжений тппихпт.
Ниже приведены примеры использова-
ния этих соотношений в лабораторной сис-
теме отсчета.
Пример 1. Пусть в системе координат {х{, х2)
известна скорость межфазной поверхности \С\ и на-
правление п° (рис. 1.15) в данной точке М.
Выразить ип, wT, тпп, тпх, qn через соответст-
Х\ вующие величины в системе {х {, х2}.
Рис. 1.15. Граница раздела Выражение для п° всегда можно представить в
фаз в системе координат виДе
{xvx2} n^a^ + Pij,
Универсальные условия совместности
55
где
а =
; 0 =
направляющие косинусы нормали п.
Из условий п° 'Т°= 0; |п°| = |т°| = 1 нетрудно найти выражение для единич-
ного вектора касательной т° = Р i { - ос i2.
Нормальная и касательная к поверхности компоненты вектора скорости:
ип ={vn°)=aux + pw2;
Из определения потока теплоты (энергии), как вектора, имеем
По определению тензора*:
^« = «2^п + 2осCт12 + Э2т22;
тЙТ =артп + (Р2 -а2)т12 -аРт22.
Следовательно, все величины в собственной системе координат {я, т} легко
выражаются через соответствующие величины в лабораторной системе отсчета
{xi,x2}.
В частности, скорость фазы относительно границы
Поэтому поток вещества через поверхность раздела фаз
т =p/'{(aWJ/+P^')-C} =р'{(аи/1 + Рг/2)-С}.
Аналогично записываются остальные соотношения A.11)A.15).
* В системе координат {ук} компоненты тензора т- = (dy^dxj) (dyj/dxm) ^/w» гДе
Х1т компоненты тензора в системе {х^}. Производные Ъу^/Ъх^ зависят от взаимного рас-
положения координат («новых» {у^} и «старых» {х^}).
В нашем случае координатам {ук} соответствуют координаты {п, т}э а производные
ду/дх^ находятся из соотношений:
dt =
56
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Рис. 1.16. Рост сфе-
рического объема
фазы G) внутри
фазы B)
Пример 2. Сферический пузырек пара постоянной
плотности вследствие фазового перехода изменяется в объ-
еме с известной скоростью границы С (рис 1.16). Найти
взаимосвязь между скоростью конденсата на границе и
скоростью С. Найти аналогичное соотношение между ско-
ростью границы и скоростью пара на границе сферической
капли жидкости.
В условиях неизменной плотности внутренней фазы
(фаза 1 пар или жидкость) ее скорость в таких задачах в
сферической системе координат равна нулю: w = 0.
Условие материального баланса:
с учетом zr1^ = 0 приводит к соотношению
MB) = cli-^
которое представляет собой решение для обоих случаев.
Для парового пузырька (р^ = р"; р^ = р'; и^= и ):
V pV
т.е. скорость жидкости совпадает по направлению со скоростью границы С и лишь
немного меньше ее численно.
Для капли жидкости (при конденсации или испарении) скорость пара проти-
воположна по направлению скорости границы С и существенно больше ее
численно:
и - -
1.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
(КВАЗИРАВНОВЕСНАЯ СХЕМА)
Универсальные условия совместности, приведенные выше,
представляют собою по существу приложение общих фундамен-
тальных законов сохранения к поверхностям разрыва. Поэтому они
одинаково справедливы для самых различных классов физических
задач: фазовые переходы, газодинамические поверхности разрыва,
фронт горения или детонации и т.д. Однако для однозначной фор-
мулировки прикладных задач определенного класса (в частности,
Специальные условия совместности (квазиравновесная схема) 57
задач фазовых переходов, тепло- и массообмена в двухфазных сис-
темах) этих условий недостаточно. Для замыкания описания необ-
ходимо внести еще дополнительные, или специальные условия со-
вместности. Эти условия призваны учесть физические особенно-
сти данного класса задач.
В настоящее время для широкого круга задач фазовых перехо-
дов, тепло- и массообмена в двухфазных системах применяется так
называемая квазиравновесная схема, являющаяся основой для фор-
мулировки специальных условий совместности. Содержание квази-
равновесной схемы основано на гипотезе о том, что характеристики
соприкасающихся фаз взаимосвязаны условиями термодинамиче-
ского равновесия. Эта схема является некоторым приближением, так
как процессы фазовых переходов, тепло- и массообмена, для ко-
торых она применяется, являются, безусловно, неравновесными.
Название <<квазиравновесная» отражает приближенный характер
этой модели.
Содержание квазиравновесной схемы для ряда конкретных про-
цессов рассматривается ниже.
1. На непроницаемой поверхности специальные условия совме-
стности сводятся к следующему:
[Т]=0;
т.е. на границе раздела фаз отсутствуют скачок температур и скачок
касательных компонент скорости.
2. Фазовые переходы в однокомпонентных системах (проницае-
мая поверхность).
В этом случае сохраняются условия отсутствия скачков темпе-
ратур и касательных компонент скорости:
Кроме того, появляется дополнительное условие
Т" = Т' = Ts(p"),
где Ts температура насыщения.
58 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Таким образом, при фазовых переходах в однокомпонентных
средах температуры фаз на границе одинаковы и равны температуре
насыщения при актуальном давлении в паровой фазе. (Малой по-
правкой Томсона, отражающей изменение равновесной температу-
ры с кривизной, во многих приложениях можно пренебречь.)
3. Фазовые переходы в бинарной системе, полупроницаемая по-
верхность.
В этом случае один из компонентов фазы (например, воздух) не
растворим в жидкости (вода). При этом специальные условия со-
вместности, помимо уже привычных требований:
[Г] = 0, т.е. Г = Т"; [их] = О,
включают в себя соотношение
т.е. концентрация активного компонента в парогазовой фазе равна
равновесной при температуре поверхности и давлении в системе.
(Иначе, парциальное давление активного компонента на поверхно-
сти равно давлению насыщения вещества при температуре поверх-
ности.) Зависимости равновесной концентрации С/" от температу-
ры (рис. 1,17) для некоторых бинарных систем приводятся в спра-
вочниках; приближенно они могут быть получены расчетами, если
известна/>, Г-диаграмма для чистого активного компонента.
Найдем, к примеру, равновесную концентрацию водяного пара
в атмосферном воздухе с температурой Т'^ = 25 °С на границе с по-
верхностью водяной капли, имеющей температуру 18 °С. При этой
температуре по таблицам термодинамических параметров воды и
водяного пара определяем плотность насыщенного пара р5а" «
да 0,0154 кг/м (соответствующее давление насыщения p"s = 2,06 кПа).
Плотность сухого воздуха при давлении 100 кПа и температуре 25 °С
ры' = 1,17 кг/м', В рассматриваемых условиях смесь газов можно счи-
тать идеальной, так что искомая равновесная концентрация
Р
ра"
? s 0,0116.
Г + Р*"
Специальные условия совместности (квазиравновесная схема)
59
{р = const)
Рис. 1.17. Примерный вид зависимо-
сти от температуры равновесной
концентрации компонента а в би-
нарной смеси с полупроницаемой
поверхностью раздела
Рис. 1.18. Примерный вид диаграм-
мы фазового равновесия для би-
нарной смеси взаиморастворимых
компонентов
Если концентрация водяного пара в воздухе вдали от поверхно-
сти капли С С/"
пар из воздуха будет конденсироваться на поверхности капли.
4. Фазовые переходы в бинарной системе, проницаемая по-
верхность.
В этом случае оба компонента взаиморастворимы в обеих фазах.
Специальные условия совместности:
[Г]=0;
Са' =С?'(р,Т);
Таким образом, для бинарных смесей с проницаемой границей
накладываются определенные ограничения на концентрации каж*
дого из компонентов по обе стороны границы: эти концентрации
равны равновесным концентрациям при давлении в системе и тем-
пературе поверхности раздела фаз. Из рис. 1.18 ясно, что в общем
случае равновесные концентрации рассматриваемого компонента
а не одинаковы в жидкой и паровой фазах при фиксированных
температуре и давлении.
60 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Использование соотношений, вытекающих из квазиравновесной
схемы, позволяет составить замкнутое описание процессов.
Рассматриваемая схема тем более оправдана, чем меньше сте-
пень неравновесности реальных процессов.
1.9. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭФФЕКТЫ НА МЕЖФАЗНОЙ ГРАНИЦЕ
1.9.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Квазиравновесная схема, которая во многих практических слу-
чаях оказывается оправданной, представляет собой приближен-
ную модель. В принципиальном плане важными являются следую-
щие вопросы:
1. Каковы границы правомерности использования квазиравно-
весной модели?
2. Каковы значения возможных погрешностей при использова-
нии этой модели?
3. Каково содержание более точных специальных условий со-
вместности, учитывающих неравновесные эффекты на межфазных
границах?
Для ответа на эти вопросы необходимо располагать сведениями о
реальной природе неравновесных явлений, возникающих на границе
фаз в процессах тепло- и массообмена и фазовых переходов. Теория
таких явлений крайне сложна и еще недостаточно разработана.
Общие физические оценки показывают, что неравновесные эф-
фекты должны в первую очередь проявляться в газовой (паровой)
фазе у межфазной границы. В конденсированных фазах (жидкость,
твердое тело) отклонения от условий локального термодинамиче-
ского равновесия наступают, по-видимому, позже, при существенно
более высоких интенсивностях процессов переноса.
Теоретические расчеты пристенных неравновесных эффектов
в газовой фазе базируются на молекулярно-кинетической теории.
Основным исходным соотношением анализа является известное ки-
нетическое уравнение Больцмана. Не ставя целью далее излагать
сколь-либо подробно теорию этих эффектов (которая сейчас являет-
ся самостоятельным разделом теоретической физики и достаточно
сложна), укажем лишь на принципиальную сторону кинетического
Неравновесные эффекты на межфазной границе
61
подхода. Для этого приведем упрощен-
ную форму основного кинетического
уравнения, так называемое релаксацион-
ное кинетическое уравнение, которое со-
г Конденси-
храняет все основные черты более стро- рОванная
гого уравнения Болыдмана.
Будем рассматривать одномерный
стационарный процесс переноса (вдоль
оси хх на рис. 1.19) в газовой фазе вблизи
межфазной границы SS.
Для этого случая релаксационное ки-
нетическое уравнение имеет вид
с
фаза
Газ (пар)
Рис. 1.19. Схема расположе-
ния фаз у границы раздела
где Cj скорость движения молекул в проекции на ось Xj; /
функция распределения молекул по скоростям; f локально-рав-
новесная функция распределения молекул по скоростям; т время
релаксации, имеющее порядок величины среднего времени свобод-
ного пробега молекул между столкновениями.
При наличии переноса тепла, импульса или массы вдоль оси х1
действительная функция распределения/ у поверхности изменяется
вдоль координаты хх. Это обусловлено тем, что при наличии про-
цессов переноса функция распределения на поверхности (т.е. при
хх -* +0) неравновесна, причем эта неравновесность имеет специ-
фические черты, обусловленные механизмом обменных процессов
на межфазной поверхности.
Качественный характер пристенной неравновесности может
быть объяснен с помощью следующих соображений. При передаче
тепла от газа к стенке имеется различие в спектрах молекул, летя-
щих из объема к стенке и движущихся после отражения стенкой
в направлении объема газа. Падающий спектр содержит более быст-
рые («горячие») молекулы по сравнению с отраженным. Функция
распределения/может быть подразделена на две части/ ,/ , отве-
чающие отраженным и падающим молекулам, причем / Ф / . Та-
ким образом, распределение молекул по скоростям носит как бы
62
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Г

о
'1
Рис. 1.20. Примерный вид
функции распределения
в окрестности границы
раздела фаз
разрывный характер (т.е. различно для
С! > 0 и Сх < 0). Условно эта разрывность
показана на рис. 1.20.
Аналогичное положение имеет место
при переносе импульса и вещества. При
переносе касательной составляющей им-
пульса в падающем и отраженном спек-
трах молекул содержится разный «запас»
касательной составляющей импульса га-
за. В процессе переноса массы (конден-
сация, испарение) падающий и отражен-
ный спектры молекул переносят разную плотность вещества (их
разность и определяет результирующий поток вещества). Таким об-
разом, состояние газа (пара) на поверхности неравновесно и эта не-
равновесность усиливается по мере повышения интенсивности про-
цессов переноса. По мере удаления от поверхности разрывный ха-
рактер в распределении молекул постепенно утрачивается за счет
«перемешивания» молекул вследствие их столкновений. Такой про-
цесс, строго говоря, носит асимптотический характер, т.е. пере-
строение функции распределения происходит плавно с затухающей
интенсивностью по мере удаления от поверхности. Основное изме-
нение, однако, приходится на весьма тонкий слой у поверхности,
эффективная толщина которого имеет порядок средней длины про-
бега молекул. Этот слой называется слоем Кнудсена. В плотных га-
зах и парах, характеризующихся малыми числами Кнудсена
Кп = ^ « 1,
где /мол длина свободного пробега молекул; L линейный мас-
штаб области, охваченной процессами переноса в газовой фазе (тол-
щина пограничного слоя Прандтля, поперечное сечение канала
и т.д.), толщина слоя Кнудсена совершенно ничтожна по сравнению
с макроскопическими геометрическими масштабами задачи (их от-
ношение имеет порядок числа Кп). Однако анализ процессов в слое
Кнудсена дает возможность найти уточненные неравновесные мак-
роскопические граничные условия на межфазной поверхности.
За пределами слоя Кнудсена действительная функция распреде-
ления/также в общем случае не совпадает с локально равновесной
/ , однако здесь характер неравновесности иной. Функция распре-
Неравновесные эффекты на межфазной границе
63
II
деления не носит более разрывного характе-
ра, и ее отличие от равновесной связано с т
переменностью осредненных (макроскопи-
ческих) характеристик газа в пространстве ' '
(градиенты температур, скорости газа и т„
т.д.). В этой области оказываются право- т
мерными феноменологические законы пе- с
реноса тепла (закон Фурье), импульса (за-
кон вязкого трения Ньютона) и вещества
(закон диффузии Фика). В слое Кнудсена Рис 121 Поле темпера.
эти законы не выполняются. Таким обра- тур в слое кнудсена и на-
зом, схема пристенной области, условно вье-стоксовой области
изображенная на рис. 1.21, состоит из слоя
Кнудсена /, к которому примыкает область сплошной среды //.
В ней выполняются уравнения НавьеСтокса. Часто эта область
называется навъе-стоксовой областью.
В большинстве реальных ситуаций интенсивность процессов
переноса по сравнению с интенсивностью молекулярного переме-
шивания и молекулярными обменными процессами оказывается не-
высокой. Для этих условий сами отклонения функции распределе-
ния от локально-равновесной оказываются также небольшими:
J ~~ J eq J eq
и тогда можно в теоретическом анализе использовать только первые
степени отклонения от равновесия (и опускать более высокие степе-
ни, как бесконечно малые величины). Такая операция называется
линеаризацией, а основанная на ней неравновесная теория ли-
нейной теорией.
Прежде чем переходить к рассмотрению результатов линейной
теории неравновесных эффектов на межфазных границах, целесооб-
разно остановиться еще на следующем моменте. Для практических
приложений детальное описание полей температур, скоростей и т.д.
в слое Кнудсена не представляет интереса из-за весьма малых раз-
меров этого слоя. Поэтому результаты теоретического описания
обычно представляют в специфической форме. Содержание этого
приема рассмотрим на примере передачи тепла через непроницае-
мую поверхность. На рис. 1.21 схематически показано полученное
теоретически действительное распределение температуры газа у по-
верхности, включая слой Кнудсена. Пунктиром показана экстрапо-
ляция температурного поля из внешней области (из навье-стоксовой
64 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
области) к поверхности. Соответственно, имеется действительный
температурный скачок на поверхности АГС = Г" - Гс' и экстраполи-
рованный (или фиктивный) скачок температур AT = Г"@) - Т'с.
Здесь Г" действительная температура газа на поверхности;
Г"@) экстраполированное значение температуры газа на поверх-
ности (фиктивная величина).
Для практики достаточно иметь значение экстраполированного
скачка температур Г"@) - T'Q9 ибо по нему может быть построено
правильное распределение температур во всем объеме газа (за ис-
ключением несущественного в приложениях тонкого слоя Кнудсе-
на) на основе обычных уравнений сплошной среды. Поэтому для
приложений важны значения экстраполированных параметров газа
на поверхности. Действительные значения представляют лишь тео-
ретический интерес*.
В последующих разделах под параметрами газа на поверхности
понимаются именно экстраполированные величины.
1.9.2. ПЕРЕНОС ТЕПЛА ЧЕРЕЗ НЕПРОНИЦАЕМУЮ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛА ФАЗ
При отсутствии переноса массы (непроницаемая граница) вблизи
поверхности раздела фаз перенос тепла осуществляется теплопро-
водностью. Неравновесная линейная кинетическая теория для таких
условий приводит к заключению, что температура газа на поверхно-
сти Г"@) не равна температуре конденсированной фазы на поверх-
ности Г @) (Т'с на рис. 1.21). Скачок температур Г"@) - Г @) ока-
зывается пропорциональным тепловому потоку у поверхности в га-
зовой фазе:
, (ЭТ\
?=-М
\6nJn - 0
Итоговое соотношение кинетической теории для скачка темпе-
ратур содержит также коэффициент энергетической аккомодации а,
который отражает эффективность энергообмена при соударении и
отражении молекул газа от поверхности конденсированной фазы.
* Часто в литературе (в основном в прикладных руководствах и пособиях) об истинных
параметрах и скачках вообще не упоминается.
Неравновесные эффекты на межфазной границе 65
Этот коэффициент был введен Кнудсеном в 1911 г., и его определе-
ние имеет вид
F - F
_ отр пад
ОС ,
F -Е
где Етд энергия падающего на поверхность потока молекул;
Еотр энергия отраженного от поверхности потока молекул; Ес
энергия отраженного потока в случае, если газ находится в равнове-
сии с поверхностью и имеет температуру поверхности. Значения а
могут изменяться от 0 до 1. При а = 1 имеет место наиболее полный
обмен энергией. Коэффициент энергетической аккомодации должен
зависеть от рода газа, материала и состояния поверхности. Опытные
данные показывают, что в обычных условиях а ~ 0,91.
Итоговое соотношение линейной кинетической теории [18] име-
ет вид
а
Г"@)-Г@)
где [email protected]) = безразмерный температурный скачок
Я Я г
на поверхности; q = = безразмерный тепловой по-
ток на поверхности; Rt газовая постоянная.
В качестве характерной температуры Г, входящей в безразмер-
ные параметры 8и|, можно брать любую из температур фаз, т.е.
Г«Г@)«ГЧ0).
Положительное значение поток тепла q в соотношении A.16)
имеет при передаче тепла от поверхности к газу.
При а = 1 из соотношения A.16) следует, что
[email protected]) =-1,05?. A.16а)
Целесообразность записи приведенных соотношений в безраз-
мерной форме видна из следующих соображений. Масштабная ве-
личина для потока тепла q* пропорциональна одностороннему по-
току энергии, переносимому через единичную контрольную поверх-
66 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
ность за счет теплового движения молекул газа. Это заключение
становится понятным, если записать д* в форме:
q* = RiP"CjenJ,
где Степл = j2RiT наиболее вероятная тепловая скорость движе-
ния молекул газа (которая, как известно, имеет порядок скорости
звука в газе); Rt газовая постоянная.
Поэтому отношение
q = q/q*
имеет смысл параметра неравновесности в процессе передачи теп-
ла в газе. Таким образом, приведенное соотношение A.16) есть
уточненное специальное условие на поверхности раздела фаз, кото-
рое при строгом подходе должно заменять приближенное соотноше-
ние квазиравновесной схемы: [Т] = 0. Можно видеть, что квазирав-
новесное приближение тем более оправдано, чем ниже значение па-
раметра неравновесности q .
При фиксированном потоке тепла q скачок температур Т"@) -
- Г'(О) растет по мере снижения давления газа, так как при этом
уменьшается q*. Обычно при атмосферном давлении скачок темпе-
ратур в большинстве практических задач несуществен.
При обтекании поверхности газовым потоком высокой скорости
(аэродинамика) роль скачка температур на поверхности зависит от
скорости обтекания (числа Маха), что легко показать, проведя сле-
дующие оценки.
При внешнем обтекании высокоскоростным потоком выраже-
ние для теплового потока можно выразить через число Стантона:
где (А" - А'^) разность полных энтальпий (энтальпий торможе-
ния) газа. Используя это выражение и учитывая, что отношение
«м,
где М число Маха, а газовая постоянная Rt по порядку величины
близка теплоемкости газа с^, находим, что
Неравновесные эффекты на межфазной границе
67
с;[Г@)-Г@)]
к-к*
м.
Из проведенной оценки видно, что роль скачка температур воз-
растает по мере роста числа М. Абсолютные давления в этой ситуа-
ции несущественны.
1.9.3. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ НЕПРОНИЦАЕМУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
При движении газового потока вдоль непроницаемой поверхно-
сти раздела фаз через поверхность осуществляется перенос каса-
тельной составляющей импульса, обусловленный вязкостью газа,
который вызывает касательные напряжения трения на поверхности.
Кинетическое описание процесса показывает, что в действи-
тельности скорость газа на поверхности не равна нулю (при рас-
смотрении процесса в системе координат, в которой поверхность
конденсированной фазы неподвижна), как это принимается в квази-
равновесной схеме (рис. 1.22).
Линейная теория приводит к выводу, что скорость газа на по-
верхности г/'@), называемая скоростью «скольжения», пропор-
циональна касательному напряжению на поверхности т. Для рас-
сматриваемых условий существенно, насколько полно происходит
потеря продольной составляющей импульса после столкновения и
отражения молекул от поверхности. Этот эффект характеризуется
коэффициентом аккомодации продоль-
ной составляющей импульса (аналогич-
ным по структуре коэффициенту энер-
гетической аккомодации). Существую-
щие экспериментальные данные пока-
зывают, что этот коэффициент близок к
единице (полное торможение падающе- м?ст(°)
го потока после столкновения и отра-
жения молекул от поверхности). Поэто- «'@)
му итоговое соотношение линейной ки-
нетической теории приведем для этого
частного случая. Оно имеет вид
«"@)
I
*1
II
и@) =?,
Рис. 1. 22. Истинный и экст-
A.17) раполированный профили
скорости
68 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
.... и"@) _ т
где [email protected]) = ^^ безразмерная скорость скольжения; х - =
Степл Р"
9" «4/2)
безразмерное касательное напряжение.
тешг
В соотношении A.17) безразмерная величина
имеет смысл параметра неравновесности.
Из соотношения A.17) следует, что выводы квазиравновесного
приближения и" @) = 0 будут выполняться тем точнее, чем ниже па-
раметр неравновесности.
При фиксированной величине т скорость скольжения растет по
мере снижения давления в системе. При умеренных скоростях и ат-
мосферном давлении квазиравновесное приближение обычно ока-
зывается оправданным.
При внешнем обтекании тела высокоскоростным потоком газа
(аэродинамика) роль скорости скольжения зависит от скорости по-
тока (числа Маха). Это можно показать путем следующих оценок.
При внешнем обтекании тела касательное напряжение можно выра-
зить через коэффициент сопротивления трения с а
2
После подстановки этого выражения в соотношение A.17) и учета
того, что
^тепл
находим
и"@)
Таким образом, по мере роста числа Маха значение -^- увеличи-
вается. При турбулентном течении газа, когда су изменяется в отно-
сительно узких пределах, абсолютные давления несущественны.
Неравновесные эффекты на межфазной границе 69
Приведенные соображения показывают, что эффекты скольже-
ния имеют существенное значение при полетах скоростных самоле-
тов и космических аппаратов. В последнем случае из-за высокой
разреженности атмосферы (аномально высокая кинематическая вяз-
кость v = ji/p") режим обтекания поверхности космического объек-
та может оказаться ламинарным даже при очень высоких скоростях
движения. Тогда эффект скольжения увеличивается со снижением
давления, поскольку при ламинарном течении су ~ 1 /(р") .
1.9.4. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМАХ
Кинетический анализ показывает, что при испарении и конден-
сации граничные условия на межфазной поверхности оказываются
более сложными, чем это принимается в квазиравновесном при-
ближении:
[Г]=0; Г@) = Г'@) = 7».
Для рассмотрения результатов кинетического описания необхо-
димо ввести следующие величины:
Г'@) температура поверхности конденсированной фазы;
Psc давление насыщения, отвечающее температуре поверхно-
сти, т.е. psc = ps {Г'@)}; это расчетная величина, отличная от ак-
туального давления в системе;
p'L актуальное давление пара вблизи поверхности (за преде-
лами слоя Кнудсена);
Г"@) температура пара на поверхности раздела фаз (экстра-
полированное значение);
j поток вещества, пересекающий единичную площадку по-
верхности раздела фаз;
q поток тепла, пересекающий единичную площадку поверх-
ности раздела фаз;
(положительные величины j и q отвечают потокам, передавае-
мым в паровую фазу);
Р коэффициент конденсации (испарения), показывающий ка-
кая часть молекул пара, достигающих поверхности раздела фаз,
конденсируется. Этот коэффициент (имеющий смысл коэффициен-
та материальной аккомодации) лежит в пределах 01 и определяет-
ся экспериментально.
70 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Результаты линейной теории показывают следующее:
1) давление в пределах слоя Кнудсена постоянно и равно
так что конденсированная фаза находится под тем же давлением,
что и пар (без учета поверхностного натяжения на искривленной
границе);
2) если Ts есть расчетная температура насыщения при актуаль-
ном давлении в паровой фазер^ , то оказывается, что ни Г'@), ни
Г'@) не равны Ts;
3) на поверхности раздела фаз существует скачок температур
[Т] = Г"@) - Г'@), пропорциональный потоку вещества j (если
влияние теплового потока несущественно).
Кроме того, характеристикой процесса является разность
Рю ~ Psc которая специфична для задач фазовых переходов. Не-
верно было бы эту разность именовать «скачком давления» (хотя,
к сожалению, в литературе такие толкования встречаются еще до-
вольно часто). Величина р^ - psc представляет просто разность
между актуальным давлением в системе и расчетным давлением
насыщения pSQ, определяемым по температуре поверхности кон-
денсированной фазы Г'@).
Для записи количественных соотношений линейной теории це-
лесообразно использовать величины:
безразмерный тепловой поток
безразмерный массовый поток
безразмерный скачок температур
е@) = Г@)-Г@).
т
безразмерная разноеть давлений
т P"oo-Psc
Ар = -.
Неравновесные эффекты на межфазной границе 71
С учетом этих обозначений итоги кинетического анализа [18]
имеют вид:
[email protected]) =- 0,45/ -1,05?; A.18)
Ар =-2jn LlMP 7_о,44^. A.19)
Эти соотношения содержат интересную информацию о специ-
фике неравновесных эффектов при фазовых переходах. Последую-
щий анализ показывает характерные особенности процесса.
Анализ соотношений A.18) и A.19).
1. При отсутствии потока массы j = 0 соотношение A.18) пе-
реходит в соотношение A.16а) о температурном скачке на непрони-
цаемой поверхности (в предположении а = 1, которое принято в
анализе). Второе соотношение A.19) при том же условии j - 0
определяет характерное значение Ар в двухфазных однокомпонент-
ных системах при наличии потока тепла и отсутствии потока массы.
2. В системах, где безразмерный поток тепла q существенно
меньше потока массы j (обычные условия фазового перехода ко-
нечной интенсивности, когда отсутствуют значительные перегревы
пара вдали от поверхности), соотношения A.18) и A.19) принимают
вид (при g « j ):
[email protected]) =-0,45j; A.18a)
j. AЛ9а)
Р
Эти соотношения содержат интересные данные о термодинами-
ческом состоянии пара у поверхности в процессах испарения и кон-
денсации. Они касаются вопроса о том, какие знаки и значения от-
клонений Г"@) - Ts и Г'@) - Ts имеют место в реальных процес-
сах. Для ответа на эти вопросы величина/?^ - psc заменяется с по-
мощью уравнения КлапейронаКлаузиуса на соответствующую
разность температур Ts ^(О):
' hLGp" hLGp"
72 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
h,[email protected])
Тогда соотношение A.19а) принимает вид
7.
Р hLG
Из соотношений A.18а) и A.20) имеем
Ts-T (
(
= 0,45 -
Из соотношения A.20) видно, что при испарении (у > 0) T'(Q)> Ts,
при конденсации (у < 0) Г'@) < Ts. Иначе говоря, процесс испаре-
ния имеет место, когда температура поверхности выше, а конденса-
ция когда температура поверхности ниже, чем температура насы-
щения при актуальном давлении в системе. Это заключение доста-
точно естественно и привычно.
Из соотношения A.21) видно, что в тех же процессах знак раз-
ности Ts - Г"@), а значит, и температура пара Т"@) на поверхно-
сти зависит от знака выражения в скобках в A.21). Для оценки этой
величины можно привлечь известное физико-химическое эмпириче-
hLG
ское правило Трутона: ~ 10 (при нормальных условиях). Тогда
оказывается, что в зависимости от значения коэффициента конден-
сации Р ответы могут быть разного знака. При р = 1 (что согласно
существующим представлениям имеет место для ряда чистых ве-
ществ при невысоких давлениях) имеем
0,45 - 2jn 0,6 0,1 = 0,24 > 0.
Это значит, что при Р = 1 в процессе испарения (у > 0) образуется
переохлажденный пар Г"@) < Ts.
При конденсации и Р = 1 пар на поверхности оказывается пере-
гретым Г'@)> Ts.
Неравновесные эффекты на межфазной границе
73
т
Г@)«
/
/;
/,
/
/
V
/
/,
п
Г'(О) р
Г"@) р
Г'(О) р
j
- о,
«¦о,
= 1
3
5 Ts
О-Р=1
А-Р= 0,5
Х-Р» 0,3
Рис. 1.23. Значения температуры в паровой и конденсированной фазах при
испарении (а) и конденсации (б) при различных коэффициентах испарения-
конденсации
По мере снижения Р различие температур снижается, становит-
ся равным нулю при C ~ 0,5 и далее меняет знак. Так, при C = 0,3
при испарении уже Г"@) > Ts, при конденсации Г"@) < Ts.
На рис 1.23 показано взаимное расположение температур Г[email protected]),
Г"@) иГ5в процессах испарения и конденсации при разных C, от-
вечающее приведенному выше анализу.
Соотношения A.18а) и A.19а) показывают, что параметром не-
равновесности при фазовых переходах является величина:
j =
J
Р'Ч
0) приводит к оправданности квазиравновес-
малость которой (j
ного приближения.
Пользуясь соотношениями A.16)A.19а), легко оценить, на-
сколько значимы неравновесные эффекты в каждом конкретном
случае. При значениях параметров неравновесности q, т, j ,
меньших, чем 1 10" , квазиравновесная схема обеспечивает доста-
точную для инженерных расчетов точность. В свою очередь сама
линейная теория, на основе которой получены указанные соотно-
шения, справедлива при малых параметрах неравновесности, мень-
ших примерно 0,02.
74 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
1.9.5. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВЫСОКОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
По мере увеличения интенсивности фазового перехода неравно-
весность в слое Кнудсена нарастает, причем изменения в характере
взаимосвязи параметров процесса носят не только количественный,
но и качественный характер. Так, при малой интенсивности испаре-
ние и конденсация обладают симметрией в том смысле, что описы-
ваются одними и теми же соотношениями A.18)A.21), в которых
направление процесса отражается знаком параметров неравновесно-
сти j и q . В случае высокой интенсивности в протекании этих
процессов выявлена значительная несимметрия. В частности, суще-
ствует предельная интенсивность испарения
A.22)
где Т' температура конденсированной фазы; р" равновесная
плотность насыщенного пара, отвечающая этой температуре.
В этом режиме из всего числа эмитируемых поверхностью моле-
кул около 18 % в результате столкновений возвращаются в конден-
сированную фазу (конденсируются), а примерно 82 % уносятся отхо-
дящим потоком, скорость которого равна скорости звука в паровой
фазе. Что касается конденсации, то для нее подобный предел не суще-
ствует; в 80-х годах были опубликованы результаты теоретических
исследований сверхзвуковой конденсации, выполненные А.П. Крюко-
вым, А.А. Абрамовым и М.Н. Коганом (см. [23]).
Результаты расчетов процесса интенсивного испарения [18, 64]
представлены в табл. 1.3.
Данные таблицы хорошо согласуются с результатами, получен-
ными в двух других научных группах (см. [18]) при использовании
иных методов анализа. Как следует из этих данных, при высокой
интенсивности испарения скачки температуры и плотности пара у
межфазной границы становятся соизмеримыми с абсолютными зна-
чениями температуры и плотности. При C = 1 (данные табл. 1.3 при-
водятся для этого значения коэффициента испарения-конденсации)
степень пересыщения пара столь высока, что вблизи межфазной по-
верхности еще прежде достижения предельной интенсивности испа-
рения неизбежна объемная конденсация пара (так называемые скач-
ки конденсации). Степень пересыщения пара очень сильно зависит
Неравновесные эффекты на межфазной границе
75
Таблица 1.3. Параметры пара за пределами слоя
Кнудсена при интенсивном испарении с плоской
поверхности
j2jn
P"sJW~'
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,82
Г7Г
0,994
0,986
0,972
0,956
0,936
0,914
0,884
0,844
0,765
0,703
Р"/Р"
0,977
0,948
0,899
0,847
0,786
0,725
0,650
0,562
0,426
0,345
Moo
0,015
0,035
0,070
0,111
0,164
0,224
0,305
0,420
0,664
0,883
от коэффициента испарения-конденсации: при небольшом уменьше-
нии Р ф < 1) пар становится насыщенным, а при некоторых, еще
меньших C перегретым. Таким образом, качественные законо-
мерности, выявленные в рамках линейной теории для малоинтен-
сивных процессов, подтверждаются и для высокоинтенсивного ис-
парения, но в последнем случае все эффекты намного сильнее.
Для удобства практических расчетов авторы [64] провели ап-
проксимацию решения аналитическими функциями:
A.23)
A.24)
A.25)
Соотношения A.23)A.25) справедливы при Р = 1. При Р < 1 плот-
ность пара р " в этих соотношениях заменяется величиной р *, ко-
76 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМ
торая рассчитывается по уравнению, предложенному М. Н. Коганом
и Н.К. Макашовым:
pi' = А1 -гЛ !_ ^ I. A.26)
При известной температуре конденсированной фазы Г' уравнения
A.23) и A.24) однозначно определяют температуру и плотность па-
ра при одном заданном внешнем параметре р'^ (при C < 1 к этим
уравнениям добавляется A.26)).
В правой части A.23) выражение и[/'j2RtT = j ; следова-
тельно, соотношение A.18а) для скачка температур при малоин-
тенсивном испарении (линейная теория) практически совпадает с
результатом аппроксимации численных расчетов A.23) для высо-
коинтенсивного испарения (здесь надо иметь в виду, что у >0,
Тг = Г'@), а температура пара в газодинамической области не из-
меняется, т.е. Г"@) « Г").
При анализе интенсивной конденсации при том же условии
известной температуре Т' для замкнутого описания процесса необ-
ходимо задание двух внешних параметров, например р'^ и Т'^ .
В этом отношении проявляется несимметрия интенсивных процес-
сов испарения и конденсации. Результаты исследования интенсив-
ной конденсации [64] аппроксимированы следующим уравнением:
J = 1,67
rp//
A.27)
которое справедливо при E=1. При р < 1 расчетное давление psc оп-
ределяется как psc = p"RtT\ где р^ рассчитывается по формуле
A.26). Расчеты показывают, что даже при незначительном уменьше-
нии Р в сравнении с C = 1 интенсивность конденсации резко снижа-
ется из-за «экранирующего» влияния потока отраженных молекул.
Соотношение A.27) переходит в формулу A.19а) линейной теории,
если Рж/р5С * 1 и Г'7Г'@) -* 1, т.е. при условиях, характерных
для малоинтенсивной конденсации.
Важным результатом анализа интенсивной конденсации являет-
ся вывод, что давление пара в газодинамической области (за преде-
лами слоя Кнудсена) практически постоянно.
Неравновесные эффекты на межфазной границе 77
В заключение целесообразно отметить следующее:
1. Для бинарной системы при фазовых переходах выражения для
уточненных граничных условий пока не получены. Кинетический
анализ этого процесса более сложный. Можно думать, что в этом
случае, кроме скачка температуры, на поверхности будут наблюдать-
ся отклонения концентраций пара от равновесных значений.
2. Скачок температур и скорость скольжения на непроницаемой
поверхности были обнаружены довольно давно (конец XIX нача-
ло XX веков), и имеется множество экспериментальных работ в
этой области. Приведенные выше соотношения для этих условий
получены путем строгого теоретического анализа и имеют более
поздний срок A9601970 гг.). До этого в литературе использова-
лись упрощенные соотношения оценочного характера.
3. Существование скачка температур Г"@) - Г'@) при фазовых
переходах установлено экспериментально достаточно достоверно
в ряде прямых и косвенных опытов. В частности, соотношение
A.27) нашло подтверждение в опытах по интенсивной конденсации
паров ртути (см. [18]).
4. Анализ сверхзвуковой конденсации проведен лишь в 80-е го-
ды (см. [23]). Выявлено чрезвычайно сильное влияние коэффициен-
та конденсации Р на ход процесса. Этот вывод, как и отмеченные
выше эффекты перегрева пара при конденсации и пересыщения его
при испарении, особенно при интенсивном, еще ждет своего экспе-
риментального подтверждения.
Глава вторая
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
В гидростатике газожидкостных систем рассматриваются задачи
о равновесной форме свободной поверхности жидкости в сосудах и
капиллярах, о форме и размерах неподвижных пузырьков и т.д. Та-
ким образом, в анализе существенны следующие эффекты: поверх-
ностная энергия на границах жидкостьтвердое тело, газтвердое
тело, жидкостьгаз и потенциальная энергия фаз в поле тяжести
(силы тяжести).
В прикладном отношении эти задачи представляют значитель-
ный интерес для условий пониженных и близких к нулю напряжен-
ностей поля массовых сил, когда капиллярные эффекты существен-
ны для больших систем (жидкость в контейнере и т.д.)
2.1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
2.1.1. ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ И ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Реальные границы раздела фаз представляют собой тонкие слои
сложной структуры. В таких пограничных слоях молекулы вещест-
ва взаимодействуют одновременно с молекулами обеих фаз. Поэто-
му строение и свойства переходного слоя существенно отличаются
от строения и свойств вещества во внутренних объемах фаз. Эффек-
тивная толщина переходного слоя очень невелика и имеет порядок
радиуса молекулярного взаимодействия (примерно 10~ м). Деталь-
ное рассмотрение строения переходного слоя представляет собой
весьма трудную задачу. До настоящего времени, несмотря на значи-
тельные усилия и наличие серьезных проработок, молекулярная
теория переходных слоев далека от завершения.
Весьма малая толщина переходного слоя является аргументом
в пользу идеализации, при которой граница раздела фаз трактуется
Поверхностные явления 79
просто как геометрическая поверхность. Такая модель поверхности
часто именуется поверхностью разрыва; при переходе через по-
верхность свойства вещества (плотность, внутренняя энергия, ско-
рость и т.п.) меняются скачкообразно. Переход к геометрической
поверхности раздела фаз существенно упрощает анализ. Однако,
очевидно, что при введении модели поверхности разрыва информа-
ция о свойствах переходного слоя не должна теряться. Поэтому
межфазным границам следует поставить в соответствие определен-
ные макроскопические (феноменологические) свойства, рассмот-
ренные ниже.
Увеличение площади межфазной поверхности сопровождается
затратой работы. Молекулярная интерпретация этого эффекта со-
стоит в том, что при увеличении площади границы определенное
число молекул из объемов фаз должно быть переведено в гранич-
ный слой, а это требует затраты работы. При изотермических усло-
виях (Т= const) работа образования нового элемента межфазной по-
верхности dF составляет odF и может рассматриваться как прира-
щение свободной энергии поверхности dUF:
dUF=adF (T = const). B.1)
При интерпретации границы раздела как геометрической по-
верхности объемы фаз при увеличении поверхности не изменяются,
поэтому dUF имеет смысл избыточной свободной энергии системы
из-за наличия поверхности.
Коэффициент а, Дж/м (или, что то же самое, Н/м, или кг/с )
в соотношении B.1) имеет смысл удельной свободной энергии по-
верхности раздела фаз. Величина а зависит от природы фаз, обра-
зующих поверхность. От размера поверхности а не зависит. Поэто-
му B.1) можно записать в виде
UF=oF B.1а)
Далее для границы двух текучих сред (газжидкость или жидкостьжидкость)
будем писать а (без индексов), для границы твердое телогаз и твердое теложид-
кость соответственно атг, и атж. Для границы газжидкость (или жидкостьжид-
кость) а называется также поверхностным натяжением. В этм названии оттеняет-
ся силовой (динамический) аспект а. Оба названия поверхностная свободная
энергия и поверхностное натяжение здесь являются синонимами.
80 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Определим теперь остальные характеристики поверхности: по-
верхностную энергию и энтропию. Свободная энергия (как известно
из термодинамики) представляет собой внутреннюю энергию Е за
вычетом величины TS, где S энтропия. Поэтому для поверхност-
ной свободной энергии можно записать
UF=EF-TSF, (*)
где EF и SF поверхностные энергия и энтропия межфазной границы.
Полное приращение поверхностной свободной энергии для об-
ратимых процессов согласно последнему соотношению и B.1а)
представляется в виде
dUF =dEF -TdSF -SpdT -adF + Fda. (**)
Объединенное уравнение первого и второго законов термодина-
мики дает следующее соотношение для теплоты QF, поглощаемой
в процессе увеличения поверхности раздела фаз:
dQp = TdSF =dEF -odF. (***)
Из уравнений (**) и (***) находим, что поверхностная энтропия
межфазной границы определяется соотношением
с „da
SF=-F . B.2)
d Y
С учетом определений энтропии B.2), свободной поверхностной
энергии B.1а) и уравнения (*) получим выражение для поверхност-
ной энергии^:
Очевидно, что энтропия единицы площади поверхности раздела
фаз равна - , а энергия единицы площади межфазной поверхно-
dT
_ da „
сти составляет a - Т . Поскольку энтропия поверхности вели-
чина заведомо положительная, то температурная производная удель-
нои свободной поверхностной энергии отрицательна, т.е. < 0 .
dT
Поверхностные явления 81
Из Ьоотношений B.2) и (***) легко выразить количество тепло-
ты, поглощаемой в процессе увеличения площади межфазной по-
верхности,
^Qf^-T^dF. B.4)
Следовательно, - Г = qF представляет собой поглощение
dT
теплоты при образовании единицы поверхности.
Можно отметить, что поглощение теплоты при образовании по-
верхности, вообще говоря, незначительно и в практических расче-
тах обычно не учитывается (см. пример).
Итак, все термодинамические характеристики поверхности раз-
дела фаз с помощью соотношений B.1а)B.4) выражаются через
удельную свободную поверхностную энергию а и ее температур-
da
ную производную - .
dr
Пример. Рассчитать поверхностную энергию и теплоту образования единицы
поверхности раздела фаз для системы воданасыщенный пар при температурах
20, 100, 200 °С.
Значения коэффициента поверхностного натяжения а и его температурной
производной найдем из таблиц свойств воды. Теплота образования единицы по-
верхности раздела фаз равна - Т , а удельная поверхностная энергия есть
а -Т , т.е. легко рассчитываются при известных значениях а и - . Результа-
ты расчетов сведены в табл. 2.1, где вторая и третья строки представляют собой
справочные данные. Рисунок 2.1, воспроизводящий данные таблицы, дает нагляд-
ное представление об изменении удельных значений свободной поверхностной
энергии, поверхностной энергии образования поверхности и теплоты образования
поверхности при возрастании температуры. Итак, с ростом температуры удельная
поверхностная энергия EFIF несколько увеличивается, тогда как удельная свобод-
ная поверхностная энергия а уменьшается. Теплота образования 1 м2 поверхности
составляет величины порядка 10" Дж (прмерно 10" ккал). Величина крайне мала,
что оправдывает пренебрежение ею в практических расчетах.
В критической точке (ркр, Гкр) пар и жидкость неразличимы,
граница раздела исчезает, а = 0. При Т < Т зависимость поверх-
ностного натяжения жидкости от температуры близка к линейной,
82
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Таблица 2.1. Термодинамические характеристики
поверхности раздела фаз: водаводяной пар
Характеристика
а- 102, Дж/м2
- 104, Дж/(м2-К)
ёГ
(-Г^).,02,Дж/м2
Го-Г V 102, Дж/м2
V с1ГУ
Г, К
293
7,42
0,97
2,84
10,3
373
6,87
1,9
7,1
14,0
473
3,77
2,2
10,9
14,7
EF/F,qFto,
1(Г2Дж/м2
14
12
10
8
6
4
2
0
293
373
473 Г, К
Рис. 2.1. Удельные значения поверхностной энергии EF/F9 теплоты образова-
ния поверхности qF и свободной поверхностной энергии а для воды в зави-
симости от температуры
что отражает и рис. 2.1. Для одно компонентных чистых жидко-
стей достаточной для многих практических расчетов точностью
обладает формула
B.5)
где Т , а0? п индивидуальные параметры для данного веще-
ства (температура, естественно, отсчитывается по абсолютной
шкале). Показатель степени п слабо изменяется для различных
Поверхностные явления
83
жидкостей, и в отсутствие более детальной информации можно
принять п = 11/9. Если опытная информация о поверхностном на-
тяжении однокомпонентной жидкости отсутствует, то его можно
приближенно оценить по формуле
B.6)
где В = 2 10 Дж/К; р плотность жидкости, кг/м \М молеку-
лярная масса. Для большинства практически важных веществ значе-
ния а можно найти в справочниках (например, [4, 39]).
2.1.2. ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
Поверхностная свободная энергия (поверхностное натяжение)
на границе двух текучих фаз: газжидкость, жидкостьжидкость
вызывает поверхностный скачок давлений в фазах, пропорциональ-
ный кривизне границы:
р р -z(Jn. (z. /)
Соотношение B.7) представляет собой известную формулу Лапласа
A806 г.). Здесь Н = 0,5 (l/R^ + l/i?2) средняя кривизна поверх-
ности в данной точке, которая (как это доказывается в дифференци-
альной геометрии) выражается через главные радиусы кривизны R^
и R2 в этой точке (рис. 2.2). В простейшем случае сферы /? j = R2 = R,
и формула Лапласа принимает вид
B.7а)
причем внутренняя фаза есть фаза 1.
Из формулы Лапласа виден динамический
смысл поверхностного натяжения а, которое на-
подобие упругой оболочки сжимает внутреннюю
фазу. Таким образом, на границе двух текучих
Рис. 2.2. Главные радиусы кривизны поверхности
в точке А
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Рис. 2.3. Силы, действующие на поверхности раздела фаз в окрестности
точки А
сред величина а с одинаковым правом может рассматриваться как
поверхностная свободная энергия с размерностью Дж/м и как сила,
приложенная к единице длины линии на поверхности, направленная
по касательной к поверхности, с размерностью Н/м. В соответствии
с этим вывод (обоснование) формулы Лапласа может быть проведен
двумя путями.
Вывод, основанный на рассмотрении баланса сил. Рассмотрим
малый участок поверхности около данной точки А (как это показано
на рис. 2.3).
В плоскостях главных нормальных сечений (показанных на ри-
сунке) сила поверхностного натяжения а направлена по касатель-
ной к границам. Разложим ее на составляющие. Проекции силы а
внутрь первой фазы равны соответственно o(ll/2)/Rl и
a(l2/2)/R2 , что следует из подобия соответствующих треугольни-
ков. Поэтому с обеих сторон каждого нормального сечения силы,
действующие внутрь первой фазы, составляют all/Rl, al2/R2.
Умножая all/Ri на /2 и ol2/R2 на 1Х и складывая, получаем ре-
зультирующую силу, действующую на поверхность раздела фаз в
окрестности точки А:
Поверхностные явления 85
Она должна быть при равнове-
сии равна силе избыточного дав-
ления первой фазы (р - р ) на
площади /j/2:
Приравнивая эти соотноше-
ния, получаем искомую формулу Рис. 2.4. Виртуальное смещение по-
B.7). (Можно заметить еще, ЧТО верхности раздела фаз
«растягивающие» проекции силы
натяжения взаимно компенсируются на противоположных сторо-
нах элементов.)
Вывод, основанный на рассмотрении а как поверхностной
энергии. Рассмотрим тот же малый участок межфазной поверхно-
сти площадью /j/2. Пусть теперь поверхность подвергается мало-
му виртуальному смещению на расстояние 5/г, так что в плоско-
стях нормальных сечений размеры 1{ и /2 увеличиваются до 1\ и Г2
(рис. 2.4):
/ / _i И - j
K\ K2
Работа сил давления при смещении границы составляет (р^-
~Р ) /L /2S/z. Кроме того, из-за увеличения площади поверхности
l\ lf2-l\h~hh (l/^i + 1/^г) ^^ (с точностью до малой величины
5Л (/^2/(^^2)) затрачивается работа на создание избыточной по-
верхностной энергии (bUF):
-аЛ/Л + ISA.
1*1 Ri)
Суммарная работа в условиях термодинамического равновесия
при рассматриваемом малом смещении границы должна быть равна
нулю. Отсюда вновь следует искомая формула B.7).
86
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
2.1.3. УСЛОВИЯ СМАЧИВАНИЯ ЖИДКОСТЬЮ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ
При анализе условий смачивания необходимо рассмотреть сис-
тему из трех фаз: жидкость, твердое тело, газ (рис. 2.5). В зависимо-
сти от значений поверхностных свободных энергий а, атг и атж
вместе контакта трех фаз устанавливается определенный угол 8,
так называемый краевой угол смачивания (по соглашению отсчиты-
вается внутрь жидкой фазы).
Выведем зависимость 0 от значений а, атг и атж из рассмотре-
ния вариации полной поверхностной энергии системы. Пусть при-
стенный участок жидкости подвергается бесконечно малому смеще-
нию (см. рис. 2.5, б). При этом поверхности контакта фаз изменяют-
ся. Здесь рассматривается плоский случай, но ввиду произвольности
и малости «контрольной высоты» h все результаты будут пригодны
и для любых объемных форм.
На границе газжидкость энергия увеличивается на а (/' - I) =
= ad/. На границе твердое теложидкость энергия увеличивается на
oTyKdx. На границе твердое телогаз энергия уменьшается на aTrdx.
Суммарное изменение поверхностной энергии
В условиях равновесия значение 6Uf минимально. Следова-
dU,
тельно,
ное значение угла 9.
> 0 условия, определяющие равновес-
а)
б)
Рис. 2.5. Границы трех фаз в равновесии (а) и схематическое изображение
малого плоского участка этих границ в окрестности точки контакта
трех фаз (б)
Поверхностные явления 87
Поскольку х = h ctg6, / = , имеем:
sin 8
dUF
- и
de sin2e"
F
Тогда условие принимает вид
Э9
[a cos9 + (атж - атг)] у- = 0.
sin 9
Отсюда
cos9 = -. B.8)
атг - атж
Это искомое соотношение часто называют уравнением Юнга A805 г.).
Непосредственными вычислениями можно показать, что усло-
вие Э UF/dQ >0 выполняется всегда. (Эти простые выкладки
здесь опущены.) Таким образом, соотношение B.8) определяет рав-
новесное значение краевого угла смачивания в через значения по-
верхностных свободных энергий на границах трех фаз.
Можно отметить, что B.8) обычно в литературе выводится из
рассмотрения баланса сил. Этот вывод в физическом плане нам
представляется спорным. Он таков: в точке контакта трех фаз при-
ложены три «силы» поверхностного натяжения (рис. 2.6). (Две из
них: атг и атж некорректно трактовать как «силы», и неясно,
к чему, собственно, они приложены). Далее в выводе говорится,
что при равновесии должна отсутствовать результирующая «сила»
вдоль поверхности:
Отсюда следует формула B.8).
©
^ ¦- (ж)
Рис. 2.6. Схема для вывода формулы
B.8) из баланса «сил»
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Для запоминания этот простой «вывод» удобен. Однако физиче-
ская аргументация, как отмечено выше, выглядит дискуссионной.
В [9] показано, что на границе твердого тела поверхностное натяже-
ние и удельная свободная энергия поверхности не совпадают, и вы-
вод уравнения B.8) из баланса сил являет собой редкий случай, ко-
гда неверный метод приводит к правильному результату.
Уравнение B.8) связывает 0 с величинами атг и атж, которые
обычно неизвестны. Имеются лишь приближенные теоретические
оценки для некоторых частных случаев. Поэтому обычно угол изме-
ряется из опыта, и с помощью B.8) тогда можно получить информа-
цию о разности атг - атж.
При 8<7t/2 жидкость, как говорят, смачивает поверхность.
Такая поверхность называется гидрофильной. При 0 > я/2 счита-
ется, что жидкость не смачивает поверхность, или что поверх-
ность гидрофобная. Следует отметить, что граница газтвердое
тело обычно не является чистой. Она покрыта молекулярными ад-
сорбированными слоями, слоями оксидов и т.д., поэтому на прак-
тике условия смачивания обычно нестабильны, чувствительны к
различным примесям, неоднородностям поверхности и часто пло-
хо воспроизводимы.
Малые значения 0 » 0 имеют криогенные жидкости и расплав-
ленные щелочные металлы (на стальных стенках). В частности,
жидкий гелий обнаруживает абсолютную смачиваемость @ = 0) по
отношению ко всем исследованным материалам. Стекло дает хоро-
шо известный пример гидрофобной поверхности по отношению к
ртути @ = 130150°) и вместе с тем при тщательной очистке абсо-
лютно смачивается водой. Вода смачивает обезжиренную поверх-
ность обычных конструкционных материалов (сталь, никель, медь,
латунь, алюминий); при этом краевой угол в зависимости от чисто-
ты обработки поверхности и уровня температуры изменяется в пре-
делах от 30 до 90°. Для образования гидрофобной поверхности
в случае контакта с водой применяются различные поверхностно-
активные добавки гидрофобизаторы. В естественных условиях
вода плохо смачивает @ > я/2) фторопласт (тефлон) и ряд близ-
ких материалов. В [39] приводятся справочные данные о краевых
Общее уравнение гидростатического равновесия 89
углах смачивания для некоторых со-
четаний поверхностьжидкость.
В заключение отметим, что крае-
вой угол 0 является локальной харак-
теристикой поверхности в месте кон-
такта с жидкостью и газом и теорети-
1 хо
чески не должен зависеть от условии в
объеме жидкой фазы. При теоретиче- Рис- 2-7- Границы раздела трех
ском анализе заданное значение угла фаз на шеР°х°ва™й твердой
~ поверхности
8 выступает как граничное условие на
поверхности твердой фазы.
Реальные твердые поверхности всегда являются шероховатыми,
в силу чего экспериментально определяемые значения краевого угла
0Э оказываются меньше, чем теоретические 0Т, т.е. те, которые мож-
но было бы рассчитать при известных значениях атг и атж.
Действительно, если к схеме рис. 2.7 применить те же рассу-
ждения, что использовались при выводе формулы B.8), и учесть,
что действительная поверхность соприкосновения жидкости и
твердой стенки больше расчетной в отношении хд/х0 = \|/ > 1, то
получим:
и далее, повторяя анализ, приводящий к B.8), будем иметь в итоге
cos93 = у = \|/cos8T.
а
Краевой угол 9Т является действительной локальной характе-
ристикой смачиваемости материала твердой стенки, а определяе-
мый в опытах угол 0Э отражает некоторую эффективную характе-
ристику поверхности.
Очевидно, что увеличение шероховатости при 9 < я/2 будет со-
ответствовать улучшению эффективной смачиваемости. Так, при
9Т = 45°, cos9T ~ 0,7 для шероховатой поверхности с характери-
стикой \|/ = хд/х0 ~ 1,4 получим cos93 ~ 1,0, т.е. 9Э = 0° абсо-
лютная смачиваемость.
90 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
2.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
2.2.1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим область двухфазной системы (рис. 2,8).
Согласно уравнению Лапласа имеем
Индексы " и ' означают «газ» и «жидкость», Величина H(z) есть
средняя кривизна границы в данной точке поверхности на уровне z.
При гидростатическом равновесии фазы неподвижны. Давление
в них меняется линейно с высотой за счет поля тяжести. Уравнения
баланса импульса (при нулевой скорости):
dp" „ dp'
dz dz
после интегрирования дают;
p"(?)=p"(P)-gp"r,
p'(z)=p'(Q)-gp'z. (**)
Подставляя полученные соотношения (**) в исходное уравнение
(*), получаем
2oH(z) = g{p' - р")z + const. B.9)
Это и есть общее уравнение гидростатического равновесия,
const = р" (Q) - p'(Q) определяется из граничных условий конкрет-
ной задачи. Кривизна поверхности H(z) нелинейный дифферен-
циальный оператор второго порядка, В частности, если поверхность
в декартовой системе координат определяется какz -/Ос, у), то
H(z) = div
Рис. 2.8. К выводу общего уравнения гидроста-
тического равновесия
Общее уравнение гидростатического равновесия 91
Таким образом, B.9) представляет собой нелинейное дифферен-
циальное уравнение второго порядка; его интеграл определяет фор-
му равновесной поверхности в газожидкостной системе.
Отметим, что если на рис. 2.8 обратить ось z (т.е. заменить z на
-z), то в B.9) перед членом g(p' - p")z появится минус. То же са-
мое произойдет, если поменять фазы местами на рис. 2.8.
2.2.2. УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ
Целесообразно представить B.9) в безразмерном виде. Как
уже указывалось, гидростатическое равновесие определяется со-
отношением сил тяжести f и сил поверхностного натяжения/с.
Если эти силы отнесены к единице площади межфазной поверхно-
сти, то выражения для них имеют следующую структуру (легко
определяемую из B.9)):
где L характерный линейный размер системы.
Отношение этих сил дает число (критерий) Бонда:
РТ. B.Ю)
/a °
При числах Бонда, существенно больших единицы (Во » 1),
силы тяжести значительно превосходят силы поверхностного на~
тяжения, а при Во < 1, напротив, преобладающими являются силы
поверхностного натяжения, или, как нередко говорят, капилляр-
ные силы. Условие Во = 1 определяет линейный масштаб области,
в которой силы поверхностного натяжения и тяжести соизмери-
мы. Этот масштаб получил название капиллярной постоянной (по-
стоянной Лапласа)
b= - . B.11)
4g{9'-9")
Капиллярная постоянная, как несложно убедиться9 имеет раз-
мерность длины и в земных условиях (g ~ 9,81 м/с) для большинства
жидкостей равна 13 мм. Однако при ослабленной гравитации мас-
штаб проявления сил поверхностного натяжения резко возрастает,
капиллярная постоянная становится весьма большой. В силу этого
92 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
задачи гидростатики стали привлекать внимание исследователей в
связи с развитием космонавтики.
Использование капиллярной постоянной в качестве масштаба
позволяет разделить различные сосуды, применяемые в технике, на
капилляры и собственно сосуды. Отнесение сосуда к тому или ино-
му классу определяется соотношением его поперечного линейного
размера L и капиллярной константы Ъ: если L » Ь, имеем «сосуд»;
если L < Ь, имеем капилляр.
С помощью капиллярной константы B.9) приводится к безраз-
мерному виду. Для этого достаточно поделить все члены уравнения
на Jog(p' - р"). Безразмерная форма имеет вид
2H(z) = ± z + const, B.12)
( 1 \]
где z = z/b, 2# = b\ + , т.е. все линейные размеры измеря-
\R\ Ri)
ются в долях капиллярной постоянной; знак ± учитывает ориента-
цию z и размещение фаз, как это указывалось выше; const безраз-
мерное число.
Интеграл уравнения B.9) или B.12) определяет равновесную
форму границы раздела фаз. Поскольку эта граница оканчивается на
твердых поверхностях (стенках и т.п.), то в качестве граничных ус-
ловий (их должно быть два) обычно бывают заданы условия каса-
ния твердого тела с заданным краевым углом G и, например, полный
объем жидкости. (Возможны и иные условия, см. ниже.)
Отметим еще один принципиальный момент. Интеграл основного
уравнения дает форму равновесной поверхности раздела фаз. Однако
не все решения на самом деле можно наблюдать на практике. Меж-
фазная поверхность должна не только удовлетворять условиям гид-
ростатического равновесия, но еще и быть устойчивой, по крайней
мере, к малым отклонениям формы от равновесного состояния. Это
значит, что если произошло исчезающе малое отклонение формы от
равновесной, система обязана вернуться в исходное состояние. Тогда
такая форма устойчива (в малом). Если же, напротив, какое-либо не-
значительное отклонение вызывает дальнейшее прогрессирующее
изменение формы, то система абсолютно неустойчива. На практике
могут существовать лишь устойчивые равновесные состояния. Ана-
литическое исследование устойчивости равновесных форм поверх-
ности раздела представляет собой достаточно трудную задачу.
Равновесная форма свободной поверхности жидкости
93
2.3. РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ,
ХАРАКТЕРИЗУЕМОЙ ОДНИМ РАДИУСОМ КРИВИЗНЫ
(КАПИЛЛЯРЫ, ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ)
2.3.1. ФОРМА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В СОСУДАХ
В соответствии с введенной выше классификацией поперечный
размер сосуда L » Ь. В этом случае картина достаточно общеизве-
стна. Свободная поверхность (рис. 2.9) практически всюду плоская.
Лишь вблизи стенок, на расстояниях, примерно равных Ь, наблюда-
ется искривление границы. Высота поднятия (или опускания) жид-
кости зависит от значения краевого угла смачивания 0 (при 0 > я/2
мениск опускается, например, ртуть в стеклянной посуде). Однако
наибольшая высота подъема (опускания) жидкости при 0 > 0 также
составляет величину порядка Ь.
Ввиду условия L » Ь данная задача вполне корректно может
рассматриваться как плоская.
Для плоской задачи кривизна
д, /г,
так
Выберем координатные оси так, как показано на рис. 2.10. Тогда
кривизна плоской кривой выражается следующим дифференциаль-
ным оператором:
1
2Н = =
3/2
^
Рис. 2.9. Форма свободной поверхно-
сти жидкости в сосуде
Рис. 2.10. Форма поверхности жидко-
сти вблизи стенок сосуда
94 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
. &z .. d2z
где z = ; z = .
dx dj2
Будем считать, что z и х безразмерны (т.е. z = = z, х = =
Ъ Ъ
= jc, где z' xf размерные величины), но для упрощения записей
значок «тильда» использовать не будем.
Уравнение гидростатического равновесия имеет вид
= z + const. B.13)
3/2
При z = 0 (jc * оо) l/R{ = О, следовательно, const = 0.
Левую часть уравнения B.13) можно записать как -
dz
что проверяется прямым вычислением. Итак,
dz л/7772
Интегрируя, находим
/ГГ75 2
Поскольку при z = 0 (х * оо) z = 0, то А = 1. Следовательно,
Из этого уравнения далее можно найти /г.
Действительно, как следует из рис. 2.10, для любой точки ис-
кривленной поверхности жидкости справедливо соотношение
z = = ctg ф,
dx
где (р угол между плоскостью, касательной к поверхности жидко-
сти, и вертикальной плоскостью, нормальной к плоскости чертежа.
Отсюда следует, что
1
л/l+i2
Равновесная форма свободной поверхности жидкости
95
На твердой стенке, очевидно, <р = 9, h'/b
так что при х = 0 имеем
sine = 1-- А2,
2
откуда находим
соответственно высоту опускания
(9 > я/2) в случае гидрофобной поверх-
1
0,5
0
-0,5
-1
h = ±л/2A -sine).
Это соотношение определяет высоту -^
h = поднятия F<я/2) жидкости и
Ъ
*/2\
7t e
Рис. 2.11. Высота поднятия
(опускания) жидкости около
ности. (Знак минус перед корнем.) Здесь стенок сосуда в зависимости
h безразмерная высота, выраженная в от краевого угла 9
долях капиллярной постоянной Ъ\ К име-
ет обычную размерность длины.
Максимальная высота поднятия (опускания) мениска составля-
ет (при в = 0 или 6 = я):
т.е., как отмечалось выше, имеет порядок капиллярной постоянной Ь.
Зависимость высоты поднятия (опускания) жидкости от крае-
вого угла 6 представлена на рис. 2.11; там же показана примерная
форма очертания свободной поверхности жидкости около твердой
стенки при в = 0, я/2 и я. Заметим, что случай абсолютной несма-
чиваемости в = я на практике не встречается, является чисто гипо-
тетическим.
Повторным интегрированием из уравнения (*) можно найти
уравнение поверхности жидкости. Оно имеет довольно сложный
вид и здесь не приводится.
2.3.2. ВЫСОТА ПОДЪЕМА ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ
Для капилляров справедливо условие L < Ь, т.е. силы поверхно-
стного натяжения больше или примерно равны силам тяжести, так
что форма мениска близка к части поверхности кругового цилиндра
96
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
X
d
9
6)
Рис. 2.13. Высота подъема
жидкости в капилляре
Рис. 2.12. Форма мениска жидкости в капилляре (а) и связь радиуса кривиз-
ны с размером капилляра (б)
в плоском капилляре или элементу сферы в цилиндрическом капил-
ляре (рис. 2.12). В плоском капилляре
2Н = l/R = const.
В цилиндрическом капилляре
2Н = - = const.
R
При этом связь между R и L = d определяется значением угла 6
(рис. 2.12,6)
- = R cos9 .
2
(**)
Если капилляр опущен в жидкость (рис. 2.13), то высота капил-
лярного поднятия определяется соотношением
2oH=g(p'-p")h. (***)
Подставляя (**) в (***), получаем
a cos 9
h =
B.14)
g(p'-p'V
где Со = 2 для плоского капилляра; Со = 4 для цилиндрическо-
го; если измерять hud в долях Ь, то
h = С,
01 ~т
Равновесная форма свободной поверхности жидкости 97
Пример. Для воды при 0 > 0 найти h высоту капиллярного поднятия при
d= 0,1 мм и 0,01 мм.
5
Имеем: а « 7- 10~2 Н/м; g(p' - р") = 9,81 103; h = CQ -ZjJ2
9,81 10""
где л = 4 или 5.
Для цилиндрического капилляра Со = 4, тогда:
ЛЮ2>8510.
9,81
При г/=0,1мм, я = 4 h = 28,5 см;
Для плоского капилляра Со = 2, т.е. результаты расчета будут в 2 раза меньше.
2.3.3. ЖИДКОСТЬ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ГОРИЗОНТАЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ
Жидкость заключена между двумя горизонтальными пластина-
ми (из одинакового материала, т.е. 6 = idem). По мере увеличения
расстояния h между пластинами (рис. 2.14) форма свободной по-
верхности изменяется.
При некотором критическом значении А* гидростатическое рав-
новесие перестает выполняться и жидкость должна вытекать из за-
зора. Необходимо найти зависимость /г* =/(Э).
Очевидно, что рассматриваемая задача является плоской, так что
кривизна поверхности выражается дифференциальным оператором
который в свою очередь можно записать, используя тригонометриче-
ские функции угла \|/ между плоскостью, касательной к свободной
поверхности жидкости, и горизонтальной плоскостью (рис. 2.15):
1
щ = eos\|/.
Таким образом, в безразмерной форме записи (все линейные
размеры в долях Ъ) уравнение гидростатического равновесия
принимает вид
d
- (cosy) =z+^0. (a)
dz
98
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Рис. 2.14. Жидкость в зазоре ме-
жду горизонтальными
пластинами
Рис. 2.15. Схема для установления
связи локальной кривизны и угла
наклона касательной
Константа Ао имеет смысл кривизны в точке z = О, т.е. в начале сис-
темы координат рис. 2.14.
Интегрируя (а) и учитывая, что \|/| . = 0 = ®? получаем
1 2
cos\|/ = cos0- - z -A0z.
(б)
На верхней образующей, т.е. при z = h, cos \|/ = -cos0. Следова-
тельно, из (б) находим
2cos9-- h2-A0h = 0,
(в)
откуда
Ао =
4cos0 -h
2h
Подставляя это значение в уравнение (б), имеем
1 2 h -4 cos 8
cosw = cos6 - - z + z.
2 2/г
(r)
При достижении критической высоты /г* на некотором уровне z = z*
возникает плоский участок границы раздела фаз, т.е. на контуре гра-
ницы появляется перегиб. Дальнейшее увеличение зазора между
пластинами (h > /г*) оказывается несовместимым с гидростатиче-
ским равновесием. Эти физические соображения, определяющие
Равновесная форма свободной поверхности жидкости 99
критическое значение высоты /г*, в аналитической форме выража-
ются соотношениями:
dcos\|/ ^ 1
= 0 ; cos\|/ = I при z = z*. (д)
dz
Первое из условий (д), будучи использованным в уравнении (г),
дает (с учетом исходного уравнения (а)):
* = ~Ao =
/z*-4cos9
Г7
2/2*
Используя полученный результат и второе из условий (д), из
уравнения (г) получаем
(ж)
После несложных преобразований, имея в виду что для
рассматриваемой задачи физический смысл имеют лишь положи-
тельные корни уравнения (ж), находим
/г* = 2л/1 + sin9. B.15)
Или в размерном виде
А; = 2bjl + sinG. B.15a)
На рис. 2.16 представлен график зависимости Л* =/(Э). Как и
следовало ожидать, критическая высота h имеет порядок капил-
лярной константы. Максимальная высота (/г* = 2 Jib) достигает-
ся при 0 = я/2.
Сравнение расчетов по формуле B.15а) с экспериментальными
данными, полученными в 70-х годах в Физико-техническом инсти-
туте низких температур АН УССР Ю. А. Кириченко (табл. 2.2), под-
тверждает справедливость теоретического анализа. Некоторое пре-
вышение опытных значений й? над рассчитанными по формуле
B.15а) объясняется, очевидно, тем, что принятый в расчетах угол
смачивания 9 = 0 едва ли достигался в экспериментах. Далее прове-
дем качественный анализ очертания границы. Координата сечения
100
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
30 60 90 120 150 180 9°
Рис. 2.16. Зависимость высоты зазо-
ра между пластинами от краевого
угла 0
Таблица 2.2. Сравнение опытных данных
Ю.А. Кириченко с расчетами
по формуле B.15а)
Жидкость
Этанол
Вода
Диэтило-
вый эфир
/г;эксп,мм
2,6
4,4
2,5
/г'расч
*
(при 0
2,4
3,9
2,2
мм
= 0)
z*, в котором достигается горизонтальный участок, равна согласно
соотношениям (е) и B.15):
z*/z* = 2A + sin0 -cos9). (з)
Кривизна Ао при z = 0 и Ah при z = h связаны согласно уравнению
(а) соотношением
Тогда находим из (е) и последнего соотношения:
A^h* =-2A + sinB -cos0);
A\h* = 2A +sin9 +cos0).
Полученные результаты позволяют качественно представить
профиль поверхности в моменты, предшествующие началу вытека-
ния жидкости.
Так, при 0 = 0 имеем согласно соотношениям (з) и (и):
А% =0
, h*
Rl = -;
z* =0.
Для 6 = - :
2
_ _ _
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 101
Рис. 2.17. Примерная фор-
ма очертания границы
жидкости в зазоре между
горизонтальными пласти-
нами при h hi, для значе-
ний Э = 0, я/2 и л
а) 9 = 0
1
Так как z* = - /z*, то Л\ -
2 °
При 0 = я получаем:
Aq = - ;
/2*
^ = 0;
4 4
- ; А\ -
На рис. 2.17 показана примерная форма очертания границы жид-
кости для углов 6 = 057т/2и7Г. Аналогично можно построить каче-
ственные картинки для любых значений углов.
2.4. РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ МЕЖФАЗНЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
На практике во многих важных случаях межфазная граница явля-
ется осесимметричной (жидкость в осесимметричных контейнерах,
пузырьки и капли на твердых поверхностях т.д.). На поверхности
земли ускорение свободного падения значительно (g0 = 9,81 м/с ).
Поэтому обычно равновесные размеры капель и пузырьков, а также
размеры сосудов (контейнеров), для которых учет сил поверхност-
ного натяжения необходим, невелики. Однако в ослабленных грави-
тационных полях (g « gQ) размеры (масштаб) проявления сил по-
верхностного натяжения растут. В связи с проблемами космонавти-
ки, ракетной механики и так далее вопросы равновесной формы
границы раздела жидкостьгаз (жидкостьжидкость) имеют сей-
час важное значение. К ним обращено внимание исследователей.
102
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Нужно отметить, что гидростатические задачи относятся к раз-
ряду так называемых «чистых» задач. Для них можно составить точ-
ное аналитическое описание. Поэтому в области гидростатики двух-
фазных систем преобладают теоретические и расчетно-аналитиче-
ские работы. Основные проблемы, качественный анализ характер-
ных задач, итоги расчетно-аналитических работ и численных иссле-
дований рассмотрены ниже.
2.4.1. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ
Примеры обсуждаемых задач приведены на рис. 2.182.21. На
рис. 2.18 показаны равновесные формы пузырьков и капель на пло-
ской поверхности. Характерным для этого случая является то, что
сила тяжести как бы «прижимает» объем дискретной фазы к поверх-
ности. На рис. 2.19 показаны очертания пузырьков и капель на пло-
ской поверхности в условиях, когда сила тяжести стремится как бы
«оторвать» объем от поверхности. Приведенные на рис. 2.18 и 2.19
картины охватывают случаи гидрофильной (9 < я/2) и гидрофобной
@ >7t/2) поверхностей.
////////у//////
///////У///////
Рис. 2.18. Капли и пузырьки
на горизонтальной твердой
поверхности (задачи типа I)
Рис. 2.19. Капли и пузырьки на
горизонтальной твердой поверх-
ности (задачи типа II)
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей
103
Рис. 2.20. Жидкость в цилиндрических контейнерах:
а, б нормальное и перевернутое положения
На рис. 2.20 показаны характерные случаи расположения жид-
кости в цилиндрических контейнерах при нормальной а и перевер-
нутой б ориентации в поле массовых сил. (Здесь также представле-
ны картины для гидрофильных и гидрофобных поверхностей.)
На рис. 2.21 показаны формы пузырька и капли на срезе капил-
ляра, а также капли и пузырька снаружи цилиндра. Для рассматри-
ваемых случаев на рис. 2.21 сила тяжести стремится «оторвать» объ-
ем дискретной фазы.
Приведенные картины охватывают ряд типовых случаев осесим-
метричных гидростатических задач. Конечно, число примеров мо-
жет быть продолжено (жидкость
частично заполняет сферический [
контейнер, обращенные задачи по
сравнению с рис. 2.21 и т.д.). Одна-
ко приведенных примеров доста-
точно, чтобы составить представ-
ление о характере задач и отметить
их качественные особенности.
Прежде всего сразу ясно, что
фактически имеются два типа за-
дач: тип I когда сила тяжести
стабилизирует («прижимает») дис-
кретную фазу, тип II когда сила
тяжести проявляет тенденцию
к дестабилизации межфазной гра-
б)
Рис. 2.21. Капли и пузырьки на
срезе капилляра (а), снаружи ци-
линдрического стержня (&)
104 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
ницы (т.е. «стремится оторвать» объем дискретной фазы)*. Соглас-
но [7, 27] задачи типа I будем называть случаем положительных пе-
регрузок, а задачи типа II случаем отрицательных перегрузок.
Для задач типа II интуитивно ясно, что при определенных условиях
гидростатическое равновесие окажется невозможным (или неустой-
чивым), и тогда будет происходить отрыв фазы (для задач
рис. 2.20, 6 перетекание жидкости вниз). Важной для практики
является проблема определения критических условий потери устой-
чивости в задачах этого типа.
Второй качественный вывод состоит в том, что гидростатиче-
ские задачи для капель и пузырьков (см. рис. 2.18, 2.19, 2.21) качест-
венно одинаковы в отношении очертания межфазной границы для
соответствующих задач типа I и II.
Единственное непринципиальное различие состоит в том, что
углу 9 в задаче для пузырька соответствует угол п8 в задачах для
капель. Это просто связано с условностью отсчитывать угол 0 все-
гда внутрь жидкости. (Если договориться использовать понятие
«контактного» угла 0*, отсчитываемого всегда внутрь сплошной фа-
зы, то отмеченное различие устраняется).
2.4.2. УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
И ЕГО КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Несмотря на кажущееся многообразие задач, их аналитическое
описание можно представить в единообразной форме. Составим
уравнение гидростатического равновесия для осесимметричных за-
дач. Для этого рассмотрим очертание межфазной границы вблизи
оси симметрии, как это показано на рис. 2.22, а. Гидростатическое
равновесие для этого случая описывается уравнением B.9):
2oH(z) = gApz + const, B.16)
где Ар = р' - р"; H{z) средняя кривизна тела вращения на высо-
те z. Постоянная const в уравнении имеет значение:
const = 2а#@) = ,
* Указать, какие из приведенных картин на рис. 2.182.21, относятся к тому или иному
типу задач.
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 105
Рис. 2.22. Очертания границы раздела фаз
в окрестности точки симметрии для задач
типа I (а) и типа II (б)
где i?0 радиус кривизны в точке z = 0. (Здесь оба радиуса кривиз-
ны, конечно, равны RQ.)
Очевидно, что уравнение B.16) определяет гидростатическое
равновесие для задач типа I. Если теперь поменять на рис. 2.22, а
местами фазы, т.е. рассмотреть картину рис. 2.22, б, то в уравнении
гидростатического равновесия нужно заменить (+Др) на (-Ар), где
Др = р'-р".
В итоге получим
2 oH(z) = - g A p z + const. B.16а)
Картина на рис. 2.22, б и соответствующее ей уравнение B.16а)
относятся к случаю отрицательных перегрузок.
Сравнивая B.16) и B.16а), можно видеть, что различие заключа-
ется лишь в знаке перед членом gApz. Поэтому для обоих типов за-
дач можно написать:
2oH(z) = ±gApz + const, B.166)
где «+» задача типа I (положительные перегрузки); «-» задача
типа II, отрицательные перегрузки.
Уравнение B.166) имеет тождественный вид для пузырьков и ка-
пель, относящихся к одинаковому типу задач. Это значит, что при
одинаковых размерах и значениях контактного угла очертания их то-
ждественны. Поэтому анализ может проводиться далее либо только
для капель, либо только для пузырьков. Количественный ответ будет
общим. На рис. 2.23 показаны очертания границы для случаев поло-
жительных и отрицательных перегрузок в окрестности точки симмет-
рии. Анализ рисунка делает очевидной попарную тождественность
задач одного типа для капель и пузырьков. (Для каждого типа задач
очертание границ допускает отражение относительно горизонтали,
проходящей через точку z = 0.)
106
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Тип1
Z и
0
Рис. 2.24. Изменение кривиз-
ны поверхности раздела в ок-
рестности точки симметрии
для задач типа I и типа II
Тип II
Рис. 2.23. Очертания границы капель и пузырьков в окрестности точки сим-
метрии для задач двух типов
Качественный анализ уравнения B.166), записанного в форме
H{z) =

B.16в)
показывает, что для задач типа I (знак «плюс» в уравнении) сред-
няя кривизна минимальна в точке z - 0 и далее непрерывно увели-
чивается. Напротив, для задач типа II (знак «минус» в уравнении)
средняя кривизна максимальна в точке z = 0 и далее непрерывно
падает. Этим выводам может быть дана следующая графическая
интерпретация. При невесомости (g = 0) кривизна постоянна и рав-
на H(z) = Я@), что соответствует сферической поверхности ра-
диусом 7?0. Из уравнения B.16в) видно, что при положительных
перегрузках (g ф 0) очертание поверхности должно уходить внутрь
окружности радиуса Ro; для задач типа II очертание поверхности
располагается вне окружности радиуса Ro. Это отражено на
рис. 2.24. Рис. 2.25 показывает приложение того же качественного
вывода к конкретным задачам типов I и И: капля а и пузырек б на
горизонтальной твердой поверхности.
Входящая в уравнения B.166) и B.16в) кривизна H{z) для осе-
симметричных поверхностей раздела фаз выражается дифферен-
циальным оператором более сложного вида, чем в плоских зада-
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей
107
'I-
,' (
/
1
\
\
\
\
4
^-.
Z '
) \
' a)
Рис. 2.25. Очертания границы капли (а) и пу-
зырька (б) на твердой поверхности в сравнении
с очертаниями сферы радиуса Ro
Вщ:. 2.26. К определению радиусов кривизны осесимметричной поверхности
чах. Общее выражение для средней кривизны, естественно, оста-
ется тем же:
R, R2
но для осесимметричных задач в любой точке поверхности оба ра-
диуса R{ и R2 конечны и (за исключением точки г = 0) не равны меж-
ду собой. В соответствии с рис. 2.26 радиусы R^n R2b произвольной
точке А поверхности раздела можно выразить через тригонометриче-
ские функции угла Ф между осью z и нормалью к очертанию грани-
цы раздела в точке А (или, что то же, между горизонтальной плос-
костью и плоскостью, касательной к поверхности раздела фаз в точ-
ке А). Радиус кривизны R{9 численно равный отрезку АВ, имеет та-
кой же смысл и выражение, как и в плоских задачах, т.е.
1 (
d5 A+Я
3/2
d
dr
1
1/2
dsinФ
dr
где d^ = л/dr +dz дифференциал дуги контура поверхности
2
dr .. d r
раздела; г = ; г = ;
dz
dzz
т основы гидростатики газожидкостных систем
Радиус кривизны R2 выражает объемный эффект в осесиммет-
ричных задачах. Осесимметричное тело может быть представлено
как результат вращения плоской кривой, изображенной на рис. 2.26,
вокруг оси 0Z. Следовательно, второй радиус кривизны в рассмат-
риваемом случае это отрезок АС на рис. 2.26, так что вторая кри-
визна поверхности в точке А может быть записана как
1 _ sinO
Именно наличие конечного радиуса кривизны R2 составляет
специфику осесимметричных задач гидростатики в сравнении
с плоскими, где R2 ~* °°. С учетом приведенных выражений радиу-
сов кривизны R{ и R2, кривизна осесимметричной поверхности раз-
дела фаз может быть записана в следующей компактной форме:
2H(z) = - (rsinO). B.17)
2 dr
(Существуют и другие варианты записи кривизны 2H(z), но выра-
жение B.17) наиболее компактное.)
Таким образом, с учетом соотношения B.17) уравнение гидро-
статического равновесия для осесимметричных задач B.166) прини-
мает вид
- (rsinO) = ±?^ + . B.18)
г dr a Ro
Выражая все линейные размеры (г, z, 7?0) в долях капиллярной
постоянной
(умножив все члены уравнения B.18) на Ь), получаем безразмерную
форму записи уравнения гидростатики. При этом, чтобы не услож-
нять символику, будем далее считать, что г, z, Ro безразмерные
величины, равные соответственно r76, z7Z>, R'^lb, где верхний ин-
декс «штрих» обозначает размерную величину.
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 109
С учетом сказанного основное уравнение гидростатического
равновесия в безразмерной форме записи имеет вид
- (rsinO) =±z + C0, B.18a)
г &г
где Со = (i?0 радиус кривизны в точке z = 0).
Ro
Знак «плюс» соответствует задачам типа I, знак «минус» за-
дачам типа II.
Итак, качественный анализ уравнения гидростатики для осесим-
метричных задач позволяет установить следующее:
средняя кривизна поверхности раздела фаз для указанных задач
всегда выражается через оба главных радиуса кривизны;
отличие двух типов задач отражается в уравнениях гидростати-
ки знаком («плюс» или «минус») перед членом, содержащим коор-
динату z в явном виде;
средняя кривизна поверхности раздела фаз по мере удаления от
точки симметрии возрастает при положительных перегрузках и
уменьшается при отрицательных.
Однако если качественная интерпретация двух типов задач гид-
ростатики для осесимметричных границ раздела фаз достаточно яс-
на, то количественное описание (получение уравнений) таких гра-
ниц представляет весьма трудную проблему.
Действительно, основное уравнение гидростатики B.18а) пред-
ставляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка, причем более сложное, чем для плоских задач. Равновес-
ная поверхность есть интеграл этого дифференциального уравне-
ния. В качестве граничных условий в зависимости от вида решае-
мых задач могут быть заданы: объем капли (пузырька) и значения
контактного угла 9* или радиуса капилляра; радиус контейнера и
значение контактного угла и т.д.
Трудность проблемы нахождения реальных равновесных очер-
таний поверхностей раздела фаз для осесимметричных задач связа-
на с двумя моментами:
во-первых, дифференциальное уравнение гидростатического рав-
новесия B.18а) относится к такому типу нелинейных уравнений, для
которых решение не может быть представлено в элементарных функ-
циях или табулированных специальных функциях, поэтому единст-
венный путь его решения состоит в численном интегрировании;
110 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
во-вторых, оказывается, что не все интегралы уравнений, т.е.
не все получающиеся в результате численного решения этого урав-
нения формы равновесных поверхностей, имеют физический
смысл. Дело в том, что кроме удовлетворения уравнения гидроста-
тического равновесия B.18а) форма границы раздела фаз должна
быть еще устойчивой (по крайней мере в малом, т.е. по отношению
к исчезающе малым случайным ее возмущениям). Поэтому вторая
трудность состоит в выделении физически реальных ветвей и уча-
стков решения, которые являются устойчивыми (в малом) и могут
наблюдаться на практике. Для разных видов задач границы устой-
чивости разные. (Например, для «свисающей» капли и жидкости в
«перевернутом» контейнере границы устойчивости, как будет по-
казано ниже, различны).
Первая трудность носит технический характер. Сегодня числен-
ное интегрирование не представляет принципиальных затруднений.
Анализ проблемы устойчивости представляет более трудную и тон-
кую задачу. За последние годы здесь достигнуты важные результаты
и разработаны эффективные методы анализа [7, 27], которые позво-
лили найти решения ряда важных для практики задач гидростатики.
2.4.3. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГИДРОСТАТИКИ
ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗДЕЛА ФАЗ
Уравнение B.18а) привлекает внимание исследователей уже
более века. В так называемый «домашинный» период преобладали
попытки его приближенного решения. Уже в 1883 г. Башфортс
(Bashforth) и Адаме (Adams) [50] опубликовали таблицы, получен-
ные методом численного интегрирования этого уравнения, связы-
вающие такие величины, как объем тела вращения, его высоту, ра-
диус основания и контактный угол. Эта гигантская ручная расчет-
ная работа (к сожалению, малодоступная) не дает, однако, подроб-
ной информации об очертании равновесных поверхностей раздела
фаз, особенностях изменения формы при различных значениях
Со = и границах устойчивости.
В 1935 г. В. Фритц [55] на основе этих таблиц с помощью графи-
ческих построений определил значения максимальных по объему
пузырьков (и капель), сидящих на плоской поверхности, для задачи
типа II, в зависимости от контактного угла 8* (для пузырьков
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 111
краевого угла 8). В связи с ограниченностью таблиц Башфортса и
Адамса полученные Фритцем результаты охватывают область 9* от
60 до 178°. Результаты этой работы приведены в табл. 2.3, где в за-
висимости от 8* (округленные значения) даны значения максималь-
ного (критического) объема F* (в единицах Ь3), а также значения
диаметра эквивалентной (по объему) сферы D* - D* = F* .
\6 )
Графический анализ результатов показал, что в области углов
6* = 60140° зависимость D* от 6* имеет практически линейный
характер:
D*=K0Q*; B.19)
D* = ; Ъ =
Ъ Vg(p'-P")
Константа ^0 = 0,0207, если измерять 8* в градусах, и KQ = 1,19, ес-
ли измерять 6* в радианах.
В те же годы A933, 1936 гг.) на основе опытных данных (к сожа-
лению, не очень надежных) было показано, что формулу B.19) мож-
но экстраполировать и в область малых значений контактных углов
(8* < 60°), вплоть до нуля. Эта формула получила большую извест-
ность и сейчас приводится во многих учебниках, научных статьях и
монографиях как формула Фритца. Обычно она записывается при
этом в размерном виде:
?>'* = 1,198*
B.19а)
Таблица 2.3. Данные В. Фритца [55] по зависимости предотрывных объемов капель
и пузырьков от контактного угла 9* (все размеры в долях Ь = 7а/[?(р'-р")] )
Вели-
чина
60
1,0
1,0
1,24
70
1,60
1,17
1,45
80
2,38
1,34
1,66
90
3,39
1,50
1,86
100
4,65
1,67
2,07
ПО
6,2
1,84
2,28
120
8,04
2,0
2,48
130
10,0
2,16
2,68
140
12,2
2,30
2,85
150
14,4
2,43
3,01
160
16,6
2,55
3,16
170
18,3
2,64
3,27

180
19,0
2,67
3,31
112 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Рис. 2.27. Схема отрыва парового пу-
зырька от твердой поверхности при
больших значениях краевых углов 9
где угол 9* выражается в радианах. Иногда (например, в литературе
по кипению) эта зависимость некорректно именуется формулой для
«отрывного диаметра парового пузырька по Фритцу». Первая неточ-
ность здесь состоит в том, что в действительности эта формула уста-
навливает эквивалентный (по объему) диаметр пузырька перед отры-
вом. В процессе отрыва (который, конечно, методами гидростатики
описан быть не может) в области углов более 80° пузырек разделяет-
ся, как показывают опыты, на две части, и отрывается лишь часть
объема (как это схематически показано на рис. 2.27). Кроме того, не-
обходимо помнить, что эта зависимость построена для условий гид-
ростатики, т.е. для условий отсутствия движения. При кипении пу-
зырьки растут с конечной (часто большой) скоростью, и жидкость
вблизи поверхности испытывает движение и интенсивные пульса-
ции. Однако для условий гидростатики формула Фритца вполне кор-
ректна и представляет несомненный интерес и достижение.
В 7080-е годы были выполнены широкие по охвату различных
задач расчетно-теоретические исследования равновесных форм по-
верхности раздела [7, 27]. (Монография [27] является русским вари-
антом книги, изданной первоначально за рубежом на английском
языке.) При численных расчетах уравнение гидростатического рав-
новесия преобразовывалось следующим образом. Вводя очевидные
определения:
dr / ^ dz / ^ ^Ф .,
- г - cosO; = z = sinO; = Ф ;
ds ds ds
±1 =/' = -2'Ф', = z" = г'Ф', B.20)
,2 ,2
ds ds
уравнение B.18а) можно записать в виде
{rz') =±z + C0. B.186)
rrf ds
Выражая кривизну поверхности
2#(z) = Ф' + -, B.17а)
г
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей
113
1,5
1,0
0,5
О
С
с
(
)
А.
~\
3
)
0,5 1,0
а)
1
) ,
У
Сп = 4,2
¦v^'
Рис. 2.28. Типичные резуль-
таты численного решения
уравнения гидростатики для
задач типа I (а) и II (б)
б)
получаем еще один вариант уравнения гидростатического равновесия:
B.18в)
'О'
(Здесь и далее используются безразмерные величины.)
Из B.186) непосредственным дифференцированием, а из B.18в)
умножением всех членов уравнения на zf получают с учетом обозна-
чений B.20) систему уравнений:
Z - Г \±
Г - -Z \±
B.21)
Эта система при граничных условиях
[email protected]) [email protected]) =z'@) = 0, r 40)= 1 B.22)
определяет однопараметрическое (параметр безразмерная кри-
визна Со в точке симметрии) семейство равновесных поверхностей
раздела фаз.
Типичный вид интегральных кривых, отражающих численное
решение задачи B.21), B.22), приводится на рис. 2.28. Форма рас-
четных равновесных поверхностей весьма сильно отличается для
задач типа I (положительные перегрузки, см. рис. 2.28, а) и типа II
(отрицательные перегрузки, см. рис. 2.28, б), в том числе при весьма
близких значениях кривизны в точке симметрии (Со = 2,5 на
рис. 2.28, а и Со = 2 на рис. 2.28, б). Для обоих типов задач обращает
на себя внимание «причудливый» характер кривых. Ясно, что физи-
чески реальны лишь некоторые начальные области таких кривых
(для простых по геометрии твердых поверхностей и контейнеров).
114
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Рис. 2.29. Равновесные фор-
мы осесимметричных по-
верхностей раздела фаз (мак-
симальные участки устойчи-
вости) для задач типа I
2,0
3,0 г
Так, обращаясь к рис. 2.28, а, можно видеть, что начальные вет-
ви кривых, вплоть до требуемого контактного угла 6* на верхней
части, определяют равновесные формы пузырьков и капель на
рис. 2.18. Начальные ветви тех же кривых до заданного значения г и
контактного угла 6* дают очертания свободной границы жидкости в
цилиндрических контейнерах (см. рис. 2.20, а) при нормальной ори-
ентации последних (жидкость внизу). Причем, как это следует из
приведенного выше анализа, равновесные формы границы в цилин-
дрических контейнерах для случаев краевого угла 9 ^ тх /2 по очер-
танию симметричны, что следует из приведенного выше качествен-
ного анализа (см. рис. 2.23).
Строгое количественное определение физически реальных уча-
стков поверхностей раздела, полученных в результате численного
интегрирования уравнения гидростатического равновесия (задача
B.21), B.22)), требует исследования устойчивости этих поверхно-
стей к исчезающе малым возмущениям, Такое исследование намно-
го более сложное, чем само численное интегрирование, было осуще-
ствлено в [7, 27], В результате были выделены максимальные уча-
стки устойчивости интегральных кривых, которые приводятся на
рис. 2.29 и 2.32 для случаев соответственно положительных и отри-
цательных перегрузок.
На рис. 2.29 приведена совокупность физически реализуемых
равновесных форм межфазной поверхности для задач типа I. Пара-
метром служит Со = . Все размеры (z, RQ, г) измеряются в долях
R
от Ъ = *Jo/[g(p' -p")]. Очевидно, что все приведенные кривые
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 115
соответствуют устойчивым состояниям двухфазной системы (пу-
зырьки и капли на поверхности, рис. 2.18, граница «мениска» в
круглых контейнерах или капиллярах, рис. 2.20, а).
Линия 1 рис. 2.29 является границей максимальных участков
устойчивости для поверхности пузырьков (под плоской поверхно-
стью) или капель (на плоской поверхности). Она «отсекает» физи-
чески нереальные участки кривых, соответствующих решениям
уравнения B.18а) для задач типа I. Точки пересечения кривой 1
с кривыми, выражающими равновесные формы поверхности для
различных значений Со, соответствуют краевым углам 0 = 0 (для
пузырьков) или и (для капель).
Кривая 2 на рис. 2.29 проведена через те точки кривых, где каса-
тельные к ним вертикальны. Она определяет границу максимальных
участков устойчивости свободной поверхности жидкости в круглых
контейнерах (рис. 2.20, а). Точки равновесных линий, совпадающие
с кривой 2, соответствуют краевым углам 6 = 0 или п. Таким образом,
видно, что максимальные участки устойчивости равновесных осе-
симметричных поверхностей раздела фаз различны для различных
конкретных задач. В частности, участки кривых между штриховыми
линиями 7 и 2 на рис. 2.29 соответствуют устойчивым (физически ре-
альным) формам свободной поверхности для капель и пузырьков, но
являются физически нереальными (неустойчивыми) ветвями кривых,
выражающих форму свободной поверхности жидкости в контейнере.
С учетом определений B.20) система B.21) позволяет построить
семейство кривых Ф = Ф(г), а также V - V(f) при различных значе-
ниях безразмерной кривизны Со в точке симметрии. Величина
V - {У')/Ъ безразмерное значение объема тела вращения, огра-
ниченного участком равновесной линии от z = 0 до текущего значе-
ния z = z(r) и плоскостью z = const. (В § 2.5 для V выводится анали-
тическое выражение.) Указанные семейства кривых для задач типа I
приводятся на рис. 2.30 и 2.31. Если, например, известны условия
смачивания и объем Vo капли на горизонтальной плоскости, то,
полагая 0* = Ф на основе рис. 2.30, можно построить кривую Со =
= С0(г) при Ф = 6*, а на основе рис. 2.31 кривую Со = С0(г) при
V= Vo. Точка пересечения этих двух кривых определяет единствен-
ные значения г и Со, соответствующие заданным 0* и Fo, что позво-
ляет найти на рис. 2.29 кривую, отражающую искомую форму капли
116
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Ф, град
45
О 1,0 2,0 3,0 г
Рис. 2.30. Зависимость Ф = Ф(г) для задач типа I
V
40
30
20
10
0
ПС *
U,о ^
i = 0,l
0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 г
Рис. 2.31. Зависимость V = V(r) для задач типа I
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 117
(пузырька). Аналогичную задачу можно решить с помощью номо-
грамм рис. 2.292.31 и для жидкости в контейнере.
В случае отрицательных перегрузок рис. 2.32 совместно с
рис. 2.33 и 2.34 позволяет найти равновесные формы поверхнос-
ти раздела для многих конкретных задач. Однако здесь наибольший
интерес представляют именно границы максимальных участков ус-
тойчивости интегральных линий, поскольку они определяют прак-
тически важные предельные состояния: объем (и форму) капель и
пузырьков перед отрывом, максимальный диаметр цилиндрического
«перевернутого» контейнера, при котором жидкость еще может ус-
тойчиво находиться в его верхней части, и т.п.
На рис. 2.32 сплошные кривые представляют собой гидростати-
чески равновесные формы межфазной поверхности для задач типа II.
Линии GAB, GDB, ВС, GJFH определяют границы максимальных уча-
стков устойчивости равновесных поверхностей раздела в гидроста-
тических системах для разного типа задач. Линия 0DB соответству-
ет предельным формам «свисающих» капель (или «сидящих» пу-
зырьков) на плоской поверхности при разных значениях контактно-
го угла 0* (для капель краевого угла 0). Ниже этой линии, огра-
ниченной справа границей ВС, находится область устойчивых
(в малом) двухфазных систем этого типа (на линии ВС контактный
угол равен нулю). Линия ОАВС соответствует предельным формам
капель и пузырьков на «срезе» капилляра (см. рис. 2.21, а). Линия
FH соответствует предельным формам границы раздела в «перевер-
нутых» цилиндрических контейнерах для различных контактных уг-
лов (точка F угол 0 (или п), точка Н угол тс/2). Вдоль линии
ОJFконтактный угол 0* = 0. Таким образом, устойчивым осесиммет-
ричным состояниям жидкости, подвешенной в цилиндре («перевер-
нутый контейнер», рис. 2.20, б), соответствуют интегральные линии,
оканчивающиеся внутри области 0ЯЕ/0(см. рис. 2.32). Равновесные
линии, оканчивающиеся внутри области 0GFDK0 (см. рис. 2.32), от-
вечают устойчивым состояниям жидкой капли, подвешенной на ци-
линдрическом стержне (или газового пузырька снаружи цилиндра,
целиком погруженного в жидкость) см. рис. 2.21, б.
Координаты характерных точек: точка В г- 3,24, z = 2,14, кри-
визна в точке симметрии для линии, проходящей через точку В:
Со = 1,57; точка С г = 3,83 (первый нуль бесселевой функции пер-
118
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
а
-
а
Я"
а
х
ей
S
S
S
о
о
CQ
Рис
Равновесная форма осесимметричных межфазных поверхностей 119
Ф, град
120
80
40
fc
Ж»
Ж
II
ж,
ш
8
,6
Г\2'4
¦
-

>,0
-0,8-
-0 6
-0,4-
со = о
.
,2-
^
0 1,0 2,0 3,0 г
Рис. 2.33. Зависимость Ф = Ф(г) для задач типа II
V
16
12
8
4
2
2,6
,8/
т
2,4
illi
i
р
ii
III
w,
2,o/
III
I
I/
i
1/
1 /
//
A
7
V
,6 1,4
/
1,2
1,0
~0,8
= 0,2
0 1,0 2,0 3,0 г
Рис. 2.34. Зависимость V = F(r) для задач типа II
120
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
вого порядка), z = 0; точка F г = 0,916, z = 1,46; точка Н г = 1,84,
z = 0. Эти результаты позволяют сделать ряд практически важных
заключений. Приведем основные из них.
а. Жидкость в «перевернутом» цилиндрическом контейнере
(рис. 2.20, б) при любом значении контактного угла 0* теряет устой-
чивость при г > 1,84. (Диаметр 3,686 предельный, когда жидкость
еще не переливается вниз при 9* = я/2). Диаметр 2*0,9166 =
1,8326 предельный при 0 = 0 или 0 = п (для воды Ъ - 2,6 мм). За-
висимость предельных значений радиуса «перевернутых» контейне-
ров, при которых жидкость еще сохраняет устойчивость, г* = /@*)
приведена ниже [7]:
л/6 я/3 я/2
1,45 1,75 1,84
б. Зависимость максимального
объема F* и эквивалентного диа-
метра ?)* для пузырьков и капель
хорошо соответствует табл. 2.3 и
формуле Фитца (во всяком случае
до углов©* >40°).
в. Зависимость максимального
объема F* от радиуса капилляра
9*, рад
г*
0
0,916
2гп
К
16
/
s
/

0
1,0
2,0
3,0
Рис. 2.35. Зависимость предотрыв-
ного объема V* капли (пузырька)
на срезе капилляра от радиуса ка-
пилляра г0 (сверху показана фор-
ма капли „а срезе «маленького»
и «большого» капилляров)
для «свисающих» капель и пузырь-
ков приведена на рис. 2.35.
Наибольшее значение F* = 19,1
(в единицах Ь ) достигается в точ-
ке В (см. рис. 2.32), т.е. при
Сопоставляя результаты пунк-
тов «а» и «в», можно еще отме-
тить, что при г0 < 0,916 потеря ус-
тойчивости (отрыв капли) при лю-
бом угле смачивания внутри ка-
пилляра не сопровождается про-
никновением газа внутрь капилля-
ра. При г0 > 1,84 отрыв может со-
Приближенные аналитические соотношения для малых капель и пузырей 121
провождаться «выливанием» жидкости из капилляра (проникнове-
ние в него газовых пузырей)*.
Кривые рис. 2.32 позволяют, таким образом, получать информа-
цию для различных конкретных задач. Например, по известным зна-
чениям радиуса «перевернутого» контейнера и контактного угла 6*
можно найти форму свободной поверхности жидкости в контейне-
ре; контактный угол и объем позволяют найти форму поверхности
капли или пузырька на твердой поверхности и т. д. Конечно, прак-
тически наибольший интерес представляют именно предельные
случаи, определяемые кривыми О ABC, ODBC, 0JFH0,0GFDK0n ра-
зобранные выше в пунктах «а», «б», «в».
2.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ
КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЕЙ
Наличие точных численных решений уравнения гидростатики
позволяет для некоторых частных случаев получить приближенные
аналитические соотношения и проверить их, сопоставляя с результа-
тами машинного счета. Ниже приводятся два таких соотношения для
пузырьков и капель на твердой поверхности и на срезе капилляра.
Прежде чем перейти непосредственно к выводу указанных соот-
ношений, получим два полезных уравнения, проводя несложные
преобразования над уравнением B.18а). Интегрирование этого
уравнения в пределах от 0 до г дает
rsin2 2 о
Интеграл в правой части можно представить в виде
Г A( 2Л 2 1 Г 2А 2 V
J z а (г ) = zr - - I яг dz = zr - -,
о к о к
где V объем тела вращения, ограниченного поверхностью, контур
которой имеет протяженность от точки симметрии до точки с теку-
щими координатами (г, z).
* Для воды b « 2,6 мм. Таким образом, например, диаметр трубы водопроводного крана,
который при слабой течи «капает полным сечением», лежит в области D < 510 мм.
122
ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
Рис. 2.36. Очертание осесимметричной поверхности для
весьма малых значений радиусов кривизны RQ в точке
симметрии
Таким образом, имеем
sinO
Вычитая B.23) из B.18а), получаем
сЫпФ Со 1 ( у Л
= ±- \z + .
B.23)
dr
B.24)
пг
Эти соотношения полезны при анализе графиков численного ре-
шения. Они позволяют при известных г, z, Co найти V, если задан
угол Ф (контактный угол 9*), или наоборот. В частности, линия FH
^™ г dsinO
на рис. 2.32 соответствует точке перегиба кривых, т.е. = 0.
dr
Отсюда можно найти объем V.
Применим теперь B.23) и B.24) и исходное уравнение гидроста-
тического равновесия B.18а) в предельных случаях: 6* « я/2
для капель и пузырьков на плоской поверхности и r0 « Ro « \
для капель и пузырьков на срезе капилляра радиусом г0. Как следу-
ет из анализа рис. 2.32, равновесная форма таких тел близка к сфе-
рической и отличается большими значениями кривизны (Со>> 1).
Рис. 2.36 воспроизводит примерное очертание капли (пузырь-
ка), соответствующее названным условиям. Точка А является точ-
кой перегиба на контуре (через эту точку на рис. 2.32 проходит
d sinO
кривая ODBC, и в ней = 0.
dr
Нетрудно показать, что эта точка соответствует основанию кап-
ли (пузырька), достигшей предельного, «критического» размера.
Действительно, при больших значениях i?0, т.е. для капель несколь-
ко большего объема, ни одна из кривых рис. 2.32, соответствующих
равновесным формам межфазной поверхности, не дает с гори-
зонтальной плоскостью заданного угла 6*. Это означает, что при за-
Приближенные аналитические соотношения для малых капель и пузырей 123
данном значении 9* капля несколько большего размера, чем RQ9 не
сможет устойчиво «свисать» с плоской поверхности («с потолка») и
оторвется. (Очевидно, те же рассуждения справедливы и для пу-
зырька, «сидящего» на твердой поверхности.)
Рассчитаем критический объем F* и соответствующий диаметр
эквивалентной сферы D* для рассматриваемого случая 0* « л/2.
Поскольку в задаче RQ « 1 (Со » 1), высота zA ~ 2R0, объем F* ~
4 я
~ - nR0 (малое отличие от сферичности в верхней части для оцен-
ки величин zA и F* несущественно). Из уравнения B.24), учиты-
вая, что рассматриваемая задача относится к типу II, при условии
dsinO
dr
= 0 находим
3 гл
Поскольку Ro « 1, имеем
В уравнении B.23) sinO = sin 6* ~ 9* (при условии 0* « я/2).
Отсюда находим
е./г; =2/л0.
Исключая из двух последних соотношений г *, получаем в итоге
А
или в размерном виде
D: = 1,239 * - . B.196)
Формула B.196) получена при условии 9* « я/2. Ее сравнение
с формулой Фритца B.19а) показывает, что различие в числовом ко-
эффициенте составляет около 3 %. (Есть основания считать соотно-
]24 ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
шение B.196) для области 8* « я/2 более точным, чем экстраполя-
ция формулы Фритца для этой зоны.)
Точка В на рис. 2.36, по-видимому, определяет радиус основания
г0 для критического пузырька (капли) на срезе капилляра. В этой
точке sinO = 1. Тогда из B.23) находим путем замены z ~ 2R0:
- - к0
1(\ ^-П 1*Tv
I?
o Ko 2nr
0
Поскольку rQ « Ro « 1, имеем
или
(Ъ \ш
R* = (j roj . B.26)
Эта зависимость показана на рис. 2.35 пунктирной линией.
Неожиданно оказывается, что формула B.26), справедливая для
г0 « 1, оказывается приближенно верной вплоть до г0 = 3, т.е.
существенно в более широкой области, чем это предполагалось
при выводе. То же можно заметить в отношении B.196), которая
практически совпадает с формулой Фритца, справедливой до уг-
лов 6* = 140°, т.е. 0,8тс.
Заметим, что B.26) обычно приводится в размерном виде
6tf?nG
D: =з B.26а)
V('")
В [63] экспериментально подтверждена справедливость этого со-
отношения для случая медленного вдува газа через капилляр диа-
метром d0.
В заключение необходимо отметить, что приведенные в § 2.5
приближенные аналитические решения были получены Д.А. Ла-
бунцовым для курса лекций по механике двухфазных систем, пер-
вую часть которого, включающую эти результаты, он прочитал
в МЭИ в 1975 г. Они вошли в изданное в 1977 г. учебное пособие
[20]. В том же году была опубликована статья Честерса [52], где
также аналитически, но другим методом были получены соотноше-
нияB.196) и B.26).
Глава третья
ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ
И УСТОЙЧИВОСТЬ
Множество технических проблем и ряд процессов в природе
связаны с волновым движением границы раздела фаз. Исторически
волновые движения первоначально изучались применительно к ана-
лизу морских волн, механизма распада жидких струй и т.д. В на-
стоящее время теория волновых движений относится к числу наибо-
лее полно разработанных проблем гидромеханики. Это справедливо
в первую очередь для ставшей уже классической линейной теории
колебаний и устойчивости, которая основана на двух основных до-
пущениях: принимается, что соприкасающиеся фазы невязкие
(идеальные) жидкости и что амплитуда волновых колебаний намно-
го меньше длины волны.
В последнее время в связи с общим ростом интереса к анализу
двухфазных систем решено немало более сложных задач, касаю-
щихся волновых движений. При этом рассматриваются нелинейные
волновые процессы (с конечной амплитудой), волновые движения
в вязких средах и т.д. Теория таких движений весьма сложна и в на-
стоящем курсе рассматриваться не будет. Мы ограничимся анали-
зом линейной теории, основные выводы которой в целом хорошо
согласуются с многочисленными опытными наблюдениями, так что
ее изучение представляет не только академический интерес.
3.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ
3.1.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В простейшем случае волнового движения горизонтальной по-
верхности раздела фаз (свободной поверхности жидкости неограни-
ченной протяженности) механизм возникновения волн можно пред-
ставить следующим образом. Любое возмущающее воздействие, вы-
звавшее искривление поверхности раздела, обусловливает возник-
новение сил, стремящихся вернуть поверхность к исходному со-
стоянию. Во первых, это силы поверхностного натяжения, пре-
126 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
пятствующие увеличению площади поверхности раздела фаз, во-
вторых, гравитационные силы, которые стремятся придать поверх-
ности ее первоначальное плоское состояние. Под влиянием этих сил
частицы жидкости, выведенные из состояния равновесия, будут
стремиться вернуться в него, но по инерции пройдут равновесное
состояние, снова попадут под воздействие восстанавливающих сил
и т.д. Если соприкасающиеся фазы невязкие, то возникают незату-
хающие волновые колебания свободной поверхности жидкости.
В реальной системе силы вязкости приводят к затуханию волн.
Теоретический анализ волновых движений чаше всего прово-
дится при оговоренных выше двух допущениях. Первое из них
предполагает, что соприкасающиеся фазы невязкие жидкости.
Это предположение оправдано тем, что в наиболее часто используе-
мых жидкостях с малой вязкостью (прежде всего вода) эффекты вяз-
кости существенны вблизи твердых поверхностей, тогда как в ана-
лизе волновых движений основное внимание сосредоточено на ма-
лой окрестности границы текучих сред, как правило, далеко отстоя-
щих от твердых стенок. Поле скоростей при безвихревом течении
идеальной несжимаемой жидкости определяется уравнением сохра-
нения массы, принимающим формулу уравнения Лапласа для по-
тенциала скорости ф (см. [3, 24, 26, 34]). Уравнение сохранения им-
пульса упрощается до уравнения Эйлера. Условия однозначности,
помимо обычного условия непроницаемости на твердых поверхно-
стях, включают условия совместности для потоков массы и импуль-
са на межфазной границе.
Поскольку форма границы раздела не известна заранее, а явля-
ется одной из основных целей анализа волновых течений, то в об-
щей постановке аналитическое решение задачи становится недос-
тупным. Второе допущение, используемое в классической теории
волновых движений допущение о малости амплитуды колебаний
поверхности раздела позволяет преодолеть эту трудность. Как
будет показано в дальнейшем, в рамках теории бесконечно малых
волн условия совместности фактически относятся к невозмущенно-
му состоянию границы раздела фаз.
Для плоских двумерных волновых движений решения уравне-
ния Лапласа для потенциала скорости получаются в виде произведе-
ний гиперболических и тригонометрических функций, а соответст-
вующая этим решениям форма границы раздела в общем случае
произведением синусоиды и косинусоиды [36]. Основные особенно-
сти волнового движения границы раздела фаз можно исследовать,
рассматривая более простой случай, когда начальное возмущающее
воздействие вызывает колебательное движение, описываемое одной
Основные характеристики волновых движений
127
гармоникой. Другими словами, мы ограничиваемся рассмотрением
одной элементарной волны, выделенной из совокупности волн, со-
ставляющих реальное периодическое движение поверхности. Разли-
чают два типа таких элементарных волн:
стоячие волны, описываемые уравнением:
h = A(t)smb; C.1)
прогрессивные волны, уравнение которых имеет вид
h = asm(kx-(dt). C.1a)
В соотношениях C.1) и C.1а): h отклонение точки поверхности от
положения равновесия в некоторый момент времени t\ A (t), a ам-
плитуда колебаний; х координата, отсчитываемая вдоль поверх-
ности раздела фаз; к = волновое число величина, обратная
Л
. 271
длине волны Л; со = круговая частота, связанная с периодом

колебаний tQ.
Как видно из рис. 3.1, в фиксированный момент времени t и
стоячая, и прогрессивная волна имеют один и тот же вид обычной
синусоиды с длиной волны X. (Напомним, что мы рассматриваем
только двумерные волны, которые представляют собой ряд парал-
лельных гребней и впадин, имеющих бесконечную протяженность
в направлении оси^.)
Различие между стоячими и прогрессивными волнами прояв-
ляется, если наблюдать процесс во времени. В случае стоячих
волн происходит только колебание уровня между фиксированны-
ми узлами (рис. 3.2, а), обусловленное переменностью во времени
амплитуды A{t).
+z-
Фаза (")
Фаза (')
Рис. 3.1. Поверхность разде-
ла фаз в исходном и возму-
щенном (пунктирная линия)
состояниях
Рис. 3.2. Стоячая (а) и прогрессивная (б)
волны в последовательные моменты вре-
мени /j < *2 < *з < *4
228 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Очертание прогрессивной волны перемещается в пространстве
со скоростью, определяемой соотношением:
Величина С называется фазовой скоростью.
На рис. 3.2, б показаны очертания прогрессивной волны в неко-
торые моменты времени tx < t2 < t^ < tA. Крестиком обозначен вы-
бранный для наблюдения гребень волны, скорость перемещения ко-
торого равна фазовой скорости С. (Заметим, что фазовая скорость
отнюдь не является физической скоростью движения каких-либо
частиц жидкости, которые, как будет показано ниже, не участвуют
в макроскопическом перемещении вдоль оси х.)
Прогрессивная волна может распространяться как слева направо
(соотношение C.1а)), так и справа налево. В физическом отношении
эти случаи совершенно эквивалентны (ибо процесс не должен зави-
сеть от того, в какую сторону мы условимся считать направление
оси х положительным). Для прогрессивной волны, бегущей справа
налево, уравнение имеет вид h = я sin (far +GM)- Теперь очевидно, что
стоячую волну можно получить просто как суперпозицию (наложе-
ние) двух встречных прогрессивных волн*. Поэтому далее будем
рассматривать лишь прогрессивные волны.
3.1.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА
При рассмотрении волновых движений главной задачей анализа
является ответ на вопрос о развитии возмущений поверхности раз-
дела во времени. Если первоначально наложенное на поверхность
возмущение не будет нарастать во времени, то граница раздела фаз
устойчива. Если же амплитуда волн, вызванных некоторым произ-
вольным возмущающим воздействием, будет неограниченно нарас-
тать во времени, то система неустойчива. Очевидно, что вопрос об
устойчивости границы раздела фаз имеет очень много приложений
к различным техническим задачам.
С точки зрения формального анализа для решения вопроса об
устойчивости границы раздела фаз необходимо установить связь
между круговой частотой со и волновым числом к9 физическими
свойствами фаз, условиями протекания процесса. В случае, когда
* a [sin (Ье-о 0 + sin(Ax + wO] = 2acosaysinfoc = Л @ sin fa.
Основные характеристики волновых движений 129
рассматривается устойчивость плоской границы раздела двух иде-
альных жидкостей, имеющих скорость относительного движения
Uo в поле тяжести интенсивностью g (см. рис. 3.1), математический
анализ дает решение вида
со=со(?, t/0, р', p",g, a).
Оказывается, что здесь возможны два принципиально различ-
ных случая:
1) при любых к > О (к > 0) величина со вещественна. Это означа-
ет, что наложение на границу раздела фаз возмущений вида C.1а)
вызывает распространение по поверхности незатухающих прогрес-
сивных волн. Такой случай называется нейтральной устойчивостью.
(В действительности из-за влияния вязкости, которым мы пренеб-
регли, такие волны должны постепенно затухать, и их амплитуда а
медленно падать со временем. Энергия колебаний фаз постепенно
диссипирует, превращаясь в теплоту. Система устойчива, так как
возвращается с течением времени в исходное состояние.)
2) область к > 0 (к > 0) подразделяется на две подобласти. В од-
ной по-прежнему величина со вещественна, и здесь все сводится
к предыдущему случаю. Но в другой подобласти чисел к (длин волн
к) величина со оказывается мнимой (в общем случае комплекс-
ной): со = /со7. Известно, что тригонометрические функции sin (/со,1\
cos(/co/1) равны ish((oft) и ch^O- Последние с ростом времени не-
су
ограниченно растут, и при больших соу t пропорциональны е . Это
значит, что амплитуды волн, выражаемые соотношением C.1а) на-
чинают неограниченно расти. Система удаляется от первоначально-
го состояния, что означает ее неустойчивость. Если скорость отно-
сительного движения фаз при этом равна нулю, то такая неустойчи-
вость называется неустойчивостью Тейлора. В случае конечной
скорости относительного движения фаз неустойчивость границы
раздела называется неустойчивостью Гельмгольца.
При анализе неустойчивости интерес представляет, во-первых,
граница волновых чисел к = к* (длин волн к = X*), соответствую-
щих возникновению неустойчивости, а, во-вторых, значения к = &**
(к = X**), при которых значение со, максимально, т.е. максимальна
скорость нарастания амплитуды волн (скорость развития неустой-
чивости). Соответствующая длина волны X** называется «наибо-
лее опасной».
130 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
3.2. АНАЛИЗ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА
НЕПОДВИЖНЫХ ФАЗ
3.2.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ СОХРАНЕНИЯ
Количественный анализ мы начинаем с простейшего случая, со-
ответствующего рис. 3.1, на котором изображена плоская поверх-
ность раздела двух фаз (плоскость z - 0), неподвижная в исходном
состоянии. Ускорение поля массовых сил (ускорение свободного
падения) постоянно и нормально границе.
В исходном состоянии распределение давления в фазах опреде-
ляется формулами гидростатики:
P{.)p]g9 ();
p°'(z) =p°s-gp'z (z<0),
где ps давление на границе раздела фаз, индекс «0» означает ис-
ходное (начальное) состояние.
Пусть далее к поверхности в некоторый момент прилагается ма-
лое возмущение. После этого граница и прилегающие слои обеих
фаз придут в движение. Как уже говорилось, основные черты такого
движения можно установить, анализируя поведение элементарной
волны, определяемой соотношением C.1а). Далее примем основные
допущения линейной теории: а « X, т.е. амплитуда мала в сравне-
нии с длиной волны, обе фазы являются невязкими и несжимаемыми
жидкостями. Эти допущения позволяют существенно упростить ма-
тематическое описание задачи. В частности, условие а « X позволя-
ет рассматривать h и все ее производные как малые порядка а IX, а
квадратичные члены относительно этих величин опускать в уравне-
ниях как малые более высокого порядка. Очевидно также, что ско-
рости возмущенного* движения фаз по порядку величины равны
Эй
производным , т.е. (так же, как и возмущенные давления) малые
dt
порядка а/Х. В рассматриваемой задаче математическое описание
возмущенного движения фаз включает в себя:
* Под понятием возмущенного движения далее будем понимать движение, вызванное на-
личием поверхностных волн.
уравнение
баланса
dux duz
дх dz
уравнение
9и+
duz
Р +
баланса
др п
э^ ~ '
массы
импульса (в проекциях на оси х и z):
Анализ волнового движения плоской границы раздела неподвижных фаз 131
C.3)
C.4)
C.5)
а также условия совместности, которые будут рассмотрены ниже.
Здесь и, р возмущенные значения скорости и давления, которые
предполагаются малыми величинами. Уравнения C.3)C.5) линей-
ны (первой степени) по возмущениям, что составляет особенность
линейной теории. (В уравнениях движения C.4) и C.5), как малые
дик
второго порядка, отброшены квадратичные члены вида ип .)
дхп
Соотношения C.3)C.5) справедливы во внутренних объемах
фаз, и при их приложении к одной из фаз всем величинам (р, щ р)
присваивается ее индекс.
Следует подчеркнуть, что полное уравнение баланса импульса
(в проекции на ось z) для рассматриваемой задачи в пренебрежении
малыми второго порядка имеет вид
duz dp dp
р = - - + ?Р
dt dz dz
В этом уравнении члены, соответствующие возмущенному движе-
( duz ЭпЛ
нию р , , намного меньше, чем члены, отражающие исход-
V dt dz)
ное состояние системы (их отношение имеет порядок а IX), так что
из него получаются фактически два уравнения, содержащие величи-
ны одного порядка: уравнение C.5) для возмущенного движения и
уравнение, описывающее исходное состояние системы и дающее
при интегрировании соотношения C.2) для каждой из фаз. Таким
образом, допущения линейной теории позволяют рассматривать
132 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
фактически независимо друг от друга систему уравнений невозму-
щенного движения (в данном случае исходных уравнений гидроста-
тики) и систему уравнений возмущенного движения, составленных
из малых величин.
Дифференцируя уравнение C.4) по х, а уравнение C.5) по z и
складывая их, с учетом уравнения неразрывности C.3) получаем
з2 з2
^ + ^=0. C.6)
2 2
Эх dz
Это уравнение может заменить одно из соотношений C.4) или C.5).
В анализе будем предполагать, что протяженность обеих фаз
вдоль оси z значительна (теоретически бесконечна). Поэтому для
возмущений должны выполняться условия (и, р) * 0 при z > ±оо?
(где знаки плюс и минус относятся соответственно к верхней и
нижней фазам двухфазной системы). Это следует из того, что ко-
лебательное (возмущенное) движение обладает конечной энергией
и может охватывать лишь конечные области фаз, примыкающие к
границе раздела.
3.2.2. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
Условия совместности на возмущенной границе фаз включают в
себя соотношения для потоков массы и нормальной компоненты им-
пульса. Так как граница предполагается непроницаемой, то условие
совместности для потока массы, рассмотренное в § 1.7, имеет вид
где Cs скорость границы раздела фаз.
В силу условия я/А, « 1 это соотношение в данном случае уп-
рощается, так как нормальные к возмущенной границе скорости ип
в линейном приближении равны:
duz
un(h) [email protected]) + -±h + [email protected]), (*)
OZ
где [email protected]) вертикальная компонента скорости при z = 0.
Анализ волнового движения плоской границы раздела неподвижных фаз 133
Скорость движения межфазной границы Cs в том же приближе-
нии равна:
с = *
В итоге условие непроницаемости (*) принимает вид
^ = „; = ** приz = 0. C.7)
Динамическое взаимодействие фаз на непроницаемой границе
определяется соотношением
с**)
где Р = р + р полное давление, складывающееся из невозмущен-
ной и возмущенной части; Н средняя кривизна поверхности.
Таким образом,
[P(h)] = P"{h)-P'(h) =/" (h) V (A) +p"(h) ~p'{h).
С учетом соотношений C.2) разность невозмущенных давлений на
уровне h:
где Ар =р/-р//.
Возмущенное давление на уровне Л, p(h), в линейном прибли-
жении равно р @) возмущенному давлению на уровне z = 0. Дей-
ствительно,
р{К) =/[email protected]) + ^ А+... -р@).
Таким образом, как говорилось в п. 3.1.1, линейное приближе-
ние позволяет записать условия совместности для потоков массы и
импульса через значения возмущенных скоростей и давлений на ис-
ходной (невозмущенной) поверхности. Для двумерных волн кривиз-
* Скорость границы раздела для прогрессивной волны рассмотрена в примере к п. 1.7.1.
В нашем случае*, =x;x2 = z; С, = -Д1 +[-J J ^-., -J-- i2.
К34 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
на поверхности выражается через один радиус кривизны, т.е. (ис-
пользуя линейное приближение)
Таким образом, условие (**) запишется:
Э2/г
=o . C.8)
Эх2
Уравнения C.7) и C.8) представляют необходимые условия со-
вместности на возмущенной границе в линейной теории. Эти усло-
вия должны выполняться в любой точке (любое х) и в любой мо-
мент времени (любое t).
3.2.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Из физических соображений представляется очевидным, что
при возмущающем воздействии на границу раздела, определяемом
соотношением C.1а), давление и скорость возмущенного движения
должны выражаться некоторыми периодическими функциями. Со-
поставляя уравнения C.1а) и C.8), можно заключить, что возмущен-
ное давление в каждой из фаз выражается уравнением вида
р = p(z) sin (be - Ш), (а)
где j?(z) некоторая функция, зависящая только от z.
Подставляя это выражение в соотношение C.6), находим
dz2
Следовательно, неизвестные функции p(z) имеют вид
p(z) = Ae
Анализ волнового движения плоской границы раздела неподвижных фаз 135
Выбор знаков перед показателем экспоненты определяется обраще-
нием/? для верхней и нижней фаз в нуль при z * ±оо. в итоге имеем:
p" = A"e~kzsm(kx-m);
. (б)
р' = А'е sin (Ье-СО/).
Далее, из анализа условия C.7), уравнения C.5) и решения (б)
для возмущенного давления можно заключить, что структура выра-
жений для uz имеет вид
uz = В e±/rzcos (кх - со0? (в)
причем из условия C.7) видно, что для обеих фаз
В = -а со. (г)
Теперь из z-проекции уравнения движения C.5) определяем А' и
А" в (б). После подстановки р и uz находим:
*9:
Таким образом, имеем для возмущенного давления в каждой из фаз:
2
р" - -р"а е~ sin(kx - Ш);
р' = р'а ekz sin(kx-(ot).
к
Подставляя, наконец, в C.8) значения давления в соответствии
с соотношениями (д), а также по соотношению C.1а) величины h и
, находим
Эх2
р'+р"
Целью всего анализа являлось получение этого соотношения, связы-
вающего частоту со (или период t0) и волновое число к (или длину
136 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
волны X), а также физические свойства фаз (р', р", а) и ускорение
свободного падения, выступающее как внешнее условие протекания
процесса. Отметим еще, что если обе части C.9) разделить на к , то
получим выражение для фазовой скорости волны
^ (ЗЛО)
р")
3.3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИЗА. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ
ЖИДКОСТИ
3.3.1. ГРАВИТАЦИОННЫЕ И КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ
Полученное в § 3.2 соотношение C.9) позволяет провести ис-
следование на устойчивость системы, состоящей из двух неподвиж-
ных фаз, разделенных плоской поверхностью раздела. Как указыва-
лось в § 3.1, система устойчива, если круговая частота со веществен-
на. В нашем случае
р' + р"
Таким образом ясно, что вопрос об устойчивости зависит от знака
величины gAp = g(p' - р"), ибо все остальные величины под корнем
существенно положительны. Далее проанализируем случай, когда
gAp > 0, т.е. р" < р' (легкая фаза находится над тяжелой). Очевидно,
что при этом условии при любых положительных к (к > О, X > 0) ве-
личина со вещественна. Этот случай соответствует распространению
на поверхности прогрессивных волн, система находится в нейтраль-
ном равновесии*. С ростом волновых чисел к круговая частота со
увеличивается. Интересны предельные по к соотношения, соответст-
вующие случаям длинных (гравитационных) и коротких (капилляр-
ных) волн. Линейным масштабом, придающим смысл такой класси-
фикации волн по их длине, служит капиллярная постоянная
Ъ =
* Будучи выведена из состояния первоначального покоя, система испытывает не затухаю-
щие (но и нерастущие) во времени колебания. В действительности под влиянием вязкости,
как отмечалось, такие колебания постепенно затухнут.
Исследование результатов анализа. Волны на поверхности жидкости 137
Длинные (гравитационные) волны. К длинным относятся волны,
для которых справедливо неравенство X » Ь. Это условие эквива-
лентно соотношениям: кЪ « 1; к а « gAp. Тогда для длинных волн
круговая частота
р + р
Учитывая, что со = , к - , из C.12) имеем связь периода
'о *
с длиной волны X:
и = \2пХ 2-^Р_. C.13)
Ч gAp
Из C.12) и C.13) достаточно ясен смысл второго названия длинных
волн гравитационные, ибо все характеристики этих волн опреде-
ляются плотностями фаз и ускорением свободного падения. Для сис-
темы воздухвода область гравитационных волн при g = 9,81 м/с
определятся неравенством X > 10 см. Это, в частности, морские вол-
ны. Их фазовая скорость С = = определяется выражением
к t0
С= XgAp , C.14)
V27i(p' + p")
т.е. фазовая скорость для гравитационных волн растет с ростом дли-
ны волны. Порядок величины С дает расчет при X = 1 м (g = 9,81 м/с ,
р'= 103кг/м3; р"= 1,2 кг/м3): С= 1,25 м/с.
Короткие (капиллярные) волны. Для таких волн справедливо
X « Ь. Это условие эквивалентно соотношениям: 1 « kb',
gAp «ко. Таким образом, для коротких волн имеем
со =k Iк. C.15)
А/Р' + Р"
Связь периода ^0 и длины волны X имеет вид
2лст
C.16)
Ш ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Короткие волны, определяемые соотношениями C.15) и C.16),
называются капиллярными. Смысл названия очевиден: все харак-
теристики таких волн определяются капиллярными силами. Ино-
гда используют иное название капиллярных волн «рябь». Для
системы водавоздух область капиллярных волн ограничена ус-
ловием X < 1 мм.
Фазовая скорость капиллярных волн
С= 2ЯСТ , C.17)
т.е. растет при уменьшении длины волны. Порядок величины С при
Я = 1 мм (а ~ 7 10" Н/м) составляет примерно 0,7 м/с.
3.3.2. БЕЗРАЗМЕРНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ
В общем случае связь фазовой скорости С с длиной волны пред-
ставлена уравнением C.10). Его можно записать в безразмерной
форме, если ввести:
безразмерную длину волны
kb 2nb
безразмерную фазовую скорость
где Ъ = / капиллярная постоянная (масштаб длины); U+ =
масштабная скорость, зависящая лишь от физиче-
ских свойств двухфазной системы и ускорения свободного падения g.
(Для системы воздухвода при комнатной температуре и атмо-
сферном давлении U+ - 0,16 м/с.)
Теперь соотношение C.10) принимает простой вид
C.10а)
Исследование результатов анализа. Волны на поверхности жидкости 139
4 X
Рис. 3.3. Зависимость безразмерной фазовой скорости от безразмерной длины
волны
График С = /(А,), соответствующий формуле C.10а), показан
на рис. 3.3. Минимальное значение фазовая скорость С принимает
при X = 1 (что легко проверяется из условия dC/dX = 0) и равна:
Смин = ,/2 «1,41 (приХ = 1).
Предельные случаи: гравитационные и капиллярные волны характе-
ризуются соответственно соотношениями С = лД и С = Jl/X;
графики этих зависимостей показаны на рис. 3.3. пунктиром. (Для
системы воздух-
-вода Смин = СП+ = /2 U+~ 0,22 м/с.)
3.3.3. ТРАЕКТОРИИ ЧАСТИЦ ПРИ ВОЛНОВОМ ДВИЖЕНИИ
Для полноты картины найдем траектории индивидуальных
частиц фаз. Из уравнения (в) и уравнения неразрывности C.3)
находим:
+ kz
uz = Be cos(kx- со/);
" z
0H
C.18)
(верхний знак для верхней фазы, нижний для нижней).
Вследствие условия а « X в C.18) можно положить х = х ,
z = z (т.е. координаты соответствуют положению частицы в со-
Ш ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
стоянии равновесия), а и, и mv рассматривать как uz = {z-z ),
dt
d оч
w^ = (x-x ), т.е. как скорости изменения индивидуальных ко-
dt
ординат частицы во времени. При этих условиях, интегрируя
C.18), получаем:
О ^kz° 1 . /7 0 .
z-z = -Be - sm(kx -CO/);
со
О , n Tkz° 1 /у О v
х-х = ±5е - cos(?x -со/),
со
откуда, учитывая, что В = -асо, определяем траектории частиц
в фазах:
, 0 2 о 2 2 T2kz°
(z-z)+(x-x) = a e
Таким образом, индивидуальные частицы фаз движутся по окруж-
ности с угловой скоростью со. Модуль скорости такого движения
постоянен, что также отвечает движению
индивидуальных частиц по окружностям.
Итак, в прогрессивной волне каждая частица испытывает малые
колебания около положения равновесия и движется по окружности во-
круг своего положения равновесия (х , z ). Эти заключения важны в
том отношении, что они доказывают высказанное ранее положение об
отсутствии макроскопического смещения частиц. Поэтому фазовая
скорость волны С=со/к есть лишь скорость «движения» выделенного
для наблюдения гребня (или впадины), но никак не скорость вещества.
3.3.4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Весь предшествующий анализ относится к волновым движени-
ям на поверхности жидкости, глубина которой может быть принята
бесконечно большой. В практических задачах представляет интерес
анализ распространения волн на поверхности жидкости конечной
глубины h0 (рис. 3.4).
Примем, что над поверхностью жидкости находится воздух,
плотность которого р" « р'. Это дает основание не учитывать вовсе
вторую фазу. Будем, кроме того, рассматривать лишь гравитацион-
Исследование результатов анализа. Волны на поверхности жидкости 141
Рис. 3.4. Волны на поверхности жидкости
глубины /*Q
- X
>
ные волны, т.е. опускаем также поверхностное натяжение*. Тогда
kz
в решении для uz множитель е следует заменить множителем
sh(M0) '
чтобы при z = -/*0, т.е. на дне, величина uz обращалась в нуль. Соот-
kz
ветственно в решении для р множитель е следует заменить на
множитель
ch(kh0) '
чтобы при z = О его величина равнялась 1. Тогда после простых вы-
числений можно найти
. C.19)
Из этого соотношения видно, что при khQ » 1 со = 4~gk, так
как th(kh0) > 1. Это отвечает жидкости неограниченной глубины.
В случае kh0 « 1 величина th(kh0) -* khQ и из соотношения C.19)
следует, что со = kjgh0. Это отвечает волнам на поверхности
«мелкой жидкости». Видно, что понятие «мелкая жидкость» ус-
ловно, так как для выполнения последнего соотношения нужно
К
лишь kh0 « 1 или 2тс « 1 .
Л
Фазовая скорость на поверхности «мелкой жидкости»
C-20)
* Общий случай, когда учитываются р" и а, не представляет особых затруднений при ана-
лизе и может быть рассмотрен читателями самостоятельно.
142 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Очевидно, что по сравнению с «глубокой жидкостью»
с учетом того, что к » h0, имеем
chСкорость волны на поверхности «мелкой жидкости» меньше, чем на
поверхности «глубокой жидкости». Этим объясняется известное явле-
ние разрушения морских волн на пологом по очертанию дна берегу.
Найдем значение Ch при hQ = 2 м. Из соотношения Ch = Jgh0 ~
~ V20~4,5 м/с ~ 16 км/ч. Это фазовая скорость распространения
длинных волн X» 2nh0 на поверхности мелкого водоема.
3.3.5. ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Хотя в описании волновых движений мы ориентируемся на ре-
зультаты классической линейной теории, несколько практически
важных сведений о волнах конечной амплитуды представляются
вполне уместными.
Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых те-
чений энергично развивается в последние годы благодаря широкому
использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании
аналитических методов решения обычно представляются в виде
бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует
большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведе-
нии волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью
различных приближенных методов. В частности, если в описании
гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплиту-
ды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины
имеет вид
h = a cos(kx) + - а к cosBfoc) + - а к cosC?x).
2 8
Скорость распространения такой волны
Неустойчивость Тейлора 143
В отличие от фазовой скорости бесконечно малых волн, выра-
жаемой формулой C.14), здесь она растет с амплитудой.
Гравитационные волны конечной амплитуды имеют несиммет-
ричные отклонения вверх и вниз от нулевого (исходного) уровня:
возвышение имеет большую высоту, чем понижение, но меньшую
ширину (т.е. размер в направлении оси х).
В практическом плане очень важны уединенные волны [36], или
солитоны отдельные возвышения поверхности жидкости, кото-
рые распространяются с постоянной скоростью по поверхности ка-
нала конечной глубины. Уравнение уединенной волны на поверхно-
сти жидкости в канале с глубиной h0 имеет вид [36]
hc =
Ь(Л0 ¦
C.22)
Гребень уединенной волны возвышается над нормальным уровнем
жидкости на значение а, которое можно принять за амплитуду вол-
ны. Скорость распространения уединенной волны
больше, чем предельная скорость распространения волны малой ам-
плитуды, определяемая согласно C.20), причем она растет с ростом
амплитуды.
3.4. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЙЛОРА
Теперь проанализируем случай, когда в системе, изображенной
на рис. 3.1, g(p' - р") < 0, т. е. когда р" > р'. Это означает, что тяже-
лая жидкость находится над легкой.
Общее решение C.11) может быть представлено в виде
m=± кки~^, C-24)
V P' + P"
где Ар = р" - р' положительная величина.
Из анализа этого выражения нетрудно установить, что если
k2a > #Др, то круговая частота со по-прежнему вещественна, и то-
гда справедливы заключения § 3.3, т.е. в области капиллярных
144 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
волн система устойчива и в том случае, когда тяжелая жидкость
находится сверху.
Более интересен случай, когда к о < gAp. Тогда величина со ста-
новится чисто мнимой. При этом амплитуда волн начинает неогра-
ниченно расти во времени, и тогда исходное состояние двухфазной
системы оказывается гидродинамически неустойчивым. Как уже от-
мечалось, такого рода неустойчивость называется неустойчиво-
стью Тейлора (или РэлеяТейлора [30]). Физическая интерпрета-
ция неустойчивости Тейлора следующая. В действительности на на-
чальное невозмущенное состояние системы всегда накладываются
малые случайные возмущения. Их можно представить как наложе-
ние прогрессивных волн разной длины. Те волны, для которых вол-
новые числа попадают в диапазон значений, определяемых услови-
ем к а < gAp, начинают неограниченно расти по амплитуде и при-
водят к разрушению исходного состояния системы.
Для нахождения значений А,* и А,**, т.е. длин волн (и соответст-
вующих волновых чисел к* и к**), отвечающих возникновению неус-
тойчивости Тейлора и наиболее быстрому ее развитию во времени,
удобно представить соотношение C.24) в безразмерном виде. Вос-
пользовавшись обозначениями § 3.3 и соотношением C.10а), имеем
График зависимости со (X) представлен на рис. 3.5. Значение
X*, соответствующее возникновению неустойчивости Тейлора, оп-
ределяется из условия со = 0. Имеем
= 2пЬ = 2п -Z-. C.25)
VA
Наибольшее по абсолютной величине значение со в отрицатель-
ной области определяет так называемую «наиболее опасную» длину
волны Я**, при которой относительная скорость нарастания амплиту-
ды наибольшая, т.е. возмущения нарастают с наибольшей скоростью.
Неустойчивость Тейлора
145
Нейтраль-
ная устой-
чивость
Неустойчивость
Тейлора
К*
Рис. 3.5. Зависимость круговой частоты от длины волны
(безразмерные величины)
Из условия экстремума
d(co2)
= О
находим, что
** = л/3 , т.е. А,** =
. В размерном виде
** = 2nj3b = 2nJ~3
C.26)
В простейшем понимании неустойчивость Тейлора это про-
сто неустойчивость поверхности жидкости в перевернутых сосу-
дах. Однако существует и ряд более тонких примеров. Так, пусть
в слабом гравитационном поле сосуд с жидкостью (рис. 3.6, а) на-
чинает двигаться с постоянным ускорением а > g вниз. Тогда в
системе координат, связанной с сосудом, происходит как бы
«включение» отрицательного ускорения поля массовых сил (аg).
В итоге, на поверхности жидкости будет возникать неустойчи-
вость Тейлора (во всех соотношениях, приведенных выше, теперь
нужно использовать эффективное ускорение (аg)), и жидкость
будет вытекать из сосуда.
Линейная теория не дает ответа на вопрос о временном разви-
тии неустойчивости Тейлора. Опытные наблюдения показывают,
что начальная стадия развития тейлоровской неустойчивости хоро-
шо предсказывается линейной теорией. На поверхности раздела фаз
возникает синусоидальное очертание с длиной волны X**, т. е.
146
ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
б)
Рис. 3.6. Жидкость в «падающем» сосуде:
а невозмущенное состояние; б развитая
неустойчивость
Рис. 3.7. Жидкость в пере-
вернутом сосуде, удерживае-
мая жесткой сеткой
«наиболее опасная» длина волны быстрее всего нарастает по ампли-
туде. Наблюдения Льюиса [65] показывают, что экспоненциальный
рост амплитуды волн X** продолжается до амплитуд около 0,4 X**.
Затем поверхность приобретает форму столбиков газа, проникаю-
щих в жидкость (рис. 3.6, 6), после чего скорость проникновения
столбиков становится постоянной, пропорциональной *Ja- g.
На рис. 3.7 показано еще одно интересное приложение анализа
неустойчивости Тейлора. Если на поверхность жидкости в сосуде
наложить жесткую сетку (гидрофобную или гидрофильную) с раз-
мерами ячейки менее А,* =2пЬ (т.е. для воды менее 15 мм), то жид-
кость не будет вытекать из перевернутого сосуда. Это объясняется
тем, что сетка ограничивает допустимые длины волн возмущений
X < X*, и при этом неустойчивость Тейлора устраняется.
3.5. ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ПРИ ОТНОСИТЕЛЬНОМ
ДВИЖЕНИИ ФАЗ
3.5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается следующая задача: начальное состояние двух-
фазной системы характеризуется плоской поверхностью раздела
двух невязких, несжимаемых фаз, которые имеют относительную
скорость движения Uo. Ускорение свободного падения (поля массо-
вых сил) направлено по нормали к границе.
Выберем систему отсчета, в которой нижняя фаза неподвижна,
верхняя движется со скоростью Uo в положительном направлении
осих (рис. 3.8).
Волны на границе раздела при относительном движении фаз 147
Распределение давлений в началь-
ном (невозмущенном) состоянии опре-
деляется теми же формулами гидроста-
тики C.2), что и в § 3.2:
°
P°"(z)=P°s-g9"z
Фаза (")
Фаза О - -'
где ps давление на межфазной грани- рис. 3.8. Поверхность разде-
ла фаз при конечной скоро-
" сти относительного движе-
Пусть теперь к поверхности прило- ния фаз
жено малое возмущение. Возмущенное
движение может рассматриваться как суперпозиция (наложение)
совокупности элементарных прогрессивных волн вида C.1а)
h = as'm(kx-(Ot).
Задача исследования, которая в общей постановке обсуждалась
в § 3.1, сводится к нахождению взаимосвязи со и к. Функция со =
(О (к) позволяет установить характер волнового движения и условия
гидродинамической неустойчивости. Именно, если при любых вол-
новых числах к величина со вещественна, то на границе существуют
волновые движения, которые не растут (и не затухают) во времени.
Если же в какой-то области чисел к величина со становится ком-
плексной вида со = co^ + /со , где (x)R и со, вещественная и мнимая
части, то поверхность раздела будет прогрессивно во времени от-
клоняться от начального состояния. Гидродинамическая неустойчи-
вость в системе, обладающей относительным движением фаз, назы-
вается неустойчивостью Гелъмголъца (или, согласно [30], Кельви-
наГельмгольца).
3.5.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
При составлении уравнений возмущенного движения фаз будем
использовать те же допущения, которые подробно обсуждались
в § 3.1 и 3.2. В рамках линейной теории все возмущения (отклоне-
ния) предполагаются малыми, так что их квадратами в уравнениях и
условиях совместности можно пренебречь. Нижняя фаза неподвиж-
на, и для нее уравнения возмущенного движения совпадают с урав-
нениями § 3.2. Верхняя фаза, обладающая скоростью Uo, описыва-
ется следующими уравнениями:
148 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
уравнением неразрывности C.3):
дх dz
уравнениями импульса
(ди ди \ Эо
Р + ^0Т-+^=0; C.4а)
\dt оху дх
ди ди
t дх
После дифференцирования уравнений C.4а) и C.5а) соответствен-
но по х и z можно получить, как и ранее, уравнение C.6) для давления:
-ч 2 ^ 2
OX OZ
Условия совместности на возмущенной границе, как и в § 3.2,
включают в себя соотношения для потоков массы и нормальной
компоненты импульса. Непроницаемость границы математически
выражается условием
где ип скорость, нормальная к границе; Cs собственная ско-
рость движения границы.
Используя соображения, обсуждавшиеся в § 3.2, в рамках ли-
нейной теории имеем
где u'z(Q) z-проекция скорости в сече-
нии z = 0;
дх dt
Смысл вычитаемого Uo иллюст-
дх
_ . л „ рируется рис. 3.9. Для идеальной жидко-
Рис. 3.9. К определению нор- г
мальной к границе раздела сти отсутствует условие «прилипания»,
проекции скорости верхней так что скорость UQ верхней фазы сохра-
Фазы няется всюду, включая границу раздела.
Волны на границе раздела при относительном движении фаз 149
При обтекании возмущенной (волновой) поверхности появляется
нормальная к ней составляющая макроскопической скорости.
Итак, условия непроницаемости для верхней фазы имеют вид
u"n{h)=u"z{0)-U^ = |* C.7а)
ах at
(при z = 0).
Из соотношения C.7а) с учетом C.1а) имеем:
и'@) = -а(осоъ(кх-ш);
C.76)
u"[email protected]) = -a((O-kU0) соь(кх-Ш).
Динамическое условие совместности определяется полученным
в § 3.2 уравнением C.8):
//'@)-//@)+gApA =a,
Эх2
или
//'(О) - //@) + (gAp + k2o)h = 0. C.8а)
Далее получим решение поставленной задачи. (Отметим, при
Uo = 0 данная задача сводится к предыдущей, что можно использо-
вать для контроля результатов.)
3.5.3. РЕШЕНИЕ
Граничные условия C.76) и C.8а) указывают на структуру ре-
шений дпяр и uz.
Из соотношения C.8а) ясно, что решение для р должно иметь
вид р = p(z) ът(кх-Ш), где неизвестные функции p(z) для верх-
ней и нижней фаз есть решения уравнения C.6), т.е.:
l()
dz2
Имеем:
г\, ч 4 ±kz
р (z) = Ае .
150 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Выбор знаков для верхней и нижней фаз в показателе экспоненты
определяется условиями:
p"(z) > 0 при z * +оо? т.е. знак «-»;
p'(z) + 0 npnz * -оо? т.е. знак «+».
В результате получаем те же соотношения (б), что и в § 3.2:
p" = A"e-kzsin(kx-(Qt);
p' = A'ekzsin(kx-(Ot).
Однако значение константы А" теперь зависит от скорости Uo.
Из соотношений C.76) и уравнения C.5а) можно установить,
что решения для и и и\ должны иметь вид:
u"z =-a((d-kU0)e~kzcos(kx-(Ot).
Действительно, соотношения (в7) автоматически удовлетворя-
ют C.76) и при подстановке F) и (в7) в уравнения движения C.5) и
C.5а) имеем
для нижней фазы:
- (p'aco2 -A'k)ekzsin(kx-(ot) - О,
т.е.
А' - о'¦
А - р -,
к
для верхней фазы:
[-р"асо(со- Uok) + p"aUQk((O-U0k) -A"k]e~kzsm(fa-(M) = 0,
т.е.
Остается теперь найденные значения р" @) и;/@) при извест-
ных А' и А " подставить в уравнение C.8а). Получим:
gAp + к а-
Анализ результатов. Неустойчивость Гельмгольца 151
или после преобразований
©2 - 2 2 kU0(O ¦
Р' + Р"
rp"k2U20

= 0. (*)
.р' + р" р' + р"
Таким образом, получено квадратное уравнение относительно
искомой величины со. Можно здесь отметить, что если в нем поло-
жить Uo = 0, то оно переходит, как этого и следовало ожидать, в
C.9) итоговое уравнение § 3.2.
Решение (*) относительно со имеет вид
о 0 C.27)
Р' + Р" V Р' + Р" (р' + р"J
Это итоговое соотношение, определяющее зависимость со = со (к).
3.6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Будем рассматривать вначале только случаи, когда gAp > 0, т.е.
легкая фаза находится над тяжелой (р" < р').
Для анализа соотношения C.27) целесообразно, как и ранее,
ввести безразмерные величины:
безразмерное волновое число (безразмерную длину волны)
г л 1 ^ b 7 / а
/с -ко = - = 2я -, где о = I капиллярная постоянная;
X Ь VA
и безразмерную скорость U = , где U+ =
масштаб скорости.
Тогда C.27) принимает вид
= _?^ щ± и1--^^- Ul C.27а)
Р' + Р" V X (р' + р"J
Ранее (см. § 3.3) уже отмечалось, что значение X + 1/Х при любых
X (любых к) положительно и имеет наименьшее значение при
X = 1, равное 2.
152 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Отсюда следует, что при
2-2 [702<2 C.28)
2
величина со вещественна при любых значениях X (к или к). Следо-
вательно, при условии C.28) на поверхности раздела фаз существу-
ют не растущие во времени волновые колебания, круговые частоты
которых определяются уравнением C.27).
Далее из C.27а) следует, что при
РР 0%>2
(Р' + Р")
C.29)
существуют такие X (к или к), при которых со становится ком-
плексной вида
со = (bR±№t, C.30)
где й)д и ш/ модули первого слагаемого и подкоренного выраже-
ния в C.27а).
В этом случае на границе возникают неограниченно растущие
во времени возмущения и система оказывается неустойчивой.
Условие C.29) определяет момент наступления гидродинамиче-
ской неустойчивости Гельмгольца. Это важное условие перепишем
в размерном виде:
Р +Р Ч
при Uo > 2 v^ VogАр C.29а)
А/ р р
на поверхности раздела возникает неустойчивость Гельмгольца.
Итак, при превышении скоростью относительного движения
фаз некоторого критического значения, определяемого правой ча-
стью C.29а), в системе будет возникать гидродинамическая неус-
тойчивость.
Таким образом, критическая скорость, при которой на поверх-
ности жидкости возникают неограниченно растущие во времени
волны, равна:
Анализ результатов. Неустойчивость Гельмгольца 153
Рис. 3.10. Обтекание газом волнистой поверхности jj
жидкости >
Эта скорость зависит лишь от р', р", а и g. Для системы водавоз-
дух при атмосферном давлении и земной гравитации Uo ~ 6,5 м/с.
Физическая интерпретация неустойчивости Гельмгольца дос-
таточно проста. Над выступами жидкости скорость газа повыша-
ется (рис. ЗЛО), и, согласно уравнению Бернулли, давление пада-
ет. Возникает так называемый аэродинамический «подсос», стре-
мящийся увеличить отклонение поверхности от первоначального
плоского состояния.
При малых скоростях Uo < Uo относительного движения это-
му дестабилизирующему фактору препятствуют силы тяжести и по-
верхностного натяжения, так что система устойчива, и волны имеют
нейтральный характер (амплитуда не изменяется во времени). При
Uo > UQ для некоторых волн, характеризующихся значениями А,
около 1 (или А* = 2nb), аэродинамический эффект превышает силы
тяжести и поверхностного натяжения.
Итак, неустойчивость Гельмгольца чисто инерционное явле-
ние, присущее двухфазной системе при наличии относительного
движения фаз.
В силу допущения о невязких средах вывод о возникновении не-
устойчивости при Uo > Uo не подтверждается количественно опы-
тами. Можно было ожидать (так исторически и пытались интерпре-
тировать результаты), что при Uo > Uo на поверхности воды
в океане (озере) начинают возбуждаться растущие по амплитуде вол-
ны. Однако опыты показывают, что волны на поверхности водоема
возникают при скорости ветра, существенно меньшей ?УОкр. (Имеют-
Г54 ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ И УСТОЙЧИВОСТЬ
ся данные, что начало возникновения волн происходит при скорости
ветра около 1,5 м/с, что существенно меньше Uo = 6,5 м/с.)
Количественное расхождение объясняется в настоящее время
тем, что в анализе не учитывались вязкость, турбулентные пульса-
ции в газовой фазе и т.д. Есть основания считать, что Uo по
Гельмгольцу определяет ту скорость, при которой происходит об-
разование значительных по амплитуде волн и даже срыв влаги
с их гребней, т.е. развитую и неупорядоченную волнистость гра-
ницы раздела фаз.
В заключение отметим, что в случае, когда более тяжелая жид-
кость находится вверху (gAp < 0), при любой скорости и даже при
Uo = 0 имеет место гидродинамическая неустойчивость. Это сразу
следует из анализа подкоренного выражения C.27а), которое теперь
имеет вид
1 % Р'Р" Гг2
*> (Р' + Р")
Ясно, что всегда можно указать такое X, при котором это выра-
жение будет отрицательным.
Глава четвертая
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Течение жидкости в виде тонкой пленки явление весьма
распространенное в природе и технике. В промышленных масшта-
бах оно реализуется, например, в конденсаторах на тепловых
электростанциях и в химической промышленности, в различных
сепараторах влаги, в массообменных аппаратах криогенной техни-
ки и химической технологии. Пленочные течения встречаются
в целом ряде иных устройств новой техники, в которых, имеют ме-
сто двухфазные потоки с относительно большими объемными
концентрациями газа или пара.
Движение жидкости в пленке может быть обусловлено массовы-
ми силами: силой тяжести или (во вращающихся системах) центро-
бежными силами. Кроме того, при движении внешнего по отноше-
нию к пленке газового потока со значительными скоростями наблю-
дается увлечение пленки в направлении движения потока. Специфи-
ческий вид движения жидкости внутри пленки может происходить
также под действием переменного по длине пленки поверхностного
натяжения, например, из-за продольного градиента температур (тер-
мокапиллярное течение).
К настоящему времени наиболее полно исследованы закономер-
ности свободного гравитационного стекания жидкости по наклон-
ным и вертикальным поверхностям. Поэтому далее основное внима-
ние уделяется этому типу течений. Экспериментально установлено,
что существуют три характерных режима:
а) ламинарный режим, характеризующийся гладкой свободной
поверхностью; наблюдается при малых расходах и соответственно
числах Рейнольдса Renl < 1020;
б) ламинарно-волновой режим, для которого характерно нали-
чие волн на свободной поверхности. Во многих практических
приложениях является основным режимом и наблюдается в ши-
156 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
роком диапазоне изменения расхода жидкости и числа Рейнольд-
са: 20 < Renjl < 1600;
в) турбулентный режим течения. В пленке имеет место разви-
тое турбулентное перемешивание жидкости. Режим наблюдается
при весьма значительных расходах жидкости и соответственно чис-
лах Яепл > 1600.
Применительно к пленке число Рейнольдса
*епл =4-^°, D.1)
т.е. определено через среднюю скорость движения жидкости в плен-
ке и0 и эквивалентный гидравлический диаметр пленки с1экв = 450,
где 80 средняя толщина пленки*. На практике, однако, для рас-
чета числа Рейнольдса не требуется непосредственного раздельно-
го измерения средней скорости и0 и средней толщины пленки 50.
Достаточно знать массовый Go, кг/(м с), или объемный Го, м2/с,
расход жидкости в пленке, приходящийся на единицу ее ширины.
По определению:
Go= р^(А; D.2)
ro = wo5o> D.3)
поэтому число Рейнольдса равно:
Гп
<4-4>
4.2. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ
4.2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для описания ламинарного режима течения пленки с гладкой
поверхностью всегда правомерно использовать уравнения движения
в приближении теории пограничного слоя. Это объясняется тем, что
* Иногда в литературе встречается также определение Rc^ = uQd0/v , т.е. без использо-
вания понятия эквивалентного диаметра.
Ламинарное течение жидкой пленки
157
Рис. 4.1. Схема течения жид-
кой пленки по наклонной
плоскости
на практике толщина пленки 80 всегда существенно меньше протя-
женности / в направлении течения жидкости, а условие
как известно, и является основным при обосновании теории погра-
ничного слоя.
Для пленки, стекающей вдоль наклонной плоскости (рис. 4.1),
уравнения движения и неразрывности имеют вид:
ди ди
л-и + и
dt дх
ди dv
+ =0,
Эх ду
ди I dp
= - - + v
ду р dx
D.5)
D.6)
где и и v проекции вектора скорости на направления соответст-
венно осей х и у; gx = g sin a проекция вектора ускорения свобод-
ного падения на направление течения пленки, т.е. ось х. (В соответ-
ствии с приближениями пограничного слоя уравнение ^-проекции
импульса вырождается до = 0.)
ду
В зависимости от конструкции входного устройства движение
пленки на начальном гидродинамическом участке хИ может быть
либо ускоренным (см. рис. 4.1), либо замедленным. Теоретические
оценки показывают, что для расчета длины начального гидродина-
158 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
мического участка правомерно соотношение хя = 0,2RenjI80. Оно
показывает, что в области ламинарного течения протяженность уча-
стка хн невелика.
Для гидродинамически стабилизированного стационарного те-
чения жидкости в пленке уравнение движения допускает дальней-
шие существенные упрощения:
at ax dx
Последнее условие отражает постоянство давления в газовой
фазе, с которой соприкасается свободная поверхность пленки. В
итоге уравнение движения принимает вид
v + gx=0 D.7)
dy2
и означает, очевидно, что движение протекает в условиях, когда си-
лы тяжести и вязкости в каждом сечении пленки взаимно сбаланси-
рованы. Граничные условия для профиля скорости:
при у = 0 и = 0;
приу-50 = 0. D.8)
dy
Последнее условие означает отсутствие касательного напряжения
т§ = ц = 0 ] на свободной границе пленки.
V \dyJy = 50 '
4.2.2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СВОБОДНО СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКИ
Первое интегрирование уравнения D.7) дает:
du gx
= с\--у-
dy v
Используя второе из граничных условий D.8), находим
Ламинарное течение жидкой пленки 159
После повторного интегрирования и использования граничного
условия на стенке имеем следующее уравнение для профиля скоро-
сти в поперечном сечении пленки:
Таким образом, при свободно-гравитационном стекании жидко-
сти профиль скорости параболический.
Средняя скорость жидкости в пленке
1 ) A l ^ ГЛЛПЛ
"о = ~ J "АУ = : DЛ°)
°о о J v
Объемный расход (иногда называемый также «плотностью оро-
шения»)
го = wo5o = " DЛ1)
Из последнего соотношения находим выражение для толщины
пленки
D.12)
которое показывает, что толщина пропорциональна расходу жидко-
сти в степени 1/3.
Наконец, отметим, что число Рейнольдса для пленки может
быть выражено через толщину стабилизированной пленки 50 в виде
J V
Пример. Определить толщину пленки воды и ее среднюю скорость при сво-
бодно-гравитационном течении по вертикальной плоской стенке. Известны:
RenjI = 20; Т= 20 °С. По соотношению D.13) находим
1/3
8П =|- ^| = (- ^-^) -1,15-10~4 м = 0,115 мм.
9,8
160ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
Из соотношения D.10) имеем
1 ^ = I 9.8-A.15J-10-8 = 43 м/с =
0 3 3 б
0
3 v 3 ,0-б
10
Тогда объемный расход
Г = и Ь -5*1 (Г6 м2/с.
4.2.3. ВЛИЯНИЕ ТРЕНИЯ НА МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В предельном случае отсутствия массовых сил (невесомость)
изотермическая однородная по толщине жидкая пленка может дви-
гаться только за счет трения на межфазной поверхности. Уравнение
D.7) принимает вид
=0. D.7а)
d/
Его интегрирование при граничных условиях:
при у = 0 и = 0;
й du т"
при у = 60 = - ,
dy [i
где т" заданное касательное напряжение на поверхности пленки
за счет трения со стороны газового потока, дает:
и = у. D.14)
Поскольку уравнение D.7) линейное, то сумма (суперпозиция)
решений D.9) и D.14) представляет собой решение этого уравнения
при одновременном действии гравитационных сил и трения на сво-
бодной поверхности:
и = а [Ьоу--у ) + у. D.15)
v V 2 ) |i
Объемный расход жидкости
D.16)
Ламинарное течение жидкой пленки 161
Проанализируем, как влияет касательное напряжение т" на тече-
ние пленки. Положительным значениям т" отвечает увлечение плен-
ки в направлении ее свободно-гравитационного стекания, отрица-
тельным значениям т" соответствует торможение пленки при движе-
нии газового потока вверх, навстречу стекающей жидкости. Примем,
что при варьировании т" толщина пленки остается неизменной E0 =
= const) благодаря соответствующему изменению расхода Го. Из
D.16) видно, что при %"> О расход жидкости возрастает с ростом т",
что совершенно естественно: газ (пар) ускоряет жидкость и увеличи-
вает ее расход. При тормозящем действии пара т" < 0 расход жидко-
сти снижается, так как теперь жидкость в области свободной поверх-
ности замедляется и даже стремится начать двигаться вверх. При
- -И- = 1 D.17)
наступает режим, когда результирующий расход Го = 0.
Расчет по D.15) показывает, что у стенки жидкость движется
вниз, а около свободной поверхности вверх. На практике такие ре-
жимы оказываются гидродинамически неустойчивыми; действи-
тельное течение происходит при сильных пульсациях всех величин
во времени. Часто ситуацию такого рода в двухфазных системах на-
зывают режимом «захлебывания». При |т"| больших, чем по соот-
ношению D.17), поток газа увлекает пленку вверх, и течение оказы-
вается уже обращенным. Расход Го < 0.
На рис. 4.2 показаны профили скорости в пленке, отвечающие
разным соотношениям сил тяжести и трения на ее поверхности, рас-
смотренным выше. На рис. 4.2, а и б приведены случаи, отвечающие
свободно-гравитационному и спутному течению газа и жидкости.
При встречном течении (рис. 4.2, в) средняя скорость и расход жид-
кости в пленке (при 50 = idem) уменьшаются, но направление тече-
ния по всей толщине пленки сохраняется постоянным (вниз). При
высоких скоростях газа, движущегося вверх, возникает однонаправ-
ленное (спутноз) течение газа и жидкости вверх (рис. 4.2, г). Между
Двумя последними режимами наблюдается упомянутый выше режим
захлебывания (flooding). В условиях нормальной гравитации захле-
162
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
-с" = 0
а)
\
б)
-U т"<0
в) (до «захлебывания»)
т" « 0
г) (после «захлебывания»)
Рис. 4.2. Расчетные профили
скорости при ламинарном те-
чении в гладкой пленке при
различных значениях каса-
тельного напряжения на ее
поверхности
бывание и спутное движение вверх не могут происходить при сохра-
нении ламинарного режима течения, так что картина, показанная на
рис. 4.2, а, строго говоря, не может быть получена на основе D.15).
4.3. ВОЛНОВОЙ РЕЖИМ ТЕЧЕНИЯ ПЛЕНКИ
4.3.1. АНАЛИЗ ОПЫТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Исследователи уже давно замечали, что поверхность стекающих
пленок часто имеет характер волнового, возмущенного движения, од-
нако природа этого явления долгое время оставалась невыясненной.
В 19481949 гг. появились две статьи П.Л. Капицы [14, 15],
которые оказались основополагающими в изучении проблемы вол-
нового режима течения жидких пленок. В первой из них [14] была
изложена приближенная теоретическая схема описания закономер-
ностей развитого волнового течения. В частности, отмечалось, что
волновой режим течения является основным гидродинамическим
режимом для стекающих пленок. Во второй [15] были представле-
ны экспериментальные результаты измерений характеристик вол-
нового течения пленок по вертикальной поверхности. Эти работы
стимулировали последующие исследования как теоретического,
Волновой режим течения пленки
163
100 мм
200 мм
300 мм
400 мм
//////////У/////////////////////////////////
//////////////////////////////////////////ss
500 мм Рис. 4.4. Профили «естественных» волн
Рис. 4.3. Развитие волнового режима течения пленки
так и экспериментального характера. В процессе исследований вы-
явились специфические трудности в изучении проблемы, не пре-
одоленные полностью и к настоящему времени. Эксперименты по-
казывают, что в природе, по-видимому, имеется целый набор раз-
ных типов волновых течений.
На рис. 4.3 представлена типичная картина развития волнового
течения при стекании пленки по наружной поверхности вертикаль-
ной трубы [1]. Вблизи места подачи жидкости имеется режим с
гладкой поверхностью. Затем на пленке возникают так называемые
двумерные (кольцевые) волны. Далее они переходят в более беспо-
рядочные трехмерные волны с весьма значительными амплитудами.
На рис. 4.4 представлены типовые профили пленок в режиме
волнового течения, которые наблюдаются в экспериментах [1]. Та-
кого рода профили можно назвать «естественными», ибо они обра-
зуются при течении с равномерным расходом без какого-либо ис-
кусственного стимулирования волнового режима. В ряде экспери-
ментов [1, 15] двумерные волны специально возбуждались за счет
небольших пульсаций расхода. Было установлено, что при заданном
среднем объемном расходе Го = const существует диапазон частот,
164
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
0,25 мм
а)
10 мм
///у//////////////////////////////////////// '
Рис. 4.5. Профили «возбужденных» волн
внутри которого генерируются достаточно устойчивые двумерные
волны [1]. Максимально возможной частоте в этом диапазоне отве-
чают синусоидальные волны. По мере уменьшения частоты форма
волн изменяется, как это показано схематически на рис. 4.5, ав.
Наименьшей частоте отвечают волны с крутым передним фронтом,
перед которым имеются высокочастотные осцилляции (рис. 4.5, в).
Интересно, что в целом «возбужденные» и «естественные» двумер-
ные волны практически тождественны.
В экспериментах может быть измерена средняя (мгновенная)
толщина жидкой пленки <5 > в режиме волнового течения. Опыты
показывают, что величина <5 >, несмотря на наличие часто весьма
значительных амплитуд изменения толщины пленки с погрешно-
стью около 10%, совпадает с расчетной толщиной ламинарной
пленки с гладкой поверхностью при том же расходе жидкости Го.
Иначе говоря, величина
D.18)
Далее в опытах измерялись значения фазовой скорости волн
(т.е. скорость перемещения гребней по поверхности пленки). Оказа-
лось, что фазовая скорость лежит в диапазоне A,73,0)и0 , где и0 =
= Г0/<8> средняя скорость жидкости в волновой пленке. Этот
результат означает, что гребни волн «бегут» в направлении стека-
Волновой режим течения пленки 165
ния жидкости со скоростью, превышающей среднюю скорость жид-
кости в пленке.
Интерес представляет картина движения отдельных частиц жид-
кости, расположенных в данный момент в различных местах волно-
вой пленки. Наибольшей скоростью обладают частицы жидкости,
находящейся вблизи свободной поверхности гребней волн. В проме-
жутках между гребнями, где толщина пленки минимальна, отдель-
ные частицы жидкости останавливаются и даже приобретают на не-
которое время обратное движение. Вместе с тем до чисел Рейнольд-
са, меньших 1600 сколь-нибудь заметного турбулентного перемеши-
вания жидкости в пленке не наблюдается. Волновое течение пред-
ставляет собой слоистое пульсирующее течение жидкости.
4.3.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ВОЛНОВОГО
ТЕЧЕНИЯ ПЛЕНКИ
При теоретическом изучении волнового течения интерес пред-
ставляют две проблемы:
1) устойчивость ламинарного течения с гладкой пленкой и воз-
никновение волнового режима течения;
2) описание закономерностей развитого волнового течения.
Полученные к настоящему времени строгие результаты связаны
в первую очередь с анализом устойчивости ламинарного течения
пленки с гладкой поверхностью. Основные итоги этих исследований
будут изчожены ниже. Что касается второй проблемы, то здесь ус-
пехи значительно скромнее. Это можно понять, если обратить вни-
мание на то, что согласно экспериментальным наблюдениям разви-
того волнового течения, амплитуды волн всегда значительны. По-
следнее означает, что теория развитого волнового течения должна
быть нелинейной, а это чрезвычайно затрудняет исследования [43].
Напротив, проблема устойчивости ламинарного течения пленки
с гладкой поверхностью в рамках классической линейной теории ус-
тойчивости решается достаточно строго. Результаты анализа пред-
ставляют определенный интерес.
Существо приложения линейной теории устойчивости к рас-
сматриваемой проблеме состоит в основных чертах в следующем.
На основное (невозмущенное) ламинарное течение (уравнения D.5)
и D.6)) накладывается малое возмущение. В результате течение
приобретает возмущенный характер. Скорость, давление, толщина
166 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
пленки испытывают малые гармонические колебания около своих
основных (невозмущенных) значений. Например, толщина пленки
может быть представлена в виде
5 = 50 [1 + aQxp(ikx - /со/)], D.19)
где а безразмерная амплитуда, \а\ « 1; к = 271/А, волновое
число; со = 2n/t0 круговая частота; A, t0 длина волны и период
возмущения.
Возмущенные значения скорости и давления также пропорцио-
нальны множителю Qxp(ikx - /со/). Описание возмущенного движе-
ния осуществляется на основе полных уравнений НавьеСтокса
при сохранении во всех соотношениях тех членов, в которые воз-
мущенные величины входят лишь в первой степени (отсюда назва-
ние «линейная теория»). С точностью до линейных по возмущени-
ям величин записываются и граничные условия на стенке и свобод-
ной поверхности пленки. Последние учитывают действие силы по-
верхностного натяжения (из-за искривления поверхности). Предпо-
лагается также, что трение на свободной поверхности пленки равно
нулю. Линейная теория описывает полностью (с точностью до аб-
солютного значения амплитуд возмущенных величин) возникаю-
щее движение и позволяет установить значение частот со при из-
вестных волновых числах к и остальных параметрах задачи. Иссле-
дование этой зависимости и составляет центральную задачу линей-
ной теории устойчивости.
Рассмотрим относящиеся к ней результаты. При течении пленки
по наклонной поверхности (угол наклона a; gx = gsinoc; g = gcosa)
в предположении, что 2тс50/А, = док « 1 (длина волны много боль-
ше средней толщины пленки), и, ограничиваясь низшими степенями
малого параметра E0?), зависимость для со получают в виде
G D.20)
Очевидно, течение устойчиво, если мнимая часть со отрицательна.
Тогда будет происходить экспоненциальное затухание во времени
всего возмущенного движения. Если же мнимая часть со положи-
тельна, то течение оказывается неустойчивым из-за неограниченно-
го (в рамках линейной теории) экспоненциального нарастания воз-
Волновой режим течения пленки 167
мущений во времени. Учитывая эти соображения, проведем анализ
соотношения D.20).
Вначале для простоты положим дополнительно, что поверхност-
ное натяжение равно нулю (а = 0). Тогда из соотношения D.20) по-
лучаем, что при стекании пленки по вертикальной поверхности (а =
= тс/2; g = 0) ламинарное течение всегда (при любом числе Рей-
нольдса) неустойчиво. Действительно, в этом случае в квадратных
скобках соотношения D.20) остается лишь 18/5 > 0. На наклонной
поверхности (g * 0) в предположении, что по-прежнему а = 0, из
соотношени D.20) получаем, что неустойчивость возникает, когда
18 gy&Q
> .
5 2
Подставляя сюда выражения для и0 и используя определения
числа Рейнольдса, находим условие потери устойчивости на на-
клонной поверхности в виде
gy
где = ctg a.
gx
Смысл соотношения D.21) физически очевиден. Из-за стабили-
зации пленки на наклонной поверхности под действием ^-проекции
силы тяжести неустойчивость возникает при тем больших расходах,
чем больше gy. Так, при gy = gx (угол a = 45°) (Renjl)Kp = « 3,3 .
Далее рассмотрим, каким образом влияет на устойчивость по-
верхностное натяжение. Будем для простоты анализировать случай
течения пленки по вертикальной поверхности (gy = 0). Анализ вы-
ражения в квадратных скобках в соотношении D.20) убеждает, что
при учете сил поверхностного натяжения ламинарное течение вдоль
вертикальной поверхности будет неустойчивым при любых числах
Рейнольдса. Неустойчивость будет возникать при к < к* (т.е. в длин-
268 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
новолновой области спектра возмущений). Критическое значение
волнового числа к* :
D.22)
Этот результат физически нетрудно понять, если учесть, что по
мере увеличения длины волны X при заданном возмущении толщины
пленки кривизна возмущенной поверхности падает. При X > °° воз-
мущенная поверхность все меньше отличается от гладкой, и стабили-
зирующее действие поверхностного натяжения перестает действо-
вать. Таким образом, учет поверхностного натяжения не устраняет
неустойчивость, а лишь сдвигает ее в область больших длин волн.
Наибольшая скорость нарастания возмущений определяется
экстремумом мнимой части со, т.е. условием
Эсо-
¦ = О,
дк
что дает, на основе соотношения D.20), следующее значение волно-
вого числа, отвечающего «наиболее опасной» длине волны:
1 г
At** At* .
Наибольший коэффициент усиления амплитуды
27 „
со.** = RenjI .
100 л а
Таким образом, линейная теория не подтверждает того экспери-
ментального наблюдения, что при стекании пленки по вертикальной
поверхности существует некоторое критическое значение RenjI, вы-
ше которого ламинарное течение оказывается неустойчивым. Теория
говорит о том, что при любом (малом) числе RenjI ламинарное тече-
ние пленки неустойчиво. По-видимому, при малых числах RenjI пе-
рестройка к волновому режиму протекает достаточно медленно.
Вследствие этого необходимы большие длины для обнаружения вол-
нового течения. Косвенным подтверждением этого могут служить
следующие экспериментальные результаты. Так, критические числа
RenjI, найденные в опытах [15], составляли примерно 2025. Позже
Волновой режим течения пленки 169
были описаны опыты, согласно которым на расстоянии 1 м от места
подачи жидкости волновой режим течения с колебаниями толщины
пленки наблюдался уже при числах Рейнольдса, примерно вдвое
меньших, чем указанные выше данные П.Л. Капицы (см. [1]). Таким
образом, сейчас можно говорить, видимо, лишь о практической гра-
нице наблюдаемых волновых течений на реальных поверхностях:
Согласно [1], этот диапазон чисел Ren хорошо согласуется с
предсказанным в [14] значением:
^пл.гр^бИСа1711, D.23)
где число Капицы
Ка = -2 . D.24)
4 3 V У
gv р
Волновое течение определяет интенсификацию процессов попе-
речного переноса энергии, массы и импульса (увеличение межфаз-
ного трения). Для иллюстрации эффекта интенсификации переноса
тепла поперек пленки рассчитаем среднюю термическую проводи-
мость пленки
<> = -^- е, D.25)
к
где термическая проводимость гладкой пленки толщиной
<5>
<5>; А,т теплопроводность жидкости; е поправочный коэф-
фициент > 1, учитывающий увеличение проводимости вследствие
волнистости.
Подчеркнем, что расчет по соотношению D.25) предполагает
отсутствие конвективного переноса тепла, и эффект интенсифика-
ции здесь определяется целиком очертаниями пленки.
На рис. 4.6 показаны схематизированные очертания волновой
пленки: синусоидальный и пилообразный профили. Для них уравне-
ние поверхности пленки соответственно имеет вид:
8 = <5>| 1 + a sin27C -
170
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
Рис. 4.6. Схематичное изображение синусоидальной и пилообразной волн
где X длина волны; а безразмерная амплитуда.
Прямой расчет термической проводимости:
5 l X JQ S(jc)
дает для коэффициента 8 следующие выражения:
синусоидальная волна
е = =2, D-26)
л/1 -а
пилообразная волна
1 , 1 + я ,, Л, ч
е = In . D.26а)
2а 1 -а
Приведем характерные значения коэффициента 8:
амплитуда а 0,5 0,6 0,75
8 по D.26) 1,16 1,25 1,52
8 по D.26а) 1,10 1,16 1,30
Данные значения показывают, что лишь из-за волнистости про-
филя пленки при неизменной ее средней толщине термическая про-
водимость возрастает на десятки процентов. Рассматриваемый эф-
Волновой режим течения пленки 171
фект проявляется в наиболее «чистом» виде в процессе пленочной
конденсации пара на вертикальных поверхностях.
В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты
в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная
теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о гра-
нице устойчивого и неустойчивого состояний и не может предска-
зать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненци-
альный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости,
предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что
эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только та-
кой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие си-
лы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарас-
тают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается ко-
нечной в гравитационных пленках. На основании численных иссле-
дований в рамках нелинейной теории были получены некоторые
практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не
могут быть представлены в виде простых аналитических соотноше-
ний; основные тенденции, следующие из численных решений, опи-
сываются обычно качественно. В частности, важный качественный
вывод делается ХолПановым и Шкадовым [43] в отношении влия-
ния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой по-
верхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого зна-
чения т" (при заданном расходе жидкости Го), увеличение касатель-
ного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего ни-
как нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках ли-
нейной теории КельвинаГельмгольца.
В [1, 5] также приводятся результаты экспериментальных и тео-
ретических (в нелинейной постановке) исследований характеристик
развитого волнового течения пленки. Волны, качественный анализ
которых был дан в п. 4.3.1, строго говоря, во многих случаях не мо-
гут анализироваться в рамках линейной теории, поскольку их ам-
плитуда нередко превосходит среднюю толщину пленки 50 (хотя
условие а « X обычно выполняется). Возможности теоретического
исследования волн конечной амплитуды, как упоминалось в п. 3.3.5,
весьма ограничены. Стационарные уединенные волны, фазовая ско-
рость которых определяется уравнением C.23), возможны и наблю-
даются в экспериментах с гравитационными пленками. Однако
во многих экспериментальных установках и технических аппаратах
длина поверхности в направлении течения, по-видимому, бывает
172
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
недостаточной для установления стационарных характеристик волн.
В [5] приводятся сведения об экспериментах с пленками на наруж-
ной поверхности трубы высотой 19 м. Эти эксперименты показали,
что, в отличие от средней толщины пленки, которая стабилизирует-
ся вблизи входного устройства, характеристики волнового движе-
ния, в частности амплитуда волн, устанавливаются лишь на боль-
ших расстояниях от входа. (При числах Renj], близких к критическо-
му A600), амплитуда волн переставала расти при i~3m.)
Еще одна проблема устойчивости жидких пленок едва ли полу-
чит в обозримом будущем строгое теоретическое объяснение. Речь
идет об определении минимального расхода, при котором пленка
сохраняет сплошность. Практическая невозможность количественно
описать адгезионные свойства твердой поверхности, по которой те-
чет жидкость, заставляет ограничиваться эмпирическими оценками
минимального расхода [5].
Теоретическая «непредсказуемость» этого параметра особенно
наглядна из-за так называемого «гистерезиса смачивания», т.е. раз-
личия в определенных опытным путем краевых углах смачивания
при натекании и оттекании жидкости. Из-за этого эффекта мини-
мальный расход жидкости, обеспечивающий сплошность пленки,
натекающей на «сухую» поверхность, всегда намного больше, чем
тот минимальный расход, при котором начинается распад сплош-
ной пленки на ручейки. Ясно, что традиционный анализ устойчиво-
сти, рассмотренный выше, не может предсказать потерю сплошно-
сти пленки. Уравнение D.20) дает верхнюю границу расхода, при
которой пленка сохраняет устойчивость, а при распаде пленок на
ручейки необходимо определить нижнюю границу устойчивости
(сплошности) пленки.
Рис. 4.7. Расчетная схема [49] для опре-
деления минимального расхода жидко-
сти в пленке, сохраняющей сплошность
(показано сечение пленки горизонталь-
ной плоскостью):
а сплошная пленка; б система ру-
чейков
Турбулентное течение в пленках 173
В [49] для определения этой нижней границы принималось, что
пленка распадается на ручейки, когда сумма кинетической и по-
верхностной энергии для двух геометрий, показанных на рис. 4.7,
становится одинаковой. Это равенство суммарной энергии опреде-
ляет значение Гмин, при котором пленка еще сохраняет сплошность,
при Г < Гмин «энергетически выгодным» становится течение в виде
ручейков. К сожалению, аналитическое выражение [49] для Гмин
это функция краевого угла смачивания 90, что делает сомнительной
возможность его практического использования, несмотря на привле-
кательность лежащей в его основе физической модели.
4.4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ПЛЕНКАХ
При значениях RenjI > 1600 ламинарно-волновой режим течения
пленки сменяется турбулентным. При этом так же, как и в обычных
турбулентных потоках (например, в каналах), слой жидкости, непо-
средственно прилегающий к стенке, сохраняет черты ламинарного
течения, а за пределами этого слоя пленки действует механизм тур-
булентного перемешивания. Это позволяет исключить из рассмот-
рения влияние волновых процессов, вязкости и поверхностного на-
тяжения жидкости на касательные напряжения и связь между тол-
щиной пленки и плотностью орошения. Анализ и результаты экспе-
риментального изучения закономерностей течения тонких пленок
показывают, что для свободно стекающей пленки можно записать
равенство осредненных или локальных значений веса пленки и ка-
сательных напряжений тс на стенке в виде
Этот результат легко получается из баланса сил, действующих
в условиях стационарного течения пленки на ее элемент длиной dx
в направлении течения (рис. 4.8).
Очевидно, для единицы ширины пленки:
Tcdx =gxpdx80:
Формула D.27), естественно, справедлива и для ламинарной
(du\
пленки, в чем легко убедиться, рассчитав хс = |Я по урав-
нению D.9). Из D.27):
174
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
8хР
D.28)
При известном законе трения из
D.28) легко получить искомую зависи-
мость толщины пленки от расхода.
Допустим, что экспериментально
найденный для потоков в трубах закон
трения, например закон «одной пятой»,
справедлив и для течения в турбу-
лентной пленке:
Рис. 4.8. Баланс сил для эле- _ s
мента гравитационной пленки с о
& °>184
где с, = коэффициент гидравлического сопротивления.
Re
1/5
Тогда для пленки при Renj] =
0,0174pMJ/5v1/5
-1/5
и из D.28) получаем
0,26Г0л' v
3/5 1/15
1/3
D.29)
Пример. Оценим значение 80 в переходной области от ламинарно-волнового
течения к турбулентному. Пусть RenjI = 1600. Жидкость вода при Т = 20 °С.
Объемная плотность орошения Г = Re^ v/4 = 4 10~4. По D.29):
50 =
1/3
1/15 _4 3/5 _6/15
v 0,26D-10 4) 10 6/15 7 ...
~ 4,5 10 м = 0,45 мм.
(9,81)
1/3
Турбулентное течение в пленках 175
Более строгий подход к построению зависимости толщины
пленки от расхода жидкости может быть основан на использовании
закона распределения скорости по толщине пленки. Из опытов
непосредственно с пленками, свободно стекающими в турбулент-
ном режиме, было найдено [8], что в турбулентной части по толщи-
не пленки скорость изменяется по логарифмическому закону:
м+= 1,75 In/ + 7,14*, D.30)
+ и (^
где и - безразмерная скорость; и* = динамическая
v, V Р
скорость; у = yv*/v безразмерная координата.
Толщина вязкого подслоя турбулентного потока оценивается
как уя ~ 12, и в пределах вязкого подслоя (при уп < 12) и - у .
Средняя безразмерная скорость пленки с учетом особенностей
изменения скорости в пристенной зоне и зоне развитого турбулент-
ного режима может быть определена как:
1 Г12 б0 ]
«I = - ] J / d/ + J A,75 In/ + 7,14) d/ .
0 I 0 12 - J
В результате получаем
«X = [5j(l,75 1n5j + 5,4)-45].
Или, учитывая, что м0о0 =
Кепл
4
Re,
"ПЛ
= КаоA,75 1пКао + 5,4)-455 D.31)
.3
где Ка0 = 50 = число Капицы (отличное от введенного в § 4.3).
* Для турбулентных потоков в трубах известен закон и+= 2,5 iny + 5,5.
176 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
Формула D.31) позволяет при известном расходе жидкости
в пленке определить толщину пленки. Однако она неудобна в расчет-
ной практике. Степенная аппроксимация формулы D.31) имеет вид
Ка0 = 0,047Re;f D.32)
и может служить удобной расчетной формулой.
Таким образом, окончательно из D.32) получаем
„3/5 1/15
Го v
50 =0,3-5-^. D.33)
Эта формула дает расчетные значения 50, лишь на ~ 12 % отли-
чающиеся от значений по D.29). Следует отметить, что другое, но
очень близкое D.33) было получено Ли и Бэнновым:
„7/12 1/12
50 = 0,304 .
и 1/з
ёх
Таким образом, связь средней толщины пленки и расхода моде-
лируется с достаточной точностью.
4.5. ТЕПЛООБМЕН В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПЛЕНКАХ
4.5.1. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Эта задача была решена В. Нуссельтом в 1916 г. и относится
к классическим задачам. Ее детальный анализ приводится в учебни-
ках по теории тепло- и массообмена (см. например, [13, 40]). Здесь
лишь кратко приводятся основные этапы решения и результаты.
Рассматривается ламинарная пленка с гладкой поверхностью.
В предположении пренебрежимой малости конвективного переноса
энергии для жидкости с постоянными свойствами плотность тепло-
вого потока, отводимого от твердой стенки, определяется только те-
плопроводностью пленки:
Теплообмен в гравитационных пленках 177
где AT = Ts - Тс разность температуры насыщенного пара Ts и
стенки Гс. Следовательно, коэффициент теплоотдачи величина,
обратная толщине пленки:
а = . D.34а)

Связь толщины пленки и расхода дает D.11) или D.12). Особен-
ность процесса конденсации состоит в том, что расход жидкости
здесь неизвестен, он сам определяется интенсивностью конденсации.
Используя универсальное условие совместности для потока энергии
в случае умеренной интенсивности фазового перехода (п. 1.7.5)
и уравнение материального баланса, связывающее прирост массово-
го потока жидкости на единицу ширины пленки Go с плотностью
потока массы конденсирующегося пара т,
dG0 = т dx,
находим с учетом D.34):
D.35)
G hLG b0
Согласно D.11)
dx =
hLG hLG b0
Подстановка этого выражения в D.35) дает дифференциальное
уравнение относительно толщины пленки 80. Его интегрирование
при граничном условии х = О, 5О = 0 приводит к соотношению
50 = J~2 A
D.36)
hL
LG
178 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
Таким образом, при конденсации толщина пленки увеличивается по
длине по закону 50 ~ х .С учетом D.34а) локальный коэффициент
теплоотдачи при конденсации
D.37)
ATvx
Средний коэффициент теплоотдачи для поверхности высотой Н\
а = 0,943 4р^^ . - D.37а)
Н ATvH
Это соотношение известно как классическая формула Нуссельта.
Последующие теоретические и экспериментальные исследова-
ния позволили оценить корректность допущений, использованных
в анализе. Как ясно из анализа § 4.3, действительный волновой ре-
жим течения ламинарной пленки приводит к повышению интенсив-
ности теплоотдачи и требует введения соответствующей поправки
к формулам D.37) и D.37а). Согласно [13] эта поправка, предложен-
ная Д.А. Лабунцовым, имеет вид
/Re \°>04
e.=(-j=) , D.38)
где RenjT определяется согласно D.4). Коэффициент теплоотдачи с
учетом поправки
а = ocNueB, D.39)
где aNu дается по формуле D.37а). Так как при конденсации чис-
ло Renjl не является определяющим критерием подобия, а само за-
висит от a :
4G0 4 Ч л АаАТН
Renjl = = I q dx =
то при использовании поправки D.38) требуется несложная итера-
ционная процедура. Сначала рассчитывается aNu по D.37а), по не-
му Кепл, затем ев по D.38), после чего коэффициент теплоотдачи
Теплообмен в гравитационных пленках 179
первого приближения о^ = aNu8B. Далее оц используется для
уточнения Renq и ев. Второго приближения для ев, используемого
в D.38), обычно бывает достаточно.
Из других допущений, используемых в анализе Нуссельта, су-
щественным оказалось предположение о неизменности вязкости и
теплопроводности жидкости в поперечном сечении пленки. Соот-
ветствующая поправка приводится в [13]. Там же дается методика
расчета теплоотдачи при конденсации в случае турбулентного те-
чения пленки.
4.5.2. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ИСПАРЕНИИ С ПОВЕРХНОСТИ ПЛЕНКИ
Во многих технологиях (см. [1, 5, 8]) гравитационные пленки
используются для охлаждения твердой поверхности или как весьма
эффективный способ выпаривания растворителя из жидкого раство-
ра. В обоих случаях тепловой поток направлен от «горячей» стенки
к «холодной» жидкости в пленке.
Задача о теплообмене изотермической плоской поверхности с не-
испаряющейся жидкой пленкой при ее ламинарном течении была ре-
шена Нуссельтом еще в 1923 г. [5]. Принималось, что свободная по-
верхность пленки плоская, теплообмен с газом отсутствует. В этом
случае расход (плотность орошения), а следовательно, и толщина
пленки известны, среднемассовая температура жидкости в заданном
сечении (Т') может быть определена из уравнения энергетического
баланса. Для участка стабилизированного теплообмена, когда коэф-
фициент теплоотдачи не изменяется по длине, было получено:
^ = 1,88, D.40)
Л
т
где Nu6 число Нуссельта (безразмерный коэффициент теплоотда-
че
чи); a = ; индекс «с» означает, что соответствующие величи-
не"
ны берутся на стенке (при у = 0). При условии Тс = const, для кото-
рого получена формула D.40), среднемассовая температура жидко-
сти увеличивается по длине, так что при неизменном а плотность
теплового потока qc уменьшается сверху вниз.
180 ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКИХ ПЛЕНОК
В [5] сообщается, что приближенное теоретическое решение той
же задачи для практически более важного условия qc = const дает
Nu5 - 1,986, D.40а)
что отличается от D.40) всего на 5,6 %.
Эксперименты показывают, что в действительности коэффици-
ент теплоотдачи к гравитационной неиспаряющейся пленке в ла-
минарно-волновом режиме изменяется по высоте обогреваемой по-
верхности в общем случае достаточно сложно [5]. В большинстве
случаев естественное снижение коэффициента теплоотдачи на на-
чальном участке гидродинамической и тепловой стабилизации
сменяется его увеличением по мере развития волнового движения;
при этом во многих случаях полной стабилизации теплоотдачи не
происходит на длинах, превышающих 2 м. Теоретически обосно-
ванных методов расчета коэффициента теплоотдачи, отражающих
указанную его немонотонность в направлении течения, в настоя-
щее время не создано. В инженерной практике при ламинарно-вол-
новом режиме течения (Renjl < 1600) можно приближенно принять
для расчета среднего значения а:
Nu5 « 2,0.
При испарении пленки на первый взгляд теплоотдача должна
подчиняться тем же закономерностям, что и при конденсации. То
обстоятельство, что начальный расход жидкости в пленке при испа-
рении обычно является заданным, а убыль расхода за счет испаре-
ния, как правило, не очень значительна, делает анализ теплоотдачи
при испарении (в рамках подхода Нуссельта) даже более простым,
чем при конденсации. Полагая, что расход жидкости в любом сече-
нии пленки легко определяется из теплового баланса при известном
его значении на входе, число Renjl для испарения выступает как оп-
ределяющий критерий подобия. Все соотношения, полученные вы-
ше для ламинарной пленки и определяющие изменения расхода
в пленке с плотностью теплового потока на поверхности, остаются
в силе. Локальная теплоотдача для гладкой ламинарной пленки при
ее испарении с поверхности в среду собственного пара описывается
формулой D.37). Отличие лишь в направлении теплового потока,
так как теперь А Г = Тс- Ts, Tc> Ts. Име^ в виду, что при условии
Теплообмен в гравитационных пленках 181
TQ = const а ~х~ , q ~x~ , легко убедиться, что локальное значе-
ние плотности теплового потока связано с массовым расходом на
единицу ширины пленки G} соотношением
3 GthLG
q = - . D.41)
4 х
(Действительно, при q = Ах~Х уравнение энергетического баланса
1/4
дает: hLGm dx = q dx = Ax dx = 4/3 d(qx), откуда, имея
в виду: m dx = dG/? получаем D.41).)
( 2Л1/3
a a v
Заменяя теперь в D.37) Д Г= - , вводя Nu* = - - , исполь-
UJ
зуя D.41) и определение Renjl, находим
Nu, = 1?1Яепл/3- D-376)
Экспериментальные значения коэффициента теплоотдачи при
испарении с поверхности пленки, однако, значительно (до 100%)
превосходят расчетные по D.376). Очевидно, влияние волн в этом
случае заметно сильнее, чем в случае конденсации. Качественное
объяснение такой несимметрии достаточно простое. Действительно,
при конденсации интенсификация процесса теплоотдачи на впади-
нах волн ведет к выравниванию поверхности пленки, т.е. к умень-
шению глубины впадины, а при испарении, напротив, способствует
уменьшению толщины пленки во впадине, что еще больше интенси-
фицирует теплоотдачу. Количественно этот эффект удалось описать
лишь путем эмпирической поправки к уравнению D.376). Гимбутис
[8] предложил следующее уравнение, описывающее опытные дан-
ные об испарении с поверхности пленки:
Nu* = 1,1 Re;J/3(l + 0,02 Re^2 + 0,0009 Rejf Pr°'65). D.42)
Это уравнение пригодно не только для ламинарно-волнового, но и
для турбулентного режимов течения.
Глава пятая
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В
ЖИДКОСТИ
В большом числе случаев двухфазные системы удобно рассмат-
ривать как сплошную фазу* (жидкость или газ), в которой распреде-
лены частицы другой дискретной фазы (капли жидкости, пузырьки
пара или газа, твердые частицы). Примеры такого рода систем мо-
гут быть взяты из самых различных областей человеческой деятель-
ности от многочисленных отраслей техники до биологии и меди-
цины. Взаимодействие дискретной частицы с окружающим ее объе-
мом несущей («сплошной») фазы играет фундаментальную роль
в анализе двухфазных систем; изучение этого взаимодействия со-
ставляет содержание метода единичной контрольной ячейки. Такая
ячейка содержит лишь одну дискретную частицу и прилегающую
к ней область несущей фазы.
Анализ закономерностей движения дискретной частицы внутри
единичной ячейки позволяет переходить к построению теории двух-
фазной системы в целом. Успешная реализация метода единичной
ячейки возможна лишь на базе механики одиночной частицы в объ-
еме сплошной среды. Именно механика твердой частицы в жидко-
сти или газе, капли жидкости в газе или в другой жидкости (не сме-
шивающейся с первой), пузырьков газа или пара в жидкости состав-
ляет основное содержание настоящей главы. При этом сначала бу-
дут рассмотрены наиболее простые, допускающие аналитическое
решение случаи обтекания сферической частицы жидкостью.
* Здесь^ермин «сплошная фаза» употребляется не в традиционном смысле, поскольку
и дискретная частица, и окружающая ее жидкость (или газ) суть области сплошной среды,
действительное молекулярное строение которой не учитывается в анализе. В [30] предлага-
ется дискретные частицы называть дискретной фазой, а несущую («сплошную») фазу
дисперсионной.
Общие свойства течения невязкой жидкости 183
5.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Поскольку многие жидкости и в первую очередь наиболее рас-
пространенные вода и воздух характеризуются весьма малой
вязкостью, то в практически важных задачах силы вязкости доста-
точно часто играют ничтожную роль почти во всем поле течения.
Мерой отношения инерционных и вязкостных сил является число
(критерий) Рейнольдса Re = pwl/\L, где w и / характерные для
рассматриваемой задачи масштабы скорости и длины. При Re » 1
силы вязкости несущественны во всей области течения, кроме тон-
кого пограничного слоя (хотя влияние этого слоя на характеристики
течения и, в частности, на сопротивление, испытываемое движу-
щимся в жидкости телом, в общем случае весьма существенно). Ес-
ли пограничный слой не отрывается от обтекаемой поверхности, то
поле скоростей и давлений за пределами погранслоя может быть
найдено методами классической механики идеальной жидкости.
Важную область применения теории невязкой жидкости представ-
ляют собой течения со свободной поверхностью. Такой тип течений
был рассмотрен в гл. 3 применительно к анализу устойчивости гра-
ницы раздела жидкости и газа. В настоящей главе методы теории
течений со свободной поверхностью будут использованы при рас-
смотрении движения паровых (газовых) пузырьков в жидкости.
5.1.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Изотермическое течение идеальной жидкости описывается
уравнениями неразрывности A.2а) и уравнениями Эйлера, которые
следуют из A.4д) при \i = 0:
р т^ + р(и- V)u = -Vp + pg. E.1)
ot
Используя известное тождество
( 2Л
(и V)u = V + rot и х и ,
уравнение E.1) можно записать в форме ГромекаЛамба:
^ = 0. E.1а)
t^ + V - + rot их
184 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Если движение идеальной жидкости, определяемое уравнением
E.1а), было в некоторый начальный момент времени безвихревым,
то согласно теореме Лагранжа вихрь скорости rot u будет равен ну-
лю в любой последующий момент времени. Условие rot u =0 озна-
чает, что существует такая скалярная функция ф, градиет которой
в любой точке области течения равен вектору скорости и, т.е. и =
= grad ф. При этом в общем случае
В декартовой системе координат проекция скорости на ось хк
определяется соотношением
Эф
ик ~
В общем случае ортогональной криволинейной системы коорди-
нат {q.} имеем
где Нк метрические коэффициенты, или коэффициенты Ляме (см.
приложение).
Если движение баротропно (плотность р = р (р) есть однознач-
ная функция давления, в частном случае р = const), то можно ввести
функцию давления
Отсюда следует
gradP = grad p = .
dp p
Таким образом, уравнение потенциального баротропного движения
можно представить в виде
Общие свойства течения невязкой жидкости 185
Имея в виду независимость переменных /иг, т.е. возможность изме-
нения порядка дифференцирования по этим переменным, получим
[dt )
Отсюда следует, что массовые силы g должны иметь потенциал, т.е.
g = - grad П. В частности, если сила тяжести является единственной
массовой силой, действующей в направлении, противоположном
оси z декартовой системы координат, то, очевидно, имеем
П = const + gz,
так что
Введение потенциала массовых сил позволяет записать уравне-
ние движения в следующей форме:
E.2)
Интеграл этого уравнения, называемый интегралом КошиЛагран-
жа, есть некоторая функция времени f(f), одинаковая для всей об-
ласти течения:
т E.3)
Э; 2
При известных потенциалах скоростей и массовых сил интеграл
КошиЛагранжа позволяет находить распределение давления
в жидкости.
Если движение установившееся, то интеграл КошиЛагранжа
превращается в интеграл Бернулли:
2
-+Р + П = const. E.4)
2
Для принятого нами условия р = const функция давления
Р ~Ро
р = ^ или? относя постоянную часть этого выражения ро/р
186 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
к функции f(t) в правой части уравнения E.3) (к const в E.4)),
можно просто писать Р = - .
Р
5.1.2. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Введение потенциала скоростей ф для несжимаемой идеальной
жидкости позволяет записать уравнение неразрывности в следую-
щей форме:
:V> = 0. E.5)
Уравнение E.5) называется уравнением Лапласа, а функция ф, удов-
летворяющая этому уравнению, гармонической функцией. Урав-
нение Лапласа это линейное дифференциальное уравнение, в си-
лу чего его частные решения можно дифференцировать, складывать
и получать таким образом новые частные решения этого уравнения.
Использование условий однозначности (обычно условий на грани-
цах области течения) позволяет получать единственные решения
для гармонической функции, а следовательно, и для поля скоростей
в различных конкретных задачах.
Наиболее простым и вместе с тем фундаментальным решением
уравнения Лапласа является функция
Ф=--^-. E.6)
4кг
В сферической системе координат вектор скорости:
1 Э<р . Q .
u = grad(p = ir = ; tr = ur\r,
#„ or
где Нг коэффициент Ляме, равный 1. (Две другие компоненты
скорости, очевидно, равны нулю.)
Нетрудно убедиться, что решение E.6) удовлетворяет уравне-
нию E.5).
Функция E.6) в зависимости от знака Q соответствует точечно-
му источнику (Q > 0) или стоку (Q < 0), причем сама величина Q на-
зывается мощностью источника (или стока) и физически представ-
ляет собой объемный расход жидкости через произвольную сфери-
ческую поверхность радиуса г. Действительно, объемный расход
Движение сферы в идеальной жидкости 187
жидкости через такую поверхность равен произведению площади
поверхности на нормальную к ней проекцию вектора скорости, т.е.
Поскольку уравнение E.5) линейное, решение E.6) можно ис-
пользовать для получения других частных решений уравнения Лап-
ласа. Очень важным для приложений является решение уравнения
E.5) для диполя, т.е. для течения, обусловленного действием ис-
точника и стока одинаковой мощности. Если мощность источника
и стока устремить к бесконечности, а расстояние между ними
к нулю и потребовать, чтобы произведение мощности на расстоя-
ние оставалось конечной величиной т, называемой моментом, или
интенсивностью точечного диполя [3, 26], то потенциал скорости
такого течения получается дифференцированием функции E.6) по
направлению прямой, соединяющей источник и сток. В частности,
для направления оси х (рис. 5.1) потенциал течения, обусловленно-
го диполем, определяется как
^ ^х A cos6
Важным отличием потенциала E.7) от E.6) является то, что пол-
ный поток жидкости через любую поверхность, охватывающую ди-
поль, равен нулю, поскольку мощности источника и стока, состав-
ляющих диполь, одинаковы. Это свойство удобно, если требуется
удовлетворить граничному условию на непроницаемой поверхности.
5.2. ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
5.2.1. ПОТЕНЦИАЛ И ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
Будем рассматривать движение идеальной жидкости, покоя-
щейся «на бесконечности», обусловленное поступательным пере-
мещением жесткой сферы радиусом а со скоростью U^ в положи-
тельном направлении оси х. Очевидно, картина течения не изме-
нится, если ее рассматривать в системе отсчета, связанной с цен-
тром сферы (рис. 5.1). В этом случае сфера рассматривается как не-
подвижная, а жидкость движется вдали от сферы со скоростью
С/оо . В сферической системе координат (г, Э, (р) течение осесиммет-
188 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Рис. 5.1. Обтекание неподвижной
сферы потоком идеальной жидкости
рично, т.е. в анализе можно ограничиться рассмотрением только
двух компонент скорости иг и uQ.
В рассматриваемом случае несжимаемой невязкой жидкости за-
дача сводится к отысканию потенциала скорости, удовлетворяюще-
го уравнению E.5) и граничным условиям на бесконечности
^ OO=-UOO E.8а)
и на поверхности сферы
E.86)
Второе из граничных условий касается только нормальной к по-
верхности сферы компоненты вектора скорости, поскольку в иде-
альной жидкости не действует условие прилипания, что не дает ос-
нований накладывать какие-либо предварительные условия на каса-
тельную компоненту скорости.
Граничное условие E.8а) определяет одномерное поступатель-
ное движение, потенциал которого
=-U00x=-U00rcosQ.
U^ cosG, t/e «> ==
скорости на бесконечности: Ur
(В сферической системе координат соответствующие компоненты
_ Эф
" ~д~г ~~
= - ^ - U
г дг
Условию непроницаемости поверхности E.86) удовлетворяет по-
тенциал течения от точечного диполя E.7). Суммарный потенциал
Фсф = Фдип + Фпост = -C0S9 1 ^ +
Движение сферы в идеальной жидкости
189
удовлетворяет обоим граничным условиям и уравнению E.5). Неиз-
вестная константа^ находится из E.86):
^ =cosG -?/«, =0;
- п
2 °°'
Таким образом, окончательно потенциал скорости:
= -U cosG (г+ ?-)
Фсф ~ оо COS .
V 2г )
Компоненты скорости:
E.9)
эе
E.10)
Воспользовавшись выражением для V чр, в сферической систе-
ме координат (см. приложение), несложно убедиться, что потенциал
E.9), действительно обращает уравнение Лапласа E.5) в тождество.
Поле скорости, определяемое соотношениями E.10), очевидно
удовлетворяет граничным условиям E.8а) и E.86). Второе из соот-
ношений E.10) определяет касательную скорость на границе обте-
каемой сферы
E.11)
В соответствии с этой формулой в лобовой и кормовой точках сфе-
ры (точки А и В, рис. 5.1) касательная скорость равна нулю, а в точ-
ках миделевого сечения (точки Си/), рис. 5.1) скорость обтекания
в 1,5 раза превосходит скорость невозмущенного потока.
190 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
5.2.2. СОПРОТИВЛЕНИЕ СФЕРЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОТОКЕ.
ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА
Сила сопротивления, которую испытывает сфера, движущаяся по-
ступательно в жидкости, при потенциальном течении представляет со-
бой равнодействующую сил давления, действующих на поверхность
сферы. Согласно рис. 5.2 проекция силы сопротивления на ось х:
п
J
п
Fc = J -pa cos9 dS = J -pa
s о
sinG dG,
где dS = 2ка sinG dG элемент площади поверхности сферы, т.е.
кольцо шириной adQ с длиной окружности 27iasinG; S полная
поверхность сферы.
Давление на поверхность сферы ра можно определить, записав
уравнение Бернулли для струйки тока, обтекающей поверхность:
С учетом E.11) имеем
1 тт2
Ра =Р°° + 2 Р °
- - sin2G
4
E.12)
Уже из выражения E.12) следует, что в точках поверхности сферы,
симметричных относительно плоскости миделевого сечения, давле-
ние одинаково, т.е. равнодействующая сил давления в направлении
оси х должна быть равна нулю. Подстановка E.12) в интеграл, опре-
деляющий силу сопротивления Fc действительно дает
Fc = 0. E.13)
Таким образом, при движении
в идеальной жидкости сфера не ис-
пытывает сопротивления. Этот ре-
зультат носит название «парадокс
Даламбера». В классической гидро-
механике доказывается, что пара-
докс Даламбера справедлив для тел
любой формы, т.е. в идеальной жид-
кости, покоящейся на бесконечно-
Рис. 5.2. Сила давления на по- сш^ не испытывает сопротивления
верхности обтекаемой сферы
Обтекание твердой сферы вязкой жидкостью при Re « 1 191
тело произвольной формы конечных размеров, движущееся с по-
стоянной скоростью.
В реальной (вязкой) жидкости потенциальное безотрывное обте-
кание сферы нереализуемо. С этой точки зрения результат, выра-
жаемый равенством E.13), казалось бы не должен представлять ни-
какого практического интереса. Однако, как мы убедимся в даль-
нейшем, разумное использование закономерностей потенциального
движения жидкости, в том числе и парадокса Даламбера, позволяет
в ряде случаев успешно решать некоторые практические задачи,
связанные с движением двухфазных сред.
5.3. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОЙ СФЕРЫ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПРИ Re « 1
5.3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Строгое аналитическое решение задачи о движении сферы в ре-
альной (вязкой) жидкости было получено лишь применительно к ус-
ловию Re « 1, т.е. для весьма медленного обтекания жидкостью
сферы малых размеров. Впервые эта задача была решена еще
в 1851 г. Стоксом, который ввел для анализа специальную функцию
тока. Здесь будет представлен другой метод решения [26].
Условие Re « 1 означает, что силы инерции несущественны
в сравнении с силами вязкости, т.е. нелинейные относительно ско-
рости члены уравнения НавьеСтокса могут быть опущены. При
малых характерных скоростях движения жидкость (газ) всегда мо-
жет рассматриваться как несжимаемая, а время наступления стацио-
нарного состояния, как правило, мало в сравнении с другими харак-
терными временами процесса (например, в сравнении со временем
гравитационного всплытия или осаждения дисперсной частицы
в слое жидкости). Поэтому при Re « 1 практический интерес пред-
ставляет прежде всего стационарное течение. Таким образом, урав-
нение /-проекции импульса A.4г) для рассматриваемого класса тече-
ний записывается как:
^^ + p E.14)
dxl axkoxk
(Такие течения называются ползущими.)
192 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Рис. 5.3. Схема обтекания
неподвижной сферы вязкой
жидкостью
Будем рассматривать поступательное движение сферы радиусом
а со скоростью -Uqq в отрицательном направлении оси х. В «собст-
венной» системе отсчета, связанной с центром сферы, поступатель-
ному перемещению сферы соответствует обтекание неподвижной
сферы потоком безграничной жидкости со скоростью U^ (рис. 5.3).
Для сокращения математических выкладок не будем учитывать в
анализе действие массовых сил (простой проверкой легко убедить-
ся, что эти силы не влияют ни на поле скоростей, ни на силу сопро-
тивления при обтекании сферы жидкостью с заданной скоростью).
Тогда рассматриваемое движение описывается системой уравне-
ний сохранения в виде:
V-u = 0;
Vp = (iV2u.
E.15)
В силу осесимметричности течения удобно использовать в ана-
лизе сферическую систему координат (г, 0, ф). Граничные условия
в указанной системе координат имеют вид:
при г
при г-a ur. = uQ = 0.
(а)
(б)
Условие (б) отражает непроницаемость поверхности сферы и
отсутствие скольжения (прилипание) на границе раздела. В осесим-
метричном течении азимутальная составляющая скорости, очевид-
но, отсутствует, т.е. w = 0.
Тормозящее действие поверхности сферы вызывает появление
вращательного движения жидкости вязких вихрей, как это схема-
тически показано на рис. 5.3. Количественной характеристикой вих-
ревого движения служит вектор» со = rot u. Осесимметричность тече-
Обтекание твердой сферы вязкой жидкостью при Re << 1 193
ния в рассматриваемом случае обусловливает равенство нулю про-
екций этого вектора на оси гиб, т.е. rotru = roteu = 0. (В этом легко
убедиться, формально записав выражения для указанных проекций
вектора rotu и имея в виду, что и = 0, - = = 0 .) На рис. 5.3
Эф Эф
показана вихревая линия касательная к вектору со = со , который
мы в дальнейшем будем обозначать просто со.
5.3.2. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ СФЕРЫ
Вихревое движение жидкости при обтекании сферы подсказы-
вает путь решения уравнений сохранения. Используя векторное
тождество
V u = grad(div u) - rot rot и
и уравнение неразрывности (первое уравнение системы E.15)),
уравнение движения можно записать в виде
Vp = -ц rotrotu =-[i rot со. E.16)
Поскольку операция rot от градиента скалярной функции дает
нуль, т.е. rot (Уф) s 0, то, применяя к последнему уравнению эту
операцию, получаем
rot rot со =0. E.16а)
Таким образом, для нахождения искомого поля скоростей необхо-
димо решить уравнение E.16а) при единственном пока граничном
условии
^оо=0. (В)
Используя соотношения приложения, получаем в сферической
системе координат:
1 гЭ(со rsinB) Э(соег)-| 1 э ,
rotrco = - = (со sinG);
2 . ft L Э9 Эф J r sine Эв
r" sineL °° Э(р
[
r sin8 L Эф Эг J г дг
1 гЭ(юг) Э(ау sine)-] 1 Э(сог)
roteco = - = -:
г sin8 L Эф Эг J
rot(pco =
194 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Повторно применяя операцию rot теперь уже к вектору rot со, полу-
чаем
rotr (rot со) = rote (rot со) = 0;
1 Э2(сог) 1 Э г 1 Э , . Л
rot (rot со) = rot rot со = -- (со sinco) .
г Qr2 r2 эе Lsine эе J
Таким образом, для нахождения величины со = rot u необходимо ре-
шить уравнение
)г2 Эб Lsine эе
E.166)
которое соответствует исходному уравнению движения E.16). Урав-
нение E.166) решается методом разделения переменных, если пред-
ставить искомую величину со в виде произведения двух функций:
При этом получаем
R dr2 gdO
Поскольку левая часть равенства есть функция только г, а правая
только 6, это возможно лишь в том случае, когда обе эти функции
независимых переменных равны порознь некоторой постоянной ве-
личине е, т.е. уравнение E.166) удалось представить в виде двух
обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из них
I А Г_1_ iL
Q de LsinO de
sinG)] =
имеет решение Q(Q) - sin6 при ? = 2. Тогда другое уравнение при-
обретает вид
d2(rR) _ 2R
dr2 ~~ r'
Это уравнение имеет решение вида R = Агп. Из двух значений п
(п{ = 1, п2 = -2), обращающих уравнение в тождество, граничному
условию R = 0 при г > оо удовлетворяет второе.
Обтекание твердой сферы вязкой жидкостью при Re << 1 195
Таким образом,
^^ A sin6
О = RQ =
E.17)
(Заметим, что прямая подстановка этого результата в уравнение
E.166) превращает его в тождество.)
Соотношение E.17) можно рассматривать как уравнение для
компонент скорости urn we, поскольку со = rot u. В качестве второ-
го уравнения, замыкающего систему, используем уравнение нераз-
рывности (первое уравнение системы E.15)), записанное в сфериче-
ской системе координат. Таким образом,
1 fd(aer) Эу| _ A sin9
Э(г ur)
+
г sine
эе
= о.
E.18)
Вид граничных условий (а) и (б) подсказывает, что решение сис-
темы E.18) логично искать в виде бесконечного ряда:
+ Е i: sine-
Подставляя эти значения компонент скорости в систему E.18) и
производя простые преобразования, получаем:
= 0.
E.19)
196 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Очевидно, что при к- I (г ? 0):
Хх =А; Х{ + 2Х\ = 0;
Ц\л.
Первое уравнение системы EЛ 9) обращается в тождество при
к = 1. Это означает, что сумма всех последующих членов ряда (к > 1)
тождественно равна нулю, а это возможно лишь при равенстве ну-
лю каждого члена ряда. Последнее относится и ко второму уравне-
нию системы E.19) при любом значении L Таким образом, для к > 1
имеем однородную систему уравнений:
|
2Ц+B-к)Хк = 0,J
которая имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее оп*
ре делите ль равен нулю. Отсюда следует
Это уравнение имеет корни 0 и 3, причем с учетом условия к > 1 ос-
тавляем лишь второй корень. Для к - 3 получаем
Все остальные значения Хк и Х'к при к> 1 тождественно равны нулю.
Итак, теперь для компонент скорости можно записать:
E.20)
ur = E/oo + - + -r cosG;
\ А \ Ы
Щ =-?/„- + ;-Г sine.
2 г 2 3 1
Используя граничное условие (б), находим:
2 2
Обтекание твердой сферы вязкой жидкостью при Re << 1 197
В итоге получаем решение для поля скоростей в виде:
E.20а)
5.3.3. СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ СФЕРЫ
Теперь несложно найти распределение давления в потоке, каса-
тельное напряжение на границе сферы и полную силу сопротивле-
ния при обтекании сферы. Записывая уравнение E,16) в проекции
на одну из осей координат, например на ось г, и используя при этом
выражение E.17) и найденное выше значение А, получаем
Эр цоо
= -ц rotrco = cos9,
дг г3
Отсюда для поля давлений имеем
3 тт cose
р = - - цС/qoа ¦ + const.
2 г2
При г -» оо р = р^ 9 чхо определяет значение const и позволяет за-
писать окончательно
р ^oo-;№>^cose. E.21)
2 г
На поверхности сферы при г = а давление распределяется по закону:
3 Доо
Ра =Роо-~ cos0 E.21а)
2 а
Совершенно очевидно, что в отличие от случая обтекания сфе-
ры идеальной жидкостью (соотношение E.12)) при вязком обтека-
нии поле давлений несимметрично относительно плоскости миделе-
вого сечения сферы. Это хорошо видно на рис. 5.4.
198 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
иг
При обтекании сферы идеальной
жидкостью давление максимально в
лобовой точке (точка 7), затем оно
быстро падает, и в миделевом сече-
нии 2-2 наблюдается максимальное
разрежение. В кормовой же части по-
верхности сферы давление восстанав-
ливается, в частности давление в точ-
ке 3 в точности равно давлению в точ-
!q ке 7. В случае вязкой жидкости (при
Re « 1) давление на поверхности
сферы, достигнув максимального зна-
чения в точке 7, непрерывно падает
вдоль меридиана сферы, так что в ми-
делевом сечении ра~роо,^ъ кормо-
вой точке 3 имеет место максималь-
ное разрежение.
Очевидно, что при обтекании
сферы вязкой жидкостью равнодей-
ствующая сил давления не обращает-
ся в нуль, ее направление совпадает
с вектором скорости жидкости.
В рассматриваемом случае эта равно-
действующая F совпадает с равнодействующей нормальных на-
пряжений Fn на поверхности сферы. Действительно, для нормаль-
ных напряжений:
дил
Т- =Ра>
drJr=a
что легко проверяется прямой подстановкой значения иг из E.20а)
в выражение для Urr. Таким образом, равнодействующая нормаль-
ных напряжений определяется соотношением
71
Fn = Fp = J {-pa cos9J7ia2 sinB dG = ina^U^.
n
Касательное напряжение тг0 в сферических координатах в слу-
чае осесимметричного течения выражается соотношением
Рис. 5.4. Распределение давле-
ния вдоль меридиана сферы при
обтекании ее вязкой (кривая /)
и идеальной (кривая 2) жидко-
стями
Обтекание твердой сферы вязкой жидкостью при Re << 1
199
Рис. 5.5. Нормальное и касательное
напряжения на поверхности сферы
в вязкой жидкости
\диг ди^
г эе дг
add
На поверхности сферы (г = а) ид = О, = 0, так что с учетом
Э0
E.20а):
ди<
Г Уг=а
2 а
sinB.
E.22)
Равнодействующая сил трения (касательных напряжений) находит-
ся интегрированием по поверхности сферы (рис. 5.5):
71
Fx = J (-тге sin0J7ia sin9 d6 =
Положительное значение величины Fx свидетельствует о том,
что равнодействующая сил трения направлена (так же, как и равно-
действующая сил давления) в положительном направлении оси х,
т.е. в направлении потока жидкости.
Полная сила сопротивления, следовательно, равна:
E.23)
Формула E.23) широко известна как формула Стокса для силы
сопротивления шара в вязкой жидкости.
5.3.4. СКОРОСТЬ ПАДЕНИЯ ТВЕРДЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ ПРИ Re « 1
Формула Стокса позволяет рассчитывать скорость свободного
падения твердых шариков плотностью рт в жидкой или газообраз-
ной среде с плотностью рж. Действительно, при установившемся
200 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
движении сила сопротивления Fc должна быть равна весу тела за
вычетом архимедовой силы:
4 з
Fg = -na g(pT-pJ.
Из этого условия следует
J
9 ц
Результаты опытов по определению силы сопротивления твер-
дых частиц обычно представляют в. виде зависимости коэффициен-
та сопротивления CD от числа Re. Величина CD находится по опре-
делению как отношение силы сопротивления FQ к произведению ди-
намического напора @,5 рж?/оо) на площадь миделевого сечения
частицы (в случае шара /мид = п а ). Введение коэффициента сопро-
тивления CD позволяет представить формулу Стокса в виде
24
E.24а)
1 ТТ2 2 Re
- РжС/оо7Ш
Сравнение этой формулы с результатами опытных измерений
показывает, что высокая точность расчетов по ней имеет место
лишь при Re = 10" и менее, т.е. при тех условиях, для которых
справедлив переход от полного уравнения НавьеСтокса A.4г)
к упрощенной его форме E.14). Однако практически вплоть до
Re < 1 использование формулы Стокса допустимо (погрешность в
расчете при этом не превосходит 10 %). Приняв за границу приме-
нимости решения Стокса значение Re = 1, можно оценить предель-
ный размер твердого шарика, который падает «по закону Стокса»:
E-25)
Качественные закономерности движения газовых пузырей в жидкости 201
Воспользовавшись формулой E.25), оценим к примеру, какой размер должна
иметь пылинка, чтобы ее падение в воздухе подчинялось закону Стокса. Положив
приближенно: \х= 1,8 КГ5 кг/(м с); рж = 1,2 кг/м ; рт = 2 103 kiVmj, найдем
A,8-10 J) -5
~пр з,4 з ^3'2>1° М"
V 1,2B- 10-1,2)9,8
Таким образом, ясно, что в газах (и, как несложно убедиться, в
маловязких жидкостях) соотношения E.23) и E.24) применимы
лишь к движению очень малых частиц (диаметром менее 0,1 мм).
Важно также представлять себе, что скорости движения таких час-
тиц очень невысоки. Так, в рассмотренном примере пылинка радиу-
сом 32 мкм будет падать в воздухе со скоростью U^ ~ 0,24 м/с,
причем ясно, что более крупные частицы и, следовательно, большие
скорости падения приведут к невыполнению условия Re < 1.
Анализ Стокса впоследствии был уточнен К. Озееном (см. [26]),
который частично учел влияние инерционных членов уравнения
A.4г). Озеен получил формулу для коэффициента сопротивления
E.26)
которая точнее формулы E.24) при значениях числа Re, близких
к 1, и может быть использована до Re < 5.
5.4. КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЕЙ
В ЖИДКОСТИ
5.4.1. АНАЛИЗ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Эксперименты показывают, что в зависимости от объема газо-
вые пузыри могут иметь форму сферы, сплюснутого сфероида, сфе-
рического сегмента, а в некотором диапазоне размеров газовые пу-
зыри претерпевают пульсационные изменения формы в процессе
своего подъемного движения. Естественно, что форма пузыря и ха-
рактер его обтекания жидкостью взаимно влияют друг на друга. По
этой причине, в частности, невозможно предсказать форму газового
202 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
пузыря в жидкости, основываясь только на знании его объема Кили
характерного линейного размера /.
Использование аппарата теории подобия позволяет провести об-
щую классификацию характерных случаев поведения газовых пузы-
рей в жидкости, а порой определить и структуру расчетного соотно-
шения для скорости всплытия. Различные числа (критерии) подобия
удобно представлять как меру отношения некоторых сил, действую-
щих в объемах соприкасающихся фаз и на границах раздела. Усло-
вимся относить эти силы к единице площади. Тогда, используя, на-
пример, уравнение сохранения импульса A.4г), можно получить
следующие оценки:
силы инерции
силы тяжести (архимедовы)
fg~g(p'-9")i;
СИЛЫ ВЯЗКОСТИ
Из условия совместности для нормальной компоненты импульса
на границе раздела газжидкость (формулы Лапласа для скачка
давлений) получается оценка для силы поверхностного натяжения:
/а-
Во всех приведенных соотношениях w характерная скорость
процесса, индексы " и ' относятся соответственно к газовой и жид-
кой фазам.
Из приведенного набора сил только сила поверхностного натя-
жения стремится придать пузырю сферическую форму (условие ми-
нимума избыточной свободной энергии границы раздела фаз), а три
остальные силы в общем случае обусловливают его деформацию.
Относительная роль деформирующих и стабилизирующих сил вы-
ражается, следовательно, следующими числами подобия:
pV = Во _числоБонда;
/о О
Качественные закономерности движения газовых пузырей в жидкости 203
Ъ Р>2/ ™ о а
= - = We число Веоера;
_г _с = N вязкостно-капиллярный критерии.
fa G
Итак, в общем случае условия сферичности газового пузырька
имеют вид:
Во«1; We«l; N]ia«\. E.27)
Первое из неравенств E.27) определяет статическое условие неде-
формируемости сферического газового пузырька и существенно для
задач гидростатики. Два других неравенства определяют динамиче-
ские условия сферичности. Поскольку число Re = , то в области
f\L
Re > 1 сферичность всплывающего газового пузырька, очевидно, оп-
ределяется условием We « 1. Строгий анализ чисто вязкостных те-
чений [3, 59] приводит к неожиданному выводу: оказывается и при
Re « 1 возможная деформация всплывающего газового пузырька
обусловливается только соотношением инерционных сил и сил по-
верхностного натяжения, т.е. числом Вебера. Дело в том, что при
чисто вязкостном обтекании газового пузырька полное нормальное
напряжение на его границе одинаково во всех точках поверхности
раздела, т.е. оно не деформирует пузырь, а лишь компенсирует из-
быточное давление в пузырьке, обусловленное кривизной поверхно-
сти раздела. (Подробнее об этом будет идти речь в § 5.5.)
Таким образом, для всплывающего с установившейся скоростью
газового пузырька условие сферичности однозначно определяется
неравенством We « 1. А общие закономерности движения пузырька
в жидкости могут быть описаны уравнением подобия, составлен-
ным из трех любых чисел подобия, введенных нами выше, напри-
мер уравнением вида
Re = Re(Bo, We).
204 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Вместе с тем в ряде случаев удобно использовать другие числа
подобия, которые легко могут быть получены из имеющихся. На-
пример, отношение сил инерции к силам тяжести дает число Фруда:
Fr = We _ А = p'w2 _ м?
Г
ГВо fg g(p'-p")l gl'
Нередко при анализе двухфазных систем используют число подо-
бия, содержащее лишь физические свойства фаз и ускорение сво-
бодного падения:
Re4 о3(р'J о3р' а3 = Ка
Ка
Во We2 g(p;-pV g[i4 g(p')V
Видим, что фактически, это Ка число, впервые введенное П.Л. Ка-
пицей при анализе гравитационных пленок. Используя это число,
все имеющиеся опытные данные по скоростям всплытия газовых
пузырьков можно представить в виде зависимости:
Re = Re(Bo, Ka).
В качестве еще одного числа подобия иногда рассматривают
введенный нами ранее коэффициент сопротивления CD, который по
физическому содержанию аналогичен числу Fr и для сферического
пузырька равен:
-7ia3g(p'-p")
с _ 3 4 g2a _ 4 1
Заметим, наконец, что при более общем рассмотрении двух-
фазных систем (не ограниченном случаем движения газовых пу-
зырьков в жидкости) в число сил, действующих в объемах фаз, сле-
дует включать силы инерции и вязкости газовой фазы, т.е./" - p"w
и f"~\k" (w/l). Поскольку характерные (масштабные) значения /
и w одни и те же для обеих взаимодействующих фаз, то для полно-
го описания поведения двухфазной системы достаточно к уже вве-
денным числам подобия ввести два безразмерных соотношения
Качественные закономерности движения газовых пузырей в жидкости 205
(симплекса): и . Тогда уравнение подобия может быть пред-
ц' р'
ставлено, например, в виде
Re = Re f Во, We, , 1.
V \х' pV
Как будет показано далее, использование методов теории подо-
бия особенно эффективно при анализе так называемых предельных
задач механики двухфазных сред, т.е. таких случаев, когда для про-
цесса не существенны некоторые из четырех выше названных сил.
5.4.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЗА ДВИЖЕНИЕМ ГАЗОВЫХ
ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ
Наиболее полное опытное исследование закономерностей
всплытия газовых пузырьков в различных жидкостях выполнили
Хаберман и Мортон [57]. На рис. 5.6 представлены заимствован-
ные из этой работы зависимости скорости всплытия (U^ ) воздуш-
ных пузырьков в воде (jli « 1 10" кг/(м с)) и минеральном масле
#оо> СМ/С
4
2
101
6
4
2
10°
6
4
-3 2 4 610~2 2 4 6 КГ1 2 4 6 10° 2
2
/
i
/
/
2
в
j
\ /
/
/
/
Г
3
1
f I
1
1 \2
i i
/
/
!3
4
4
i
i
5
э,см
Рис. 5.6. Опытные кривые зависимости скорости всплытия воздушных пу-
зырьков в дистиллированной воде (кривая а) и в минеральном масле (кри-
вая б) (кривая в по формуле E.33))
206 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Рис. 5.7. Примерные формы и характер обтекания газовых пузырьков
в жидкости
(|Ы ~ 58- 10" кг/(м с)) от эквивалентного радиуса пузырька R3 =
= 3/ V. Левая ветвь указанной зависимости для воды (при Re <
V 471
< 1 10 см) в опытах работы [57] не была получена и проведена
нами в соответствии с расчетом по E.24), поскольку в этой области
газовые пузырьки в воде всплывают так же, как твердые шарики.
Основываясь на виде кривых U^ G?э) и опытных наблюдениях,
можно выделить пять характерных областей, отличающихся опреде-
ленными формами пузырей и закономерностями их обтекания жид-
костью. На рис. 5.6 эти области обозначены цифрами 15. На
рис. 5.7 показаны примерные формы пузырьков в каждой зоне и ха-
рактер обтекания.
Область 1 соответствует подъемному движению весьма малых
сферических пузырьков при Re < 1. Как уже указывалось, для воды
кривая в этой области построена по расчетному соотношению E.24),
поскольку в опытах столь малые пузырьки (R3 < 0,07 мм) получить
затруднительно. При движении в минеральном масле условию Re = 1
отвечают газовые пузырьки радиусом Яэ -0,9 мм, так что здесь об-
ласть 1 вполне доступна опытному исследованию. Условие Re < 1 и
сферичность пузырьков позволяют полагать, что на их движение не
должны влиять силы инерции/^ и силы поверхностного натяжения
fa. При установившемся движении отношение двух оставшихся сил
(архимедовых^ и вязкости f ) должно быть постоянным:
= const.
Качественные закономерности движения газовых пузырей в жидкости 207
Поскольку характерный линейный размер в рассматриваемом слу-
чае есть радиус сферы (т.е. / = а), а характерная скорость ско-
рость всплытия (w = Uqq ), то можно записать
= const
Эта формула с точностью до постоянной совпадает с формулой Сто-
кса E.24) для движения твердой сферы. О значении const в случае
движения газовых пузырей будет сказано далее.
Область 2 соответствует движению сферических пузырей при
Re > 1. Сохранение сферической формы пузырька предполагает
выполнение сильного неравенства We « 1, однако практически
можно считать пузырек приближенно сферическим до We < 1. При
всплытии газовых пузырьков в воде область 2 простирается до
Re ~ 300400, т.е. до Яэ ~ 0,6 мм. При движении газовых пузырьков
в минеральном масле условию We ~ 1 отвечает радиус Кэ ~ 1,4 мм,
так что на кривой U^ (R3) для минерального масла область 2 охва-
тывает весьма узкий диапазон размеров пузырьков.
Характер обтекания пузырька в рассматриваемой области мало
отличается от такового в области 1. Некоторые оценки показывают
возможность появления очень узкой зоны отрыва в окрестности
кильватерной линии (см. рис. 5.7).
Область 3 характеризуется прямолинейным движением сплю-
щенных в виде эллипсоида вращения пузырей. Наблюдения за воз-
душными пузырьками в воде показывают, что эта область охватывает
значения Re от 300400 до приблизительно 500 (R3 ~ 0,60,8 мм).
По данным Харпера [59], верхняя граница рассматриваемой области
для маловязких жидкостей соответствует We ~ 3,23,7. При боль-
ших значениях We движение пузырей становится неустойчивым.
В работе Хабермана и Мортона нет прямого указания о верхней гра-
нице области устойчивого прямолинейного всплывания эллипсои-
дальных пузырей в вязких жидкостях. На рис. 5.6 эта граница обо-
значена, исходя из условия We = 3,5.
Поскольку плотность и вязкость газа в пузырьке намного мень-
ше плотности и вязкости жидкости, обтекание эллипсоидальных пу-
зырей сохраняется безотрывным даже за пределами экваториально-
го (миделевого) сечения. Однако в окрестности задней критической
точки зона отрыва, по-видимому, существует (см. рис. 5.7).
208 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Область 4 является переходной от эллипсоидальных пузырей
к пузырям в форме сферических сегментов. Для этой области спра-
ведливы следующие диапазоны чисел подобия:
Во-0A); Во>1;
We > 1; We > 1;
Re » 1; Re > 1.
Левый столбец относится к маловязким жидкостям, правый
к вязким. Характерными особенностями движения пузырей при
этих условиях являются пульсации их формы под действием сил по-
верхностного натяжения из-за переменной кривизны межфазной по-
верхности, существование значительной зоны отрыва потока в кор-
мовой части поверхности пузыря и винтовая (или зигзагообразная)
траектория их всплытия (см. рис. 5.7). В области 4 скорость всплы-
тия почти не изменяется с изменением линейного размера пузыря.
Этот экспериментальный факт послужил обоснованием прибли-
женной эмпирической формулы, структура которой легко может
быть получена с помощью анализа размерностей. Условие Re > 1
позволяет полагать, что скорость всплытия пузырей в области 4 оп-
ределяется действием сил/), f и/а? т-?- может быть описана неко-
торой функциональной зависимостью чисел Во и We. Вид этой за-
висимости можно найти из условия U^ Ф /(/). Записав, в частно-
сти, Во ~ We , мы избавимся от линейного размера в соотношении
для скорости всплытия и получим
Uoo= const Ш-1П. E.28)
>i (P'J
Формула E.28) приближенно согласуется с опытными результатами
при const ~ 1,41,8. (При этом для скорости всплытия газовых пу-
зырьков в воде получим диапазон 0,240,32 м/с.)
Область 5 охватывает газовые пузыри объемом V > 2 см ,
имеющие форму практически правильного сферического сегмента
(см. рис. 5.7). Фотографии таких пузырьков получены в жидкостях с
весьма различными свойствами: вода, водные растворы глицерина,
масла, спирты, жидкие металлы и т.д. Анализ опытных наблюдений
показывает, что головная часть таких пузырьков представляет собой
гладкую сферическую поверхность радиуса R, а кормовая (донная)
Качественные закономерности движения газовых пузырей в жидкости 209
Рис. 5.8. Форма крупных пузырей
и особенности течения в следе при
умеренных (а) и больших (б) чис-
лах Re
часть практически плоская или слегка вогнутая, хотя в общем
случае на донной части могут иметь место нерегулярные зазубрины.
При движении крупных пузырей в вязких жидкостях, когда чис-
ла Re не очень велики (Re ~ 50250), в кормовой части пузыря об-
разуется система парных вихрей (рис. 5.8, а). При больших числах
Re в кормовой зоне отчетливо виден турбулентный след, характер-
ный для отрывного обтекания жидкостью таких тел, как твердые
диски, сферы (рис. 5.8, б).
Крупные пузыри довольно быстро приобретают в жидкости
скорость своего стационарного подъемного движения U^ , движе-
ние их в большинстве случаев устойчиво. В некоторых режимах у
краев пузырей, где весьма велика кривизна поверхности раздела,
образуются маленькие пузыри «спутники», а в очень вязких
жидкостях иногда наблюдается по краям пузыря своеобразная газо-
вая завеса «юбка», образующая цилиндрическую поверхность.
Соображения теории подобия позволяют и здесь получить структу-
ру выражения для скорости всплытия крупных пузырей. Для пузы-
рей большого объема наряду с условием Re » 1 справедливы не-
равенства: Во » 1; We » 1. Это означает, что движение таких пу-
зырей определяется взаимодействием сил инерции и сил тяжести,
причем в условиях стационарного движения отношение этих сил
должно быть постоянным. Таким образом, имеем
f 2
Ji „ W
= Fr = = const.
fg Si
Положив, что характерный линейный размер / равен эквивалент-
ному радиусу пузыря, получим для скорости всплытия:
= const
E.29)
Формула E.29) нашла надежное подтверждение в опытах, причем
значение константы с точностью ±5 % оказалось равным единице.
210 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Строгое аналитическое решение для скорости всплытия газовых
пузырьков было получено лишь для области 7. Для пузырьков, соот-
ветствующих областям 2, 3 и 5, имеются достаточно надежные при-
ближенные аналитические решения. Краткий анализ этих решений
приводится ниже.
5.5. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ПУЗЫРЕЙ (КАПЕЛЬ)
В ЖИДКОСТИ ПРИ Re « 1
5.5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В отличие от задачи Стокса об обтекании твердой сферы в ана-
лизе закономерностей обтекания жидкостью газового пузырька
или капли (при Re « 1) необходимо учитывать циркуляцию в дис-
кретной фазе, возникающую под действием касательных напряже-
ний на обтекаемой поверхности (рис. 5.9). Это приводит к опреде-
ленным изменениям в математическом описании. Во-первых, урав-
нения сохранения массы и импульса теперь должны записываться
и для сплошной, и для дискретной фаз. (Очевидно, что система
E.15) будет справедлива в нашем случае для обеих фаз.) Во-вто-
рых, изменяется содержание условий совместности для касатель-
ной компоненты импульса. Если для твердой сферы допущение об
отсутствии скольжения фаз на непроницаемой поверхности разде-
ла означает равенство нулю касательной скорости жидкости, то
для пузырька или капли условие:
говорит лишь о равенстве между собой касательных скоростей со-
прикасающихся фаз по обе стороны поверхности раздела. Таким об-
разом, в рассматриваемой задаче граничные условия имеют вид:
при г -* оо
(a')
ur
Рис. 5.9. Обтекание сферического
пузырька (капли) вязкой жидко-
стью (линии тока в верхней части
расчетные, в нижней полу-
ченные в опытах при падении ка-
пель глицерина в касторовом
масле [3])
Закономерности движения сферических пузырей (капель) в жидкости 211
(б')
(Здесь индекс «штрих» отнесен к внутренней дискретной фазе.)
К условиям (а')(в') необходимо еще присоединить требование об
отсутствии особенностей в центре сферического пузырька (капли),
т.е. при г = О скорости u'r, u'Q должны быть конечны.
5.5.2. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ В СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ФАЗАХ
Очевидно, что использованный в задаче Стокса метод анализа
для нахождения поля скоростей может быть применен и к рассматри-
ваемому случаю. При этом уравнение E.16) для величины со = rot u
справедливо для обеих фаз. Для внешней фазы, как и прежде, будем
иметь решение этого уравнения в виде
A sinG
со = ,
а для внутренней фазы, исходя из требования о конечности скоро-
стей при г = О, мы должны использовать второе из возможных реше-
ний уравнения E.166):
со' = AlrsinQ.
Поле скоростей для внешней фазы в общем виде по-прежнему опи-
сывается системой E.20). Для внутренней фазы поле скоростей на-
ходится из решения системы уравнений:
ди'г
Э9
1 9(rVr)
г sine эе
= Axr sin0;
:? (u'e sine) = 0.
E.18а)
212 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
По аналогии с полем скоростей для внешней области будем искать
решение системы E.18а) в виде бесконечных степенных рядов (при
этом учитываем, что при г = 0 скорости должны быть конечны):
иг =(в+ V v^cose,
Подстановка этих выражений в первое из уравнений E.18а) дает
В' = -В\к=2\ЪЪ'г + Ь2=А{. Таким образом:
Подставляя эти значения скоростей в уравнение неразрывности
(второе из уравнений E.18а)M получаем:
2 1
Ь'2=-А{; Ь2=--А{.
В итоге для внутренней области имеем:
А,
E.206)
иг =[В- г ) cosG;
и'Л=[_д + _1
sinG.
В соотношениях E.20) и E.206) содержатся четыре неизвестные
константы (А, А,3, В, А^)9 которые находятся из граничных условий
(б') и (в'). Условие непроницаемости границы первое из усло-
вий (б') дает:
?/оо + ~ + - =0; В = -Аха2.
а аЪ 5
Второе из условий (б') условие равенства касательных ско-
ростей фаз на границе раздела позволяет записать:
тт 1 ^ 1 Х3 1,2
-"--sr;;r; 1в"
Закономерности движения сферических пузырей (капель) в жидкости 213
И, наконец, из условия равенства касательных напряжений на гра-
нице раздела фаз (условия (в')) находим
Несложные алгебраические преобразования дают окончательно:
1 Зц/ + 2|Ы 1 з Ц/
А = - UqqCi ; Ло = - Uосп ;
2 ц' + ц 2 ц' + ц
Таким образом, уравнения E.20) и E.206) при соответствующих
значениях констант определяют поле скоростей внутри пузырька
(капли) и во внешней области течения.
5.5.3. СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ПУЗЫРЬКА (КАПЛИ)
Поле давлений во внешней области находим так же, как и при
обтекании твердой сферы, т.е. из уравнений E.16) и E.17), но при
другом значении константы Л. Имеем
Р = Роо Г" COSG
2
Нормальная компонента тензора давлений на поверхности сферы
определяется соотношением
2 а Ц + [X
Равнодействующая нормальных напряжений в направлении оси
х, которая здесь в отличие от задачи Стокса не равна равнодейст-
вующей сил давления, находится интегрированием по поверхности:
Fn = f [- (П ) cosG] 2na sin0 d6 =
П
Касательное напряжение на границе сферы
Л Ъиг duQ uQ^ 3 ~. . о
= sine
-.а 2 а
214 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Равнодействующая касательных напряжений в направлении оси х,
получаемая интегрированием по поверхности, определяется соот-
ношением
Fx =4na[iUoo -^.
ц' + ц
Наконец, найдем полную силу сопротивления при вязком обтекании
пузырька (капли):
E.23a)
Эта сила отличается от силы сопротивления при обтекании твердой
сферы, определяемой по формуле Стокса E.23), множителем
, который, очевидно, меньше единицы*. Качественно
З' З
уменьшение силы сопротивления при переходе от твердой частицы
к сферической капле или пузырьку можно было предвидеть, так как
при обтекании твердой фазы жидкость на ее поверхности тормозится
до нуля, а при обтекании пузырька или капли до некоторой конеч-
ной скорости циркуляции внутренней фазы. Заметим, что наличие
внутренней циркуляции подтверждено опытными наблюдениями
при падении капель глицерина в касторовом масле [3], причем полу-
ченные в опытах линии тока очень близки к расчетным (см. рис. 5.9).
Формула E.23а) позволяет рассчитать скорость падения жидкой
капли в газе или другой жидкости или скорость всплытия газового
пузырька в жидкости. Для этого необходимо приравнять силу со-
противления силе F В результате получим
. 2 ^ей ^
9 ц 3\i'+ 2\к
Формула E.24а) подобна формуле E.24) для скорости падения
твердой сферы в жидкости и переходит в нее при условии \х' » ц
(твердая частица в газе или жидкости, жидкая капля в газе). При со-
измеримых значениях вязкости внутренней и внешней фаз или при
условии ц/ < [i расчет по формуле E.24а) дает большее значение
скорости, чем скорость падения твердой частицы в той же среде.
* При ]х'» ц этот множитель равен единице, т.е. формула E.23а) переходит в формулу
Стокса E.23).
Закономерности движения сферических пузырей (капель) в жидкости 215
Для газового пузырька, всплывающего в жидкости, всегда имеет ме-
сто неравенство \х' «|Х, так что скорость всплытия может быть рас-
считана по формуле
). E.246)
3 \х
Следует, однако, заметить, что в большинстве опытных иссле-
дований скорость всплытия газовых пузырьков в воде подчиняет-
ся закону Стокса, т.е. формуле E.24), а не E.246). Наиболее веро-
ятное объяснение этого отклонения от теории состоит в том, что
при движении газового пузырька в воде на поверхности раздела
фаз накапливаются сложные молекулы поверхностно-активных
веществ (ПАВ), которые лишают границу раздела подвижности
пузырек движется, как бы окруженный жесткой оболочкой. Таким
образом, для практических расчетов скорости всплытия газовых
пузырьков в воде при Re < 1 (зона 1 на рис. 5.6) можно рекомендо-
вать формулу Стокса E.24).
В отсутствие поверхностно-активных веществ на границе разде-
ла фаз обтекание газового пузырька жидкостью можно рассматри-
вать как движение жидкости со свободной поверхностью, ибо усло-
вие ц' « \х означает отсутствие касательных напряжений на грани-
це раздела фаз. Применительно к такому движению легко доказать
справедливость высказанного в § 5.4 положения о том, что нормаль-
ные напряжения на границе раздела пузырька одинаковы во всех
точках поверхности раздела. Если пузырек всплывает в поле тяже-
сти, то нормальная компонента тензора напряжений, обусловленная
силами тяжести на границе пузыря, выражается как (р0 + pgacosG).
(Применительно к рис. 5.9 ускорение свободного падения g для
всплывающего пузырька совпадает с положительным направлением
оси х, р0 давление при х = 0.)
С учетом действия сил тяжести полное нормальное напряжение
на границе пузыря (см. соотношение E.30)) запишется:
3 ^ооЦ ц' + 2и
(П„) =Ро-~ cosG z-^ + pgacos6.
2 а |U + (I
Принимая для газового пузырька ц' « ц и р' « р и используя
E.24а) для U^, получаем (Пгг)г = а = р0. Таким образом, во всех
точках сферического пузыря нормальные напряжения действитель-
216 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
но одинаковы, т.е. при вязкостном обтекании газового пузырька при
Re « 1 не возникает динамических сил, деформирующих пузырь.
Этот анализ позволяет, в частности, объяснить тот факт, что при
движении в очень вязких жидкостях (типа патоки) воздушные пузы-
ри сохраняют сферичность даже при числах Бонда, больших 1. За-
метим, что для общего случая обтекания капли с конечной вязко-
стью \i' жидкостью при Re « 1 аналогичным образом можно дока-
зать, что разность нормальных напряжений по обе стороны границы
раздела одинакова во всех точках поверхности капли.
Укажем в заключение, что решение задачи о движении в жидко-
сти малых капель и пузырьков впервые было выполнено независимо
друг от друга Рыбчинским и Адамаром в 1911 г. [3]. Методика их
решения отличается от изложенной нами.
5.6. ГАЗОВЫЕ ПУЗЫРЬКИ В ЖИДКОСТИ ПРИ Re > 1
5.6.1. СФЕРИЧЕСКИЕ ПУЗЫРЬКИ ПРИ Re > 1
Рассматриваемый тип движения газовых пузырьков в жидкости
соответствует области 2 рис. 5.6. В этой области строгий анализ
требует, вообще говоря, решения полного уравнения НавьеСтокса
A.4г) или A.4д). Однако интерпретация границы сферического пу-
зырька как свободной поверхности жидкости с нулевым касатель-
ным напряжением на ней позволяет использовать следующий при-
ближенный подход. При обтекании газового пузырька чистой (без
поверхностно-активных веществ) жидкостью, как уже отмечалось,
практически отсутствует зона отрыва потока от поверхности разде-
ла фаз (в отличие от обтекания твердой сферы, которое при Re > 1
сопровождается отрывом потока практически сразу за ее миделе-
вым сечением). В силу этого вихревое движение локализуется в
весьма тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого пу-
зырька и в следе за пузырьком. Во всей остальной области течение
может рассматриваться как потенциальное. Толщина пограничного
слоя 5 на границе пузырька радиуса а по порядку величины должна
быть равна (как обычно при внешнем обтекании тела) a Re , т.е.
при Re » 1 5 « а. При этом условии можно с разумным прибли-
жением принять, что поле скоростей в жидкости описывается фор-
мулами E.10) для обтекания сферы идеальной жидкостью. Сила со-
противления движению газового пузырька может быть найдена, ис-
Газовые пузырьки в жидкости при Re > 1
217
ходя из того, что работа этой силы в единицу времени должна быть
равна скорости вязкой диссипации кинетической энергии во всей
области течения; указанная скорость диссипации рассчитывается по
известному полю скоростей. В результате такого подхода для силы
сопротивления было получено [25]:
т.е. при обтекании сферического пузырька при Re » 1 сила сопро-
тивления вдвое больше, чем при чисто вязкостном (Re « 1) обтека-
нии твердой сферы. Этому результату соответствует коэффициент
сопротивления
С =
D Re'
Более строгий анализ был выполнен в 1963 г. Д. Муром (см. [59]),
который учел диссипацию энергии не только в объеме жидкости, но
и в пограничном слое. Результирующее соотношение для коэффи-
циента сопротивления, полученное Муром, имеет вид
с -^
E.31)
На рис. 5.10 показано сопоставление формулы E.31) с опытными
данными по всплытию воздушных пузырьков в маловязких жидко-
стях (значения безразмерного параметра 1/Ка лежат в пределах
11 9
8,9 10 2,41 -10 ). Как видно из рисунка, согласование расчет-
ной зависимости с опытными результатами достаточно хорошее
Рис. 5.10. Коэффициент сопротивле-
ния газовых пузырьков, всплываю-
щих в различных жидкостях:
х варсол (лигроин), 1/Ка =
= 2,41 10~9; о водный раствор эта-
нола, 1/Ка = 1,17* 10~9; лметанол,
1/Ка = 0,89- 100 (опытные данные
[57]); /3 расчетные кривые соответ-
ственно по E.31), E.32), E.33) при
1/Ка = Ю-10
10
1,0
0,1

1
J
Не
s
5s
s
>
X
х3
X
t
t
/\
А
10
100
1000 Re
218 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
при числах Re > 40. Верхняя граница применимости формулы E.31)
связана с деформацией пузырька при числах We, близких к единице.
Из рис. 5.10 ясно также, что формула E.31), как это и было предо-
пределено условиями ее вывода, не годится для малых чисел Re
(практически при 1 < Re < 40). Поэтому, в частности, она не может
быть применена к пузырькам, соответствующим области 2 для вяз-
ких жидкостей. Для практических расчетов скорости всплытия сфе-
рических пузырей при 1 < Re < 40, по-видимому, может быть ис-
пользована формула Чао [37]:
, E.32)
которая отображена на рис. 5.10 кривой 2.
5.6.2. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ПУЗЫРИ
При достижении определенных размеров и скоростей всплытия
газовые пузырьки деформируются, сплющиваясь в направлении
движения. Фактическая форма пузырьков может быть достаточно
сложной, но изучение фотографий, полученных в опытах, убеждает,
что хорошей аппроксимацией для деформированных пузырьков мо-
жет служить сплющенный сфероид (эллипсоид вращения) с отноше-
нием горизонтальной и вертикальной осей % = - > 1,
b
Обтекание таких пузырей, очевидно, подчиняется более слож-
ным закономерностям, чем найденные для сферических пузырьков
при Re > 1. Однако для случая движения пузырьков в маловязких
жидкостях Д, Мур A965 г.) с успехом применил тот же метод, кото-
рым он пользовался при получении соотношения E.31). Как и для
случая обтекания сферических пузырьков при Re » 1, Мур пола-
гал течение жидкости потенциальным всюду, кроме очень тонкого
пограничного слоя на поверхности пузыря. Сила сопротивления
рассчитывалась по скорости диссипации энергии в области потен-
циального течения и в пограничном слое. Итоговое соотношение
для коэффициента сопротивления эллипсоидальных пузырьков со-
гласно [59] имеет вид
E.33)
Te
Газовые пузырьки в жидкости при Re > 1
219
Таблица 5. /
. Функции Gi
Х),Я(х)и числа
эллипсоидальных пузырьков [59]
X
1,0
1,1
1,2
1,4
1,8
2,1
2,2
2,5
3,0
3,4
3,7
4,0
Weft)
0,000
0,624
1,108
1,802
2,597
2,937
3,022
3,224
3,441
3,550
3,608
3,652
G(X)
1,000
1,137
1,283
1,600
2,341
2,994
3,231
4,001
5,487
6,866
8,013
9,261
We для
Щх)
-2,211
-2,129
-2,025
-1,751
-0,959
-0,168
+0,131
+ 1,131
+3,112
+4,971
+5,517
+8,183
где G(x) и Я(х)
некоторые функции эксцентриситета % = "" >
b
который в свою очередь связан однозначно со значением числа We.
Значения указанных функций и соответствующие числа We (%) бы-
ли рассчитаны Муром и сведены в таблицу, фрагмент которой при-
водится в табл. 5.1.
Имея в виду, что коэффициент сопротивления CD можно пред-
ставить как:
CD = - Re4We~3/Ka,
где в качестве характерного линейного размера в числах CD, Re, We
используется эквивалентный диаметр пузырька d3 - 2/?э, с помо-
щью соотношения E.33) можно построить зависимости CD(Re) для
любых значений Ка (практически для любых конкретных жидко-
стей). Как видно из рис. 5,10, расчет по E.33) (кривая 3) неплохо со-
гласуется с опытными данными для жидкости с близким значением
параметра Ка. На рис. 5.6 расчетное соотношение E.33) (пунктир-
ная кривая в) сопоставляется с опытными данными по движению
воздушных пузырьков в воде. Здесь также видно вполне удовлетво-
220 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
рительное согласование расчетной зависимости с опытными резуль-
татами для области 3 и прилегающих участков областей 2 и 4.
Для вязких жидкостей (практически при 1/Ка > КГ5) соотно-
шение E.33), по-видимому, применено быть не может, ибо для та-
ких жидкостей в области существования эллипсоидальных пузырь-
ков (область 3) не выполняется условие Re » 1. Интересно, что для
газовых пузырьков, всплывающих в маловязких жидкостях, обнару-
живаются явные минимумы на кривых CD(Re) (им соответствуют
максимумы на первичных зависимостях U^ (Re)). По мере увеличе-
ния вязкости эти минимумы становятся все менее выраженными и
при 1/Ка ~ 10" исчезают вовсе.
Формула E.33) рекомендована Муром до We < 3,745, ибо при
больших значениях We, как упоминалось выше, подъемное движе-
ние пузырей перестает быть устойчивым. Для области 4 (см.
рис. 5.6), характеризуемой неустойчивым (с пульсациями) всплыва-
нием пузырей, получение каких-либо теоретических решений не
представляется возможным. Для оценки скорости всплытия в этой
области можно использовать эмпирическую формулу E.28).
5.6.3. ГАЗОВЫЕ ПУЗЫРИ В ФОРМЕ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА
Пузыри объемом более 2 см G?э > 0,8 см) можно представить в
виде правильного сферического сегмента радиусом R и телесным уг-
лом 260 (рис. 5.11). Высота этого сегмента h и диаметр донной части
2а легко выражаются через R и 0О. Лобовая поверхность газовых пу-
зырей, имеющих форму сферического сегмента, обтекается безот-
рывно и может рассматриваться как свободная поверхность жидко-
сти. Опытные наблюдения показывают, что зона отрыва потока за
пузырем размещена обычно внутри приблизительно сферического
объема того же радиуса R (см. рис. 5.8). Таким образом, обтекание
пузырька, имеющего форму сферического сегмента, на передней час-
ти его поверхности можно рассматривать как обтекание сферы иде-
альной жидкостью, т.е. использовать в анализе результаты § 5.2.
Будем рассматривать потенциальное течение жидкости в системе
координат, связанной с движущимся пузырем (начало координат по-
местим в центр кривизны сферической части поверхности пузыря).
Скорость жидкости вдали от пузыря в выбранной системе координат
Газовые пузырьки в жидкости при Re > 1
221
равна Uqq , т.е. численно совпадает
со скоростью подъемного движе-
ния пузыря. На лобовой поверхно-
сти пузыря скорость определяется
соотношением E.11).
Поскольку плотность газа на-
много меньше плотности жидко-
сти, давление во всех точках внут-
ри пузыря можно считать одина-
ковым, равным р". Используя уни-
версальные условия совместно-
сти для нормальной компоненты
импульса, получаем, ЧТО такое же
давление будет и в жидкости на
границе с пузырем, т.е. для харак-
терных точек пузыря (рис. 5.11)
можно записать
и
*~ О
J
оо

74
Ро
Р2
Рис. 5Л1. Идеализированная форма
крупного пузыря, обтекаемого
жидкостью
E-34)
С другой стороны, для точек 0 и 1 лобовой поверхности пузыря
справедлив закон Бернулли:
р0 =/?! + - p'?/^sin29-p'gi?(l-cos9).
8
Последний член правой части учитывает разницу уровней в точ-
ках 0 и 1.
Если угол 6 достаточно мал, то, разлагая функцию A - cos0)
в ряд Маклорена, получаем
l-cos9 = 1 - A -sin2GI/2 =
= 1 - 1 + - sin 0 + - sin 9 + ... ~ - sin 9 .
2 8 2
Используя этот результат, а также соотношение E.34) в уравнении
закона Бернулли, получаем
4 g
E.35)
222 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Таким образом, приняв первоначально, что лобовая поверхность пу-
зыря есть участок сферы радиуса R, получили соотношение, опреде-
ляющее значение этого радиуса. При этом формула E.35) в свою
очередь подтверждает сферичность этой части поверхности пузыря:
потенциальному обтеканию верхней части пузыря отвечает сфери-
ческая поверхность радиуса R.
Результат, выражаемый формулой E.35), был впервые получен
еще в 1950 г. [3]. Однако при неизвестном значении угла 80 форму-
ла E.35) не дает возможности связать скорость всплытия U^ с объ-
емом пузыря (или с эквивалентным радиусом R3). Для получения
указанной связи в работе [18] используется концепция «донного
разрежения».
Опытами установлено, что при обтекании различных препятст-
вий с достаточно большими скоростями поток жидкости отрывается
от препятствия, образуя в большинстве практически важных случа-
ев турбулентный след. Давление в следе значительно меньше, чем в
свободном потоке, причем вдоль поверхности отрыва давление не-
изменно. Степень разрежения в следе принято характеризовать ко-
эффициентом донного разрежения:
где рв донное давление, одинаковое для всей поверхности отрыва
(рис. 5.12). Поскольку
1 /
Ра = Роо + ~ Р
то справедливо соотношение
Ро-Рв
= Q+ 1 .E.36)
X 2
Коэффициент донного разрежения для дисков
Рис. 5.12. Обтекание твердого круглого диска с отры-
вом потока
Газовые пузырьки в жидкости при Re > 1
223
Если обтекание диска потоком жидкости происходит не так,
как показано на рис. 5.12, а «сверху вниз» в соответствии со схе-
мой рис. 5.11, то очевидно в этом случае давление в точках отрыва
(например, в точке 2, рис. 5.11) отличается от давления рв на
величину р'gh, т.е.
Поскольку при обтекании парового пузыря справедливо соотно-
шение E.34), то последнее равенство вместе с E.36) дает
г2
E.37)
. 0+1 оо
h = .
2 g
Из формул E.35) и E.37) и очевидных геометрических соотно-
шений следует:
h _ [email protected]+1)
;
R
а
R

R
E.38)
9П = arccos | 1 - - |.
R
Поскольку Q = const, это означает, что все крупные пузыри гео-
метрически подобны. С учетом конкретного числового значения
Q = 0,4 можно записать:
E.38а)
Анализ полученных в опытах фотографий показывает, что послед-
ние соотношения весьма точно описывают реальные очертания
крупных газовых пузырей объемом более 2 см .
h
R
h
a
-0,311;
= 0,43;
a
R~
9q ~ ^
0,725;
16,5°.
224 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
Так как объем сферического сегмента
3 ~ 31 2/U
то с учетом числового значения Q имеем
27
2F+1)
-1
1/3
или, используя эквивалентный радиус,
E.39)
что совпадает по структуре с формулой E.29), полученной путем
анализа размерностей, и дает значение константы, хорошо согла-
сующееся с опытными данными.
5.6.4. ДРОБЛЕНИЕ ПУЗЫРЕЙ
Экспериментальные наблюдения показывают, что при движе-
нии в маловязких жидкостях газовые пузыри, объем которых пре-
вышает 50 см , дробятся, распадаясь на более мелкие устойчивые
пузырьки. Теории дробления газовых пузырьков не существует.
Имеющиеся в этой области теоретические исследования показыва-
ют, что при безотрывном обтекании поверхность газовых пузырей
сохраняет устойчивость. Этот вывод находится в хорошем соответ-
ствии с опытами, ибо сферические и эллипсоидальные пузыри,
большая часть поверхности которых обтекается без отрыва потока,
действительно не подвержены дроблению. В той области размеров
пузырей, где происходит перестройка их формы от эллипсоидаль-
ной к сферическому сегменту (область 4, рис. 5.6), всплывание пу-
зырей, как уже отмечалось, сопровождается пульсациями формы и
траектории движения. Но пузыри в этой области размеров, как пра-
вило, не дробятся из-за стабилизирующего действия сил поверхно-
стного натяжения, ибо кривизна поверхности таких пузырьков еще
не слишком мала.
Дроблению подвержены крупные пузыри, имеющие форму
сферического сегмента. Эквивалентный радиус таких пузырей
Особенности движения капель в газовых потоках 225
Кэ ~ 23 см, что согласно соотношениям E.38а) соответствует го-
ризонтальному размеру 2а ~ 711 см. Скорость всплытия при этом
составляет приблизительно 0,5 м/с, а число Рейнольдса, посчитан-
ное по эквивалентному диаметру, равно B3) 10 . (Следует пом-
нить, что речь идет о движении пузырей в маловязких жидкостях; о
опытном изучении дробления пузырей в вязких жидкостях нам не
известно.) Наиболее вероятной причиной дробления являются тур-
булентные пульсации в следе за пузырем. Опыты показывают, что
маленькие пузырьки «спутники» нередко образуются на донной
части всплывающего пузыря, особенно у заостренных краев его по-
верхности даже при условии сохранения устойчивости пузыря в це-
лом. При увеличении размеров пузыря растет масштаб турбулент-
ных пульсаций в следе и наступает, по-видимому, потеря устойчи-
вости нижней поверхности пузыря. При этом в центре пузыря обра-
зуется тонкая пленка, которая затем разрывается, и пузырь распада-
ется на несколько более мелких. В практическом плане наибольший
интерес представляют условия дробления пузырей при их коллек-
тивном движении в турбулентном потоке жидкости, когда на меж-
фазную поверхность воздействуют пульсации несущей фазы.
Сколь-нибудь строгой теории таких процессов не существует.
5.7. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ КАПЕЛЬ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
5.7.1. СФЕРИЧЕСКИЕ КАПЛИ
Движение малых капель при Re « 1 анализировалось в § 5.5.
Скорость движения капель в жидкой или газообразной среде прак-
тически до Re < 1 определяется соотношением E.24а). Для случая
падения капель в газе вязкость внешней среды намного меньше вяз-
кости жидкости в капле, что позволяет использовать для расчета
скорости падения капель формулу Стокса E.24):
2a2g(p'-p")
°° = 9 ц" '
где «'» относится к жидкости внутри капли; «" » к газу.
Предельный размер капель, движущихся в газе по закону Сто-
кса, может быть определен по E.25), если положить в ней \х = ц";
рт = р'; рж = р". Для капелек воды в воздухе получим при этом
226 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
ащ ~ 0,04 мм. Как и для твердых сфер, расчет скорости падения ка-
пель при 0,5 < Re < 5 можно вести с помощью формулы Озеена
E.26). Очевидно, что и в таком диапазоне чисел Re капли должны
быть очень малы (менее 0,2 мм в диаметре).
Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к появле-
нию значительной по площади зоны отрыва в кормовой части по-
верхности капли. При числах Re ~ 100, как и при обтекании твер-
дой сферы, отрыв потока происходит непосредственно в районе
миделевого сечения капли. (В этом состоит принципиальное отли-
чие в характере обтекания капель и газовых пузырьков.) Скорость
падения жидких капель в газе при Re » 1 с хорошим приближени-
ем может быть рассчитана, исходя из предположения о постоянст-
ве коэффициента сопротивления CD. Приравнивая силу тяжести и
силу сопротивления:
^7тЛ(Р'-Р") =CDna2 1^P"UI,
получаем для скорости падения:
,8 agAp
U on
где Др = р'-р".
На основе опытных данных коэффициент сопротивления CD для
сферических капель равен примерно 0,40,5. С учетом этого:
E.40)
р
Нетрудно видеть, что полученное соотношение аналогично по
структуре формуле E.29) для скорости всплытия крупных газовых
пузырьков, при обтекании которых также происходит отрыв потока.
Однако абсолютные скорости падения капель обычно более чем на
порядок величины превосходят скорости всплытия газовых пузырь-
ков. Это обусловлено тем, что силы инерции, определяющие сопро-
тивление движению тела при отрывном его обтекании, пропорцио-
нальны плотности той среды, в которой движется тело C/J~pt/oo )¦
При выводе формулы E.29) вполне обоснованно приняли Др /р' ~ 1,
в то время как Д р / р" » 1.
Особенности движения капель в газовых потоках 227
Падающая капля сохраняет сферическую форму при условии
We « 1. Положив приближенно, что верхняя граница существова-
ния сферических капель определяется условием We = 1, с помо-
щью E.40) получим
We . E^f . E22 «А?2 6,25 = ,,
а а р"
откуда а ~ 0,28 Ь, где Ъ капиллярная постоянная. Для воды Ъ ~
~ 2,68 мм (при 20 °С), так что при падении в воздухе водяная кап-
ля согласно приведенной оценке сохраняет свою сферичность до
а ~ 0,75 мм. Этому размеру соответствует скорость падения U^ ~
~ 6 м/с. Значение а = 0,28 Ъ следует считать верхней границей приме-
нимости формулы E.40), нижний предел применимости этой форму-
лы согласно опытным данным определяется числом Re ~ 2030.
5.7.2. ДЕФОРМАЦИЯ КАПЛИ
Деформация капли наступает, когда силы инерции со стороны
газового потока становятся соизмеримыми с силами поверхностно-
го натяжения, т.е. при числах We ~ 1. Отрывной характер обтекания
и малые размеры капель обусловливают иной характер их деформа-
ции в сравнении с тем, что наблюдается у газовых пузырьков. Как
видно из рис. 5.13, передняя поверхность капли под действием
большого динамического давления в районе критической точки А
«вдавливается» внутрь объема капли, т.е. становится почти пло-
ской; в зоне отрыва потока (кормовая часть поверхности капли) си-
лы поверхностного натяжения сохраняют поверхность капли, близ-
кой к сферической. (Следует заметить, что форма капли и характер
обтекания, изображенные на рис. 5.13, наблюдались в опытах при
падении капель таких жидкостей, как четыреххлористый углерод,
хлорбензол, бромбензол и т.д., в воде. Можно, однако, полагать, что
и при падении капель в газе форма капли и ха-
рактер обтекания будут аналогичны.)
Опытные наблюдения (к сожалению, не
очень надежные) показывают, что в некотором
диапазоне размеров капель (для капель воды в
Рис. 5.13. Типичный характер обтекания деформиро-
nauuAU wantii/i f^Ql
ванной капли [59]
228 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
воздухе R3> 23 мм) скорость падения перестает зависеть от объе-
ма капли. Это означает, что увеличение силы тяжести, пропорцио-
нальной объему капли, полностью компенсируется ростом силы со-
противления, пропорциональной площади миделевого сечения кап-
ли. Если положить, что капля представляет собой эллипсоид враще-
ния с горизонтальной осью 2а и вертикальной 26, то равенство силы
тяжести и силы сопротивления выражается соотношением
-na2bg(p'-p") =CDna2\p"ul.
6 2
При CD = const скорость падения капли может оставаться неизмен-
ной при увеличении ее объема только при условии Ъ - const. Други-
ми словами, начиная с некоторого размера, капли большего объема
становятся все более и более расплющенными, приращение объема
приводит к росту только горизонтального размера капли.
Структура формулы для скорости падения таких капель может
быть получена, исходя из тех же соображений, которые использова-
лись при получении формулы E.28). Действительно, полагая, что
скорость падения определяется силами тяжести, инерции и поверх-
ностного натяжения и не зависит от характерного линейного разме-
ра капли 7?э, получаем
С/оо = const Г6ЛК к J. E.41)
Ч (р"J
Единственное отличие этой формулы от соотношения E.28) состоит
в том, что в знаменателе подкоренного выражения здесь стоит квад-
рат плотности газовой фазы. При значении const = 1,61,8 формула
E.41) дает для капель воды в воздухе U^ ~ 7,68,6 м/с, что под-
тверждается опытными наблюдениями.
Расчет скорости падения деформированных капель, еще не дос-
тигших того размера, при котором справедливо соотношение E.41),
можно приближенно вести по E.40), используя вместо радиуса эк-
вивалентный радиус R3. При этом, конечно, следует проверить, не
дает ли этот расчет значение С/^, большее, чем предельная ско-
рость падения, определяемая E.41).
Особенности движения капель в газовых потоках 229
В технических приложениях чаще всего имеют дело с движени-
ем капель в «активных» газовых потоках, т.е. с такими устройства-
ми, в которых газовый поток сам движется относительно стенок ап-
парата. В этом случае величина U^ характеризует скорость движе-
ния капель относительно газа. Если, например, газ движется вниз со
скоростью W'\ то фактическая скорость капель определяется сум-
мой Uqq + W". При восходящем движении газа скорость капель от-
носительно стенок канала равна W" - U^ . При равенстве абсолют-
ных значений скорости подъемного движения газа W" и скорости
свободного падения капли U^ капля «зависает» в газовом потоке,
поэтому C/qo для данного размера капель в приложениях называется
скоростью витания. Если скорость восходящего движения газа пре-
восходит скорость витания, то капля уносится газовым потоком.
5.7.3. ДРОБЛЕНИЕ КАПЕЛЬ
Силы инерции со стороны газового потока, приводящие к де-
формации капли, при некотором ее размере вызывают в конце кон-
цов дробление капли. Строгой теории дробления капель не сущест-
вует. Качественно ясно, что деформация капли и последующее
дробление вызывается касательным напряжением со стороны газо-
вого потока, действующим на поверхность капли:
Т, =C/PVoo/2,
где Cj коэффициент трения на межфазной границе.
Препятствуют деформации (и дроблению) силы поверхностного
натяжения (на единицу площади поверхности):
/о = Old.
Из этих рассуждений следует, что дробление капель определяет-
ся некоторым значением числа Вебера. На основе опытных наблю-
дений принимают за условие дробления We = 710. Капля, те-
ряющая устойчивость, сначала превращается в тор, а затем распада-
ется на более мелкие. Очевидно, что скорость падения капли перед
дроблением определяется E.41). Это позволяет выразить пре-
230 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
дельный размер капли (эквивалентный диаметр d ) в долях капил-
лярной константы, положив
9"uldnp p^np(constJ
We = v- = v Va^Ap = 710.
0 ap
При const = 1,61,8 получим
dnp =B-3N,
где b =
Этот результат находится в хорошем соответствии с опытными
наблюдениями за движением капель воды в воздухе, которые дро-
бятся при d ~ 67 мм.
Глава шестая
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ
В ЖИДКОСТИ
В парожидкостных системах под влиянием изменения внешнего
давления и (или) процессов теплообмена объемы пара и жидкости
могут значительно изменяться во времени. Для многих приложений
модельной задачей здесь служит расширение (схлопывание) сфери-
ческой газовой полости в жидкости (подводный взрыв, кавитация).
Эти нестационарные задачи успешно решаются с использованием
приближения невязкой несжимаемой жидкости. То же приближение
оказывается вполне оправданным при анализе динамики паровых
пузырьков при кипении. Настоящая глава посвящена нестационар-
ным течениям эффективно невязкой жидкости.
6.1. ДИНАМИКА РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ
6.1.1. ПОЛЯ СКОРОСТИ И ДАВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТИ
Пусть внутри массива неподвижной, невязкой и несжимаемой
жидкости находится газовая полость, ограниченная непроницаемой
сферической оболочкой, радиус которой R изменяется во времени
(рис. 6.1). Найдем поля скорости и давления в жидкости при извест-
ном законе R{t). Ввиду непроницаемости оболочки скорость изме-
нения ее радиуса R = равна радиальной скорости движения
dt
частиц жидкости на поверхности uR R = uR.
Уравнение неразрывности в сферической
системе координат при наличии центральной
симметрии имеет вид
Рис. 6.1. Схема роета газовой полости в объеме
жидкости
232 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
а его интеграл
г2 и = C{t) = R2uR = R2R.
Здесь постоянная интегрирования C{t) определена через радиус и
скорость изменения радиуса оболочки. Таким образом, распределе-
ние радиальной скорости в жидкости
R2
u(r,t) =R~. F.1)
г
При этом на бесконечности (г * оо) жидкость остается неподвижной.
Уравнение сохранения импульса для исследуемого типа движения:
ди ди 1 др
+ и = _ - -? . F.2)
dt дг p дг
(Действие массовых сил не учитываем.)
Подставляя в F.2) величину и из соотношения F.1), находим
Интегрируя обе части последнего уравнения по радиусу в пределах
от текущего значения г до °о? находим
1±(R2r)ALr*ri=p0±ipW, F.4)
г dt 2 / р
где р (оо) давление жидкости при г -* оо.
Уравнение F.4) определяет поле давлений в жидкости. В зависи-
мости от закона изменения радиуса оболочки во времени это давле-
ние может быть как монотонным, так и немонотонным. В последнем
случае при некотором г = г* (R < г* < оо) имеется экстремум, опреде-
ляемый условием (др/дг)г = г^ = 0. Из соотношения F.3) следует:
г* = R
2R + RR
F.5)
Из выражения F.5) видно, что для того чтобы г* было больше R (то-
гда сечение экстремального давления находится в жидкости), вели-
Динамика расширяющейся газовой полости 233
чина R должна быть отрицательной, однако знаменатель дроби
в F.5) должен оставаться положительным.
Таким образом, условия существования экстремума в распреде-
лении давления в массе жидкости имеют вид:
R<0;
2R2 + RR>0.
Экстремальный перепад давлений р* - р^ (где/?* = р(г*) дав-
ление при г = г*) определяется после подстановки F.5) в соотно-
шение F.4). После простых преобразований можно записать
{) F.6)
р 4 г*
Пример. Радиус оболочки изменяется по степенному закону R = af'. Найти
значения показателя п, при которых поле давлений в жидкости немонотонно.
Подставляя R = atn в F.5), находим
Отсюда следует, что экстремум давления имеет место в жидкости при R < г* < °°,
если
-<п<1 .
3
6.1.2. УРАВНЕНИЕ РЭЛЕЯ
Уравнение F.4) легко преобразуется к форме, которая определя-
ет связь избыточного давления в газовой полости с законом ее рас-
ширения (сжатия). Внутри газового пузыря давление можно считать
однородным (по крайне мере в практически важных случаях, когда
R « Сзв, где Сзв скорость звука в газе). Это давление с точно-
стью до лапласовского скачка (который для рассматриваемых задач
всегда составляет ничтожную долю от динамического перепада дав-
234 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
лений) равно давлению в жидкости на границе полости, т.е. при г
= R р = pR . Полагая в F.4) г = R, находим
Rk + 3-R2=P-^^, F.7)
2 р
- d2R dR
где R = = .
dt2 <*'
Это важное соотношение F.7), обычно называемое уравнением
Рэлея [66] (О.М. Rayleigh), или РэлеяЛамба [30], позволяет по из-
вестному закону изменения радиуса R(t) найти закон изменения
Pr ~ Роо во времени. Возможна и обратная постановка, когда по из-
вестному значению pR - p^ можно найти закон эволюции оболочки
R (t). Некоторые приложения этого уравнения для анализа ряда про-
блем двухфазной гидромеханики рассматриваются ниже.
Уравнение Рэлея в форме соотношения F.7) представляет собой
уравнение динамики: перепад давлений в жидкости определяется
инерционными силами при сферически симметричном движении.
Существует также эквивалентная соотношению F.7) энергетическая
интерпретация этой закономерности. Для ее получения подсчитаем
сначала кинетическую энергию движения жидкости во всем объеме:
оо 2
Е = р J 4кг2 dr.
Подставляя в это соотношение выражение скорости и из формулы
F.1) и выполняя интегрирование, находим
Е = 2%pR3R2. F.8)
Приращение кинетической энергии АЕ при увеличении объема по-
лости на dV равно работе сил избыточного давления pR - р^, т.е.
имеем
dE=(pR-Poo)dV, F.9)
где V = - kR3 .
Кавитация. Охлопывание сферической полости
235
Соотношение F.9) представляет собой искомую энергетиче-
скую интерпретацию уравнения Рэлея F.7). Нетрудно убедиться,
что оба соотношения тождественны.
Действительно, из F.9) и F.8):
2яр
= 4nR2(pR-poo) dR,
откуда
2R
2 dR
dR
Поскольку R = R = R, последнее уравнение тождест-
dR dt dR
венно F.7).
В приложениях можно использовать оба варианта записи урав-
нения Рэлея, причем часто соотношение в форме F.9) оказывается
более удобным и быстрее приводит к решению.
6.2. КАВИТАЦИЯ. СХЛОПЫВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
6.2.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КАВИТАЦИОННЫХ КАВЕРН
Зона
кавитации
Явление разрыва сплошности жидкости с образованием парога-
зовых пузырьков называют кави-
тацией. Кавитация, в частности,
возникает в потоках жидкости при
обтекании различного рода пре-
пятствий в местах значительного
понижения давления (рис. 6.2).
Для струйки тока, проходящей
около поверхности тела, уравне-
ние Бернулли имеет вид:
+ - и =
х 2 х
I 2 Рис- 6.2. Характер изменения
= Роо + ~~ Р^оо = const, давления в потоке жидкости при
^ обтекании твердого тела
236 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
или
Рх =Роо~2 P(u2x~U°°)' (*)
Из соотношения (*) следует, что по мере увеличения скорости их
давление рх падает. Оно может стать ниже давления насыщения
Ps(Too) или даже отрицательным (растягивающие усилия). Если
жидкость не подвергалась специальной обработке (например, вы-
держиванию при высоком, в несколько мегапаскалей, давлении с
целью удаления нерастворенных микропузырьков газа), то она не
выдерживает растяжения. В итоге в рассматриваемой области жид-
кость «разрывается», в ней возникают пузырьки, содержащие смесь
пара и газа (например, воздуха), растворенного в жидкости. Далее
эти пузырьки (кавитационные каверны) сносятся потоком в зону по-
вышенных давлений и там схлопываются. Опыты показывают, что
при возникновении кавитации характеристики работы насосов,
гребных винтов резко ухудшаются. Еще неприятней то обстоятель-
ство, что в зоне кавитации часто наблюдается эрозионное разруше-
ние материала поверхности металла, которое при длительной
работе приводит к поломкам и авариям. Кавитация наблюдается
также при прохождении через жидкость звуковых и ультразвуковых
колебаний значительной интенсивности.
В связи с проблемой кавитации Рэлей [66] теоретически иссле-
довал задачу о схлопывании сферической полости внутри массы
жидкости. Именно в этом исследовании им было получено рас-
смотренное выше соотношение F.7), впоследствии названное
уравнением Рэлея.
6.2.2. СХЛОПЫВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Рассмотрим проблему схлопывания сферической полости. В не-
подвижную жидкость с давлением р^ внесена сферическая полость
с начальным радиусом RQ. Давление внутри полостир0 ется постоянным во времени. В частности, р0 может быть равно ну-
лю, Под влиянием внешнего перепада давлений р^ - р0 жидкость
приходит в движение и полость начинает ускоренно смыкаться
(схлопываться). Исследуем динамику этого процесса. Поверхностное
Кавитация. Охлопывание сферической полости
237
Рис. 6.3. Схема схло-
пывания сферической
полости
натяжение на границе раздела фаз не будем
учитывать ввиду его несущественности в дан-
ной задаче.
Схема процесса показана на рис. 6.3. /
Примем, что граница непроницаема для ве- '
щества. Это оправдано ввиду обычно встре-
чающихся на практике низких давлений в ка-
витационном парогазовом объеме. Полость
содержит весьма малую массу пара, и его
конденсация по мере схлопывания не приво-
дит к заметным потокам массы через грани-
цу раздела фаз. Для непроницаемой поверхности без учета сил по-
верхностного натяжения давление в жидкости на поверхности сфе-
ры равно внутреннему давлению р0.
Уравнение Рэлея в его энергетической интерпретации F.9) для
данной задачи имеет вид
dE = -ApdV, F.9а)
где Ар =Роо - р0 постоянный во времени перепад давлений.
В начальный момент жидкость неподвижна и ее кинетическая
энергия равна нулю. Поэтому интеграл уравнения F.9а) определя-
ется как:
E = Ap(V0-V), FЛ0)
4 з
где Fo = - kR0 начальный объем сферы.
Соотношение F.10) показывает, что кинетическая энергия жидко-
сти по мере уменьшения объема V полости растет и на последних ста-
диях схлопывания, когда V« VQ, достигает наибольшего значения:
F.10а)
Подставляя развернутые выражения для кинетической энергии жид-
кости is и объема Vb соотношение F.10), находим
F.11)
3 р
238 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Выражение для скорости границы записываем с учетом того, что
R < О, т.е. выбираем отрицательное значение корня из F.11):
Анализ этого выражения показывает, что скорость движения грани-
цы нарастает по мере уменьшения радиуса полости. При R « Ro
скорость:
\r\~r-V2.
Зависимость между R и временем t определяется после интегриро-
вания дифференциального уравнения F.12), которое приводит к со-
отношению
FЛ3)
где z = R /Ro относительный радиус полости.
Выражение F.13) при подстановке в качестве нижнего предела
интегрирования z = 0 определяет полное время схлопывания сфери-
ческой полости.
Интеграл:
«0,747,
z3/2dz
где Г (п) гамма-функция.
Таким образом, полное время процесса схлопывания составляет:
U = 0,915i?0 /-?-. F.14)
А/Ар
(Числовой коэффициент /- 0,747 = 0,915 .)
42
Кавитация. Охлопывание сферической полости
239
Рис. 6.4. Изменение во времени отно-
сительного радиуса сферической
полости под действием постоянного
перепада давлений (опытные точки
нанесены для схлопывания каверны с
начальным радиусом Rq = 7,2 мм [3])
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
о,
ч
\
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
С учетом F.14) соотношение F.13) может быть представлено
в следующем безразмерном виде:
1
3/2 ,
Z dz .0,747^.
Зч U
F.15)
R t
Оно определяет универсальную зависимость между и -, ко-
R t
R
Q
t*
торая показана на рис. 6.4. Интеграл в соотношении F.15) вычисля-
ется численными методами.
При построении кривой (см. рис. 6.4) могут быть использованы
асимптотические зависимости, вытекающие из F.15)*:
для начальной
/ТУ f \
стадии процесса ~ 1, «II:
\R0 U )
± -1-0,418 (I
* Для нахождения первой асимптоты удобно положить z- 1 - Az, где Az « 1. Вторая
асимптота находится непосредственно из условия z « 1, но при этом нужно иметь в виду что
нужный нам интеграл
13/2
f z
J
1 3/2
Г z
1 3/2 . z
Г z ^z Г
-J-p=-J
3/2 А
z dz
pJ
0 4(\-z ) 0 4(\-z)
240 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
для конечной стадии ( - ~ 1, «1
R ( t y/5
- = 1,284 1-
Эти зависимости изображены на рис. 6.4 пунктиром. Зависи-
мость F.15), как видно из рис. 6.4, находится в хорошем согласии
с опытными данными, приведенными в [3], для схлопывания сфери-
ческой каверны, имеющей начальный радиус Ro = 7,2 мм.
Представление о порядке времени и дает следующий расчет.
Для воды (р = 103кг/м3) при начальном радиусе Ro = 1 мм и при
значениях Ар = 10 и 10 Н/м @,1 и 1,0 бар) значения /* по форму-
4 4
ле F.14) соответственно равны примерно 3*10 и 1 10 с (что
отвечает звуковому интервалу частот).
6.2.3. ПОЛЕ ДАВЛЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СХЛОПЫБАЮЩЕЙСЯ КАВЕРНЫ
При сферически симметричном движении оболочки сферы по-
ле давлений в жидкости, как показано в § 6.1, не является монотон-
ным. Соотношение F.5), определяющее радиус, соответствующий
максимуму давлений, для случая схлопывания кавитационной ка-
верны может быть преобразовано следующим образом. Из F.11)
определяется 2R . Уравнение Рэлея F.7), которое в рассматривае-
мом случае имеет вид
2
совместно
2R
с F.11)
-г КК
В итоге имеем
г*
R ~
.(а 1~
{ 1-
р
позволяет найти
Ар
Р
з >
Z
l-4z3
I"
1
F.16)
Кавитация. Охлопывание сферической полости
241
В свою очередь уравнение F.6) для экстремального перепада дав-
лений р* -Роо с помощью двух последних соотношений приводит-
ся к виду
Р*-Роо _ J_ J_ A -4z3L/3
F.17)
(Здесь по-прежнему z = R/Ro.)
Из формулы F.16) следует, что на начальной стадии процесса,
пока R/Rq > 4~ ~ 0,63 , давление в жидкости изменяется монотон-
но (отрицательные значения г* физического смысла не имеют). Сла-
бый максимум давления возникает на бесконечном удалении от сфе-
ры при прохождении ее границей значения z = R/Ro = 4~ . При
дальнейшем смыкании сферы максимум давления, как видно из
табл. 6.1, очень быстро нарастает, а его относительное расстояние от
центра смыкающейся полости стремится к постоянному значению
г* =4ШЯ« 1,5877?.
Формула F.17) показывает, что на последней стадии процес-
са (практически при z < 0,3) максимальный перепад давления
растет обратно пропорционально кубу радиуса сферы:
Таблица 6.1. Положение и значение максимума давления в жидкости
от относительного радиуса сферической полости
R
R0
г*
R
Р*-Роо
Роо-Ро
0,63
оо
0
0,6
2,85
0,055
0,5
1,191
0,535
0,4
1,73
1,72
0,3
1,63
5,1
0,2
1,60
19
0,1
1,587
157
в зависимости
0,05
1,587
1260
0,01
1,587
157 000
242 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
00,25 0,5
Рис. 6.5. Распределение давления в окрестности схлопывающейся сферичес-
кой полости на разных стадиях процесса (z = RIRq, x максимумы
давления)
Рисунок 6.5 наглядно отражает отмеченные выше особенности
в распределении давления при схлопывании сферической полости.
Кривые рис. 6.5 построены в соответствии с уравнением F.4); зна-
чения RR и R определялись с помощью F.7) и F.11).
Представляет интерес значение ускорения границы схлопываю-
щейся сферы. Для заключительной стадии процесса из F.12) находим
dt
3 Р
R
5/2
3 R_
2 R
Знак минус указывает на то, что ускорение направлено из жидкости
внутрь полости.
Проведем количественные оценки величин по полученным соотношениям для
исходных условий: RQ = 1 мм, Ар = 104Н/м2 @,1 бар), р = 103кг/м3. При z = ,
R = 0,05 мм скорость R ~ -230 м/с, ускорение R ~ -1,5 109 м/с2 (!), р* - р^ =
= 126 бар. Видно, что экстремальное значение давления р* весьма значительно и
быстро нарастает по мере завершения процесса схлопывания полости. Необычно
большими оказываются ускорения движения границы.
Когда схлопывание кавитационной каверны происходит в усло-
виях неоднородного внешнего давления, то под влиянием градиента
Кавитация. Охлопывание сферической полости 243
давления полость деформируется, перестает быть сферической.
(Градиент внешнего давления может быть обусловлен влиянием си-
лы тяжести, основным движением жидкости, а также тем искажени-
ем сферически симметричного поля давлений вокруг смыкающейся
полости, которое вызывается соседними твердыми стенками.)
В итоге смыкание сопровождается образованием направленных
струек жидкости, обладающих огромной кинетической энергией, но
малыми размерами. Последние, по-видимому, и «ответственны» за
эрозию поверхностей при кавитации.
6.2.4. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ВНУТРИ ПОЛОСТИ
И СЖИМАЕМОСТИ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим обобщение предыдущего анализа, полагая, что дав-
ление внутри полости р0 не остается постоянным, а изменяется, на-
пример, вследствие конденсации или сжатия остаточного газа.
Будем предполагать, что
где ф произвольная функция, определяемая таким образом,
W
что при R = Ro ф = 1. (Здесь Ар0 =Роо~Ро начальный перепад
давления; А.р=рО0 -р текущий перепад давления.)
Решение, аналогичное изложенному выше, дает следующее
уравнение связи между R и V.
_ г
' '2 ¦*¦« ' J dz, F.18)
]где z относительный радиус сферы.
Положим далее, что функция (p(z) может быть представлена
степенной зависимостью
ф(г)=2л. F.19)
244 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
При п = О вновь возвращаемся к задаче Рэлея. Положительным зна-
чениям п физически соответствуют случаи, когда в процессе схлопы-
вания полости перепад давления уменьшается (давление внутри по-
лости растет). Отрицательным значениям п соответствуют условия,
когда перепад давлений растет по мере схлопывания (давление внут-
ри полости падает). При условии F.19) соотношение F.18) дает:
3/2 ,
z dz
F.20)
Полное время завершения процесса /* (п) определяется после подста-
новки в качестве нижнего предела интегрирования величины z = 0.
Получающийся при этом интеграл
5
3/2 ,
z dz
7A ~/ + :
1 Г
2) \2п + 6.
F.21)
2п + 6
Следовательно, время схлопывания и (и) при некотором значении п в
долях от времени U @) в задаче Рэлея F.14) является функцией лишь
показателя степени п. В табл. 6.2 приведены результаты расчетов.
Можно видеть, что время завершения процесса весьма слабо за-
висит от показателя степени п в функции F.19). Этот результат
представляет значительный интерес. Он означает, что основным
или определяющим является начальный перепад давлений Ар0, то-
гда как детали изменения давления в процессе схлопывания малосу-
щественны. Таким образом, различные «сопутствующие» процессы
(конденсация, теплообмен на границе, растворение остаточного газа
и т.п.) относительно слабо влияют на общие закономерности схло-
пывания полости в процессах кавитации.
Тавлихщ 6.2. Зависимость относительного времени схлопывания каверны от закона
изменения давления
п
3
1,13
2
1,085
1
1,05
0
1
-1
0,95
-2
0,91
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 245
Численные исследования процесса схлопывания сферической по-
лости показали также оправданность допущения о пренебрежимом
влиянии вязкости. Согласно [58] только для таких высоковязких
жидкостей, как смазочные масла, влияние вязкости становится ощу-
тимым на заключительных этапах схлопывания (при R/Ro < 1 10~ ).
Совершенно ничтожным оказывается влияние поверхностного натя-
жения, хотя при R » 0 лапласовский скачок давлений стремится
к бесконечности. Дело в том, что экстремум давления при схлопы-
вании растет пропорционально ВТ , т.е. динамические эффекты при
схлопывании намного сильнее статических.
Более сильным оказывается допущение о несжимаемости жид-
кости. Согласно F.11) при R > 0 скорость границы пузыря стремит-
ся к бесконечности. Когда эта скорость становится соизмеримой со
скоростью звука в жидкости (для воды это примерно 1500 м/с),
уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, использованное
при выводе формулы F.1), становится неточным. Анализ процесса
схлопывания с учетом сжимаемости жидкости показывает, что при
изменении z от 1,0 до -0,01 сохраняются закономерности, следую-
щие из решения Рэлея, т.е. справедливы уравнения F.12), F.16),
F.17). При дальнейшем схлопывании сжимаемость жидкости не-
сколько сглаживает пики экстремального давления. Однако, как
следует из табл. 6.1, при z = 0,01 экстремальные перепады давления
уже достигают гигантских значений.
6.3. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РОСТА ПАРОВОГО ПУЗЫРЯ В ОБЪЕМЕ
ПЕРЕГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ
6.3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Если в перегретой (относительно температуры насыщения 7^)
жидкости возникает паровой пузырек, радиус которого R превосхо-
дит так называемый критический радиус i?*, то такой пузырек начи-
нает расти в объеме за счет испарения жидкости внутрь пузырька.
Критический (равновесный) радиус парового пузырька отвечает со-
стоянию (неустойчивового) равновесия пузырька с окружающей пе-
регретой жидкостью: температура пара Т" равна температуре жид-
246 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
кости Гоо, давление в паре р" = ps{J^) и отличается от давления
в жидкости на величину лапласовского скачка:
где а поверхностное натяжение.
При малых перегревах жидкости в^ = Т^ - Г5(роо) перепад дав-
лений вдоль кривой насыщения выражается через перепад темпера-
тур ©оо с помощью формулы КлапейронаКлаузиуса, так что кри-
тический радиус пузырька
2oTs
R* = , F.22)
hGP^oo
где hLG теплота испарения.
Скорость увеличения объема пузырька при R » R* в общем слу-
чае лимитируется сопротивлением расталкиваемой жидкости (дина-
мические эффекты) и интенсивностью испарения жидкости на меж-
фазной поверхности (энергетические эффекты). В свою очередь ди-
намические эффекты обусловлены инерцией жидкости и ее вязко-
стью, а энергетические условиями подвода тепла к межфазной по-
верхности и кинетикой процесса испарения. Все перечисленные эф-
фекты действуют при росте парового пузыря одновременно, однако
в практически важных задачах лишь некоторые или даже один из
них могут стать преобладающими. Поэтому удобно рассмотреть че-
тыре предельные схемы роста парового пузырька, каждая из которых
соответствует лишь одному из упомянутых физических эффектов:
1) динамическая инерционная схема;
2) динамическая вязкая схема;
3) энергетическая тепловая схема;
4) энергетическая молекулярно-кинетическая схема.
Эта классификация впервые была предложена Д.А. Лабунцовым
[18, с. 43]. Реальная скорость роста парового пузырька всегда будет
меньше (или в пределе равна) наименьшей из величин, определяе-
мых предельными схемами, что делает введенную классификацию
практически весьма полезной.
Динамическая вязкая схема отвечает случаю, когда перепад дав-
лений пара в пузырьке р" - ps (Г^) и жидкости р^ в любой момент
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 247
времени уравновешивается нормальной компонентой тензора вяз-
ких напряжений в жидкости на границе пузырька:
р"-Роо = -2»х г
V drJr = R
что следует из формулы F.1). Эта предельная схема могла бы опре-
делять скорость роста парового пузырька в очень вязкой жидкости и
при малых значениях радиуса пузырька. Оценки показывают, что
в практических задачах эффекты вязкости играют пренебрежимо
малую роль в процессе роста пузыря. Об этом косвенно свидетель-
ствуют и упомянутые в § 6.2 результаты численного исследования
схлопывания кавитационной полости.
Молекулярно-кинетическая схема роста может стать определяю-
щей только при крайне низких коэффициентах испарения кон-
денсации Р (см. п. 1.9.4), тогда как при типичных для чистых жидко-
стей значениях Р ~ 1 роль кинетических эффектов в процессе роста
пузырька незначительна.
Практически важными являются динамическая инерционная и
энергетическая тепловая предельные схемы роста парового пузырь-
ка, которые и рассматриваются ниже.
6.3.2. ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНЕРЦИОННАЯ СХЕМА РОСТА
Эта схема предполагает, что подвод тепла к границе раздела фаз
ничем не ограничен и внутри пузырька поддерживается постоянное
давлениер" =ps(Too)9 гдер5(Гоо) давление насыщения при темпе-
ратуре жидкости Гоо вдали от пузырька (рис. 6.6, а). При этом тем-
пература Tqo поддерживается всюду постоянной как в жидкости,
так и в паровом пузырьке. Таким образом, в соответствии с динами-
ческой инерционной схемой рост пузырька обусловлен постоянным
перепадом давлений Ар=р" -р^ а закон роста может быть найден
с помощью уравнения Рэлея. Однако в отличие от анализа, содержа-
щегося в предыдущих параграфах, здесь необходимо учитывать
проницаемость границы.
В соответствии с универсальным условием совместности для
потока массы (см. п. 1.7.6):
-p"R = p'(uR-R)=jR, F.23)
248 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Рис. 6.6. Предельные схемы роста
паровых пузырей в перегретой
жидкости:
а динамическая инерционная; б
тепловая энергетическая
р,т
Р.Т\
Ps(Tj,
R
а)
б)
dR
где R = скорость границы пузыря; р, р' плотности жид-
dt
кости и пара; uR скорость жидкости на границе пузыря (в силу
постоянства давления внутри пузыря скорость пара и^ = 0).
Отсюда следует, что скорость жидкости на границе пузыря сле-
дующим образом связана со скоростью границы:
Скорость радиального движения жидкости на любом расстоянии от
центра сферы определяется из уравнения неразрывности (см. § 6.1):
-1 n'-n".R2
?-, F.1а)
R2
u{r)=uR-=R-,
г у г
что отличается от соотношения F.1) для непроницаемой поверхно-
сти множителем
В практически важных случаях:
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 249
Тогда для инерционной схемы роста будут справедливы все соотно-
шения, приводящие к уравнению Рэлея в форме F.9), причем пере-
пад давлений
PR-Pco=P 'Poo = &P = COtlSt
Поскольку критический радиус пузыря R* очень мал (в типичных
условиях порядка 10~6 м), то можно принять, что пузырь растет из
точки, т.е. начальный объем его равен нулю. Тогда, интегрируя вы-
ражение F.9) от нуля до текущего значения объема пузыря, имеем
E = ApV,
откуда с учетом F.6)
F.24)
Если не пренебрегать различием скорости границы пузыря и
скорости жидкости у границы, то скорость роста пузыря согласно
инерционной динамической схеме выражается формулой
F.24а)
Таким образом, при поддержании постоянного перепада давле-
ний обеспечивается постоянная скорость роста пузыря, радиус его
растет пропорционально времени: R = Rt.
Используемое в инерционной динамической схеме условие одно-
родности температуры во всей рассматриваемой области, включая
паровой пузырек, означает фактически, что жидкость характеризует-
ся бесконечно большой теплопроводностью. Ясно, что в реальных
условиях это условие не выполняется. Численные эксперименты по-
казывают, однако, что очень короткий (менее 10 с) период роста
пузырька приближенно описывается законом F.24). Для жидких ме-
таллов этот отрезок времени, очевидно, должен быть больше.
6.3.3. ТЕПЛОВАЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХЕМА РОСТА
Тепловая энергетическая схема роста (рис. 6.6, б) основана на
предположении, что скорость роста пузырька полностью определя-
ется интенсивностью подвода тепла из перегретой жидкости к гра-
250 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
нице пузыря. Теоретический анализ строится на следующих упро-
щающих предпосылках:
1) давление пара в пузырьке и во всех точках объема жидкости
одинаково и равнор^;
2) отсутствует движение центра пузырька относительно массива
жидкости.
Первое предположение означает, что не учитывается поверхно-
стное натяжение и силы инерции в жидкости. Оно оправдано, если
радиус пузырька R существенно больше критического радиуса заро-
дыша 7?*, а скорость и ускорение радиального движения слоев жид-
кости на поверхности умеренные. Температура пара в пузырьке рав-
на температуре насыщения Г5(роо) при давлении системы. Ту же
температуру имеет жидкость на границе пузырька. Поток тепловой
энергии к границе пузырька, обусловленный температурным напо-
ром доо = ^ - Ts, определяет интенсивность испарения жидкости
внутрь пузырька. Ввиду постоянной плотности пара в пузырьке
движение пара в нем отсутствует, а интенсивность испарения jR,
как и в динамической схеме роста, оказывается в соответствии
с формулой F.23) пропорциональной скорости роста R.
Точное решение рассматриваемой задачи было впервые получе-
но Скривеном [67]. Однако, к сожалению, в этой работе были допу-
щены погрешности при формулировке условия энергетического ба-
ланса на границе раздела фаз*.
В связи с тем что рассматриваемая задача имеет фундаменталь-
ный характер и позволяет вскрыть основные закономерности про-
цессов объемного вскипания жидкости, теория вопроса излагается
ниже в достаточно полном объеме.
Схема процесса и обозначения величин показаны на рис. 6.6, 6,
где также представлена качественная картина поля температур
в жидкости около поверхности растущего пузырька. Содержание
проблемы сводится к теоретическому расчету этого поля темпера-
тур. При известном поле температур можно найти плотность теп-
лового потока на границе раздела фаз и, следовательно, скорость
роста пузырька.
* Вследствие этого решение работы [67] содержит лишний параметр (с' - с"I с' (с' и
с" теплоемкости жидкости и пара), который, в действительности, не должен был вхо-
дить в решение.
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 251
Поле температур определяется уравнением энергии A.5е), кото-
рое для условий сферически симметричной задачи при допущении о
постоянстве физических свойств жидкости и отсутствии вязкой дис-
сипации принимает вид
+ и = г , F.25)
dt дг /дг\ дг)
где а коэффициент температуропроводности жидкости; Ь = Т- Г5;
и радиальная скорость жидкости.
Граничные условия:
при г = R(t) f3 = О,
F V F.26)
при г -^ оо ф > ^оо.
Скорость радиального движения жидкости, как и при рассмотре-
нии инерционной схемы, определяется уравнением F.1а).
Ввиду того что в рассматриваемой задаче отсутствуют масшта-
бы для R @, можно предполагать, что поле температур будет функ-
цией следующей автомодельной переменной:
и
R(t)
Иначе говоря, безразмерная температура в = О /О оо будет зависеть
лишь от \:
в =в(о, с**)
т.е. поле температур 0 на протяжении всего процесса роста пузырь-
ка, представленное в зависимости от \ - r/R(t), будет описываться
универсальной функцией (**), вид которой можно найти после ре-
шения уравнения F.25).
При выполнении предположений (**) и (*):
dt ~ d? dR dt d? R '
Эв _ d0 Э§ _^ d0 1_
дг ~ d^ dr " d^ R
252 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Поэтому дифференциальное уравнение F.25) с учетом выражения
для радиальной скорости принимает вид
В силу предположения (**) величина , входящая в это урав-
а
нение, должна рассматриваться как постоянная. Обозначим ее для
сокращения дальнейших выкладок через
RR 1 2
= - т .
а 2
Смысл такого обозначения определяется следующим:
RR _ 1 d(R2) 1 _ 1 2
а 2 dt a 2
Интегрируя последнее равенство, находим (после извлечения корня)
_ff_ _
Jat
где т так называемый «модуль» роста пузырька (величина без-
размерная). Дальнейший анализ связан в конечном итоге с нахожде-
нием этой величины.
Р/-р//
Для сокращения записей обозначим также - = у, тогда
Р'
уравнение F.27) принимает вид
Граничные условия
при $ = 1 Э = 0э
F.26а)
при ? -> оо е -* 1.
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 253
Уравнение энергетического баланса на границе раздела фаз (см.
п. 1.7.5) имеет вид
() =^' F-28)
rJr = R
где X теплопроводность жидкости; hLG теплота испарения.
С учетом зависимости F.23) получаем
или, вводя безразмерные величины 0,
(if) F.29,
где Ja = безразмерный параметр, именуемый числом
Якоба, представляет собой отношение избыточной энтальпии пере-
грева единицы объема жидкости к теплоте фазового перехода, при-
ходящейся на единицу объема пара. По условиям задачи это из-
вестная величина. Соотношение F.29) определяет градиент темпе-
ратуры на поверхности пузырька.
Приступаем теперь к интегрированию уравнения F.27а). Можно
рассматривать ? d© /d^ как новую переменную. Тогда первое ин-
тегрирование указанного уравнения дает
Для определения постоянной интегрирования А используем ус-
ловие F.29). В результате получаем
d0 т \ Г т2 г 1-^ 1
т2 г
- у
2 V
ехр^ у+ (Е
di; 2Ja^2 у\ 2 V $ 2 VS |
Интегрируя последнее соотношение в пределах от ^ = I до ? те-
кущего, находим выражение для поля температур
254 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Соотношение F.30) удовлетворяет условию 0 = 0 при ? = 1.
Второе из граничных условий F.26а) приводит к уравнению
т
Ja = -
F.31)
которое представляет итоговое соотношение анализа. Зависимость
F.31) определяет в неявной форме «модуль» роста пузырька:
m = /(Ja,Y). F.32)
Определенный интеграл, входящий в уравнение F.31), не выра-
жается в общем случае через элементарные функции и может быть
найден лишь численно. Такое интегрирование было проведено
Скривеном, и искомая зависимость F.32) была представлена в [67]
в табличной форме (табл. 6.3). Фактически эта таблица отражает
зависимость модуля роста т только от числа Якоба, так как пара-
метр у в [67] принимался равным единице. При давлениях, далеких
от критического, это допущение вполне оправдано (обычно уже
при р < 0,5р р"/р' < 0,1). В [21] показано, что при условии:
ср$оо lhLG< 0,1 (или, что то же, Ja < 0,1р'/р") расхождение значе-
ний т при Ja = idem для различных у не превышает 23 %.
На основе уравнения F.31) можно также показать [21], что при
cp®co/hLG=U F.33)
т/2
1 1(Г2
2 1(Г2
4-1(Г2
6-Ю
8 1(Г2
1-Ю
2-Ю
4-КГ1
6-КГ1
Таблица 6.3. Зависимость т - f (Ja)
Ja
1,965-1014
7,726 -КГ4
2,987-1013
6,504-1013
1,120-10
1,697-10
5,881-10
1,850-10
3,42-lO
mil .
8-10
1
2
4
6
8
10
20
40
Ja
5,152-lO
6,977-lO
1,668
3,683
5,719
7,760
9,803
20,03
40,49
no [67]
mil
60
80
100
200
300
400
600
800

Ja
60,96
81,42
101,9
204,2
306,6
408,9
613,6
818,2

Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 255
т.е. при Ja = р'/р" и при сохранении исходных допущений ана-
лиза достигается бесконечно высокая скорость роста, R -* °°
(т.е. т2/2 -* оо). Действительно, когда избыточная энтальпия пе-
регрева жидкости с дм становится равной теплоте испарения, ка-
ждый элементарный объем жидкости у границы раздела беспре-
пятственно превращается в пар, причем для этого не требуется
подвода тепла извне, так что какие-либо ограничения для скоро-
сти фазового превращения исчезают.
В действительности, конечно, скорость роста пузырька при ус-
ловии F.33) не может стать равной бесконечности; она лимитирует-
ся другими, не учтенными в анализе факторами. Прежде всего при
больших скоростях роста существенны инерционные силы, возни-
кающие в жидкости и приводящие к нарушению исходного усло-
вия анализа о постоянстве давления в жидкости и в пузырьке. Сле-
дует также заметить, что сам процесс испарения в соответствии с
присущими ему молекулярно-кинетическими закономерностями не
может иметь бесконечно большую интенсивность. Наконец, надо
иметь в виду, что условие F.33) соответствует таким перегревам
жидкости д?о, которые, как правило, превышают те предельные
перегревы жидкости, которые совместимы с ее термодинамиче-
ской устойчивостью, так что жидкость еще до достижения этих пе-
регревов будет самопроизвольно распадаться, превращаясь в пар.
На практике обычно процессы объемного вскипания происходят
при существенно более низких перегревах, так что в действитель-
ности cpboolhLG « 1. Решение Скривена [67], представленное
в табл. 6.3 и удовлетворяющее этому сильному неравенству, как бу-
дет показано ниже, даже перекрывает диапазон применимости энер-
гетической тепловой схемы роста пузырька.
Анализ табличных данных и решения F.31) показывает, что это
решение имеет две асимптоты:
при Ja « 1
т = JWzl ; F.34)
при Ja » 1
=2 Г-Ja. F-35)
256 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Эти предельные зависимости вытекают из общего решения
F.31) при у= 1.
Асимптота F.34) получается просто из энергетического баланса
F.28), если в нем тепловой поток к границе пузыря (q'R) выразить
в соответствии с формулой стационарной теплопроводности к по-
верхности сферы с температурой Ts, помещенной в неограниченную
среду с температурой Т^. Следовательно, при Ja « 1 скорость пере-
мещения границы пузыря столь мала, что в каждый момент времени
температурное поле в окружающей жидкости успевает стать таким
же, каким оно устанавливается в стационарных условиях.
Соотношение F.35) обычно записывается в форме
R = 2jJ7n Jaja~t, F.35a)
известной как формула ПлессетаЦвика. Она была получена этими
авторами в 1954 г., т.е. раньше, чем решение Скривена, однако без
точного указания области правомерности по числам Ja. Условие
Ja » 1 означает, что скорость роста достаточно высока и темпера-
турные возмущения в окружающей жидкости сосредоточены в весь-
ма тонком сферическом слое на поверхности растущего пузырька.
На этом допущении основаны также известные приближенные ре-
шения задачи о скорости роста парового пузырька в перегретой
жидкости, дающие соотношения той же структуры, что F.35а), но
с несколько отличающимися числовыми коэффициентами.
Табличные данные [67] при у = 1 с погрешностью менее 2 % во
всей области изменения чисел Ja (от 0 до °°) описываются следую-
щей интерполяционной формулой:
1/2
3\
Л=2|-| Ja
J
nJ
1 1 ( П У/3 71
1 +- +
2 V6Jay 6Ja
Jai. F.36)
Это соотношение может рассматриваться как итоговое решение
задачи, правомерное при условии Cpb^lh^ < 0,1 и выполнении
исходных допущений анализа. Оно дает асимптоты F.34) и F.35) и
предсказывает увеличение радиуса пузырька пропорционально J~t.
Существующие экспериментальные данные по скоростям роста
пузырьков в объеме перегретой жидкости (при условии выполнения
предположений, принятых в анализе Скривена) хорошо согласуются
с теоретическим решением. На рис. 6.7 представлены опытные дан-
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 257
MM-
6
4
2
10°
6
4
2
h
-3
P
у
A
о
p-
у
yp
10° 2 4 6 101 2 4 6 102 2 4 6П, мс
Рис. 6.7. Кривые роста паровых пузырьков в объеме перегретой жидкости:
13 расчет по формуле F.36) соответственно для воды (Ja = 10,95), воды
(Ja= 8,78) и этанола (Ja = 5,4); О, х, опытные данные [54]
ные работы [54], где изучался рост паровых пузырьков в воде, эта-
ноле и изопропаноле. Перегрев жидкости создавался резким сбро-
сом давления. Как следует из рис. 6.7, превосходное согласие опыт-
ных результатов с расчетной зависимостью Скривена наблюдалось
в тех экспериментах, где пузырьки росли в условиях невесомости
(падающая система), т.е. в отсутствие их перемещения в массиве
жидкости. Опытные данные о росте пузырьков в условиях нормаль-
ной гравитации хорошо согласуются с зависимостью F.36) до вре-
мен роста 3040 мс, после чего их всплытие в перегретой жидко-
сти обусловливает, во-первых, заметное отклонение от сферической
формы, а, во-вторых, увеличение скорости роста. Наблюдения за
ростом пузырьков в невесомости [54] позволили получить уникаль-
ные результаты в том отношении, что удалось зафиксировать време-
на роста до 0,40,5 с, тогда, как обычно, и при объемном вскипа-
нии, и при кипении на поверхности время роста пузырьков, доступ-
ное наблюдению, не превышает 0,10,15 с.
6.3.4. РОСТ ПУЗЫРЬКА ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ЯКОБА
При больших перегревах жидкости, т.е. при больших числах Ja,
скорость роста пузырька возрастает настолько, что давление жидко-
сти у его границы (и практически равное ему давление пара в пу-
258 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
зырьке) становится более высоким, чем р^. Это означает, что тем-
пература пара Т" > 7^(Роо)> а действительный перепад температур
ATj = Tqo - Т" оказывается меньше величины 0^, используемой
в расчетах согласно энергетической схеме роста. Уже при Ja > 100
расчет по уравнению F.36) несколько завышает скорость роста пу-
зырька в сравнении с более строгими решениями и опытными на-
блюдениями, а при Ja > 200 учет инерционных эффектов в анализе
роста паровых пузырьков становится необходимым. Например,
в воде при Рж = 20 кПа и перегреве Ь^ = 15 К (Ja = 200) расчет
по F.36) дает R = 4,9 мм при t = 1 мс, что почти в полтора раза пре-
вышает результат расчета по соотношению F.24) инерционной схе-
мы (R = 3,5 мм при t = 1 мс). Очевидно, погрешность расчета по
энергетической схеме в этом случае недопустимо велика, так как ре-
альная скорость роста пузырька никогда не может превосходить ми-
нимальную из рассчитанных по каждой из предельных схем роста.
На рис. 6.8 показаны значения температур и давлений в перегре-
той жидкости и паре в некоторый произвольный момент роста пу-
зырька в условиях одновременного влияния энергетических и инер-
ционных эффектов. Вдали от пузырька («на бесконечности») жид-
кость существенно перегрета по отношению к температуре насыще-
ния при актуальном давлении жидкости р^. Однако в условиях
больших чисел Якоба этот перегрев Ь^ = ATS = Т^ - ^(р^), ис-
пользуемый как параметр в энергетической схеме роста, выступает
лишь как предельная расчетная величина, не достигаемая при экспе-
риментальном исследовании процесса. Действительный перегрев
АТ{ = Tqq - Г", который следует теперь использовать в граничных
условиях для уравнения энергии F.25), всегда меньше АГ5. Темпе-
ратура Т" и давление р" в пузырьке связаны как параметры на ли-
нии насыщения (кривая 1 на рис. 6.8). Эти параметры, в отличие от
тех, что принимаются в предельных схемах роста, непрерывно из-
меняются (уменьшаются) по мере увеличения объема пузырька.
Давление пара р" всегда меньше, чем его предельное расчетное зна-
чение рДГоо), но на начальной стадии роста пузырька (практически
при t < 1 мс для условий Ja > 500) это различие еще не слишком ве-
лико, тогда как на этой стадии АТ{ «ATS. Это означает, что ранняя
стадия роста пузырька управляется главным образом динамически-
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 259
/>,кПа _
Рис. 6.8. Параметры перегретой жидкости и пара в растущем пузырьке:
1 участок кривой насыщения для воды; 2, 3 ее аппроксимация соответ-
ственно линейной и квадратичной зависимостями
ми эффектами. При этом действительная скорость роста, конечно,
ниже, чем рассчитанная по F.24), но отличие еще не приобретает
качественного характера (см. рис. 6.9). В то же время расчет по со-
отношению энергетической схемы F.36) может завышать скорость
роста в десятки раз.
Теоретический анализ задачи о росте парового пузыря, учиты-
вающий инерционные динамические эффекты (при сохранении впол-
не допустимых для технических задач допущений о пренебрежимо
малой роли вязкости жидкости и эффектов молекулярной кинетики
испарения), должен включать в себя уравнение F.1а) для поля скоро-
сти в жидкости, уравнение Рэлея F.7), определяющее давление пара
в пузырьке р" в процессе его роста, и уравнение энергии в окружаю-
щей пузырек жидкости F.25). При этом в последнем из перечислен-
ных уравнений температура & = Т'-Т"9 т.е. отсчитывается от темпе-
ратуры пара, изменяющейся в процессе роста пузырька.
Сама эта температура определяется как температура насыщения
при текущем давлении в пузырьке, т.е. Г" = Ts(p"). Поскольку в ус-
260 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
ловие совместности (энергетического баланса) на границе пузырька
F.28) фактически входит плотность пара, то математическое описа-
ние должно включать уравнение состояния пара. При численном ре-
шении рассматриваемой задачи зависимость температуры и плотно-
сти насыщенного пара от давления задается соответствующими таб-
лицами. Каждое такое решение представляет собой единичный чис-
ленный эксперимент, в котором для заданных значений Т^, Роо Для
данной жидкости получается зависимость R(t) кривая роста пу-
зырька. Закономерности роста паровых пузырьков обычно не явля-
ются непосредственной целью анализа в прикладных задачах, по-
этому вполне оправдано построение приближенных аналитических
уравнений, описывающих рост пузырька в рассматриваемых усло-
виях. При этом зависимости температуры и плотности пара от дав-
ления должны естественно задаваться аналитически.
Если для плотности пара при больших Ja, т.е. при низких давле-
ниях, вполне уместно использовать уравнение состояния идеально-
го газа, то обычно используемая линейная зависимость перепада
давлений вдоль кривой насыщения от разности температур при
больших AT дает недопустимо большую погрешность. На рис. 6.8
изображен участок кривой насыщения воды при низких давлениях
(ps < 14 кПа). Касательная 2 к кривой насыщения в точке, отвечаю-
щей ps = 1 кПа, построена в соответствии с формулой Клапейро-
наКлаузиуса. Ясно, что при больших Д Т перепады давления, рас-
считанные по этой линейной зависимости, значительно отличаются
от действительных. Например, при А Г = 40 К расчетное значение
р" почти втрое ниже действительного давления насыщенного пара.
В [44] кривая насыщения для области низких давлений аппрокси-
мировалась квадратичной зависимостью
= 1,4
г/
где Rt газовая постоянная.
Эта зависимость вполне удовлетворительно воспроизводит ход
реальных кривых насыщения различных жидкостей. Как видно из
рис. 6.8, кривая 3 для воды, построенная в соответствии с этой фор-
мулой, согласуется с действительной кривой насыщения с погреш-
ностью менее 10 % (по Ар).
Закономерности роста парового пузыря в объеме перегретой жидкости 261
С использованием ряда упрощений в математическом описании
задачи в [44] для предельного случая очень больших чисел Якоба
(Ja > 500) было получено приближенное аналитическое решение:
3\nJ VpV hLG
(ATx{\/AT+\/Ts)\m
где G =
5 -АТ{.
Прямые расчеты для многих режимов роста паровых пузырей
в различных жидкостях при Ja > 500 показывают, что безразмерный
параметр G слабо изменяется за время роста. Это означает, что фор-
мула F.37) предсказывает промежуточный закон изменения радиу-
са пузыря во времени R ~ t в сравнении с R ~ t для инерционной
схемы роста иЛ~/ 2 для энергетической. «Предельный» характер
соотношения F.37) проявляется в этом случае в отсутствии влияния
перегрева жидкости ATS на скорость роста, что достигается лишь
при весьма больших числах Якоба.
Сопоставление расчетов по F.37) при G = 1 с опытными иссле-
дованиями [72] роста паровых пузырьков в объеме перегретого хла-
дона R113 (перегрев создавался путем сброса давления) показало,
что хорошее соответствие опытных и расчетных кривых роста пу-
зырьков наблюдается уже при Ja > 300. На рис. 6.9 точки 1 относят-
ся к росту паровых пузырьков при рекордно высоком перегреве
жидкости в объеме: Ь^ = 59,4 К; Ja = 3195. Энергетическая схема
роста для этих условий предсказывает фантастически высокую ско-
рость роста: уже при t = 1 мс согласно F.36) R = 44 мм. Формула
F.24) инерционной схемы намного лучше соответствует результа-
там этих измерений (кривая 5 на рис. 6.9), хотя во времени расхож-
дение быстро нарастает, поскольку теплопроводность жидкости от-
нюдь не бесконечна. Точки 2 на рис. 6.9 отвечают существенно бо-
лее высокому давлению (р^ = 8,5 кПа) и почти на порядок меньше-
му числу Якоба (Ja = 430), чем точки 1. Согласно энергетической
схеме в этом случае при t = 1 мс R = 5,9 мм, т.е. по-прежнему рас-
четная скорость роста намного меньше опытной. Уравнение F.37)
262 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
R, мм
10
8
6
5
4
2
1,5
1,2
1
0,6 0,8 1 1,2 1,5 2 3 4 5 6 7 8 /, мс
Рис. 6.9. Рост паровых пузырьков в объеме перегретого хладона R113:
1,2 экспериментальные точки [72] соответственно /^ = 1,9 кПа, О^ = 59,4 К
(Ja = 3195) и Роо = 8,5 кПа, ft^ = 34,1 К (Ja = 430); 3, 4 расчетные кривые
по F.37) соответственно для 1,9 и 8,5 кПа; 5 расчетная кривая по F.24) для
Роо = 1,9 кПа, #00 = 59,4 К
при G = 1 достаточно хорошо согласуется с опытными данными
(кривые 3 и 4 на рис. 6.9) и верно отражает относительно слабую за-
висимость скорости роста пузырька от числа Якоба при Ja > 300.
6.4. РОСТ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ НА ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕВА
6.4.1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
При кипении жидкостей на твердой поверхности нагрева рост
паровых пузырей происходит в условиях существенно неоднород-
ного температурного поля, причем паровой объем имеет границу не
только с жидкой фазой, но и с твердой стенкой. Поэтому теоретиче-
ский анализ закономерностей роста паровых пузырьков при кипе-
нии связан с большими трудностями, которые на сегодняшний день
не преодолены. Вместе с тем понимание механизма роста пузырь-
ков и последующего их отрыва от твердой поверхности очень важно
для создания теории кипения в целом. Это обусловливает значи-
тельный интерес к теоретическому и экспериментальному (с помо-
щью скоростной киносъемки) исследованию динамики паровых пу-
зырьков при кипении. Имеющиеся в настоящее время в распоряже-
Рост паровых пузырьков на твердой поверхности нагрева 263
нии исследователей опытные данные охватывают широкую область
давлений (от 0,01 до 100 бар, т.е. от 1 кПа до 10 МПа) и весьма раз-
нообразные жидкости (вода, спирты, углеводороды, хладоны, крио-
генные жидкости).
Анализ экспериментальных наблюдений позволяет сделать дос-
таточно надежные качественные выводы и служит обоснованием
теоретических моделей. При этом необходимо подчеркнуть, что все
закономерности роста и отрыва паровых пузырьков проявляются
лишь статистически. Кинематографические исследования показыва-
ют, что даже в одном эксперименте при фиксированных давлении
над уровнем жидкости и средней температуре стенки Гс скорости
роста пузырьков могут отличаться вдвое от среднего значения» Это
означает, что применительно к росту паровых пузырьков при кипе-
нии имеет смысл говорить лишь о приближенных моделях, отра-
жающих влияние основных механизмов процесса и описывающих
количественные взаимосвязи для некоторых «средних» условий.
Кинематографические исследования показывают, что существу-
ют весьма сильные различия в поведении пузырьков при высоких и
низких давлениях. В области высоких давлений пузырьки на по-
верхности растут относительно медленно, при этом их форма прак-
тически в течение всего периода роста близка к сферической (точ-
нее, пузырек имеет вид усеченной сферы). Перед отрывом диаметр
пузырька составляет несколько десятых долей миллиметра. Так, по
данным [18], при давлениях 30100 бар паровой пузырек за время
порядка 0,20,3 с вырастает до своего предотрывного размера, рав-
ного 0,20,3 мм. Последовательные стадии роста парового пузырь-
ка при высоких давлениях схематически показаны на рис. 6.10, а.
При низких давлениях и больших перегревах стенки паровой
пузырь растет очень быстро. Это обусловливает возникновение
в окружающей жидкости неоднородного поля давлений, которое
в свою очередь деформирует, сплющивает паровой пузырь, как бы
«прижимая» его к поверхности нагрева. На рис. 6.10, б представле-
ны последовательные стадии роста парового пузыря при кипении
воды при давлении 0,02 бар B кПа) и числе Ja = 3450*. Этот рису-
нок воспроизводит очертание границы пузыря, как оно выглядело
на кадрах кинопленки, полученной с помощью скоростной кино-
* В случае роста парового пузыря на твердой поверхности входящая в число Ja величина
о = ДГ= Тс - Ts, где Тс температура поверхности нагрева.
264 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Ул/7/ //У/г s/y/s TsTfr
а)
Рис. 6.10. Рост парового пузырька при кипении на твердой поверхности:
а схема для высоких давлений; б фрагменты кинограммы роста пузыря
(кипение воды, р = 2 кПа, Ja = 3450), на третьем кадре показана масштабная рамка
съемки. Из рисунка видно, что в начальный период роста форма пу-
зыря почти в точности соответствует полусфере; в последующие мо-
менты времени пузырь напоминает усеченную сферу, причем по мере
приближения к моменту отрыва от сферы «отрезается» все меньшая и
меньшая часть. При низких давлениях пузыри достигают перед отры-
вом прямо-таки огромных размеров (до 100150 мм в диаметре).
Для механизма роста парового пузыря весьма важно то, что
в центральной части его основания всегда существует область пря-
мого контакта пара с твердой поверхностью («сухое пятно»). Это
обусловлено тем, что центрами преобразования служат обычно впа-
дины на обогреваемой поверхности, заполненные паром. Характер-
ный размер таких впадин по порядку величины близок к равновес-
ному радиусу парового зародыша i?*, определенному в соответст-
вии с F.22). В типичных условиях R* составляет единицы или (при
высоких приведенных давлениях) десятые доли микрометра. Следо-
вательно, за исключением очень короткого начального периода рос-
та пузырька сухое пятно составляет лишь доли процента площади
проекции пузырька на обогреваемую поверхность. Пространство
между поверхностью пузырька и твердой стенкой заполнено тонким
слоем жидкости микрослоем. При феноменологическом подходе
принимают, что толщина микрослоя растет от нулевого значения на
линии контакта трех фаз (твердой, жидкой и парообразной) до неко-
торого конечного значения у внешней границы основания пузыря.
Такое представление отражено на схеме рис. 6.11, а).
Рост паровых пузырьков на твердой поверхности нагрева
265
Микрослой /* Г""\
Рис. 6.11. Схема растущего на твердой стенке парового пузырька (а) и рас-
четная модель подвода тепла к поверхности пузырька через микрослой от
стенки и от перегретой жидкости (б)
R радиус сферической части поверхности пузырька; R * радиус «сухого
пятна»; Rm условная внешняя граница теплопроводной части микрослоя; RQ
радиус основания пузырька; 8 толщина жидкого микрослоя; 6Д динамиче-
ский краевой угол; Q^ и B2 теплопритоки к межфазной поверхности от твер-
дой стенки и от перегретой жидкости соответственно
В действительности в окрестности линии контакта трех фаз
(«граничной линии») существует слой адсорбированных молекул
неиспаряемая часть мениска жидкой пленки толщиной порядка
9
межмолекулярных расстояний в жидкости A0 м). По мере утол-
щения слоя жидкости с удалением от граничной линии силы ад-
сорбции, препятствующие испарению, ослабевают, начинается ис-
парение с поверхности пленки. Так как радиус сухого пятна i?* и
протяженность в радиальном направлении адсорбированной пленки
ничтожно мала в сравнении с радиусом основания пузырька i?0, при
создании приближенной модели можно принять, что микрослой
жидкости в основании пузыря образует коническую поверхность.
Сечение микрослоя произвольной плоскостью, проходящей через
ось симметрии пузырька, изображено на рис. 6.11,6. Пока микро-
слой тонок, тепло для испарения жидкости с его поверхности отби-
рается непосредственно от твердой стенки, так как запасы тепла
266 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
в перегретой жидкости, содержащейся в тонком микрослое, слиш-
ком малы. Этот вывод подтверждается опытными измерениями бы-
строго падения температуры обогреваемой поверхности в началь-
ный момент роста пузырька (обычно в течение 13 мс). Такие из-
мерения, проводившиеся при использовании в качестве поверхно-
сти нагрева тонких пластин с относительно низкой теплопроводно-
стью, послужили основанием для гипотезы о существовании под
растущим пузырьком испаряющегося микрослоя жидкости. В даль-
нейшем существование микрослоя под пузырьком, растущим на
прозрачной поверхности нагрева, было подтверждено прямыми оп-
тическими исследованиями (лазерная интерферометрия).
Измерения температуры в объеме жидкости показали, что пере-
гретая жидкость покрывает ближайшую к обогреваемой твердой
стенке часть сферической поверхности (купола) растущего пузыря.
Эта перегретая жидкость, по-видимому, вытесняется пузырьком из
температурного пограничного слоя на стенке, и ее избыточная эн-
тальпия также влияет на рост парового пузырька при кипении.
6.4.2. ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА
НА ОБОГРЕВАЕМОЙ СТЕНКЕ
Изложенные опытные наблюдения позволяют использовать мо-
дель пузырька, представленную на рис. 6.11. Будем считать, что пу-
зырек в процессе роста сохраняет форму усеченной сферы, причем
очертания пузырька в любой момент времени геометрически подоб-
ны. Это означает, что все геометрические характеристики пузырька
могут быть представлены как величины, пропорциональные радиу-
су эквивалентной по объему сферы:
где V объем пузырька.
Толщина жидкого микрослоя в основании пузырька предполага-
ется пропорциональной расстоянию от оси симметрии, т.е.
5 = кх г,
где к{ числовой множитель (кх « 1).
Рост паровых пузырьков на твердой поверхности нагрева 267
Обогреваемую твердую стенку будем считать изотермической,
что вполне реалистично в случае высокой теплопроводности материа-
ла. Локальная плотность теплового потока от стенки выражается как
Будем считать, что на участке 0 < г < Rm (см. рис. 6.11, б) избыточ-
ная энтальпия жидкости не влияет на интенсивность испарения
с поверхности микрослоя; тогда поток тепла от обогреваемой стен-
ки к межфазной поверхности
п
/W 1 А Т1 О/тг
Q = | 2nrdr = XMRm. F.38)
о V *i
Имея в виду допущение о сохранении формы пузырька в про-
цессе роста, можно записать Rm = k2R3, а выражение F.38) предста-
вить в виде
Q] =$lXATR3, F.38a)
где Pj коэффициент, отражающий по существу «степень незна-
ния» действительной формы микрослоя и растущего пузырька.
Когда микрослой становится «толстым», избыточная энтальпия
перегретой жидкости также служит источником тепла для испаре-
ния жидкости на межфазной поверхности. В качестве условной гра-
ницы «тонкого» и «толстого» участков микрослоя можно принять
толщину пленки Ьт = J~at, где t время от начала роста пузыря;
а температуропроводность. Для неметаллических жидкостей
8т ~ 10~5 м. В реальном процессе, конечно, никакой фиксирован-
ной границы между «теплопроводной» (тонкой) и «теплоемкой»
(толстой) частями микрослоя не существует, перераспределение ис-
точников тепла на испарение жидкости происходит постепенно. В
используемой нами приближенной модели такая граница устанавли-
вается соотношением 5m = klRm.
Выражение для теплового потока от перегретой жидкости к меж-
фазной поверхности должно быть аналогично (по структуре) уравне-
нию, следующему из асимптоты решения Скривена при Ja » 1, т.е.
268 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
из формулы ПлессетаЦвика F.35а). Несложно убедиться, исполь-
зуя F.28), что формуле F.35а) отвечает плотность теплового потока
Тепловой поток от перегретой жидкости для пузырька, растуще-
го на стенке, может быть представлен в виде
<22 = э. F.39)
4 at
Неизвестный заранее числовой множитель Yi отражает, во-первых,
то, что перегретая жидкость покрывает лишь часть поверхности пу-
зырька (точнее, поверхности 4nR3, эквивалентной по объему сфе-
ры), а, во-вторых, то, что перегрев жидкости в среднем меньше, чем
перегрев стенки А Г, используемый в F.39). Для пузырька в виде
усеченной сферы (рис. 6.11, а) представляется обоснованным допу-
щение о том, что перегретая жидкость покрывает часть поверхности
пузырька, примерно равную его основанию nR0. В этом случае ко-
эффициент Yi выражается как функция наблюдаемого («динамиче-
ского») краевого угла Эд.
В произвольный момент времени для пузырька справедливо
уравнение энергетического баланса
которое с учетом F.38а) и F.39) записывается как
l
9"h
LG
F-40)
о Р1 Yl
где Р = ; Y =
471 4я
Вводя число Ja, имеем
. , Г" F.40а)
dt
Рост паровых пузырьков на твердой поверхности нагрева 269
Дифференциальное уравнение F.40а) при начальном условии
t = 0, R3 = 0 решается с помощью подстановки R3 = Yjl. Имея
в виду, что физический смысл имеет только положительный корень
получающегося квадратного уравнения относительно Y, находим
3 F.41)
При постоянных у и C полученное уравнение имеет две асимпто-
ты. Первая из них при Ja « 1
F.42)
отвечает случаю, когда подвод тепла от перегретой жидкости пре-
небрежимо мал (теплоемкость жидкости не влияет на закон роста).
Эта формула была получена Д.А. Лабунцовым в 1963 г. [18]; она
справедлива для области высоких приведенных давлений при C = 6.
Вторая асимптота относится к низким приведенным давлениям,
когда Ja » 1:
R3 = lyJuJai. F.43)
В этом случае подвод тепла от перегретой жидкости становится пре-
обладающим. Формула F.43) отличается от формулы Плессета
Цвика лишь коэффициентом у? который по смыслу анализа должен
быть меньше единицы (меньше множителя j3/n в формуле
F.35а)). Согласие с опытными данными обеспечивается при у = 0,3.
Таким образом, формула F.41) при C = 6, у = 0,3 позволяет
удовлетворительно описать опытные кривые роста паровых пузырь-
ков при кипении различных жидкостей в широком диапазоне изме-
нения давлений (при числах Ja = 0,1500).
Результаты сравнения представлены на рис. 6.12, где отражены
практически все известные опытные данные о росте паровых пу-
зырьков при кипении 11 различных жидкостей (вода, метанол, эта-
нол, толуол, бензол, четыреххлористый углерод, н-пентан, азот, ки-
слород, водород, гелий) в диапазоне давлений 0,00510 МПа. Зави-
симости F.35а) и F.36) для роста пузырьков в объеме перегретой
жидкости (кривые 1 и 2 на рис. 6.12), конечно, не должны описы-
вать опытные данные о росте пузырьков на стенке. Эти кривые пе-
270 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
102
1О1
10"
О
о°о|
о °о оЗ^
1
о
ф
о°
Vo ° ^
о ^х*^
3
ю-1
1OU
10
Ja
Рис. 6.12. Сопоставление опытных данных о скорости роста паровых
пузырьков при кипении с расчетными зависимостями:
1 F.35а); 2 F.36); 3 F.42); 4 F.41); каждая точка на рисунке отра-
жает либо кривую роста индивидуального пузырька, либо результат статистиче-
ской обработки нескольких кривых роста при Ja = idem
ресекают массив опытных точек в том диапазоне чисел Якоба, кото-
рый соответствует для большинства исследованных жидкостей атмо-
сферному давлению. Это случайное совпадение послужило некото-
рым авторам основанием рекомендовать формулу ПлессетаЦвика
для описания роста паровых пузырьков при кипении. Кривая 4 на
рис. 6.12, построенная по уравнению F.41), хорошо отражает харак-
тер изменения безразмерного модуля роста пузыря R3/J~at
в зависимости от числа Якоба. При Ja < 1 эта кривая практически
совпадает с кривой 3, отвечающей формуле F.42).
Следует отметить, что отклонение опытных точек на рис. 6.12
связано не только со статистическим разбросом, характерным для
кипения, но и с использованным в анализе допущением об изотер-
мичное™ обогреваемой стенки. В действительности, как говорилось
выше, интенсивное испарение микрослоя в его тонкой части вызыва-
ет падение температуры стенки тем более заметное, чем меньше ко-
эффициент тепловой активности стенки
и меньше ее тол-
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 271
щина. Анализ роста пузырьков с учетом этих эффектов существенно
сложнее, чем изложенная приближенная модель; он приводится в [2].
При наиболее низких давлениях энергетическая схема роста,
приводящая к F.41), дает сильно завышенную в сравнении с экспе-
риментами расчетную скорость роста пузырька. В этих условиях
учет инерционных эффектов может быть осуществлен по методике,
описанной в п. 6.3.4. Уже при Ja > 300 преобладает подвод тепла
к межфазной поверхности от перегретой жидкости (в соответствии
с соотношением F.39)). Следовательно, уравнение для расчета ско-
рости роста паровых пузырьков на стенке в рассматриваемых усло-
виях должно отличаться от формулы F.37) лишь числовым коэффи-
циентом, меньшим единицы. Действительно, соотношение
/XcV/4*,3/45/4 3/4
^-tW F.44)
хорошо согласуется с имеющимися опытными данными о росте па-
ровых пузырьков при Ja > 600.
6.5. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОТРЫВА ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ ОТ ТВЕРДОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
6.5.1. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ОБ ОТРЫВЕ ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА
Размер пузырька в момент отрыва от твердой поверхности
важный параметр для понимания механизма кипения. На сегодня на-
коплена обширная опытная информация о предотрывных диаметрах
паровых пузырьков при кипении различных жидкостей. (Часть этой
информации получена в тех экспериментальных исследованиях ди-
намики паровых пузырьков, результаты которых отражены на
рис. 6.12.) Но, несмотря на это, а также на кажущуюся простоту объ-
екта исследования (индивидуальный паровой пузырек, растущий на
твердой обогреваемой стенке), в теоретическом плане проблема от-
рыва пузырька весьма сложна и, к сожалению, изрядно запутана.
Поскольку даже при высоких приведенных давлениях остается
справедливым сильное неравенство р" « р', то паровой пузырек в
известном смысле это «пустота» в жидкости. (Недаром в англий-
ском языке истинное объемное паросодержание газожидкостных
потоков обозначается термином «void fraction» «доля пустоты».)
272 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Кроме того, в реальных условиях скорость расширения объема R
намного меньше скорости звука в паре; это означает, что давление
пара в пузырьке в любой момент роста можно считать однородным.
Следовательно, давление на границе пузырька со стороны жидкости
связано с давлением парар" уравнением Лапласа B.7) в форме:
p'R=p"-2oH(z), F.45)
где H{z) кривизна поверхности пузырька в предположении ее осе-
симметричности. Форма поверхности пузырька изменяется во време-
ни и могла бы быть рассчитана только как результат решения задачи
о динамике жидкости, удовлетворяющего условию F.45) на границе
области, заранее не определенной. Обычно в задачах о движении
жидкости со свободной поверхностью форма межфазной поверхно-
сти известна или задается на основе опытных наблюдений; успешное
использование такого подхода было продемонстрировано в п. 5.6.3
на примере задачи о стационарном всплытии в жидкости крупных
газовых пузырьков. В рассматриваемом случае такое решение много-
кратно усложняется и достижимо лишь численными методами.
Первые результаты численного исследования динамики парово-
го пузырька в такой строгой постановке были опубликованы в са-
мое последнее время (Труды 11-й Международной конференции по
теплообмену, Кенгджу, Корея, 1998; Труды Международной конфе-
ренции «Boiling - 2000», Анкоридж, США, 2000). Эти результаты
включают, в частности, очертания границы пузырька в некоторые
фиксированные моменты времени. Так как никаких резких измене-
ний эти очертания не претерпевают, вопрос о том, какое из них сле-
дует относить к моменту отрыва, является в известной мере предме-
том соглашения. Наиболее естественно принимать за момент отры-
ва потерю прямого контакта пара с твердой стенкой, т.е. образова-
ние замкнутой поверхности пузырька в жидкости. (На схеме
рис. 6.10, а этому требованию отвечает правая картинка, а послед-
ний из кинокадров, приведенных на рис. 6.10, б, относится к момен-
ту, близкому к отрыву, но здесь малая часть поверхности пузырька
еще сохраняет прямой контакт со стенкой.)
Следует отметить, что даже при использовании ряда сильных
допущений, заметно ограничивающих общность полученных чис-
ленных решений, затраты машинного времени в таких исследова-
ниях весьма велики. Поскольку информация об условиях отрыва
паровых пузырьков в инженерных приложениях непосредственно
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 273
не используется, а служит для построения моделей пузырькового
кипения, то строгое численное моделирование эволюции пузырька
останется, вероятно, в обозримой перспективе областью фундамен-
тальных исследований, направленных на более глубокое понима-
ние механизма кипения. В практическом плане интерес представ-
ляют аналитические соотношения, связывающие размер пузырька
(«эквивалентный» радиус или диаметр) в момент отрыва с режим-
ными параметрами процесса и свойствами жидкости. С учетом ска-
занного ясно, что такие соотношения принципиально могут быть
лишь приближенными.
При построении приближенных моделей необходимо учитывать
несколько важных особенностей анализируемой задачи. Прежде
всего паровой пузырек на стенке, несмотря на внешнее сходство,
вовсе не аналогичен воздушному шару, привязанному за нитку ко
дну сосуда с водой (хотя такая аналогия и кажется естественной).
По существу у пузырька нет каких-либо механических связей
с твердой стенкой, кроме поверхностного натяжения на линии кон-
такта трех фаз. Ясно, что роль поверхностного натяжения совершен-
но ничтожна в случае крупных пузырьков, характерных для низких
приведенных давлений (больше числа Якоба). Кроме того, поверх-
ность пузырька легко изменяет свою форму; локальный импульс
давления (например, за счет турбулентных пульсаций), воздейст-
вующий на участок поверхности пузырька, не передается центру
масс пузырька, но может изменить его форму. В экспериментах на-
блюдали как расположенный в жидкости вблизи стенки термомет-
рический проволочный зонд свободно «входит» в паровой пузырек,
не влияя на его эволюцию (фактически пузырек растет, «не заме-
чая» малого в сравнении с его размером твердого препятствия). Яс-
но, что в случае с воздушным шариком ситуация совершенно иная.
Уже из этих качественных соображений можно заключить, что
применительно к пузырьку в жидкости едва ли корректно использо-
вать заимствованное из механики твердого (недеформируемого) тела
понятие силы, приложенной к центру масс. К тому же баланс сил со-
гласно классическому принципу Даламбера справедлив в любой мо-
мент эволюции пузырька и не может служить условием отрыва. Дру-
гими словами, баланс сил это уравнение сохранения импульса
в проекции на одно из направлений; в системе отсчета с началом
в центре масс пузырька оно выполняется, пока пузырек существует.
Несмотря на непрекращающиеся попытки уточнять (и усложнять) со-
274 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
отношения, выражающие существенные для динамики пузырька си-
лы, такой подход в лучшем случае может рассматриваться лишь как
один из приближенных методов, аналогичный анализу размерностей.
Действительная эволюция пузырька определяется полем скоро-
стей и давлений в окружающей жидкости, причем распределение
давления на межфазной поверхности определяется уравнением
F.45). При высоких давлениях, когда скорость изменения пузырька
ничтожна (Ja < 1), определяющую роль в распределении давлений
в окружающей пузырек жидкости играют массовые силы. Здесь ес-
тественно обратиться к рассмотренным в гл. 2 задачам гидростати-
ки газожидкостных систем, в которых анализируется возникнове-
ние неустойчивости осесимметричных равновесных поверхностей
раздела при достижении определенного (критического) объема па-
рового пузырька. При Ja » 1 распределение давления в окрестно-
сти растущего пузырька обусловлено не только гидростатикой, но и
движением «расталкиваемой» пузырьком жидкости. В этих услови-
ях модель, позволяющая рассчитывать размер пузырька в момент
отрыва, должна объяснять, почему, начиная с некоторого этапа эво-
люции пузырька, уравнение F.45) продолжает выполняться лишь
при условии отделения парового объема от стенки. Таким образом,
естественно в первую очередь рассмотреть указанные два предель-
ных случая: отрыв пузырьков при Ja < 1 (гидростатическое прибли-
жение) и Ja » 1 («инерционная схема отрыва»),
6.5.2. ОТРЫВ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ МАЛЫХ
СКОРОСТЯХ РОСТА
При очень медленном увеличении объема парового пузырька
(Ja< 1) форма его поверхности в любой стадии роста определяется
уравнением гидростатического равновесия B.9). По классификации,
введенной нами в гл. 2, задача о паровом пузырьке на твердой по-
верхности относится к задачам типа II (отрицательные перегрузки).
Это означает, что существует некоторый предельный объем парово-
го пузырька, при котором граница раздела теряет устойчивость, пу-
зырь «отрывается» от стенки.
Отрыв от твердой поверхности медленно растущего парового
пузырька в принципе может моделироваться двумя конкретными за-
дачами гидростатики. Первая из них задача о пузырьке на глад-
кой горизонтальной поверхности дает для предотрывного разме-
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 275
ра пузыря соотношение, широко известное как формула Фритца
B.19а), или, выражая краевой угол 9 в градусах,
DQ = 2R0 = 0,02079 . F.46)
Вторая из упомянутых выше задач определяет предотрывный
объем газового пузыря в жидкости на срезе капилляра. Есть веские
основания считать, что именно эта задача гидростатики наилучшим
образом может моделировать условия отрыва медленно растущих
паровых пузырьков при кипении.
Действительно, анализ кинограмм процесса кипения при высо-
ких давлениях показывает, что шероховатость поверхности нагрева
не позволяет основанию пузырька «расползаться» по мере его роста.
При этом получается, что пузырек как бы «выдувается» из впадины
на поверхности нагрева. Поэтому для оценки предотрывного диа-
метра парового пузырька при кипении в области высоких давлений
(медленно растущие пузырьки) можно рекомендовать выведенную
в гл. 2 формулу B.26а):
F.47)
Аналогом капилляра в данном случае служит устье поверхностной
впадины, т.е. dK в формуле F.47) соответствует характерному раз-
меру шероховатости твердой стенки. При dK = 110 мкм соотноше-
ние F.47) дает для воды при высоких давлениях DQ ~ 0,30,6 мм,
что удовлетворительно согласуется с опытными данными, получен-
ными на поверхностях нагрева, имеющих характерные размеры
микронеровностей порядка единиц микрометров.
Такое использование формулы F.47) было обосновано в конце
60-х годов (см. [18]). Позднее были выполнены эксперименты, в ко-
торых изучался отрыв паровых пузырьков при кипении воды и эта-
нола на искусственных впадинах с точно измеренным размером dK
[68]. Оказалось, что при давлении 0,23,7 МПа формула F.47)
с очень высокой точностью согласуется с опытными данными для
этанола и вполне удовлетворительно для воды.
Что касается формулы Фритца, то, будучи безукоризненно точ-
ной в рамках гидростатической задачи, она совершенно непримени-
ма к расчету предотрывных размеров паровых пузырьков при кипе-
276 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
:
С
¦ч
I;
xiIt
1
Рис. 6.13. Отрывные диаметры паро-
вых пузырей при кипении при раз-
личных давлениях:
I диапазон опытных данных; 1 по
формуле F.46) при 9 = 30°,
Ь =
DQ/b
101
10°
КГ1
10~2
ю-3
102 103 104 105 106 р, Н/м2
нии. В области низких давлений это совершенно естественно, ибо
подход с позиций гидростатики в принципе не пригоден к анализу
условий отрыва быстро растущих паровых пузырей. Об этом можно
было и не говорить, если бы не появлялись публикации, в которых
формула F.46) по-прежнему именуется «формулой Фритца для от-
рывного диаметра парового пузырька при кипении», и при этом да-
же не оговаривается диапазон применимости этой формулы.
Рисунок 6.13 убедительно показывает, что в весьма широком
диапазоне давлений и для весьма различных жидкостей формула
F.45) не обнаруживает даже качественного соответствия результа-
там опытов. Из рис. 6.13 видно, что расчет по формуле Фритца
(кривая 1) дает значения Do, которые в области самых низких дав-
лений (около 0,01 бар) почти на два порядка меньше, чем получен-
ные в опытах, а при наиболее высоких давлениях A0100 бар) на
порядок и более превосходят те, что наблюдались в экспериментах.
Несоответствие формулы F.46) опытным данным в условиях мед-
ленного (квазистатического) роста паровых пузырьков обусловле-
но, по-видимому, отмеченным выше влиянием шероховатости лю-
бой реальной поверхности нагрева. С ростом давления уменьшает-
ся капиллярная постоянная
W-P")
определяющая линейный масштаб любой равновесной двухфазной
системы в задачах гидростатики. В силу этого при наиболее высо-
ких давлениях характерный размер шероховатости поверхности
нагрева становится соизмеримым с размером паровых пузырьков,
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 277
в результате чего здесь уже не проходит приближение гладкой
стенки, на основании которого можно было бы использовать
в анализе формулу Фритца.
6.5.3. ОТРЫВ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ ПРИ КИПЕНИИ В ОБЛАСТИ НИЗКИХ
ПРИВЕДЕННЫХ ДАВЛЕНИЙ
Как показано ранее (см. § 6.1, 6.3), при быстром расширении
сферической паровой полости давление в ней, а значит, и давление
на границе пузыря со стороны жидкости заметно превосходит дав-
ление Pqq вдали от межфазной границы. При кипении на горизон-
тальной твердой стенке расширение парового пузырька не облада-
ет сферической симметрией, пузырек, особенно в начальный пери-
од роста, отталкивает жидкость от стенки. В результате жидкость
как бы «прижимает» пузырь к обогреваемой поверхности. В целом
прослеживается тенденция: чем больше скорость роста пузырька,
тем дольше он удерживается у стенки и тем больших размеров дос-
тигает перед отрывом.
Естественно все сказанное выше о равенстве давления пара в пу-
зырьке и давления жидкости во всех точках его поверхности остает-
ся в силе (с точностью до ничтожного для рассматриваемых крупных
пузырей лапласовского скачка давлений). Однако само это давление
превышает гидростатическое давление жидкости на той же глубине,
но вдали от растущего пузырька. Так как скорость роста парового
пузырька на стенке, определяемая для различных диапазонов числа
Якоба формулами F.41) или F.44), уменьшается во времени, то
уменьшается и избыточное давление в жидкости, вызываемое расши-
рением пузырька; можно ожидать, что пузырек начнет отходить от
стенки, когда скорость его роста сравняется с установившейся скоро-
стью всплытия пузыря в спокойной жидкости, Uqq . Действительно,
при стационарном всплытии крупных пузырей давление жидкости на
поверхности пузыря одинаково (см. п. 5.6.3), причем в лобовой точке
оно выше, чем на той же глубине далеко в стороне от всплывающего
пузыря. Если скорость роста парового пузыря на стенке снижается
до t/oo, то достигаются те же условия, какие существуют при ста-
ционарном всплытии пузыря, когда его форма и скорость всплытия
не зависят от глубины (если, конечно, давление столба жидкости
много меньше давления над уровнем жидкости).
278 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Таким образом, при
R = UOO F.48)
для поддержания равенства давлений на свободной поверхности
жидкости, которая в рассматриваемом случае есть замкнутая по-
верхность парового объема, пузырь должен отрываться от стенки.
Приведенные рассуждения справедливы только для крупных пу-
зырьков (зона 5 на рис. 5.6), так как только здесь ничтожны эффек-
ты поверхностного натяжения. В достаточно широкой по диапазону
размеров пузырей зоне 4 поверхностное натяжение сильно влияет
на форму и характер всплытия пузыря, причем, как говорилось
в п. 5.4.2, процесс всплытия в строгом смысле слова здесь не являет-
ся стационарным, так как форма пузыря и скорость подъемного дви-
жения претерпевают пульсации. Следовательно, условие F.48) от-
носится к случаю, когда величина U^ определяется формулой
E.39), а закон роста формулой F.44).
Записывая F.44) в виде
R = AtV\ F.44а)
находим для момента отрыва с учетом F.48) и E.39)
Ro =^'о1/4 = 1,0^
Выразив из последнего уравнения время роста до отрыва t0 и ис-
пользуя его в F.44а), находим
,8/5
и /л ..6/5 3/5
A,4) g
или, раскрывая значение А согласно F.44),
л 2/5 „6/5^2
*o = O,22f-^ -i-±. F.49)
В [22, 76] приводится сравнение расчета по F.49) с опытными
значениями RQ при кипении различных жидкостей (вода, спирты,
четыреххлористый углерод, кислород) при давлениях р < 20 кПа.
Хотя при выводе этого соотношения используется формула F.44),
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 279
справедливая при Ja > 600, разумное согласие опытных и рассчитан-
ных по F.49) значений эквивалентного радиуса парового пузырька
в момент отрыва обнаруживается до Ja ~ 175, а для кислорода да-
же до Ja ~ 34. Важно отметить, что при выводе F.49) не потребова-
лось как-либо корректировать числовую константу.
6.5.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛИ СФЕРИЧЕСКОГО ПУЗЫРЬКА В ПРИБЛИЖЕННОМ
АНАЛИЗЕ УСЛОВИЙ ОТРЫВА
Следует отметить, что инерционные силы в жидкости, приво-
димой в движение растущим пузырем, оказываются существенны-
ми для условий отрыва парового пузырька даже при относительно
небольших числах Якоба (Ja = 330). Благодаря их влиянию мож-
но объяснить, в частности, почему паровой пузырек отрывается от
поверхности нагрева в условиях микрогравитации, когда актуаль-
ное ускорение массовых сил составляет A0~ 10" ) g (практиче-
ски в невесомости) или в земных условиях в направлении, противо-
положном силе тяжести, вниз от поверхности цилиндрического на-
гревания. Для такого объяснения используем модель сферического
пузырька. С учетом сказанного в п. 6.5.1 априорное задание формы
газовой полости делает анализ приближенным. Однако постулиро-
вание не изменяемой во времени формы пузыря позволяет исполь-
зовать достаточно простые методы механики твердого тела, в част-
ности понятие силы, приложенной к центру масс. Степень прибли-
женности такого подхода зависит от того, насколько принимаемая
в модели форма близка к наблюдаемой в опытах. Это отступление
от требований строгого анализа никоим образом не распространя-
ется на принцип Даламбера: баланс сил, приложенных к пузырьку
заданной формы, остается справедливым в любой момент времени
и не может использоваться как условие отрыва.
Известно (см. § 5.1), что при стационарном движении в невяз-
кой жидкости сфера не испытывает сопротивления (парадокс Да-
ламбера). Однако в случае ускоренного движения сила сопротивле-
ния возникает. Качественно это объясняется тем, что ускоренно
движущееся тело вовлекает в движение (тоже ускоренное) опреде-
ленную массу жидкости. В результате ускоренно движущееся тело
280 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
как бы увеличивает свою массу, так что второй закон Ньютона за-
писывается для него в виде
F = (т + тп*), F.50)
At
где m собственная масса тела; т* так называемая присоеди-
ненная масса жидкости, вовлекаемой в движение; F сила, вызы-
вающая ускоренное движение.
В классической гидромеханике (см., например, [24, 26, 34]) зна-
чения т* рассчитаны для тел различной формы. Для сферы
2тс ^
т* = p'R5, F.51)
т.е. присоединенная масса составляет половину массы жидкости,
вытесняемой сферой. (Детальное обоснование соотношений F.50) и
F.51) см. в [21]). Если движущееся тело это газовая полость со
сферической оболочкой, то его собственная масса т « гп*, так как
р" « р'. В этом случае динамику ускоренного движения определяет
в основном присоединенная масса. Ясно, что качественно такая си-
туация складывается при росте парового пузырька: инерционное со-
противление расталкиваемой жидкости может быть объяснено с ис-
пользованием понятия присоединенной массы.
Рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть в невязкой
жидкости на некотором уровне h = 0 в момент времени t = 0 возник
сферический газовый пузырек, окруженный непроницаемой невесо-
мой оболочкой. Пусть далее эта оболочка, сохраняя сферичность
в любой момент времени, расширяется в жидкости в условиях дей-
ствия массовых сил по закону
R = Axtn, F.52)
гдеА{ип некоторые константы.
Естественно, с течением времени газовый пузырек будет
всплывать за счет гравитационных сил, так что высота его центра
будет изменяться по некоторому закону h = h(i)9 а скорость
Ah „
всплытия пузыря и = . Схема подъема расширяющегося пу-
зырька показана на рис. 6.14, а.
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 281
Принцип Даламбера для
R~tn
такого пузырька
F.53)
3
где сила Fg = - nR g(p'~ p") 0
и по направлению совпадает с
осью h.
Сила сопротивления Fc
связана с ускоренным движе-
нием пузырька, но при этом
нужно иметь в виду, что ра-
диус пузырька изменяется во
времени и, следовательно,
присоединенная масса пу- Рис. 6.14. Схема подъема растущего пу-
зырька m* = m*(t). Собствен- зырька в объеме жидкости (а) и на
твердой поверхности (б)
нои массой газового пузырь-
ка пренебрегаем.
Тогда для растущего пузырька
_
3
F.54)
d/ 3 dt
Теперь, подставляя в соотношение F.53) значения сил Fc и F „и
имея в виду закон F.52), получаем
dt
Р'-Р"
При низких давлениях р' » р", так что ~ 1. Интегрируя
р'
последнее уравнение при начальном условии / = О, R = 0, h = 0, имеем
и =
dt Зл
gt.
Повторное интегрирование при том же начальном условии дает
окончательно
h =
1
Зп+1
F.55)
282 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Заметим, что этот результат может быть получен и более строго, пу-
тем нахождения поля потенциала скорости в жидкости, окружаю-
щей расширяющуюся по закону F.52) сферическую полость, на по-
верхности которой выполняется условие/?^ = idem.
Таким образом, высота центра растущего в объеме жидкости па-
рового пузырька (окруженного оболочкой, обеспечивающей его
сферичность) увеличивается во времени по квадратичному закону,
что отражено на рис. 6.14, а.
Анализ кинограмм роста паровых пузырей при вакуумном кипе-
нии (типа изображенной на рис. 6.10, б) позволяет приближенно за-
менить реальную картину схемой рис. 6.14, б, согласно которой пу-
зырек растет, меняя свою форму от полусферической на начальной
стадии до идеальной сферической в момент отрыва. Тогда анализ,
проведенный для всплытия в объеме жидкости расширяющейся
сферической полости, можно использовать для нахождения условия
отрыва парового пузырька от твердой поверхности. При этом усло-
вие отрыва принимает простой вид h - Ro, т.е. радиус пузырька
в момент отрыва выражается соотношением
Ro = Ц^, F.56)
Зп+ 1
где t0 время роста пузырька от зарождения до отрыва.
Если для сопоставления формулы F.56) с результатами экспери-
ментов использовать значения п, определяемые по опытным кривым
роста пузырьков, то, как следует из рис. 6.15, указанная формула хо-
рошо согласуется с опытными данными. На рис. 6.15 приведены ре-
зультаты большого числа экспериментальных работ, в которых ис-
следовалось кипение различных жидкостей (вода, этанол, метанол,
толуол, ацетон, четыреххлористый углерод, калий) при давлениях, не
выше атмосферного. Как видно из рисунка, подавляющее большинст-
во опытных точек лежит в полосе ±40 % от расчетной кривой, хотя
следует отметить, что над кривой оказалось заметно больше точек,
чем под кривой. Однако с учетом фактического отличия формы пу-
зырька от модельной (согласно рис. 6.14, б) согласование расчетной
кривой и опытных данных следует считать удивительно хорошим.
Использование схемы рис. 6.14, б и кинематического условия
отрыва h = Ro означает, что скорость подъема центра пузырька не-
посредственно в момент отрыва совпадает со скоростью роста пу-
зырька. Следовательно, это кинематическое условие, приводящее
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 283
2
102
6
4
2
101
6
4
?
Формула F.56).
Г у
'it ¦



-
V
)%
У
у
<^
s
4 6 101 2 4 6 102
л, MM
Рис. 6.15. Сравнение формулы F.56) с опытными данными об отрывных
размерах пузырьков
к формуле F.56), равносильно ранее использованному другому (то-
же кинематическому) условию отрыва F.48). Правда в последнем
случае скорость всплытия принималась постоянной, отвечающей
объему пузырька в момент отрыва.
В действительности обе схемы отрыва идеализируют реальный
процесс, поскольку всплытие пузырька начинается фактически сра-
зу после его зарождения, как это следует из анализа рис. 6.14, а. По
мере отхода пузырька от обогреваемой стенки уменьшается пло-
щадь его поверхности, соприкасающейся с тепловым пограничным
слоем на стенке. В результате с увеличением объема пузырька
уменьшаются энергетические ресурсы для его роста: показатель сте-
пени п в зависимости вида F.52) уменьшается в сравнении со значе-
ниями п = 1/2 или п = 3/4, определяемыми соответственно F.41) и
F.44). Это особенно заметно для крупных пузырьков, время пребы-
вания которых у обогреваемой стенки составляет 100200 мс, что
на порядок превышает типичное время роста паровых пузырьков
при кипении воды и ряда других жидкостей при давлениях, близ-
ких к атмосферному. Такие крупные пузырьки перед отрывом
практически перестают увеличивать свой объем (п ~ 0). Последний
из кинокадров на рис. 6.10, б наглядно объясняет причину этого:
здесь поверхность пузырька практически не имеет контакта с пере-
гретой жидкостью на обогреваемой стенке. Поскольку такое изме-
284 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
нение закона роста пузырька характерно для наиболее низких дав-
лений (Ja > 200), то использование при выводе формулы F.49) ки-
нематического условия F.48) в этом диапазоне параметров находит
разумное обоснование. При меньших числах Якоба описанный эф-
фект, с одной стороны, может объяснить отмеченное выше система-
тическое отклонение опытных точек от расчетной зависимости
F.56) на рис. 6.15, с другой стороны, влияние изменения закона рос-
та пузырька во времени здесь не столь значительно, что дает аргу-
менты в пользу другого кинематического условия отрыва.
Для качественного объяснения вероятной причины отрыва пу-
зырька в условиях невесомости или в направлении против силы тя-
жести воспользуемся формулой F.54), приняв в ней (с учетом F.52))
и = R = A^nt ,
что оправдано для малого промежутка времени перед отрывом.
В этом случае
Отсюда ясно, что при п > 0,25 FQ < 0, т.е. инерционная сила со
стороны жидкости направлена к поверхности нагрева и препятст-
вует отрыву, а при п < 0,25 Fc > 0, так что эта сила направлена от
поверхности и стремится оторвать пузырек от стенки. Качествен-
но это объясняется просто: при сильном падении скорости роста
3/4
(при п = 1/4 величина R ~1 ) первоначально приведенная в дви-
жение растущим пузырьком жидкость увлекает его за собой. Этот
эффект будет, очевидно, более сильным, если показатель степени
п в F.52) уменьшается во времени по мере истощения энергетиче-
ских ресурсов роста пузырька.
Видимо, это и наблюдали в экспериментах на космической стан-
ции в условиях практической невесомости [53], когда отсутствуют
привычные в земных условиях массовые силы, обеспечивающие
всплытие пузырька в жидкости. Интересно, что оторвавшиеся пу-
зырьки в этих экспериментах в случае насыщенной жидкости оста-
навливались на некотором расстоянии от обогреваемой стенки, где
образовывались большие скопления пара.
Еще более удивительное на первый взгляд явление наблюдалось
в земных условиях при кипении на поверхности нагрева в виде го-
Закономерности отрыва паровых пузырей от твердой поверхности 285
ризонтально расположенной тонкой проволоки. Киносъемка фикси-
ровала, что пузырьки, растущие на нижней образующей, сначала
«отскакивали» от нагревателя вниз и лишь затем естественным об-
разом всплывали. Очевидно, когда размер пузырька существенно
превышал диаметр нагревателя, доля поверхности, покрытой пере-
гретой жидкостью, уменьшалась, скорость роста пузырька резко
снижалась, и его увлекала от обогреваемой стенки вниз предвари-
тельно приведенная в движение жидкость.
Необходимо подчеркнуть, что описанные явления имеют пока
лишь качественное объяснение, поскольку надежно описать трех-
мерную картину течения и теплообмена в окрестности тонкопрово-
лочного нагревателя в настоящее время вряд ли возможно и числен-
ными методами.
Укажем, наконец, что формула F.56) позволяет получить реали-
стичное уравнение, связывающее размер пузырька в момент отрыва
с режимными параметрами и свойствами жидкости и пара. Записав
F.41) для момента отрыва в виде
Ro =A2/fiiQ, F.41a)
где А2 = 0,3 Ja + V0,09Ja + 12Ja, и исключив время ^0 из уравнений
F.41а) и F.56), находим
R0~h36A%\a2/g)m. F.57)
Эта формула дает разумные значения Ro при «умеренных» числах
Якоба: Ja = 3100. В табл. 6.4 приведено сопоставление расчета по
F.57) с опытными данными [2], которые представляют соой резуль-
тат статистической обработки от 400 до 600 индивидуальных пу-
зырьков. Поскольку формула F.41), лежащая в основе уравнения
F.57), не учитывает влияния теплофизических свойств стенки на
скорость роста пузырька, для сравнения взяты лишь данные, полу-
ченные на образцах с высокой теплопроводностью.
На образцах из нержавеющей стали скорость роста оказалась
ниже, а отрывной диаметр меньше.
Хотя согласие расчета по F.57) с результатами измерений, пред-
ставленных в табл. 6.4, достаточно хорошее, формулу F.57) следует
воспринимать как инструмент для приближенной оценки в указан-
ном выше диапазоне чисел Якоба. Более обоснованными и надеж-
ными следует считать соотношения F.47) и F.49) для предельных
286 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ЖИДКОСТИ
Таблица 6.4. Опытные [2] и расчетные по F.57) значения отрывного диаметра
при кипении азота, этанола и воды при атмосферном давлении
Жидкость
Азот
Этанол
Вода
Материал
стенки
Никель
Медь
Медь
АГ, К
6,1
8,1
8,9
Ja
10,7
13,4
26,7
Dq, mm
Эксперимент
0,89
1,18
2,78
Расчет
0,91
0,94
3,22
случаев соответственно Ja < 1 и Ja » 1. В промежуточной области
чисел Якоба получить физически обоснованное аналитическое
уравнение для расчета Do (или Ro) намного сложнее, так как на рас-
пределение давления на межфазной границе и на эволюцию паро-
вой полости влияют одновременно силы инерции, массовая сила
(гравитация) и поверхностное натяжение. В [2] дается приближен-
ное интерполяционное соотношение для i?0, пригодное в широком
диапазоне чисел Якоба.
Глава седьмая
АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ
В КАНАЛАХ
Перечень промышленных объектов, использующих двухфазные
потоки, чрезвычайно широк. Достаточно назвать паровые котлы и
парогенераторы АЭС, рефрижераторы и ожижители в технике низ-
ких температур, выпарные аппараты, испарители, конденсаторы,
дистилляционные установки в различных технологиях, газо- и неф-
тепроводы, чтобы понять, насколько широка сфера применения
двухфазных систем. При этом в большинстве названных (и нена-
званных) примеров имеют дело с организованным движением двух-
фазных сред в каналах.
Поскольку строгое математическое описание, дающее, в частно-
сти, положение и форму межфазных границ, для реальных двухфаз-
ных систем в каналах, как правило, невозможно, в инженерной
практике используют обычно эмпирические, в лучшем случае полу-
эмпирические расчетные соотношения. В настоящем издании пред-
почтение отдается тем из них, которые опираются на определенные
физические модели. Естественно, больше внимания уделяется здесь
качественному анализу явлений.
В гл. 7 рассматриваются адиабатные потоки. Хотя двухфазные
течения без теплообмена со стенками канала встречаются в техни-
ке реже (в первую очередь это трубопроводный транспорт), чем
потоки в условиях испарения или конденсации, в эксперименталь-
ных исследованиях, напротив, адиабатным потокам уделяется, ви-
димо, больше внимания. Это естественно, так как, уменьшая чис-
ло факторов, влияющих на систему, исследователь получит воз-
можность лучше понять механизмы, определяющие характеристи-
ки двухфазного потока.
Вводный параграф гл.7 дает возможность яснее представить мно-
гообразие изученных объектов. Он по существу относится и к гл. 8,
так как здесь рассматриваются потоки и в условиях теплообмена.
288 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
7.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
Чрезвычайно широкое распространение двухфазных потоков
в технике требует их некоторой предварительной оценки, классифи-
кации. При этом классификация может быть проведена по весьма
различным признакам, так что приводимая в настоящем пункте не
является единственно возможной или исчерпывающей.
По составу смеси различают однокомпонентные парожид-
костные потоки и двух- или многокомпонентные газожидкост-
ные потоки. (Строго говоря, однокомпонентным двухфазным пото-
ком является, например, смесь жидкой и твердой фазы одного ве-
щества «шуга», а двухкомпонентным поток газа или жидко-
сти с твердыми частицами другой химической природы. В настоя-
щем пособии анализ ограничен лишь двухфазными паро- или газо-
жидкостными системами.) В парожидкостных потоках в общем
случае межфазная поверхность проницаема, из-за фазовых превра-
щений объемные и массовые расходы фаз изменяются по длине.
В газожидкостных (двухкомпонентных) потоках массовые расходы
фаз постоянны по длине.
По тепловому взаимодействию с окружающей средой будем раз-
личать адиабатные двухфазные потоки (тепловой поток на стенке
Qc = О*) и неадиабатные двухфазные потоки потоки с теплооб-
меном (<2С Ф 0). При Qc > 0 (подвод тепла к потоку) происходит ис-
парение жидкости (или кипение), при Qc < 0 конденсация пара.
Для парожидкостных потоков весьма существенно их термоди-
намическое состояние: если соприкасающиеся фазы находятся в со-
стоянии насыщения, такой поток называют равновесным', если тем-
пература одной или обеих фаз отличается от температуры насыще-
ния при давлении в данной точке, то поток неравновесный. Так,
в парокапельных потоках, возникающих при захолаживании крио-
трубопроводов, или в парогенерирующих каналах ниже сечения кри-
зиса кипения пар обычно перегрет, а жидкость имеет температуру
насыщения типичный и весьма распространенный случай нерав-
новесных двухфазных потоков. Адиабатные равновесные парожид-
костные потоки принципиально не отличаются от газожидкостных.
* Речь идет об адиабатной системе лишь в смысле взаимодействия с внешней средой;
внутренняя необратимость имеет место всегда, так что удельная энтропия потока возраста-
ет по длине.
Классификация двухфазных потоков 289
Важный признак классификации двухфазных потоков физи-
ческая природа источника движения. Здесь различают:
а) вынужденное движение смеси (имеется нагнетательное уст-
ройство);
б) свободное движение (естественная циркуляция) движение
под действием силы тяжести; такого рода движение реализуется
в процессах барботажа, в парогенераторах, выпарных и дистилляци-
онных аппаратах с естественной циркуляцией, эрлифтных устройст-
вах. На рис. 7.1 представлены примеры устройств, реализующих
свободное движение двухфазной среды. Барботаж (рис. 7.1, а)
это движение пузырьков пара (или газа) через жидкость; процесс
используется в деаэраторах ТЭС и АЭС, аппаратах химической тех-
нологии. Схема двухтрубного котла (рис. 7.1,6), реализованная
впервые более 100 лет назад, принципиально сохранилась и в совре-
менных котельных установках с естественной циркуляцией. Эр-
лифтные устройства (рис. 7.1, в) служат для подъема и перекачки
жидкостей, особенно агрессивных к конструкционным материалам;
в) движение, обусловленное самим фазовым переходом. Теплота
фазового перехода hLG представляет собой сумму изменения внут-
ренней энергии и работы расширения:
где и\ и' удельная внутренняя энергия пара и жидкости на линии
насыщения; v'\ vr удельные объемы фаз; ps давление. Движе-
ние, возникающее за счет работы расширения при фазовом перехо-
де, иллюстрирует рис. 7.2;
г) движение под действием сил поверхностного натяжения.
Простейшие схемы, иллюстрирующие такое движение, представле-
ны на рис. 7.3. Рисунок 7.3, а, отражающий непрерывный подвод
жидкости в цилиндрическом капилляре к поверхности мениска, с
которой происходит испарение, в комментариях не нуждается.
Рисунок 7.3, б показывает, что в коническом капилляре защемлен-
ный объем жидкости перемещается в сторону узкого сечения.
Действительно, при абсолютной смачиваемости стенок капилля-
ра давления жидкости в сечениях 1 и 2 равны соответственно:
p2 = p"-2o/R2,
290
АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Пар
HoTL oJT~OZTo~ OJI
fji 1111 i°i ¦ 11 ¦ i ilV
?1 Паровая подушка z
Пароводяная смесь !
б)
Рис. 7.1. Примеры двухфазных потоков
со свободным движением:
а барботажное устройство; 1,4 соответ-
ственно отвод и подвод пара; 2 корпус;
3 распределительный лист; 5 водомерное
стекло; б двухтрубный котел с естествен-
ной циркуляцией; 1,3 ненагреваемый и на-
греваемый стояки; 2, 4 паровой и водяной
барабаны; / подача воды; // отбор пара;
III разделение фаз; IV пар; V вода;
в эрлифтное устройство; 1 подача возду-
ха; 2 труба для подъема газожидкостной
эмульсии; 3 отвод жидкости; 4 выход
воздуха; 5 сепаратор; Н^ Н( высоты
уровней жидкости и двухфазной смеси
где р давление в паре;
жения жидкости; Rx и R2
поскольку р" = idem, Rx <
жение жидкости.
а коэффициент поверхностного натя-
радиусы капилляра в сечениях 7 и 2;
R2, торх <р2, что и обусловливает дви-
Классификация двухфазных потоков
291
Пар
t
{
*-Q
1
t
е
ГТТТТТТТ1
Рис. 7.2. Движение двухфазной среды, обусловленное процессами конденса-
ции (а) и испарения (б)
Рис. 7.3. Движение, обусловленное действием капиллярных сил:
а испарение жидкости с поверхности капилляра; б «защемленная» жид-
кость в коническом капилляре
t t t
и
III
к
Рис. 7.4. Схема тепловой трубы
Циркуляция жидкости и пара, вызванная работой расширения
при фазовом переходе и силами поверхностного натяжения, реали-
зуется в так называемой тепловой трубе*, принципиальная схема
которой дана на рис. 7.4. Тепловые трубы предназначены для пере-
дачи тепла на значительное расстояние при относительно неболь-
* Исходя из назначения и принципа действия, правильно бы было говорить о пгеплопере-
дающей трубе, однако в технике «прижился» не очень строгий термин «тепловая труба».
292 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ших разностях температур между отдающим и воспринимающим
тепло объектами; они достаточно широко используются в технике.
В зоне испарения тепловой трубы И тепло подводится к ее наруж-
ной поверхности, в зоне конденсации К отводится. Движение па-
ра обусловлено процессом фазового перехода используется рабо-
та расширения. Движение жидкости из зоны конденсации в зону ис-
парения через адиабатическую транспортную зону Т вызывают си-
лы поверхностного натяжения. В зоне испарения межфазная по-
верхность углубляется в капиллярно-пористую структуру фитиля
(в простейшем случае фитиль это несколько слоев металличе-
ской сетки), так что радиус кривизны этой поверхности примерно
равен характерному размеру капилляров, пронизывающих фитиль
(обычно десятки микрометров). В зоне конденсации жидкость
полностью покрывает поверхность фитиля, так что радиус кривиз-
ны межфазной поверхности здесь примерно равен радиусу трубы,
что обычно на 23 порядка больше радиуса капилляра. Таким об-
разом, движение жидкости в фитиле тепловой трубы качественно
аналогично схеме рис. 7.3, а и б.
Паро- или газожидкостные потоки могут иметь весьма разную
структуру, которая характеризуется формой границы раздела фаз и
степенью дискретности объемов одной фазы внутри другой. Струк-
тура или режим течения двухфазной смеси зависит от соотношения
объемных расходов фаз в канале, скорости смеси, а также ориента-
ции канала (горизонтальные, вертикальные или наклонные трубы).
Классификация двухфазных потоков по структуре подробнее будет
рассмотрена в § 7.3.
7.2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
7.2.1. ПАРОСОДЕРЖАНИЕ
Пусть в некотором канале движется газожидкостная смесь с об-
щим массовым расходом G, кг/с, причем G = G' + G", где G", G'
массовые расходы газовой и жидкой фазы. (Здесь и далее будем, как
обычно, использовать для величин, относящихся к жидкой фазе, ин-
декс ', к паровой ".)
Отношение G"IG = х массовое расходное газосодержание (па-
росодержание), G'lG= 1 -х массовое расходное влагосо держание.
Количественные характеристики двухфазных потоков 293
Объемные расходы фаз F" = G"/p" и V' = G'/p' в сумме да-
ют объемный расход смеси V V" + V 9 м /с. (Здесь р' и р"
плотности жидкости и пара.) Поделив эту сумму почленно на V 9
получим
где V"/V = Р объемное расходное газо- (паро-) содержание.
Очевидны соотношения:
G"
G'
X
X
1-х'
р
V"
V'
9"
1
Р

GЛ)
1-х 1-0 р'
Диапазон изменения х и Р очевидно одинаков: 0<х<1,0На границах этого интервала объемные и массовые расходные
паросодержания совпадают, но из-за условия р' » р" внутри
интервала они отличаются весьма сильно. Рисунок 7.5 дает связь
Р(х) для пароводяных потоков. Очевидно, что при р = ркр фазы
неразличимы, поток становится однофазным, формально при этом
х = Р во всем интервале. По мере снижения давления одним и тем же
значениям х соответствуют все большие значения р. Для примера
водовоздушная смесь при;? = 0,1 МПа и комнатной температуре при
х = 0,1 имеет Р = 0,988, в чем легко убедиться подставив в формулу
G.1) значения х = ОД, р7 = 1000 кг/м3, р" ~ 1,2кг/м3. Даже при
х = 0,01 в этом случае объемная доля газа в расходе смеси весьма
велика: Р ~ 0,89.
В равновесных парожидкостных потоках массовое паросодержа-
ние определяет энтальпию смеси
где h"s mh's энтальпия пара и жидкости на линии насыщения.
Поскольку А" - h's = hLG, то
Такое определение массового расходного паросодержания удобно
использовать для потоков в условиях теплообмена с окружающей
294
АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
О
0,05
0,40
0,80
0,10 0,20
Рис. 7.5. Связь объемного C и массового х расходных паросодержаний для
воды при различных давлениях р
средой, так как hCM легко определяется из энергетического баланса.
Определение G.2) применяют и в случае неравновесных потоков.
Тогда величина х = х6, определяемая этой формулой, не выражает
массовую долю пара в расходе смеси, а представляет собой относи-
тельную энтальпию потока. В этом случае (для неравновесных по-
токов) мы будем использовать нижний индекс «б» (балансовое
паросодержание). В отличие от массового расходного паросодержа-
ния х, относительная энтальпия потока хб может быть как меньше
нуля, что отвечает условиям кипения в канале не догретой до тем-
пературы насыщения жидкости (йсм < h's), так и больше единицы,
что характерно для перегретого пара с капельками жидкости.
Если каким-либо способом обнаружено, что в полном сечении
канала s часть s" приходится на газовую фазу, а часть s' на жид-
кую (рис. 7.6), то очевидно, s" + s' = s. При этом в реальном процес-
се в фиксированном сечении канала относительные доли s" и s' мо-
гут меняться, так что здесь имеются в виду их осредненные за неко-
Количественные характеристики двухфазных потоков
295
1-1
I 1
Рис. 7.6. К определению истинного объемного паросодержания
торое время наблюдения значения. Отношение s"I s = ф истинное
объемное паро- (газо-) содержание. Так же, как и расходные харак-
теристики, ф изменяется от 0 до 1. Но в отличае от расходных ха-
рактеристик, которые могут быть либо заданы заранее, либо опреде-
лены из граничных условий, истинное объемное паросодержание
является функцией самого процесса и заранее задано быть не мо-
жет. Расчет ф является одной из важнейших задач анализа двухфаз-
ных потоков. Хотя ф определено как отношение площадей, легко
показать, что оно характеризует долю мгновенного объема газа в
некотором выделенном объеме канала. Очевидно, что объем смеси,
соответствующий длине канала AL (см. рис. 7.6), равен V - sAL*.
Если длина L достаточно мала, то можно полагать, что s" = const и
s' = const внутри рассмотренного участка. Тогда объемы газа и жид-
кости будут соответственно: V" = s"AL, Vr =s'AL.
Истинное объемное паросодержание
т.е. равно отношению мгновенных объемов пара и смеси.
7.2.2. СКОРОСТИ
Определим скорости фаз и смеси. Истинная скорость фазы есть
отношение объемного расхода фазы к площади сечения, занимае-
мой этой фазой:
" = V"/s" = Г
G.3)
w' =
* Обозначения объемов отличаются от обозначений объемных расходов отсутствием
точки над V.
296 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Отношение Whv = ф называется фактором или коэффициентом
скольжения.
Используя G.3) и определения Риф, получаем
ф = „"/>/ = [C/A -C)]/[ф/A -Ф)]. G.4)
Из G.4) ясно, что при р > ф ф > 1 (т.е. газ движется быстрее), а при
Р < ф ф < 1 (быстрее движется жидкость).
Величины w" и w' это физически реальные характеристики
процесса, аналогичные среднемассовой скорости в однофазном по-
токе. В анализе двухфазных потоков используют, кроме того, неко-
торые служебные по своей сути величины, лишенные, в строгом
смысле слова, физического содержания. Это так называемые при-
веденные величины. Приведенная скорость фазы определяется как
отношение объемного расхода фазы к полному сечению канала:
w" =
w'o = V'/s
G.5)
Ясно, что приведенная скорость пара особенно сильно отличается
от соответствующей истинной при ф -* 0, а приведенная скорость
жидкости при ф > 1. Сумма приведенных скоростей фаз это
скорость смеси (т.е. отношение объемного расхода смеси к площа-
ди сечения канала):
^см =< + < = V/s. G.6)
Приведенная скорость смеси, или скорость циркуляции это
отношение массового расхода смеси к произведению плотности
жидкости на площадь сечения канала:
wo = G/(p'j). G.7)
В парогенерирующем канале скорость циркуляции это та ре-
альная скорость, с которой на вход подается однофазная жидкость.
В технической и научной литературе широко используется понятие
массовой скорости смеси, кг/(м с),
wop'=G/s,
представляющей собой плотность потока массы смеси. Для каналов
постоянного сечения с непроницаемыми стенками значения p'w0 и
Количественные характеристики двухфазных потоков 297
w0 по длине канала не изменяются независимо от наличия или от-
сутствия теплообмена с окружающей средой. Совершенно по-друго-
му ведет себя скорость смеси. Из определения wCM и wQ следует:
wCM = (G'7p"+ G'lp')ls = wo[l + x(p'-p")/p"]9 G.8)
или
wn
G.8a)
Fp)] ^
В парогенерирующем канале за счет подвода тепла расходное
паросодержание непрерывно растет по длине и, следовательно, рас-
тет скорость смеси. При полном испарении жидкости х = C = 1, то-
гда из G.8) и G.8а) следует, что
Для воды при атмосферном давлении скорость смеси при полном
ее испарении возрастает примерно в 1600 раз, для азота при том же
давлении примерно в 160 раз в сравнении со скоростью однофаз-
ной жидкости на входе в канал. Ясно, что при некоторых значениях
скорости циркуляции формальная оценка скорости смеси в парогене-
рирующем канале по формулам G.8) или G.8а) может дать значение,
превышающее скорость звука в паре. Практически это означает, что
в таком канале произойдет «запирание» потока, поскольку в прямом
канале йевозможен переход потока через скорость звука. В случае
конденсации пара в трубе скорость смеси, естественно, уменьшается
в соответствии с теми же соотношениями G.8) и G.8а).
В отсутствие скольжения фаз, т.е. при ф = 1, расходное и истинное
объемные паросодержания одинаковы. При этом согласно G.5) и G.6)
w = w =: w
см
Отсюда ясно, что скорость смеси в известной мере отражает реаль-
ный уровень скоростей фаз в канале.
Введем понятие «плотность смеси». Мгновенная плотность сме-
си может рассматриваться как «истинная» среднеобъемная величина
Рф = (V"p"+ F'p')/ К = фр"+ A (р)р' G.9)
(здесь Убоз точки, т.е. объемы, а не объемные расходы).
Расходная плотность смеси
G.9а)
298 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Очевидно, что в отсутствие скольжения фаз, когда C = ф, эти
формулы совпадают. Поскольку отсутствие скольжения главный
признак так называемой гомогенной смеси, расходную плотность
называют также гомогенной. Эта величина может сильно отличать-
ся от истинной плотности смеси при значительном скольжении фаз
и в этом отношении является такой же условной величиной, как
приведенные скорости фаз.
Из введенных выше количественных характеристик расходные
паросодержания х, C, приведенные скорости фаз Wq, w'o, скорости
смеси и циркуляции wCM , w0, расходная плотность смеси р« обычно
могут рассматриваться как известные, заданные. Они определяются
по известным значениям расходов, свойств фаз, теплового потока
на стенке, геометрии канала. «Истинные» параметры двухфазного
потока (ф, w", w\ ф, р ) являются функциями процесса и выступают
обычно как цель анализа. Несложно убедиться, что знание любой
одной из пяти величин достаточно для расчета остальных четырех.
Например, используя G.1) и G.4), можно получить часто используе-
мую связь истинного объемного паросодержания с массовым рас-
ходным и фактором скольжения
Ф= ^ ^ . G.10)
хр' + фр"A -х) xv" + ф1/A -х)
Наконец, необходимо иметь в виду, что введенные величины осно-
ваны на одномерном приближении, когда рассматривается измене-
ние параметров только вдоль потока.
7.3. СТРУКТУРА (РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ) ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
В зависимости от соотношения объемных долей фаз, скорости
смеси, ориентации и геометрии канала, направления течения (опу-
скное, подъемное, горизонтальное), а также свойств жидкости и па-
ра (в первую очередь поверхностного натяжения, плотности, вязко-
сти) в канале устанавливаются различные структуры двухфазного
потока. Знание структуры (режима течения) для двухфазных сис-
тем сопоставимо но важности с установлением границы ламинар-
ного и турбулентного режимов течения однофазной жидкости. Но,
к сожалению, классификация режимов течения двухфазной смеси
не опирается ни на столь же убедительные эксперименты, как зна-
менитый опыт Рейнольдса, ни на внушительные теоретические ре-
Структура (режимы течения) двухфазных потоков
299
зультаты теории гидродинамической устойчивости, на которых зи-
ждется определение условий перехода к турбулентному течению
однофазной жидкости. Классификация структуры двухфазных те-
чений основана главным образом на визуальных (или оптических)
наблюдениях и во многом отражает субъективные представления
исследователя. Даже в терминологии, используемой различными
авторами, существуют различия.
В настоящей книге выделяется относительно небольшое число
структур двухфазных потоков, отличающихся друг от друга сущест-
венными признаками. Такая классификация сложилась в отечест-
венной литературе [16, 17, 30, 32, 39] и в главном совпадает с тем,
что предлагают зарубежные специалисты [10, 37, 42, 74].
7.3.1. СТРУКТУРЫ ДВУХФАЗНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ВЕРТИКАЛЬНЫХ КАНАЛАХ
Фотографии основных режимов восходящего двухфазного потока
в вертикальном канале [10] приведены на рис. 7.7. Два первых слева
фотокадра относятся к пузырьковому режиму течения случаи от-
дельных (изолированных) а и плотно упакованных пузырьков б. Мо-
дель поведения отдельных пузырьков, размещенных в узлах кубиче-
ской решетки, приводит к выводу о том, что пузырьковый режим
существует до истинных объемных паросодержаний ф < 0,3. При
а) б) в) г) д)
Рис. 7.7. Режимы двухфазного (воздушно-водяного) подъемного течения
в вертикальной трубе диаметром 32 мм [10]:
а, б пузырьковый режим; вд снарядный, эмульсионный и дисперсно-
кольцевой режимы
300 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
большей концентрации пузырьков они сливаются. Помимо ограни-
чения по ф, основным признаком пузырькового режима следует
считать неравенство Du« d, где Впи d характерный диаметр пу-
зыря и диаметр канала. Анализ гл. 2, 5 и 6, а также опытные наблю-
дения говорят о том, что наиболее вероятный размер пузырька
в рассматриваемом режиме это капиллярная постоянная. Ясно,
что в трубках малого диаметра (капиллярах) пузырьковый режим
течения не реализуется. При Dn< Ъ форма пузырьков близка к сфе-
рической. При подъемном течении в земных условиях пузырьки,
двигаясь вместе с несущей жидкостью, всплывают относительно
нее за счет архимедовых сил, так что ф > 1, {$ > ф.
При истинных объемных паросодержаниях ф = 0,30,7 и отно-
сительно низких скоростях смеси наблюдается снарядный режим те-
чения (рис. 7.7, в) характеризующийся тем, что поперечный размер
парового объема соизмерим с диаметром канала (Du = 0,70,9 d).
Во многих экспериментах наблюдали через прозрачную стенку тру-
бы весьма красивую картину следования паровых «снарядов» одного
за другим (рис. 7.8, а). Головная часть снарядов имеет правильную,
почти сферическую форму, что послужило основанием для названия
режима и позволяет строить теорию их всплытия в трубе [3].
В кормовой части снарядов всегда имеются мелкие пузырьки,
хотя их доля в объемном расходе пара (газа) весьма мала. Паровые
снаряды, как и пузырьки, имеют конечную скорость скольжения от-
носительно жидкости; при подъемном движении ф > 1.
При высоких скоростях смеси наблюдается как слияние, так и
дробление пузырьков, в результате возникает достаточно однород-
ная (гомогенная) структура с хорошо перемешанными фазами. На
фотографиях весьма сложно бывает различить очертания объемов,
занятых жидкой фазой (рис. 7.7, г). Такой режим называют эмульси-
онным (в зарубежной литературе чаще используется термин «вспе-
ненный»). Из-за высокой скорости смеси взаимное скольжение фаз
относительно невелико, величина ф близка к единице. Область ис-
тинных объемных паросодержаний, соответствующих эмульсионно-
му режиму, при различных сочетаниях скоростей смеси и давления
может быть весьма широкой (ф = 0,30,8). Согласно [16] эмульси-
онный режим течения является основным для парожидкостных по-
токов при высоких давлениях, характерных для котельных устано-
вок ТЭС и парогенераторов АЭС.
При высоких объемных паросодержаниях (обычно ф > 0,8) ус-
танавливается дисперсно-кольцевой режим течения смеси
Структура (режимы течения) двухфазных потоков
301
V
4 Y
J I
J
O_QT,.^o

-{
j
1

-_0~0 °
/ /
/ ^.
/ Л
у У.
у /
/ /
у /
V /
/ / -
у /
/ /
у /~
у Л
у /
/ ^
/ /
у / -
у /
/ /
? ?
' А-
i ©
I ©
: ©
о
"' ©
1. /
/
- s,
_ ^
_ /
~ ^
- /
а)
Рис. 7.8. Схематическое
представление снарядно-
го (а) и диснерсно-кольце-
(рис. 7.7, д), в котором жидкость движется
в основном в тонкой пленке на внутренней
поверхности трубы (образуя жидкое коль-
цо), а пар в центральной части канала.
С поверхности жидкой пленки срываются
капли, уносимые потоком пара. Фотогра-
фии (см. рис. 7.7) демонстрируют, на-
сколько непросто идентифицировать по
ним режим течения двухфазной смеси, что
и объясняет известный субъективизм в от-
несении конкретного режима к тому или
иному классу. На рис. 7.8, б показана схе-
ма дисперсно-кольцевого режима, на кото-
рой его отличительные признаки яснее,
чем на фотографии рис. 7.7, д.
Дисперсно-кольцевой режим в восходя- вого {б) режимов течения
щем потоке возможен только в том случае,
когда жидкая пленка увлекается вверх за счет трения со стороны па-
ра. Это означает, во-первых, что скорости смеси, при которых реа-
лизуется дисперсно-кольцевой режим течения, достаточно высоки,
а во-вторых, что в этом режиме скольжение весьма велико (ф » 1).
Опускные течения газожидкостных смесей в вертикальных ка-
налах имеют некоторую специфику. Пузырьковый режим отличает-
ся здесь тем, что пузырьки концентрируются у оси канала. Снаряд-
ный режим при опускном течении может быть даже более ярко вы-
ражен (как на схеме рис. 7.8, а), чем при подъемном течении. Ясно,
что при высоких скоростях смеси, характерных для эмульсионного
и дисперсно-кольцевого режимов течения, отличия в структуре
подъемных и опускных течений практически незаметны. Однако
при опускном течении дисперсно-кольцевая структура реализуется
и при низких скоростях смеси: в этом случае фактически наблюда-
ется гравитационная пленка со спутным потоком пара (см. гл. 4).
7.3.2. РЕЖИМЫ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ В ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ
И НАКЛОННЫХ КАНАЛАХ
Главное отличие горизонтальных и слабо наклоненных к гори-
зонту каналов от вертикальных в несимметрии гравитационных
сил относительно оси канала. Это вызывает смещение паровой фа-
зы к верхней образующей, а жидкой к нижней (рис. 7.9) в пу-
зырьковом, снарядном, эмульсионном и дисперсно-кольцевом ре-
302
АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
-p=gg
© о
о ©
% в
© ъ Ф О О Ъ
е)
Рис. 7.9. Режимы течения двухфазной смеси в горизонтальных каналах:
а расслоенный; б волновой; в пузырьковый; г снарядный; д эмуль-
сионный; е дисперсно-кольцевой
жимах, а также к появлению двух специфичных для горизонталь-
ных труб структур: расслоенного и расслоенного волнового. Рас-
слоенный режим с плоской поверхностью является, видимо, теоре-
тическим пределом, возможным при очень малых скоростях в сла-
бо наклоненных в сторону течения каналах. Волновой (или рассло-
енный волновой) наблюдается весьма часто, особенно в каналах
большого сечения, что актуально для систем трубопроводного
транспорта нефти и нефтепродуктов, солнечных энергетических
установок, конденсатопроводов в заводских тепловых сетях и т.п.
Пузырьковый и снарядный режимы в горизонтальных каналах на-
блюдаются при меньших объемных паросодержаниях, чем в верти-
кальных. Эмульсионный режим в горизонтальных каналах сохраня-
Структура (режимы течения) двухфазных потоков
303
ет известные черты волнового движения, когда амплитуда волн со-
измерима с диаметром канала. При этом жидкие перемычки (греб-
ни волн) насыщены паровыми (газовыми) пузырьками, а паровые
снаряды (впадины волн) содержат множество жидких капель, т.е.
в целом структура потока достаточно однородная. Дисперсно-коль-
цевой режим течения в горизонтальных каналах даже при очень
высоких скоростях газа отличается существенным различием тол-
щин жидкой пленки на верхней и нижней образующих. Например,
в опытах [75] в горизонтальной трубе диаметром 95,3 мм при ско-
рости воздуха 68 м/с толщина водяной пленки в верхней точке се-
чения трубы была 0,1 мм, а в нижней в четыре раза толще
@,4 мм). В тех же опытах (давление в них лишь немного превыша-
ло атмосферное) при скорости воздуха 26 м/с течение оставалось
расслоенным (верхняя образующая трубы оставалась сухой).
7.3.3. ГРАНИЦЫ РЕЖИМОВ ТЕЧЕНИЯ
Из качественного описания характерных структур двухфазных
потоков ясно, насколько важно правильно идентифицировать эти
структуры при расчете гидравлического сопротивления и теплооб-
мена. Представляется очевидным, например, что при расчетах пу-
зырькового и дисперсно-кольцевого режимов невозможно исходить
из одинаковой модели. В настоящее время разработано множество
методов определения границ режимов двухфазных течений (что са-
мо по себе свидетельствует об отсутствии общепринятой методики
расчета). Обычно используется двумерная система координат, по-
зволяющая на плоскости изобразить области, относящиеся к различ-
ным структурам. Координаты у разных авторов различны. Во мно-
гих случаях они размерны, что предопределяет их использование
лишь для конкретных сис-
тем (чаще всего водавоз- ft itl
дух или водапар). В каче- р w°
стве типичного примера на
рис. 7.10 приведена попу- iq2
лярная и достаточно удач-
ная карта режимов для воз-
душно-водяных и пароводя- ю
Рис. 7.10. Карта режимов
Хьюитта и Робертса [74] для
восходящего двухфазного
потока
Кольцевой
Клочковато-
кольцевой
(пакетно-
кольцевой)
Пузырьково-снарядныи4
Снарядный
10
102 103 104 p'>vA2
304 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ных потоков в вертикальных каналах [10, 74]. Однако сравнение ее
с другими опытными данными показывает не только количествен-
ные различия, но и несколько иные тенденции в поведении некото-
рых кривых, разделяющих области с различными структурами.
Вместе с теАм и в случае использования безразмерных координат
едва ли можно надеяться, что с помощью всего двух параметров
удастся описать условия всех переходов от одной структуры к дру-
гой. Анализ с помощью теории размерностей приводит к выводу
о том, что для такого описания требуется в общем случае не менее
шести чисел подобия [69]. Следует также иметь в виду, что грани-
цы режимов течения зависят не только от режимных параметров
и свойств фаз, но и от условий на входе в канал. При этом установ-
ление определенной структуры двухфазного течения происходит
на больших длинах, нередко превышающих 100 диаметров канала.
Этот факт не должен вызывать удивления, если вспомнить, как
долго устанавливается определенная волновая структура в гравита-
ционных пленках (см. гл. 4).
Таким образом, карты режимов двухфазных потоков следует
рассматривать как достаточно грубый инструмент для приближен-
ной оценки. Более перспективными представляются расчетные ре-
комендации по определению границ режимов течения, построенные
на приближенных физических моделях [6971]. Авторы этих работ
отдельно моделируют каждый переход, например, от пузырькового
режима к снарядному или эмульсионному, от снарядного к дисперс-
но-кольцевому или к эмульсионному и т.д. Естественно поэтому,
что границы между различными областями описываются не двумя
универсальными параметрами, как на традиционных картах режи-
мов, а большим их числом.
Для вертикальных восходящих потоков принципиально важен
переход от тех режимов, где поток в грубом приближении еще
можно считать гомогенным (пузырьковый, снарядный, эмульсион-
ный режимы) к дисперсно-кольцевому режиму течения смеси. Для
практически наиболее вероятного сочетания расходов фаз такой
переход согласно [70] происходит, когда скорость газовой фазы
превосходит скорость витания капли, определяемую формулой
E.41). Для образования фактически раздельного течения газа (па-
ра) и жидкости, характерного для дисперсно-кольцевого режима
важно, чтобы именно крупные капли (с диаметром, близким к ка-
пиллярной постоянной Ъ - Jo/gAp и более) не загромождали
Структура (режимы течения) двухфазных потоков 305
центральную часть сечения канала. Практически капли такого раз-
мера при большой скорости газа срываются с поверхности жидкой
пленки и затем осаждаются на нее. В стационарном дисперсно-
кольцевом потоке процессы осаждения и уноса капель находятся в
динамическом равновесии. Мелкие капли легко уносятся потоком
газа при оговоренном выше условии. Поскольку для дисперсно-
кольцевого режима характерны высокие значения истинного объ-
емного паросодержания (ф > 0,8), истинная и приведенная скоро-
сти газа здесь различаются незначительно. Критерий перехода к
дисперсно-кольцевому режиму записывается в следующем виде:
GЛ1)
Безразмерный комплекс G.11) называют (причем чаще в работах за-
рубежных авторов [10, 6971], чем отечественных) числом Кутате-
ладзе Ки*. Сравнение с формулой E.41) показывает, что для уста-
новления кольцевой структуры скорость газа должна превосходить
предельную скорость падения крупных капель почти вдвое (констан-
та 3,1 в G.11) определена на основе опытных исследований). Качест-
венно это может быть объяснено тем, что капли должны уноситься
газом вблизи поверхности пленки, где локальная скорость меньше,
чем средняя. Для системы водавоздух при атмосферном давлении
и температуре 20 °С формула G.11) дает граничное значение приве-
денной скорости газа Wq ~ 14,6 м/с, хорошо согласующееся с опыт-
ными данными. На диаграмме режимов Хьюитта и Робертса (см.
рис. 7.10) такой скорости газа соответствует граница кольцевого ре-
жима при малых приведенных скоростях жидкости (p'wq2 ~ 5).
Следует иметь в виду, что при высоких приведенных давлениях
предельная скорость падения жидких капель становится малой (из-
за большой плотности пара и малого значения поверхностного натя-
жения). Например, для воды при 10 МПа MogAp/(p") ~ 0,39 м/с,
так что условие G.11) выполняется уже при w$ -1,2 м/с. Такая
скорость достигается при весьма низких объемных паросодержа-
ниях, при которых образование кольцевой структуры принципи-
* Самсон Семенович Кутателадзс A9141986) выдающийся советский ученый-тепло-
физик, академик АН СССР, известный своими работами, прежде всего, в области теплообме-
на при кипении и конденсации, а также при турбулентном течении в пограничном слое.
306 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ально невозможно. Поэтому критерий перехода к дисперсно-коль-
цевому режиму G.11) должен быть дополнен установлением неко-
торой нижней границы истинного объемного паросдержания, га-
рантирующей превращение пара (газа) в несущую (диспергирую-
щую) фазу. Упомянутая выше верхняя граница существования ин-
дивидуальных пузырьков в жидкости (ф < 0,3), очевидно, может
быть отнесена и к каплям, т.е. изолированные капли существуют
при A - ф) < 0,3. В кольцевом потоке, однако, большая часть рас-
хода жидкости приходится на жидкую пленку. Из опытных наблю-
дений можно заключить, что в дисперсно-кольцевых потоках от-
носительная толщина жидкой пленки 8 Id < 0,1. Два эти качествен-
ных аргумента позволяют указать как нижнюю границу кольцевой
структуры истинное объемное паросодержание фмин = 0,640,7;
эта граница дополняет условие G.11).
Для течения в горизонтальных и слабонаклонных трубах прибли-
женная методика расчета условий взаимных переходов между раз-
личными структурами, предложенная в [71], рассматривает в качест-
ве базового расслоенный режим течения. Для этой структуры одно-
мерные уравнения сохранения импульса записываются отдельно для
потоков жидкости и газа. При известном (или постулируемом) зако-
не трения на межфазной границе такой подход позволяет рассчитать
доли сечения, приходящиеся на каждую из фаз в рассмотренном ре-
жиме течения, и градиент давления в трубе. (В § 7.7 подобный под-
ход будет рассмотрен нами достаточно детально.) Если бы жидкость
и газ двигались в трубе со своим массовым расходом в отсутствие
другой фазы, то соответствующие градиенты давления за счет тре-
ния выражались бы известным законом ДарсиВейсбаха [26]:
\dz) 2 i.
G.12)
Az
Коэффициенты гидравлического сопротивления ^' и %" рассчитыва-
ются по хорошо известным из механики однофазной жидкости со-
отношениям как функция числа Рейнольдса [26, 39]. Отношение
градиентов давления, определяемых формулами G.12), в двухфаз-
ном потоке с раздельным течением фаз показывает, в какой степени
Структура (режимы течения) двухфазных потоков
307
Fr
1
ю-1
Ю-2
Кольцевой
-^^ 2
Волновой
и расслоенный
i I i 1 1 1
Пузырьковый
ч Переме- _
\ жающийся
V ~
, 1 \ 1 I I I
т
1
ю-1
ю-2
1013 10
1
102
Рис. 7.11. Карта режимов Тейтела и Даклера [71] для горизонтальных
каналов
поведение двухфазной смеси ближе к жидкости, чем к газу [42]. Это
отношение называют параметром Мартинелли*
G.13)
х= Udp/dzY
V (dp/dz)" '
В зарубежной литературе этот параметр используется очень широ-
ко, в том числе и в тех случаях, когда потоки жидкости и газа нельзя
рассматривать как раздельные. В [71] параметр Мартинелли X ис-
пользован в качестве одного из безразмерных комплексов, исполь-
зуемых при расчете границ режимов течения двухфазных смесей.
Результаты этих расчетов представлены в виде карты режимов,
которая показана на рис. 7.11 с небольшим изменением: не показана
граница расслоенного и расслоенного волнового режимов как не
имеющая серьезного значения для инженерной практики.
Авторы [71] объединили снарядный и эмульсионный режимы
в перемежающийся режим течения, что достаточно обосновано с
точки зрения приложений. В горизонтальных каналах особенно в
условиях теплообмена чрезвычайно важно определить границу рас-
слоенного режима течения, так как в этом режиме верхняя часть по-
верхности трубы не имеет контакта с жидкостью. В [71] принято,
что волновой режим переходит в дисперсно-кольцевой или переме-
жающийся, когда амплитуда волн становится соизмеримой с диа-
метром канала и жидкость смачивает верхнюю образующую цилин-
* Р.С. Мартинелли ввел этот параметр для обработки опытных данных о градиентах дав-
ления и истинном паросодержании в двухфазных потоках. Эти исследования отражены в пуб-
ликациях 19441948 гг. [42].
308 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
дрической поверхности. Предполагается, что рост амплитуды обу-
словлен снижением давления в газовой фазе над гребнями волн, ко-
торое в свою очередь обусловлено увеличением скорости газа в уз-
ком сечении между поверхностью трубы и гребнем волны. Хотя та-
кое явление «аэродинамического подсоса» напоминает механизм
развития неустойчивости Гельмгольца (см. рис. 3.10), прямая ссыл-
ка на этот механизм (как это делается в [71]), конечно, некорректна.
Неустойчивость Гельмгольца относится к возникновению волн при
относительном движении идеальных жидкостей, неограниченно
простирающихся в направлении нормали к границе раздела, а вовсе
не к течению в канале. Однако снижение давления газа в местах су-
жения проходного сечения действительно происходит и может быть
причиной нарастания амплитуды волн. Таким образом, возмущаю-
щей поверхность раздела является сила инерции со стороны потока
газа, которая может быть записана через приведенную скорость:
P"v/q2. Если вслед за авторами [71] не учитывать действие сил по-
верхностного натяжения, то силой, восстанавливающей состояние
поверхности раздела, является сила гравитации. Это означает, что
критерием, определяющим границу существования расслоенного
волнового режима течения, является число Фруда (Fr") газовой фа-
зы. В [71] используется фактически корень из числа Fr7':
. / р" \1/2 IV о
F = VlV'=M^ . G.14)
Как уже говорилось, волновой режим может перейти либо
в кольцевой, либо в перемежающийся режимы течения. Можно
ожидать, что реализация того или иного перехода зависит от истин-
ного объемного паросодержания в предшествующем (волновом) ре-
жиме. В [71] принято, что при ф > 0,5 устанавливается перемежаю-
щийся, а при ф < 0,5 дисперсно-кольцевой режим. Значению ф =
= 0,5 отвечает при раздельном течении фаз значение параметра Мар-
тинелли Х- 1,6. Таким образом, на рис. 7.11 кривая 1 это расчет-
ная зависимость F(X), определяющая границу волнового режима, а
кривая 2, отвечающая условию X = 1,6, показывает, в какой из двух
возможных режимов превращается волновой режим течения.
В горизонтальном канале пузырьковый режим отличается от пе-
ремежающегося лишь характерным размером паровых пузырьков.
В [71] принято, что паровые снаряды дробятся за счет турбулент-
ных пульсаций в жидкой фазе, интенсивность которых пропорцио-
Расчет истинного объемного паросодержания 309
нальна силам инерции в жидкости: p'wq2. Гравитационные силы,
напротив, стремятся разделить фазы и способствуют скоплению
крупных паровых объемов в верхней части канала. Таким образом
обосновывается, что положение границы между пузырьковыми и
перемежающимися режимами (кривая 3 на рис. 7.11) определяется
числом Фруда жидкой фазы
Fr' = ° .
В [71] используется безразмерный комплекс Г, который фактически
можно представить как
Таким образом, карта режимов Тейтела и Даклера в отличие от
традиционных отражает взаимозависимость не двух, а трех безраз-
мерных комплексов (с учетом границы между расслоенным и вол-
новым режимами четырех). При этом границы режимов рассчи-
таны на основе простых физических моделей с привлечением неко-
торой опытной информации, а не являются прямым обобщением
опытных данных. Согласие расчетных карт режимов с результатами
экспериментов можно считать вполне удовлетворительным, если
принять во внимание сказанное ранее о практической невозможно-
сти учесть влияние на режим течения специфики входных условий.
7.4. РАСЧЕТ ИСТИННОГО ОБЪЕМНОГО ПАРОСОДЕРЖАНИЯ В ПОТОКАХ
КВАЗИГОМОГЕННОЙ СТРУКТУРЫ
С точки зрения технических приложений целью расчета двух-
фазных течений являются гидравлическое сопротивление (канала
или контура) и истинное объемное паросодержание ф. При этом
структура потока и истинное объемное паросодержание взаимосвя-
заны, а надежный расчет градиента давления в двухфазном потоке
в общем случае невозможен без информации о структуре и истин-
ном объемном паросодержании. Отсюда следует и чрезвычайная
важность, и огромная сложность расчетного определения (р. Отра-
жением этого является и весьма развитая техника опытного измере-
ния этого параметра (см., например, [10]).
310 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Есть принципиальное различие двухфазных потоков с фактиче-
ски раздельным течением фаз (хотя и интенсивно взаимодействую-
щих) и потоков, в которых фазы перемешаны и можно говорить
о некоторой квазигомогенной структуре.
К первому типу относится волновое расслоенное течение в го-
ризонтальных трубах и дисперсно-кольцевые течения при любой
ориентации канала. Ко второму типу можно отнести пузырьковый,
снарядный и эмульсионный режимы течения. В § 7.4 и 7.5 рассмот-
рены структуры второго типа.
7.4.1. ВЛИЯНИЕ ПРОФИЛЕЙ СКОРОСТИ И ПАРОСОДЕРЖАНИЯ НА ЭФФЕКТИВНОЕ
СКОЛЬЖЕНИЕ ФАЗ
В § 7.2 говорилось о том, что в отсутствие скольжения фаз w" =
= w\ Ф = 1, Р = ф, т.е. проблема расчета истинного объемного паро-
содержания отсутствует. Локальное скольжение фаз возникает в по-
лях массовых сил. В прямых каналах это гравитационные силы.
В горизонтальных потоках проекция массовых сил на направление
движения равна нулю, так что локальное скольжение фаз отсутству-
ет. Однако это не означает, что осредненные по сечению канала ис-
тинные скорости фаз в этом случае совпадают.
Действительно, пусть в канале с поперечным сечением s локаль-
ные скорости фаз равны w"n0K = w'n0K = w. Если локальное значение
истинного объемного паросодержания равно флок, то объемный рас-
ход газа (пара)
v" - " - Г н
J J1UK
5
где W истинная скорость пара, осредненная по сечению s"; ф = s"ls.
Объемный расход смеси
s
Объемное расходное паросодержание
и>ф к ds
Р- = '. ,
у \ w ds s
s
где угловые скобки < > означают осреднение по сечению.
Расчет истинного объемного паросодержания
311
Рис. 7.12. Предполагаемые
профили скорости w и истин-
ного объемного паросодержа-
ния ф в плоском канале
////у/////////////////////////,
w(y)
//У////////////////////////////////////
Очевидно,
<^Ф лок >=С0
причем в общем случае Со Ф 1.
Таким образом,
Р = СоФ, G.16)
где Со параметр распределения, введенный впервые в [48].
В рассматриваемых потоках квазигомогенной структуры на
стенке канала располагается однофазная жидкость, т.е. локальное
паросодержание равно нулю. Поскольку локальная скорость на
стенке также равна нулю, то при любом монотонном законе измене-
ния скорости w и паросодержания ф от стенки до центра канала по-
лучается, что области с повышенным локальным паросодержанием
имеют более высокую скорость движения. В этом случае параметр
распределения Со> 1, т.е. Р >ф. Рассмотрим в качестве простейшей
иллюстрации течение двухфазной смеси в плоском канале высотой
2А (рис. 7.12). В отсутствие локального скольжения w"(y) = w\y) =
= w(y). Предположим, что профили локальных истинного объемно-
го паросодержания Флок(у) и скорости w(y) аппроксимируются сте-
пенными законами:
Фл
h-y
h
w
h-y\n
h
Фо ч п ' ^о
Их средние значения определяются как:
1 Г Фо
h
о
т + 1
1
= - w d у =
312АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Среднее значение произведения
т(л у\п
г\[1) Г/ У
h Q\ hJ \ hJ m + n
Параметр распределения
1)( 1) тп
1 Л
т + п+\ т + п+ 1
При т > 0, п > О Со > 1. Если, например, т = 1/2, п = 1/7 (по-
следнее равенство отвечает турбулентному профилю скорости при
течении однофазной жидкости в круглой трубе), то Со = 24/23 ~ 1,04.
Фактически соотношение G.16) в форме:
Ф = ?Р GЛ6а)
было получено еще в 1946 г. А.А. Армандом, который обобщил с
его помощью опытные данные, полученные им в ВТИ (Всесоюзный,
ныне Всероссийский теплотехнический институт). Параметр Ар-
манда для восходящих потоков в вертикальных каналах в широком
диапазоне скоростей смеси, давлений и объемного расходного паро-
содержания Р может быть найден по номограммам, приведенным,
например, в [39]. Для горизонтальных труб, где действительно от-
сутствует локальное скольжение, можно приближенно принимать
Со== 1,2, т.е. к~ 0,83.
7.4.2. ИСТИННОЕ ОБЪЕМНОЕ ПАРОСОДЕРЖАНИЕ В ПОТОКАХ С ЛОКАЛЬНЫМ
СКОЛЬЖЕНИЕМ ФАЗ
Анализ гл. 5 позволяет утверждать, что значительное скольже-
ние фаз должно наблюдаться у достаточно крупных пузырьков, по-
скольку абсолютные значения скорости гравитационного всплытия
мелких сферических пузырьков малы в сравнении с характерными
скоростями течения жидкости в технических устройствах. Исходя
из этой посылки, в [18] рассмотрена кинематическая схема скольже-
ния фаз, упрощенный вариант которой представлен на рис. 7.13.
В двухфазном потоке выбирается контрольная ячейка, содержащая
один крупный паровой пузырек или паровой снаряд (рис. 7.13, а);
мелкие пузырьки, на долю которых приходится малая доля объем-
ного паросодержания, не учитываются. В такой контрольной ячейке
с площадью поперечного сечения s скорости жидкости и парового
Расчет истинного объемного паросодержания
313
ад

ь
B)
Рис. 7.13. Расчетная схема относительного движения фаз в контрольной
ячейке:
а типичные контрольные ячейки (к.я); б расчетная схема
пузырька различны, локальное скольжение обусловлено гравитаци-
онными силами. В системе отсчета наблюдателя («лабораторной»)
скорость пузырька w, скорость жидкости на границе ячейки ws
(левая картинка на рис. 7.13,6). Очевидно, такое движение может
быть представлено в виде суммы движения всей контрольной ячей-
ки (без скольжения) со скоростью парового пузыря w и обтекания
неподвижного парового пузырька жидкостью, набегающей на гра-
ницу ячейки со скоростью Aw, численно равной ws, но направленной
сверху вниз (две правых картинки на рис. 7.13, б). Объемные расхо-
ды фаз в ячейке при таком представлении могут быть выражены
следующим образом:
V" =
V = ws(l -(p)-sAw.
При этом очевидно, что истинная скорость пара в ячейке
V"
w" = =w.
Объемный расход смеси в ячейке
^см= V" +V' = s(w-Aw),
а скорость смеси в ячейке
= w-Aw.
G.17)
314 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Поскольку из определения скоростей w" и wCM :
то G.17) можно представить как:
? = 1 + . G.17а)
Ф ^см
По физическому смыслу величина Aw связана со скоростью всплы-
тия газовых пузырьков в спокойной жидкости. Действительно, если
в канале с неподвижной жидкостью всплывает одиночный пузырек,
то VCM ~ 0, a w" = Aw = Woo В двухфазном потоке при наличии мно-
жества пузырей проявляется «коллективный эффект» взаимного ув-
лечения пузырей. (Этот эффект количественно изучался на последо-
вательно всплывающих одиночных пузырьках в [57] см. гл. 5.)
Таким образом, можно принять, что
Aw = euoo, G.18)
где 8 поправочный множитель, учитывающий взаимодействие
паровых пузырей в потоке.
Соотношения G.17) и G.17а) получены для контрольной ячейки.
При переносе этих соотношений на канал в целом необходимо
учесть, что характерные значения скоростей и объемного паросо-
держания в контрольных ячейках, расположенных в центре канала и
у стенки, различны.
Более строгий и сложный анализ работы [18, с. 204, 235] приво-
дит к необходимости учета в этих соотношениях параметра распре-
деления С. Качественно здесь можно рассуждать просто: если нет
локального скольжения Aw = 0, тогда справедливо уравнение G.16),
а в общем случае G.17а) должно быть записано в форме:
G.19)
Ф ™см
Выражение такой структуры без обращения к конкретной кине-
матической схеме было впервые получено в [79], Авторы этой рабо-
ты (Зубер и Финдлей) использовали обычные определения истин-
ных и приведенных скоростей для локальных величин:
™ =Флокм;лок'
Расчет истинного объемного паросодержания 315
wcmjiok
Разность локальных скоростей пара и смеси была названа скоро-
стью дрейфа. Смысл термина можно понимать так, что в системе от-
счета, движущейся со скоростью смеси, паровая фаза «дрейфует»,
опережая (или, в общем случае, отставая) смесь в целом. Очевидно,
что скорость Aw в контрольной ячейке на рис. 7.13 и в G.17) и ло-
кальная скорость дрейфа wrc, близкие по смыслу величины (индекс
«гс» означает газсмесь). Их отличие состоит в том, что в [79] ана-
лиз локального поля скоростей приводится в общей форме, без об-
ращения к физической природе скольжения фаз, а в [18] рассматри-
вается контрольная ячейка конечных размеров с явным обращением
к механизму относительного движения жидкости и пара.
Итак, локальная скорость дрейфа
w = W w
ГС ЛОК СМ.ЛОК
Умножая это уравнение на Флок? имеем
Wtc Ф лок = WQ лок - ^см.лок Ф лок
Осредняя последнее соотношение по сечению (значок осредне-
ния < >), находим:
=
^гс^лок ккОлок ^см.лок ^ лок *
Очевидно, что ^лок> = Wq приведенная скорость пара;
<Флок> = Ф; <^см.лок Флок> = С^ш Ф>
где параметр распределения ЗубераФиндлея С совпадает с вве-
денным в п. 7.4.1 для течения без скольжения. Наконец,
<>угс(рлок> = = wrccp? где wrc скорость дрейфа (осредненная по
сечению) ЗубераФиндлея. Очевидно, что другой параметр распре-
деления, который должен был появиться в последнем равенстве, от-
несен к величине wrc. Итоговое соотношение очень популярной на
Западе «модели потока дрейфа ЗубераФиндлея» имеет вид
G-20)
316 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Поскольку Wq/wcm = Р? то очевидно, что G.20) и G.19) совпада-
ют, если в G.19) положить Aw = wrc.
Ясно, что при обоих подходах сами по себе итоговые соотноше-
ния G.19) и G.20) не содержат какой-либо эмпирической информа-
ции, но величины С и wrc с неизбежностью требуют ее введения.
В [10] приводятся рекомендации по значениям этих величин для
различных режимов течения, включая кольцевой. Это делает подход
[79] уж слишком формальным: для кольцевого режима течения
трудно говорить о локальной скорости жидкости в ядре потока или
локальной скорости пара в жидкой пленке.
С этой точки зрения подход, использованный в [18], представ-
ляется физически более обоснованным. Скорость всплытия круп-
ных пузырьков в условиях отсутствия влияния стенок канала (ко-
торое определяется неравенством Во = > 100) рассчитыва-
о
ется по формуле E.28):
(Заметим, что в [79] эта же формула рекомендована для wrc при пу-
зырьковом режиме течения безотносительно к диаметру канала.)
При Во < 100 в [18] предлагается рассчитывать и^ по формуле
для движения паровых снарядов:
G.21)
Легко видеть, что эта формула по структуре аналогична E.29)
для скорости всплытия крупных паровых пузырьков в спокойной
жидкости. Размер парового снаряда соизмерим с размером канала,
что объясняет использование этого линейного размера в G.21), а
физические закономерности и методы анализа задач о всплытии па-
ровых снарядов в каналах и паровых пузырьков в форме сфериче-
ского сегмента в безграничной жидкости во многом совпадают.
Параметр е в G.18), учитывающий эффект взаимного увлечения
пузырьков, зависит от соотношения плотностей фаз и согласно [18]
может быть рассчитан по эмпирической формуле
е=1,4(р7р''I/5A-р'7р'M. G.22)
Расчет истинного объемного паросодержания 317
При напорном течении в каналах малого диаметра (Во < 100)
параметр распределения С = 1,1 согласно [18]. Тогда из G.17) и
G.18) следует
Ф= ? . G.23)
8 Woo
1,1 ±
Знак плюс относится к подъемному течению, которое негласно пред-
полагалось во всех предшествующих рассуждениях, а знак минус
к опускному, когда паровой пузырь (снаряд) «отстает» от жидкости.
Формула G.23) вместе с G.22) проверена на большом массиве
опытных данных для пароводяных и воздуховодяных потоков при
давлениях < 10 МПа. Она пригодна и для кольцевых каналов, ес-
ли в G.21) в качестве DK используется ширина кольцевой щели
(D - ?>вн)/2, а не гидравлический диаметр, равный в этом слу-
чае удвоенной ширине щели.
Из G.23) (а также и из исходного уравнения G.19)) ясно, что
роль локального скольжения фаз уменьшается с ростом скорости
смеси. В каждом конкретном случае, начиная с некоторого значения
wCM, отличие ф и C определяется фактически лишь формами профи-
лей скорости и паросодержания, т.е. фактором распределения. Эта
закономерность хорошо подтверждена опытными данными.
В условиях барботажа (см. рис. 7.1), во-первых, отсутствует
влияние стенок канала, т.е. для расчета и^ используется формула
E.28); а, во-вторых, расход жидкости равен нулю. Таким образом, в
этом случае FCM = V", C = 1, wCM = w'q. Согласно [18] для барбота-
жа, когда скорость и паросодержание в преобладающей части сече-
ния аппарата (за исключением несущественной в данном случае уз-
кой пристенной области) остаются практически неизменными, пара-
метр распределения С ~ 1, тогда
Ф = , G.24)
1 +
где е по-прежнему рассчитывается по G.22).
Формула G.24) обнаруживает хорошее согласие с опытными
данными.
318 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
С ростом расхода газа (приведенной скорости) здесь, как и в на-
порном течении, роль скольжения уменьшается. Формально при
достаточно больших w'q ф > 1,0. Фактически технологически эф-
фективный процесс барботажа, обеспечивающий максимальную
площадь межфазной поверхности и интенсивный энерго- и массооб-
мен на ней, сохраняется при ф < 0,7. При больших объемных паро-
содержаниях газ движется не в виде дискретных пузырей, а струя-
ми, эффективность процесса снижается.
7.5. ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
КВАЗИГОМОГЕННОЙ СТРУКТУРЫ
7.5.1. ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
В инженерных расчетах перепада давлений при течении жидко-
стей в каналах используется обычно так называемое гидравлическое
приближение, когда рассматриваются осредненные по сечению пара-
метры потока, а уравнения сохранения упрощаются до одномерных.
В стационарных течениях одномерное уравнение сохранения
массы (см. § 1.3) сводится к условию постоянства массового расхода:
G = const. G.25)
Тензор плотности потока импульса в общем случае выражается
соотношением
(см. § 1.4). В одномерном приближении (рис. 7.14) z-проекция им-
пульса складывается из осредненных по сечению конвективного по-
тока р и и давления р; вязкие напряжения учитываются касатель-
ным напряжением по стенке тс. (Для подавляющего большинства
практически важных задач нормальные вязкие напряжения xzz =
- 2Ц ничтожно малы в сравнении с хс = |а , где у
°z \dyJy = o
координата, нормальная к стенке канала). Для контрольного объема
dV = sdz, где s площадь поперечного сечения канала
Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков
319
zh
f(pu2+p)+
"и,
/
-V
у
z
\
н
' G
а)
6)
Рис. 7.14. К выводу одномерных уравнений сохранения импульса (а)
и энергии (б)
(рис. 7.14, а), баланс импульса в случае вертикального подъемного
движения при нормальной гравитации запишется в виде
ри2 +
dz
dz
J
= -pgs dz,
где П периметр канала; gz = g; за положительное направление
принята внешняя к поверхности контрольного объема нормаль.
Поскольку G = р us, то с учетом G.25) в канале постоянного
сечения:
dp G du \П
-=- + + pg.
dz s dz я
G.26)
Уравнение G.26) широко используется в инженерных расчетах
течения однофазных сред; при этом слагаемые в правой части выра-
жают соответственно составляющие градиента давления за счет ус-
корения потока, трения на стенке и массовых сил (нивелирная со-
ставляющая). При использовании определения гидравлического
диаметра DT = 4s/П (в круглой трубе DT = D) составляющая гради-
ента давления за счет трения:
_№) =th G.27)
VdzAp Dr
320 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Рис. 7.15. Характер изменения давле-
ния по длине канала в адиабатном по-
токе и потоках с теплообменом
В случае двухфазного потока конвективному потоку импульса
через сечение канала, т.е. величине риs =Gu, соответствует сумма
конвективных потоков импульса фаз:
G" w" + G' w' = G[xw" + A - x)w' ];
плотности р истинная плотность смеси рф, определяемая форму-
лой G.9); касательное напряжение на стенке будем обозначать как
тсм. Тогда одномерное уравнение импульса двухфазного потока
принимает вид
--Г = - [xw" + (l-x)w'] + -^ + p g. G.28)
dz s dz DT
Естественно, три слагаемых правой части G.28) отражают те же со-
ставляющие градиента давления в двухфазном потоке, что и соот-
ветствующие члены уравнения G.26) для однофазного потока.
В канале постоянного сечения при адиабатном течении паросо-
держание х и истинные скорости фаз w", w' по длине не изменяют-
ся, так что в этом случае первый член правой части G.28) равен ну-
лю. В потоке с подводом тепла (испарение) значения х, w", W рас-
тут по длине, а при отводе тепла (конденсация) эти величины по
длине уменьшаются. Таким образом, суммарное падение давления
увеличивается в потоках с подводом тепла и уменьшается в потоках
с отводом тепла в сравнении с адиабатными потоками (рис. 7.15).
В потоках с отводом тепла при определенной плотности теплового
потока принципиально возможно такое положение, что на некото-
ром расстоянии z0 от входа в канал давление полностью восстано-
вится, т.е. станет равным давлению на входе.
Количественные закономерности изменения паросодержания и
скоростей фаз по длине канала определяет уравнение энергии. Со-
гласно схеме рис. 7Л 4, б, стационарное одномерное уравнение со-
Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков 321
хранения энергии в среде без внутренних источников тепла без уче-
та работы массовых сил и вязкой диссипации (см. § 1.5) может быть
представлено в виде
dh*
G- =дсП, G.29)
dz
7 7 U
где qc плотность теплового потока на стенке; /г* = /г + пол-
+ полная энтальпия единицы массы жидкости.
В двухфазном потоке в соответствии с соотношением G,2) эн-
тальпия смеси определяется как:
Если за характерную скорость принять скорость смеси, то G.29)
может быть переписано в виде
G\hLG + = qjl,
\ dz 2 dz J
а с учетом формулы G.8):
2
G
2 р"
dz
G.29а)
где Ар = р'-р".
(л Х^\
Величина wn 1 + = wCM в канале постоянного сечения не
может превзойти скорость звука в паре сзв = J~kR~Ts, где Rt газо-
вая постоянная; к = ср lcv.
Можно показать, что в реальных для технических устройств си-
туациях максимально возможное значение второго слагаемого
в квадратных скобках G.29а) близко к сзв = kRtTs. Таким образом,
максимальная доля прироста кинетической энергии потока в общем
приросте полной энтальпии по порядку величины равна: ~ ОД
hLG
(эмпирическое правило Трутона).
322 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
С учетом этих оценок одномерное уравнение энергии упрощается:
^ = i?L. G.30)
dz GhLG
В отсутствие скольжения фаз w" = v/ = wCM . Тогда с учетом G.30)
градиент давления в двухфазном потоке, связанный с ускорением по-
тока (первое слагаемое в правой части G.28)), выражается как:
= -V-rL- G-31)
Это соотношение позволяет оценить роль ускорения потока в
сравнении с другими членами уравнения G.28). Речь идет в общем
случае именно об оценке, поскольку при получении G.31) смесь
предполагалась гомогенной.
7.5.2. РАСЧЕТ ТРЕНИЯ В ГОМОГЕННЫХ АДИАБАТНЫХ ПОТОКАХ
В адиабатных двухфазных потоках в канале постоянного сече-
ния градиент давления определяется трением на стенке и массовы-
ми силами. Если при этом скорость смеси мала, то роль трения на
стенке не существенна и уравнение G.28) вырождается в уравнение
гидростатики:
_Ё? =
dz ф
которое, в частности, применимо к процессам барботажа. Измеряя
перепад давления на некотором участке Az0 и используя определе-
ние р , можно с помощью последнего уравнения рассчитать истин-
ное паросодержание при барботаже. При естественной циркуляции
двухфазной смеси в трубах скорость движения определяется в ос-
новном соотношением сопротивления трения и движущего напора,
обусловленного массовыми силами, конкретнее, разностью значе-
ний плотности смеси р в подъемном и опускном участках контура
циркуляции. Следовательно, в этом случае и тем более в случае вы-
нужденного движения смеси ключевую роль играет расчет тсм.
К настоящему времени разработано несколько методик расчета этой
величины. Простейшая из них (и в то же время физически ясная) ос-
нована на гомогенной модели двухфазного потока. Эта модель
предполагает, что реальный двухфазный поток можно представить
Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков 323
как некоторую однородную жидкость с плотностью р«, которая
движется в канале со средней скоростью wCM . Тогда, очевидно:
*см = у Рр^см- G-32)
Коэффициент сопротивления ^см обычно рассчитывают по фор-
мулам, разработанным для однофазных течений, основываясь на
числе Рейнольдса смеси:
Существуют различные эмпирические формулы для расчета
вязкости смеси цсм [10, 42, 74]. Поскольку какого-либо теоретиче-
ского или надежного экспериментального обоснования эти форму-
лы не имеют, для рассматриваемых в § 7.5 квазигомогенных пото-
ков логично принять, что вязкость смеси равна вязкости жидкости
(|ЫСМ = |1д/). В пользу такого допущения говорит то, что на стенке,
где градиент скорости максимальный, в пузырьковом, снарядном и
эмульсионном режимах всегда сохраняется жидкость.
Так как PpWCM = p'w0 (что легко проверяется на основе G.8а) и
G.9а)), то
p'wodT
RecM = ~ = Re' >
и, следовательно, коэффициент гидравлического сопротивления
смеси ?см совпадает с ?о > отвечающим течению однофазной жидко-
сти с массовым расходом смеси G*. Обозначая касательное напря-
жение в однофазной жидкости
то = ~Р/м;о>
получаем из G.32) с учетом G.8) или G.8а):
1+х .
т0 w0 p" 1-Дрр/р'
G.зз)
* Имея в виду приближенность всей методики расчета, можно просто положить ?см ~ 0,02,
что отвечает развитому турбулентному течению однофазной жидкости [42].
324 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Область применимости соотношений G.33) ограничена значе-
ниями паросодержаний, соответствующими верхней границе эмуль-
сионного режима течения, т.е. ф < 0,8. (Соответствующие значения х
зависят от соотношения плотностей фаз.) При высоких давлениях,
как это обсуждалось в § 7.3, переход к кольцевому режиму происхо-
дит при меньших ф (ф ~ 0,640,7).
Опыты показывают, что расчет по гомогенной модели дает
удовлетворительное согласование с измеренными значениями пере-
падов давлений при высоких скоростях смеси, что является естест-
венным, так как при этом двухфазная смесь действительно пред-
ставляет собой достаточно однородную структуру. Это следует и из
анализа § 7.4, где было показано, что с ростом скорости смеси
скольжение фаз становится менее существенным. Точность расчета
по гомогенной модели еще более возрастает, если двухфазная смесь
находится под высоким приведенным давлением (р = pip ); та-
кие условия характерны для теплообменного оборудования ТЭС и
АЭС. В [10] сообщается о сопоставлении опытных данных о потере
давления в трубах с кипящей водой при давлениях р > 11 МПа и
массовых скоростях p'w0 = 4003500 кг/(м с) с расчетом по гомо-
генной модели: из 486 опытных точек 95 % отклонялись от расчет-
ных значений не более чем на 9 %. В целом расчет по формулам
G.33) дает несколько заниженные в сравнении с опытами значения
тсм. Результат может быть улучшен, если в формуле G.32) исполь-
зовать истинную плотность смеси:
<м = ^Рф^см- G.32а)
Для расчета р необходимо значение ф, которое в свою очередь
можно рассчитать по формуле G.23).
При использовании соотношения G.32а) значение т'ш для слу-
чая вертикального подъемного течения оказывается больше, чем со-
гласно G.32), что качественно согласуется с опытными данными.
Действительно, при р'» р":
так как при восходящем движении C > фэ то т?м > тс
Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков
325
о
0,2 0,25 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 7.16. Зависимость сопротивления трения пароводяного потока от рас-
ходного паросодержания при давлениях 4,9 и 9,8 МПа, pVg = 2000 кг/(м2с):
сплошные линии расчет по G.32); пунктирные линии расчет по G.32а);
опытные точки работы [38]
На рис. 7.16 приводятся расчетные кривые, отвечающие форму-
лам G.32) и G.32а), для подъемных адиабатных пароводяных пото-
ков в вертикальной трубе диаметром d = 8 мм при давлениях 4,9 и
9,8 МПа, массовой скорости p'w0 = 2000 кг/(м2с). Опытные данные
[38] хорошо согласуются с расчетом по скорректированной (уравне-
ние G.32а)) гомогенной модели. При этом, если для давления 9,8
МПа отклонение опытных точек от расчетной зависимости наблю-
дается при ф > 0,7 (х > 0,22), то при меньшем давлении хорошее со-
гласие с расчетом сохраняется вплоть до ф ~ 0,78 (х ~ 0,18), т.е. в
области дисперсно-кольцевого течения.
Следует сказать, что в «классической» гомогенной модели
(уравнения G.32), G.33)) происходит взаимная компенсация оши-
бок, позволяющая применять эти уравнения и при таких паросодер-
жаниях, при которых действительная структура потока далеко не
гомогенная. Так, в дисперсно-кольцевом потоке из-за большого
скольжения фаз C > ф5 Рр < рф, причем различия этих параметров
достаточно велики и нарастают с ростом паросодержания. С другой
стороны, скорость жидкости в пленке заметно ниже, чем используе-
мая в гомогенной модели скорость смеси. По этой причине во мно-
гих экспериментальных работах, прежде всего для области высоких
приведенных давлений, используют гомогенную модель для сопос-
тавления с опытными данными во всем диапазоне изменения массо-
вого расходного паросодержания @ < х < 1). При этом, чтобы обес-
326 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
печить плавный переход от течения однофазной жидкости (х = 0)
к однофазному потоку пара (х = 1), для вязкости смеси цсм исполь-
зуется одна из формул, построенных фактически на аддитивном
вкладе вязкости каждой фазы в соответствии с ее массовой или объ-
емной долей [10].
На рис. 7.16, однако, не приведены опытные данные, относя-
щиеся к высоким паросодержаниям, хотя их отклонение от рассчи-
танных по классической гомогенной модели кривых не выглядит
чрезмерно большим (менее 40 %). На наш взгляд, гомогенная мо-
дель должна использоваться по возможности лишь для тех двухфаз-
ных структур, для которых это оправдано физически. В случае
рис. 7.16 эта область ограничена значением х ~ 0,22; для нее на ри-
сунке использован более крупный масштаб.
В инженерных расчетах часто используют систему эмпириче-
ских поправок к гомогенной модели. Например, нормативный метод
гидравлического расчета котельных агрегатов [6] рекомендует для
вычисления сопротивления трения пароводяных потоков формулу:
которая очевидно получается путем интегрирования G.27) по длине /
при постоянном значении тсм, определяемом по G.32). Эмпириче-
ский коэффициент \|/ учитывает изменение структуры двухфазного
потока в зависимости от паросодержания, скорости циркуляции и
давления. Этот коэффициент находится по номограммам (см. также
[17, 39]); диапазон его изменения при актуальных для теплоэнерге-
тики параметрах: 0,4 < \|/ < 1,5.
7.6. КОЛЬЦЕВЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Для идеализированного кольцевого потока, в котором не учиты-
вается расход жидкости в форме капель, диспергированных в газо-
вом ядре, легко построить замкнутое одномерное математическое
описание. В случае вертикального подъемного течения не возникает
и проблема неоднородности в распределении толщины пленки по
периметру, практически исключающая возможность строгого моде-
лирования горизонтальных кольцевых течений.
Кольцевые двухфазные течения
327
Схема кольцевого подъемного течения в
вертикальной трубе дана на рис. 7.17. Такое
течение можно рассматривать как раздельное
движение потоков жидкости и газа (пара),
для каждого из которых справедливо уравне-
ние сохранения импульса G.26). В адиабат-
ных условиях в канале постоянного сечения g
отсутствуют потери давления, связанные с
ускорением потока. На межфазной границе
действует касательное напряжение, направ-
ленное противоположно в газовой и жидкой
фазах. Форма межфазной поверхности ци-
линдр диаметром dx¦= d - 25, где 8 сред-
няя толщина жидкой пленки. _ _ 1 _ _
Рис. 7.17. Схема
Уравнения сохранения импульса для ного КОЛьцевого
обеих фаз имеют вид:
_
-
d
I

Ь Jl
)-
:
i
?*
подъем-
течения
в вертикальной круглой
dp" _ 4т/
dz ~ df
dz
трубе
G.35)
(d2-dj) (d2-dj)
G.36)
Поскольку для обычных труб всегда выполняется условие lid » 1,
то поперечный градиент давления в трубе отсутствует (приближение
г ч dp" dp' dp TT
«длинной трубы»), т.е. -? =-?-=. Используя это условие и
dz dz dz
производя несложные алгебраические преобразования, получаем:
G.37)
1 d d
где Д р = p' - p". Это уравнение удобно использовать вместо G.36).
В кольцевом потоке всегда bid « 1; для очень тонких пленок
(практически при 5 Id < 0,025) G.37) можно привести к виду:
т,. = тс + Apg5, G.37а)
справедливому для течения пленки по вертикальной плоскости под
действием трения со стороны потока газа (см. § 4.2).
328 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Истинное объемное паросодержание в кольцевом потоке одно-
значно определяется толщиной пленки:
dj\2
Истинное объемное содержание жидкости
1-ф =4 - 1-- . G.39)
d v d)
Для очень тонких пленок приближенно:
(p=l-45/J; G.38а)
1-ф«45/с/. G.39а)
Касательное напряжение на стенке
8 8 A-ФJ
8 A-ФJ
G.40а)
Коэффициент трения на стенке ?с, как это было показано
в § 4.4, с достаточной для инженерных расчетов точностью может
быть определен по зависимостям для однофазного течения в трубе:
e^. Число Рейнольдса пленки:
ц' 4F/^0A-
где ReQ число Рейнольдса для случая течения однофазной жид-
кости (с ее собственным расходом) в трубе.
Тогда при ламинарном течении жидкости (Re^ < 2000):
а при турбулентном можно воспользоваться степенными законами,
например формулой Блазиуса:
?c=0,3164(Re'0)-°'25
либо более универсальным уравнением Филоненко [31]:
Кольцевые двухфазные течения 329
Касательное напряжение на хмежфазной поверхности определя-
ется по скорости газа w", отсчитанной от скорости жидкости на по-
верхности пленки, т.е.
x; = ;P>"-w5)^ G-41)
8
При относительно низких приведенных давлениях w" » w§ и
G.41) можно упростить:
' 8
Уравнения G.37)G.41) образуют замкнутую систему, если из-
вестен способ рассчитать коэффициент трения на межфазной по-
верхности b>i.
Простейший способ такого расчета принять, что поверхность
жидкой пленки гладкая и воспользоваться приведенными выше фор-
мулами для течения однофазного газа в трубе внутренним диамет-
ром di. К сожалению, такое допущение плохо согласуется с реаль-
ностью: восходящие кольцевые потоки с гладкой пленкой практиче-
ски вряд ли реализуемы.
Для воздуховодяных потоков при давлениях, близких к атмо-
сферному, экспериментально выявлена [42] линейная зависимость
коэффициента трения от безразмерной толщины пленки:
G.42)
где ?0 коэффициент трения, рассчитанный для течения газа
в гидравлически гладкой трубе диаметром dt= d- 25*; коэффициент
kt= 300 согласно данным [42]; в [30] предлагается принять kt= 240.
Опытные данные Никурадзе о гидравлическом сопротивлении
газа в канале с песочной шероховатостью аппроксимируются зави-
симостью
= §o(l+-
где ks высота песочной шероховатости [42].
* В [42] принимается 5 о = °>02> что соответствует развитому турбулентному течению газа.
330 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Таким образом, жидкая пленка с волновой поверхностью дейст-
вует как песочная шероховатость с размером зерен, равным учетве-
ренной толщине пленки.
Зависимость G.42) решает проблему замкнутого математическо-
го описания кольцевых двухфазных течений. Использование соот-
ношений для тс, т/э истинного объемного паросодержания и коэф-
фициентов трения преобразует уравнение G.37) в алгебраическое
уравнение A0-й степени) относительно безразмерной толщины
пленки bid. При заданных расходах фаз, т.е. при известных приве-
денных скоростях, решение такого уравнения выполняется доста-
точно простыми стандартными методами на персональном компью-
тере. (Возможно и существенное упрощение этого уравнения, путем
отбрасывания членов со старшими степенями малой величины bid.)
При найденном значении толщины пленки из G.35) несложно нахо-
дится градиент давления. В [42] и [30] приводятся примеры успеш-
ного применения такой методики.
К сожалению, имеются и такие опытные исследования, в кото-
рых обнаруживаются очень большие (в 22,5 раза) расхождения
с зависимостью G.42) для межфазного трения. Это объясняется
тем, что амплитуда и форма волн на поверхности пленки, сильно
влияющие на коэффициент трения, не определяются однозначно
относительной толщиной пленки, а зависят от расходов фаз и
свойств жидкости. В недавно опубликованной работе [56] предло-
жены эмпирические корреляции, позволяющие описывать характе-
ристики кольцевых потоков в достаточно широком диапазоне из-
менения этих параметров.
Для относительной толщины пленки:
- = 0,0594 exp(-0,34Fr^°'25Re/00'19x°l6), G.43)
d
mv% p'w'od
где Fr'g = ; Re'o = ; x массовое расходное паросодер-
Jgd И'
жание.
Для коэффициента межфазного трения:
G.44)
где vLlvw отношение кинематической вязкости рассматриваемой
жидкости к вязкости воды при Т = 20 °С.
Эмпирические методы расчета двухфазных потоков 331
Как следует из [7.44], межфазное трение обнаруживает сильно
нелинейную зависимость от относительной толщины пленки bid,
которая в свою очередь рассчитывается по G.43). Авторы [56] полу-
чили хорошее согласие расчетов с опытными данными для потоков
водавоздух и водный раствор глицеринавоздух в вертикальных
каналах при давлениях 0,10,6 МПа в широком диапазоне измене-
ния приведенных скоростей фаз, диаметров труб и вязкости жидко-
сти. Сопоставление с опытными данными проводилось как для
средней толщины пленки, так и для градиента давления, который
рассчитывается по G.35).
Труднейшей и очень далекой от решения проблемой остается
описание уноса и осаждения капель при дисперсно-кольцевом те-
чении двухфазной смеси. При определенном сочетании парамет-
ров до половины общего расхода жидкости может двигаться в ви-
де капель в газовом ядре.
Ясно, что в этом случае рассмотренные выше методики расче-
та чисто кольцевой структуры будут давать значительную погреш-
ность. На сегодняшний день не только отсутствует количествен-
ная теория процессов уноса и осаждения капель, но и явно ощуща-
ется недостаток опытных измерений в этой области. Уникальные
экспериментальные результаты, полученные Б.И. Нигматулиным
с сотрудниками на пароводяных (при давлениях р = 112 МПа) и
воздуховодяных (р = 0,10,45 МПа) смесях, описаны эмпириче-
скими соотношениями, которые едва ли возможно переносить на
другие условия [30].
7.7. ЭМПИРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
Фактически, при расчетах истинного объемного паросодержа-
ния и гидравлического сопротивления двухфазных потоков всегда
используется та или иная эмпирическая информация, что легко про-
слеживается в § 7.37.6. Тем не менее большинство рассмотренных
выше методов расчета с известным основанием можно отнести к
полуэмпирическим, когда строится простая (грубая) физическая мо-
дель процесса, дополняемая опытной информацией. Далее рассмат-
ривается популярная в зарубежной литературе методика Мартинел-
ли, точнее, ЛоккартаМартинелли и МартинеллиНельсона, кото-
332 АДИАБАТНЫЕ ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
рая не опирается на какие-либо физические модели, а представляет
собой один из способов описания экспериментальных данных.
В § 7.3 дано определение параметра Мартинелли X (соотноше-
ние G.13)).
Локкарт и Мартинелли ввели еще два параметра [10, 42, 74]:
1 dp/dz
1 dp/dz
L (dp/dz)'*
представляющих собой отношение градиента давления в двухфаз-
ном потоке (dp/dz) к градиентам давления при течении газа или
жидкости со своим расходом. Эти градиенты давления определяют-
ся соотношениями G.12). Очевидно, что параметр Мартинелли
2 2 2
G.13) определяется как X = Фо/Ф^.
2
Если Р = х - 1 (нет расхода жидкости), то, очевидно 1/Ф^ = 0,
2 2
\/Ф0 - 1; при C = х = 0 (нет расхода газа), то 1/Ф^ = 1,
1/ф^ = 0.
В промежуточной области параметров предложено интерполя-
ционное соотношение:
/п
G.46)
+ =1,
которое обеспечивает предельный переход и позволяет представ-
лять опытные данные по гидравлическим сопротивлениям трения
в двухфазных потоках.
Как указывалось в § 7.3, в случае расслоенного течения в гори-
зонтальном канале и, видимо, только в этом случае такой подход
имеет определенное физическое содержание, хотя и в этом случае
очень непростые проблемы возникают с расчетом трения на меж-
Эмпирические методы расчета двухфазных потоков 333
фазной поверхности (см. § 7.6). Для общего случая Локкарт и Мар-
тинелли предложили три эмпирических уравнения:
X Х2
Ф2О = 1 +СХ+Х2;
О
х
i
1 +20Х+Х2
G.47)
позволяющих рассчитывать градиенты давления и истинное объем-
ное паросодержание в двухфазных потоках. Коэффициент С разли-
чен для разных сочетаний режимов течения соответствующих одно-
фазных потоков. Для наиболее практически важного случая, когда
движение и жидкости, и газа турбулентно, С = 20. Параметр Марти-
нелли для этого случая на основе соотношений G.12) и формулы
Блазиуса для коэффициентов гидравлического сопротивления ?' и
?" выражается как:
Хтт = (^
И I..//, , , р,
Уравнения G.47) получены на основе опытных данных о тече-
нии смеси воздуха с различными жидкостями при давлениях, близ-
ких к атмосферному. Естественно, при применении этих уравнений
в широком диапазоне изменения параметров точность их низка,
что породило множество способов их корректировки путем введе-
ния различных эмпирических функций. В целом все методы расче-
та с использованием параметра Мартинелли X не имеют, на наш
взгляд, преимуществ перед другими эмпирическими методиками
расчета, например перед упоминавшимся нормативным методом
расчета пароводяных потоков [6].
Глава восьмая. ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
ТЕПЛООБМЕНА
8.1. ИЗМЕНЕНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКА ПО ДЛИНЕ
ОБОГРЕВАЕМОГО КАНАЛА
В обогреваемых трубах среднемассовая энтальпия непрерывно
растет по длине канала. В равновесном потоке энтальпия двухфаз-
ной смеси определяется уравнением G.2), причем в этом случае ве^
личина х в G.2) совпадает с массовым расходным паросодержани-
ем потока. В общем случае поток может быть неравновесным, то-
гда величина, определяемая уравнением G.2), не равна действи-
тельному расходному массовому паросо держанию. Параметр, оп-
ределяемый соотношением
hLG
как указывалось в § 7.2, называют относительной энтальпией по-
тока, или балансовым расходным паросо держанием.
Если на вход в обогреваемый канал поступает не догретая до
температуры насыщения жидкость (хб < 0), то по длине канала мо-
гут в общем случае наблюдаться следующие характерные области
(рис. 8.1)*.
Область I соответствует однофазному конвективному теплооб-
мену. В этой области при постоянной плотности теплового потока
среднемассовая энтальпия растет линейно, что следует из G.29)
(именно этот случай представлен на рис. 8.1). Если теплоемкость
жидкости с можно считать постоянной, что неплохо выполняется
при р « р , то также линейно растет в этой области среднемассо-
вая температура жидкости Т . Температурный режим стенки канала
* В действительности при обычных для парогенерирующих труб параметрах для получе-
ния всех областей, представленных на рис. 8.1, требуется огромная длина, при этом протя-
женность различных зон отличается очень сильно. На рисунке дана качественная схема без
соблюдения реальных соотношений длин характерных участков.
Изменение структуры потока по длине обогреваемого канала
335
Рис. 8.1. Режимы течения и изменение параметров потока по длине обогре-
ваемого канала (масштаб при изображении разных зон различен)
определяется в этой зоне закономерностями однофазного конвек-
тивного теплообмена согласно соотношению:
тс =
г + -с
а
(8.1)
где а коэффициент теплоотдачи, рассчитывается в зависимости
от режима течения (числа Re') по формулам, представленным, на-
пример, в [13,31,39,40].
Если изменением теплофизических свойств жидкости, связан-
ным с изменением температуры, можно пренебречь и не учитывать
влияние входного участка трубы, то коэффициент теплоотдачи а по
длине остается постоянным, так что температура стенки Тс по дли-
не области / изменяется линейно (как и Т).
Обычно принимают за нижнюю (в направлении движения) гра-
ницу этой области сечение, в котором температура стенки достигает
температуры насыщения Ts при локальном давлении жидкости. От
этого сечения начинается область II, которая заканчивается в сече-
нии, где действительное паросодержание хд становится отличным
336 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
от нуля. (В англоязычных источниках его называют сечением, в ко-
тором начинается явная генерация пара «net vapour generation».)
В пределах этой области находится сечение, в котором Тс = Тн к
температура начала кипения. Иногда принимается, что сечение с
Тс = Тнк и сечение с действительным хд > О совпадают. В любом
случае в пределах области //, во-первых, не происходит никаких ви-
димых изменений с жидкостью (она до конца области остается од-
нофазной), а, во-вторых, среднемассовая температура жидкости Т
остается ниже, чем температура насыщения Ts, т.е. хб < 0. Очевид-
но, что температурный режим стенки и в области // можно рассчи-
тывать по (8.1). Фактически, области I и II представляют собой еди-
ную область течения однофазной жидкости.
С началом области III начинается собственно двухфазное тече-
ние. Нижней границей области /// является сечение, в котором сред-
немассовая энтальпия достигает значения энтальпии насыщенной
жидкости, т.е. хб = 0. Следовательно, в пределах области /77 двух-
фазный поток существенно неравновесный: вблизи стенки всегда
существует пар, причем действительное массовое расходное хд и
истинное объемное (р паросодержание растет по длине, а в ядре со-
храняется недогретая жидкость с локальной температурой Т Режим теплообмена в области /// это пузырьковое кипение
недогретой жидкости; обычно в этом режиме коэффициент теплоот-
дачи определяется только плотностью теплового потока (см. § 8.2) и
практически не зависит от скорости течения смеси. По этой причи-
не температура стенки, начиная с некоторого сечения А, остается
неизменной. Само сечение А, расположенное вблизи верхней по те-
чению границы области, характеризуется как раз установлением ре-
жима теплообмена, определяемого механизмом пузырькового кипе-
ния, при этом иногда наблюдается даже некоторое снижение темпе-
ратуры стенки (см. рис. 8.1).
Начало интенсивного парообразования в сечении А обычно со-
провождается увеличением гидравлического сопротивления потока,
что естественно следует из анализа § 7.5.
Граница областей /// и IV определяется расчетом на основе
энергетического баланса и не отражает каких-либо физических из-
менений в двухфазном потоке. Область IV заканчивается сечением,
в котором температура жидкости во всех точках достигает темпера-
туры насыщения Ts, после чего поток становится термически равно-
весным. Это сечение приближенно может быть определено прямы-
Изменение структуры потока по длине обогреваемого канала 337
ми измерениями, расчетом найти его весьма сложно, так как для
этого необходимо знать распределение истинного объемного паро-
содержания по сечению. Во всей области IV, таким образом, поток
остается неравновесным, в каждом сечении имеется пар и недогре-
тая жидкость; при этом относительная энтальпия потока хб > 0.
Область V это область равновесного течения смеси. В реаль-
ных установках протяженность области весьма велика. В ее пределах
в принципе возможна последовательная смена всех структур пу-
зырьковой, снарядной, эмульсионной и дисперсно-кольцевой, хотя
на самом деле многое зависит от скорости смеси, плотности теплово-
го потока и давления. При высоких давлениях и больших скоростях
снарядный режим, как правило, не возникает. При высокой скорости
смеси и большом тепловом потоке весьма коротким может оказаться
и пузырьковый режим, так как равновесное состояние в центре кана-
ла в этом случае достигается при значительных средних по сечению
истинных объемных паросодержаниях. Область V единственная,
в которой совпадают значения х = хц = хб; коэффициент теплоотдачи
здесь практически постоянен, и Тс также почти не изменяется. За-
канчивается область V наступлением новой неравновесности, связан-
ной с возникновением кризиса кипения. Этим термином обозначают
резкое, при некотором сочетании параметров катастрофическое,
снижение интенсивности теплоотдачи и возрастание температуры
стенки, обусловленное потерей непосредственного контакта жидко-
сти и обогреваемой твердой поверхности. Во всех рассмотренных пя-
ти областях такой контакт сохраняется, причем и непосредственно
перед кризисом жидкость покрывает преобладающую часть (как пра-
вило, не менее 90 %) внутренней поверхности трубы.
После сечения кризиса начинается область VI, в которой двух-
фазная смесь обычно состоит из перегретого относительно Ts пара
и капель насыщенной жидкости. Неравновесность в некоторых
случаях может быть весьма сильной, т.е. перегрев пара относитель-
но температуры насыщения большой (для пароводяных потоков
несколько сотен градусов). Внутри области VI можно рассчитать
сечение 5, в котором х6 = 1; хотя хд < 0, каких-либо физических
изменений переход двухфазного потока через это сечение, естест-
венно, не вызывает.
Как уже говорилось, протяженность различных структур двух-
фазных потоков в обогреваемом канале зависит от соотношения
массовой скорости, плотности теплового потока и давления. Заим-
338
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
оо
О о
°oо
i
1
о о
\
о
о о
8
ISO
ч
Возрастающий тепловой поток
Рис. 8.2. Изменение структуры потока в обогреваемом канале при постоян-
ном расходе жидкости:
начало пузырькового кипения; - _ конец пузырькового режи-
ма; высыхание жидкой пленки (кризис); граница области
перегретого пара
ствованный из [10] рис. 8.2 наглядно демонстрирует, как изменяется
набор различных режимов течения по длине канала, если изменяет-
ся лишь один из перечисленных параметров плотность теплового
потока. На этом рисунке отражена несколько отличная от изложен-
ной выше классификация характерных областей течения. Нижняя
сплошная линия соответствует границе областей // и III по нашей
классификации; пунктирная линия, отвечающая границе пузырько-
вого режима, прошла бы через начало области Уна рис. 8.1; штрих-
пунктирная линия соответствует кризису кипения, т.е, границе об-
ластей V и VI; наконец, верхняя граница отвечает сечению В
в области VI на рис. 8.1. При этом в общем случае в перегретом паре
при хб > 1 жидкие капли могут сохраняться достаточно долго. Уве-
личение массовой скорости привело бы к смещению всех границ на
рис. 8.2 влево и вниз. Одновременный рост давления и массовой
скорости привел бы к исчезновению снарядного режима течения.
Изменение структуры потока по длине обогреваемого канала 339
При высоких плотностях теплового потока кризис теплообмена
при кипении может возникнуть еще в области ///, т.е. при хб < 0. Ес-
ли это не приводит к разрушению стенки канала, то за сечением
кризиса возникает двойная неравновесность: в перегретом паре дви-
жутся капли недогретой жидкости.
Наконец, необходимо упомянуть, что при температуре стенки
трубы, превышающей температуру предельного перегрева жидкости
(температура спинодали), режимы течения со сплошной пленкой па-
ра на стенке могут существовать при наличии сплошного жидкого
стержня в ядре потока. Это наблюдается, например, при подаче
криожидкости (азота, кислорода, водорода, гелия, сжиженного при-
родного газа) в «теплую» трубу, находящуюся при комнатной темпе-
ратуре; сходная картина возникает в экспериментах, моделирующих
послеаварийное охлаждение твэлов ядерного реактора, когда в трубу
с температурой около 1000 °С подается вода комнатной температуры
(так называемое «повторное смачивание» rewetting). При малых
объемных паросодержаниях в этих случаях возникает стержневой,
или обращенный кольцевой режим течения двухфазного потока:
жидкий стержень, отделенный от стенки паровой пленкой.
По мере роста паросодержания жидкий стержень теряет сплош-
ность, возникают обращенные пузырьковый, снарядный или эмуль-
сионный режимы. При больших паросодержаниях наблюдается дис-
персный режим течения: поток пара с каплями жидкости, но без
прямого контакта жидкости со стенкой. Такой режим аналогичен за-
кризисному течению (область F/на рис. 8.1).
Расчетное определение границ областей и особенно режимов те-
чения в обогреваемых каналах представляет собой чрезвычайно
сложную задачу. Рассмотренные в § 7.3 границы изменения струк-
туры двухфазных адиабатных потоков не могут непосредственно
использоваться для течения в условиях теплообмена. Действитель-
но, установление определенного режима двухфазного течения при
фиксированных расходах фаз происходит в общем случае на значи-
тельной длине, тогда как в условиях теплообмена соотношение рас-
ходов фаз непрерывно изменяется. Рекомендации § 7.3 могут рас-
сматриваться лишь как «предельные» для течений в обогреваемых
каналах, т.е. позволяющие идентифицировать структуру двухфаз-
ной смеси в случаях, когда соответствующая локальным расходам
фаз точка оказывается в глубине той или иной области на карте ре-
жимов, вдали от границ перехода от одних режимов к другим.
340 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
Практически не менее важная задача расчета истинного объем-
ного паросодержания двухфазных потоков в условиях теплообмена
решается сегодня только с помощью эмпирических соотношений.
Особенно сложным оказывается расчет действительного паросо-
держания в неравновесных потоках (области /// и IV на рис. 8.1).
Для пароводяных потоков используются эмпирические методики,
основанные на обобщении опытных данных; некоторые из них
приводятся в [17, 32, 39].
Укажем, наконец, что двухфазное'течение в охлаждаемых тру-
бах (конденсация движущегося в трубе пара) характеризуется
уменьшением скорости смеси по длине канала; по этой причине его
структура очень сильно зависит от ориентации канала. В вертикаль-
ных охлаждаемых каналах устойчивое течение практически воз-
можно лишь для опускного парожидкостного потока, так как при
встречном движении пленки конденсата и пара велика вероятность
захлебывания (см. гл. 4). При опускном движении конденсирующе-
гося пара в вертикальной трубе самым естественным и основным
является кольцевой режим течения. В горизонтальных трубах при
малых скоростях смеси всегда возникают расслоенные структуры.
Однако при конденсации жидкая пленка непрерывно образуется по
всему периметру канала и затем стекает вниз. Поэтому здесь также
наблюдается кольцевая структура с большой и увеличивающейся по
длине несимметрией в распределении толщины жидкой пленки по
периметру трубы. Большая часть расхода жидкости в направлении
течения приходится на нижнюю часть сечения канала ручейковая
структура, тогда как наиболее интенсивная конденсация происходит
по верхней части периметра, где пленка конденсата тонкая.
8.2. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
8.2.1. УСЛОВИЯ НАЧАЛА ПАРООБРАЗОВАНИЯ В ОБЪЕМЕ ЖИДКОСТИ
И НА ОБОГРЕВАЕМОЙ СТЕНКЕ
Кипением называют процесс фазового перехода жидкостьпар,
происходящий под уровнем жидкости. Этим он отличается от испа-
рения со свободной поверхности жидкости. Возникновение парово-
го объема (пузырька) в объеме жидкости сопряжено с образованием
новой поверхности раздела фаз и, следовательно, требует преодоле-
ния своеобразного «энергетического барьера». Практически это оз-
начает, что жидкость должна быть перегрета относительно темпера-
туры насыщения.
Теплообмен при пузырьковом кипении 341
В условиях термодинамического равновесия сферический па-
ровой пузырек при заданных давлениях в жидкости р и темпера-
туре Г' имеет строго определенный размер R*. Действительно,
разность давлений пара в пузырьке р" и в жидкости определяется
формулой Лапласа B.7):
Р Р -
А*
Условия термодинамического равновесия требуют, чтобы тем-
пература пара в пузырьке Т"', во-первых, была равна температуре
окружающей жидкости Г', а во-вторых, соответствовала температу-
ре насыщения при давлении пара. Очевидно, что из-за лапласовско-
го скачка давлений:
T" = Ts(p")>Ts(p').
Обозначая в дальнейшем температуру насыщения при давлении
окружающей пузырек жидкости как Ts = Ts(p')9 запишем:
Т" = TS + ДГ.
Величина А Т связана с Ар = р" - р в соответствии с формой
кривой насыщенияps{Ts). Для малых перепадов температур и дав-
лений, используя уравнение КлапейронаКлаузиуса, находим:
рЧ =АГ
где s и v с соответствующими надстрочными индексами удель-
ные значения энтропии и объемов фаз на пограничной кривой (ли-
нии насыщения).
Поскольку s" - s' = hLG /T, v"»v' прир «ркр, то можно записать
hLGATp"
* S
(8.2)
где р" = 1 Iv" плотность пара.
Используя этот результат в формуле Лапласа, находим:
2аГ,
R* = . (8.3)
"hLT
342 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
(В § 6.3 мы приводим эту формулу как F.22) без вывода.) Состояние
термодинамического равновесия, которому отвечает формула (8.3),
является абсолютно неустойчивым, так как при сколь угодно малом
уменьшении размера пузырька (R ния кривизны межфазной поверхности превзойдет давление насыще-
ния, пар сконденсируется, пузырек «схлопнется». При R> R*, напро-
тив, давление пара в пузырьке ниже, чем давление насыщения, пере-
гретая жидкость на поверхности пузырька будет испаряться, пузырек
расти. Таким образом, размер пузырька, определяемый формулой
(8.3), является чисто расчетной величиной; наблюдать в опытах рав-
новесные пузырьки невозможно. Величина R* называется равновес-
ным, или критическим, радиусом парового зародыша. В эксперимен-
те наблюдаются только пузырьки при R > Л*.
Анализ, ведущий к формуле (8.3), подтверждает необходимость
перегрева жидкости относительно температуры насыщения для по-
явления в ней парового пузырька. Возникновение паровой фазы
в объеме жидкости, лишенной каких-либо посторонних примесей,
называют гомогенным зародышеобразованием (гомогенной нуклеа-
цией). Теория этого процесса, которая выходит за пределы содержа-
ния настоящей книги, предсказывает, что жидкость должна быть пе-
регрета очень сильно практически до температуры спинодали,
чтобы в ней началось гомогенное зародышеобразование [35]. В фи-
зических экспериментах возникает противоположная проблема: как
исключить появление зародышей за счет различных гетерогенных
включений и действительно довести жидкость до состояния, соот-
ветствующего условиям гомогенной нуклеации.
При кипении в технических условиях паровые пузырьки образу-
ются на обогреваемой твердой стенке. Центрами парообразования
служат элементы микрошероховатости стенки (впадины, царапины),
обладающие пониженной локальной смачивостью [2, 10, 13, 41]. Пе-
регрев твердой поверхности, необходимый для парообразования, в
большинстве практических ситуаций невелик: для воды при атмо-
сферном давлении составляет 57 К, а при высоких давлениях
доли градуса. Использование этого значения перегрева в (8.3) дает
представление о масштабе элементов поверхностной шероховатости,
служащих центрами парообразования. При атмосферном давлении
для воды это единицы микрометров; с ростом приведенного давле-
ния Я* уменьшается: например, для жидкого гелия при атмосферном
Теплообмен при пузырьковом кипении 343
давлении, которое отвечает приведенному давлению р/ркр ~ 0,45, и
практически наблюдаемых перегревах стенки ДГ ~ 0,04 К (см., на-
пример, [2]) R* « 7 10"8 м.
8.2.2. РЕЖИМЫ КИПЕНИЯ («КРИВАЯ КИПЕНИЯ»)
Увеличение перегрева стенки ведет к росту числа одновременно
действующих центров парообразования, что сопровождается рос-
том интенсивности теплообмена. Для кипения характерна очень
сильная зависимость плотности теплового потока q от перегрева
стенки относительно температуры насыщения; это кардинально от-
личает теплообмен при кипении от однофазной конвекции и от кон-
денсации. Зависимость q(A T) называют кривой кипения, или кривой
Нукияма, по имени японского исследователя, впервые описавшего
эту зависимость в 1935 г. Типичная кривая кипения со схематиче-
ским изображением механизма теплообмена при различных сочета-
ниях плотности теплового потока и перегрева стенки AT = Тс - Ts
представлена на рис. 8.3. Пусть жидкость в обогреваемом сосуде на-
ходится при температуре насыщения Ts, отвечающей давлению ps
над ее уровнем. Обогреваемая поверхность, например, в виде обра-
щенной вверх пластины с адиабатной нижней поверхностью разме-
щена под уровнем жидкости. Дополнительное гидростатическое
давление столба жидкости над нагревателем обычно составляет ни-
чтожную долю от ps. По обеим координатным осям используется
логарифмический масштаб.
Пока перегрев стенки относительно Ts не достигнет величины
ДГН к (начало кипения), достаточной для образования паровых пу-
зырьков, тепло от обогреваемой поверхности отводится свободной
конвекцией (рис. 8.3, а), а от жидкости за счет испарения с ее
свободной поверхности. В случае турбулентного свободноконвек-
тивного движения зависимость q(AT) имеет вид: q ~ AT (уча-
сток АВ на рис. 8.3).
После начала кипения зависимость q(AT) резко увеличивает кру-
тизну: для технических поверхностей нагрева на участке ВС q ~ AT .
Структура двухфазной смеси по мере увеличения плотности тепло-
вого потока изменяется очень значительно. При относительно малых
q наблюдаются вертикальные цепочки паровых пузырьков, последо-
344
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
~ О О О~ О
f М Г! Ml ТМ t t М t t t«TT
а) б) в) г) д)
Рис. 8.3. Типичная кривая кипения и схема различных механизмов
теплообмена
вательно отрывающихся от достаточно стабильных центров парооб-
разования на стенке (рис. 8.3, б). Именно в таком режиме индивиду-
альных пузырьков обычно проводят кинематографическое исследо-
вание кипения и получают опытную информацию о динамике роста
и отрыва паровых пузырьков (см. гл. 6). При увеличении плотности
теплового потока начинается слияние соседних паровых пузырьков
как в вертикальном, так и в боковом направлениях. В результате
формируется режим сросшихся пузырьков, или паровых конгломера-
тов, возникающих и отрывающихся от стенки (рис. 8.3, в). При визу-
альном наблюдении и при киносъемке в таком режиме достаточно
трудно идентифицировать области, занятые паром и жидкостью, так
как картина меняется очень быстро, межфазная поверхность отлича-
ется нерегулярностью формы и подвержена пульсациям. Однако на-
личие на обогреваемой твердой поверхности под паровыми конгло-
мератами жидкой пленки фиксируется в экспериментах весьма убе-
дительно как прямыми, так и косвенными методами. (На рис. 8.3, в
эта пленка изображена в виде зачерненной полоски.) Толщина плен-
Теплообмен при пузырьковом кипении 345
ки по имеющимся прямым измерениям в случае кипения воды, эта-
нола и метанола при атмосферном давлении лежит в пределах
2- 10~53 1(Г4 м. Пленка имеет множество разрывов («паровых
ножек»), т.е. очень малых по площади сухих пятен, которые, оче-
видно, представляют собой центры парообразования, сохранившие-
ся после слияния выросших на них паровых пузырьков.
Несмотря на внешнюю непохожесть картины процесса в режи-
мах индивидуальных и сросшихся пузырей, взаимозависимость
плотности теплового потока и перегрева стенки остается практиче-
ски неизменной вдоль всего участка ВС кривой кипения, что позво-
ляет объединять эти режимы общим названием пузырьковое ки-
пение. Принципиальной особенностью этого вида кипения является
то, что на всем его протяжении абсолютно преобладающая часть
твердой поверхности нагрева покрыта жидкостью. Суммарная доля
площади сухих пятен (центров парообразования) даже при самых
больших тепловых потоках не превосходит 10 %.
Если кривая кипения в эксперименте исследуется при электри-
ческом обогреве твердой поверхности, т.е. в условиях непосредст-
венного управления плотностью теплового потока, то при достиже-
нии некоторого предельного значения q = gKp (точка С на рис. 8.3)
пузырьковый режим кипения обрывается катастрофически резко.
Фактически непрерывная кривая q(AT) есть результат аппроксима-
ции дискретных опытных точек, каждая из которых получается при
достижении стационарного состояния после ступенчатого измене-
ния тепловой нагрузки. Малое увеличение q в окрестности q
(обычно 23 % предыдущего значения) приводит к лавинообразно-
му росту площади сухих пятен и образованию сплошной паровой
пленки на обогреваемой поверхности.
Новое стационарное состояние (точка D на рис. 8.3) устанавли-
вается в режиме пленочного кипения, а сам процесс перехода от пу-
зырькового кипения к пленочному называют кризисом кипения.
В пленочном режиме температура стенки превышает температуру
спинодали, что исключает возможность прямого контакта его
с жидкостью; тепло передается к межфазной поверхности через па-
ровую пленку путем теплопроводности и однофазной конвекции
в паре, а также излучением. Паровая пленка гидродинамически не-
устойчива (по Тейлору), на ее поверхности периодически формиру-
ются и затем всплывают к свободному уровню жидкости паровые
пузырьки (рис. 8.3, д). Коэффициенты теплоотдачи при пленочном
346 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
кипении в 1050 раз меньше, чем при тех же тепловых потоках
при пузырьковом. Если для жидкостей с низкой температурой
нормального кипения (криожидкости, легкие углеводороды, мно-
гие хладоны) при переходе к пленочному кипению температура
стенки не достигает уровня, опасного с точки зрения потери меха-
нической прочности, то для воды и многих других высококипя-
щих жидкостей такой переход обычно приводит к термическому
разрушению обогреваемой поверхности. В англоязычной литера-
туре для обозначения понятия «кризис пузырькового кипения»
иногда используется термин «burnout» («пережог»).
Пленочное кипение наблюдается в стационарном режиме при
тепловых нагрузках, как превышающих, так и существенно более
низких, чем тепловой поток в точке D. При снижении q этот режим
сохраняется до тех пор, пока температура обогреваемой поверхно-
сти, в общем случае подверженная колебаниям при колебаниях тол-
щины паровой пленки, не снизится до температуры предельного пе-
регрева жидкости. Если такое снижение происходит, то паровая
пленка быстро разрушается и наступает возврат к режиму пузырь-
кового кипения (переход EF). Этот переход также происходит дос-
таточно быстро (скорость его зависит главным образом от теплоем-
кости опытного образца, служащего поверхностью кипения), так
что переход от пленочного кипения к пузырьковому тоже называют
кризисом, но уже пленочного кипения. Соответствующий этому
кризису тепловой поток называют «вторым критическим», или ми-
нимальным тепловым потоком пленочного кипения q 2
В случаях, когда в эксперименте управляют температурой стенки
(обогрев циркулирующей жидкостью через стенку трубы или кон-
денсирующимся паром, а также электрообогрев в сочетании с кон-
вективным охлаждением при использовании достаточно сложной
системы автоматического регулирования), удается в стационарном
режиме исследовать процесс переходного кипения. Этому процессу
отвечает «неестественная» отрицательная зависимость q(AT), когда
с ростом перегрева стенки тепловой поток снижается (участок СЕ
на рис. 8.3). В переходном кипении температура стенки не превы-
шает температуру спинодали, так что термодинамически контакт
жидкости со стенкой возможен. Но из-за чрезвычайно высокого пе-
регрева жидкость при таких контактах мгновенно вскипает, и обра-
зующийся пар снова «отталкивает» ее от стенки. Схема на рис. 8.3, г
отражает наличие точек контакта жидкости с «горячей» твердой по-
Теплообмен при пузырьковом кипении 347
верхностью. (При переходном кипении криожидкостей поверхность
нагрева, с обыденной точки зрения, весьма холодная ее темпера-
тура не выше 130 К при переходном кипении азота.)
Вдоль участка СЕ по мере роста А Т уменьшается характерное
время периодических контактов жидкости со стенкой; при достиже-
нии стенкой температуры предельного перегрева жидкости это вре-
мя снижается до нуля и наступает режим пленочного кипения.
При закалке металлических изделий (или заготовок), в экспе-
риментах, имитирующих послеаварийное охлаждение твэлов
ядерного реактора, или в экспериментах, специально поставлен-
ных для исследования теплообмена при кипении в условиях не-
стационарного охлаждения, кривая кипения «проходится» справа
налево. При этом качественно воспроизводятся все характерные
зоны: DE, ЕС, СВ, ВА\ количественные отличия от результатов
стационарных исследований заметны прежде всего в окрестности
точки кризиса пузырькового кипения С: в условиях нестационар-
ного охлаждения q обычно меньше, чем в стационарных.
8.2.3. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
Из всех рассмотренных выше режимов теплообмена практиче-
ски наиболее важным является пузырьковое кипение. Будучи во
многих случаях неотъемлемой частью различных технологий, пу-
зырьковое кипение вместе с тем часто оказывается вне конкуренции
как способ охлаждения твердых поверхностей, подверженных высо-
коинтенсивным тепловым воздействиям (элементы конструкций ус-
тановок термоядерного синтеза, мощные лазеры, физические мише-
ни и т.д.). Очень сильная зависимость плотности теплового потока
от перегрева стенки позволяет отводить потоки энергии огромной
плотности при относительно небольших температурных напорах
(А Г = Тс - Ts). Ограничением здесь выступает кризис пузырьково-
го кипения, который в свою очередь может быть отодвинут в об-
ласть весьма высоких плотностей тепловых потоков путем повыше-
ния скорости вынужденного движения и недогрева жидкости до
температуры насыщения (см. § 8.4).
Для понимания механизма теплообмена при пузырьковом кипе-
нии очень важно, что зависимость q ~ AT , показанная качественно
на рис. 8.3 для случая кипения в условиях свободного движения
(или, как говорят, «в большом объеме»), сохраняется и в условиях
348 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
вынужденного движения. Кроме того, обнаружено, что на теплооб-
мен при пузырьковом кипении в широких пределах изменения па-
раметров не влияют массовые силы различной природы, в том чис-
ле гравитационные, а также электрические и магнитные поля.
Можно утверждать, что существует широкая область с таким соот-
ношением режимных параметров, при котором пузырьковое кипе-
ние управляется главным образом своими собственными, внутрен-
ними механизмами. Будем в дальнейшем называть эту область ре-
жимом развитого пузырькового кипения. Спецификой пузырьково-
го кипения является вместе с тем очень сильная зависимость тепло-
обмена от таких факторов, которые мало существенны для других
видов теплообмена: смачиваемость поверхности, ее микрорельеф,
наличие примесей в жидкости и на поверхности, материал стенки.
Эти «слабые» факторы могут при одном и том же значении q при-
водить к двукратным и даже большим различиям в А Г и порожда-
ют у некоторых исследователей пессимизм в отношении возмож-
ности теоретического описания процесса.
Д.А. Лабунцов был первым, кто предложил приближенную тео-
рию теплообмена при пузырьковом кипении. При чрезвычайной
сложности и «многофакторности» процесса назначение такой тео-
рии выявить наиболее существенные его черты. Полученные
в итоге расчетные уравнения способны описывать теплоотдачу при
кипении в некоторых «средних», типичных для технических прило-
жений условиях. В [46] кратко изложено существо подхода
Д.А. Лабунцова к анализу пузырькового кипения и представлен со-
временный вариант приближенной теории теплообмена при разви-
том пузырьковом кипении.
Действующие при пузырьковом кипении центры парообразова-
ния это очень малые «сухие пятна» на обогреваемой твердой по-
верхности. Характерный размер этих пятен примерно равен радиу-
су жизнеспособного парового зародыша i?*, определяемого при ма-
лых А Г формулой (8.3). Плотность центров парообразования (nF)9
т.е. число сухих пятен на единицу площади поверхности нагрева,
это важнейший параметр для теплообмена при кипении. В отсутст-
вие строгой теории зарождения паровых пузырьков на стенке, ис-
ходя из соображений размерности и общих физических представ-
лений, можно принять:
nF=C0R;\ (8.4)
Теплообмен при пузырьковом кипении 349
Действительно, если микровпадины твердой поверхности не
имеют каких-либо предпочтительных размеров, т.е. в актуальном
для кипения жидкостей диапазоне значений R* число впадин любо-
го размера примерно одинаково, то уменьшение i?* означает увели-
чение числа поверхностных впадин, которые могут стать центрами
парообразования. Эту закономерность и отражает формула (8.4),
предложенная Д.А. Лабунцовым A963 г.) прежде всего для техниче-
ских поверхностей нагрева.
Числовой множитель Со в (8.4) оценивается путем сопоставле-
8 7
ния с опытными данными, эти оценки дают: Со = ОA0 10 ).
При равномерном распределении центров парообразования на
поверхности среднее расстояние между ними:
= C0U2R*. (8.5)
Так как Со -10 10 , a i?* весьма мало, то суммарная площадь
сухих пятен на поверхности вдали от критической тепловой нагрузки
ничтожна, что полностью согласуется с опытными наблюдениями.
Следовательно, можно с уверенностью утверждать, что на пре-
обладающей части площади обогреваемой поверхности (между цен-
трами парообразования) тепло к жидкости передается путем кон-
векции, обусловленной, очевидно, образованием и ростом паровых
пузырьков на стенке. С другой стороны, как обсуждалось в § 6.4,
в зоне контакта трех фаз по периферии сухого пятна существуют
мощные стоки тепла. Несмотря на малую площадь сухих пятен, их
роль в общем тепловом балансе стенки может быть очень значи-
тельной. Обозначая «конвективную» часть потока тепла через q{, a
тепловой поток за счет испарения по границе сухих пятен через q2,
можно записать для полного теплового потока при кипении:
q = ql+q2> (8.6)
Составляющая q{ может быть представлена в традиционном для
однофазной конвекции виде:
Ч\ = , (8.7)
А
где А эффективная толщина теплопроводного слоя жидкости на
твердой стенке.
350 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
В режиме сросшихся пузырьков этот слой жидкости принимает
вполне осязаемый вид жидкой пленки толщиной 80 под паровыми
конгломератами. (Ее часто называют «макропленкой» в отличие от
«микропленки» или «микрослоя» в основании одиночного пузырь-
ка.) В режиме одиночных пузырьков теплопроводный слой составля-
ет (для неметаллических жидкостей) некоторую часть толщины ди-
намического пограничного слоя на стенке. Последняя величина обу-
словлена пристеночным движением жидкости при парообразовании.
Принимая за характерную скорость процесса среднюю скорость
парообразования и" - , за характерный линейный масштаб
hP"
расстояние /* между центрами парообразования, можно оценить
толщину А по аналогии с толщиной динамического погранслоя как:
/¦v \R*vhLGp"
A =C, =C[\ L-^-, (8.8)
где C[ = (9A0 10 ). Используя этот результат в (8.7), находим
qx =С2\АТ 2 , (8.9)
гдеС2=1/С;*.
Тепловой поток q2, очевидно, может быть записан как:
где Qcn мощность теплового стока, приходящегося на одно су-
хое пятно.
Расчетная схема течения жидкости в окрестности сухого пятна
представлена на рис. 8.4. В отличие от рис. 6.10, где рассматривался
жидкий микрослой с конической поверхностью и исчезающе малой
площадью сухого пятна, здесь представлена схема, характерная для
Если qx = q, a R* определяется согласно (8.3), то из (8.9) получается: q = Со
где CJ константа порядка 10~^. Такое соотношение было впервые получено
Д.А. Лабунцовым в 1963 г. [18]. При этом толщина А находилась из анализа движения жидко-
сти, обусловленного образованием и ростом отдельных пузырьков.
Теплообмен при пузырьковом кипении
351
р" =idem
Рис. 8.4. Расчетная схема течения жидкости у границы сухого пятна
режима сросшихся пузырьков. На некотором расстоянии Rm от цен-
тра сухого пятна располагается зона наиболее интенсивного испаре-
ния, где толщина пленки Ът « 50 средней толщины «макроплен-
ки», так что ее термическое сопротивление 8т IX за счет теплопро-
водности здесь мало. При этом толщина Ът намного превосходит
межмолекулярные расстояния в жидкости и, следовательно, силы
адсорбции здесь уже не препятствуют испарению. Предполагается
стационарный процесс, в котором вся подходящая в зону интенсив-
ного испарения жидкость испаряется за счет теплового потока от
стенки. Сама область испарения имеет, безусловно, конечную ши-
рину в окрестности радиуса г = Rm.
Течение жидкости в тонкой пленке в данном случае обусловлено
градиентом кривизны ее поверхности (градиентом кривизны мени-
ска). Прямыми измерениями в модельных экспериментах установле-
но, что при испарении с поверхности мениска жидкой пленки кри-
визна поверхности в зоне наиболее интенсивного испарения возрас-
тает. Для схемы рис. 8.4 это означает, что dH/dr < О, т.е. кривизна
поверхности пленки уменьшается по мере удаления от оси симмет-
рии. Поскольку давление в паре/?" однородно, из формулы Лапласа
р"-р'(г) =
следует, что
^ =-2а .
dr dr
(8.11)
Следовательно, в жидкости существует градиент давления, вызы-
вающий ее течение к центру.
Задача о течении плоской пленки в радиальном направлении
идентична рассмотренной в § 4.2 для гравитационной пленки. Един-
352 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
ственное отличие состоит в замене градиента давления, равного для
гравитационной пленки gxАр, величиной, определяемой формулой
(8.11). Массовый расход жидкости на единицу длины периметра в
зоне интенсивного испарения BкЯт) выражается как:
(8.12)
В 90-е годы были получены численные решения (фактически
выполнен численный эксперимент для конкретных условий) задачи
об испарении жидкости в окрестности центра парообразования.
Эти решения несомненно интересны, поскольку позволяют выяс-
нить некоторые закономерности процесса, однако их прикладное
значение весьма ограничено из-за сильной его идеализации. Тол-
щина пленки в окрестности зоны интенсивного испарения настоль-
ко мала A0~810~7 м), что любая техническая поверхность не мо-
жет рассматриваться как гладкая по отношению к тонкой пленке;
весьма неоднозначен здесь и выбор краевого угла смачивания, ис-
пользовавшегося в численных экспериментах. В этих условиях
представляется оправданным использование приближенного мето-
да физических оценок для определения градиента кривизны мени-
ска в (8.12). Полагая, что 8m » i?*, что максимальная кривизна ме-
ниска имеет порядок 1/i?*, а минимальная 1/$т, что такое изме-
нение кривизны происходит на отрезке Rm~bm, получаем для гра-
диента кривизны оценку:
dH _ С3
dr R*bm'
(Числовые константы в оригинальной работе [45] оценивались на
каждом шаге анализа, что позволило получить такую оценку и для
числовых множителей в итоговой формуле. Здесь эти оценки не
приводятся.) Таким образом, выражение (8.12) принимает вид
Я2
GR = С' . (8.12а)
vR*
Если вся жидкость испаряется в окрестности зоны радиуса Rm,
то линейная плотность теплового потока у границы этой зоны
Теплообмен при пузырьковом кипении 353
должна быть: qR = GRhLG , а мощность теплового стока на одном
сухом пятне
Qc.n = 2nRmС другой стороны, для оценки Qc п можно использовать соотно-
шение F.38), если принять линейную аппроксимацию профиля ме-
ниска на участке интенсивного испарения. Приравнивая (8.13) и
F.38), получаем с точностью до числовой константы выражение
для толщины пленки в интересующей нас области:
\ATvR*
8Л=С4 . (8.14)
h
Теперь, имея в виду уже использовавшееся допущение &т ~ Rm,
из (8.13) и (8.10) с учетом (8.4) находим:
У-) . (8.15)
hJ
?2С5 ^)
\ R* J LG
Подстановка этого соотношения и (8.9) превращает (8.6) в квад-
ратное уравнение относительно плотности теплового потока q. При
его решении удобно обозначить:
? 9 „71/2 3/2
Х2АТ2 D Я2 п Р hLGv
q* = ; i>Q C^
9"hLGvR* q*
В итоге получим для имеющего физический смысл положительного
корня:
Параметр Во, как можно убедиться, быстро растет с ростом дав-
ления. Более детальный анализ с учетом порядка величины кон-
стант С5 и С2 показывает, что слагаемое 2В0/С2 соизмеримо с еди-
ницей при высоких приведенных давлениях. В этом случае обычно
354 ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
перегревы стенки Д Т невелики и для расчета i?* можно воспользо-
ваться формулой (8.3). Тогда
// Ч3/2
iGpv
- С5 (8.16)
/2
При низких приведенных давлениях и больших А Т линейная ап-
проксимация кривой насыщения дает существенную погрешность.
Использование в разложении зависимости Ар(А Т) вдоль кривой на-
сыщения квадратичного члена после несложных упрощений дает:
p"hLGAT( hLG&f)
-f\l+2\> (8Л?)
где Rt газовая постоянная.
При низких давлениях и больших А Г (например, для воды и эта-
нола при ps = 10 кПа, А Т = 25 К) расчет по линейному соотноше-
нию дает Ар, почти вдвое меньшие, чем действительные, соответст-
вующие кривым насыщения. Погрешность расчета по формуле
(8.17) в этих случаях не превышает 6 %.
Используемый в качестве масштабной величины тепловой по-
ток q* с учетом (8.17) выразится как
l +
hLGAT)
а итоговое соотношение примет вид
дjA
8005 + 4005), (8.18)
где безразмерный параметр
В = LG (8.16а)
m
В уравнении (8.18) использованы два числовых коэффициента,
которые подобраны на основе сопоставления с большим числом
данных о кипении 20 различных жидкостей в широком диапазоне
Теплообмен при кипении жидкости в условиях вынужденного движения 355
приведенных давлений. Порядок величины этих числовых коэффи-
циентов соответствует оценкам на основе модели.
Как отмечалось выше, приближенная теория позволяет предска-
зать значения коэффициентов теплоотдачи при кипении в типичных
для технических устройств условиях. Она не учитывает, например,
специфику кипения на поверхностях с высокой степенью чистоты
обработки, когда наблюдается очень крутая зависимость д(ДГ).
При некотором сочетании теплофизических свойств жидкости и ма-
териала поверхности нагрева на измеряемый в опытах коэффициент
теплоотдачи заметно влияет отношение коэффициентов тепловой
активности (% = J рсХ) этих веществ. Такой эффект особенно заме-
тен при кипении гелия и (в меньшей степени) других криожидко-
стей. В [2] приводятся расчетные уравнения для этих случаев.
8.3. ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ
ВЫНУЖДЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
8.3.1. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ В КОНВЕКТИВНОМ ПОТОКЕ
Как указывалось выше (п. 8.2.3), теплообмен при развитом пу-
зырьковом кипении полностью управляется своими внутренними
механизмами и не зависит от скорости вынужденного движения. Од-
нако это не означает, что вынужденное движение вообще не влияет
на закономерности кипения. Прежде всего с ростом скорости тече-
ния жидкости w0 возрастает коэффициент теплоотдачи однофазной
конвекции aw и, следовательно, при неизменной плотности потока q
уменьшается перегрев стенки относительно Ts. Это приводит к то-
му, что начало кипения в потоке жидкости происходит при тем боль-
ших q, чем выше скорость жидкости. Эта закономерность хорошо
видна из рис. 8.5, на котором представлены сглаженные опытные за-
висимости д(ДГ), полученные одним из авторов [17]. Теплообмен
происходил на омываемой потоком воды плоской пластине при дав-
лении 3,92 бар. Кривая 1 соответствует кипению при свободном дви-
жении (в большом объеме). В условиях обтекания пластины пото-
ком воды до начала закипания коэффициент теплоотдачи ocw не за-
висит от плотности теплового потока и целиком определяется скоро-
стью жидкости (кривые 2, 3, 4). С ростом теплового потока при по-
стоянном aw растет температура стенки, и при некотором значении
356
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА
а, кВт/(м2 К)
40
20
10
4
3
>
Рис. 8.5. Теплообмен при кипе-
нии воды в условиях вынуж-
денного движения на горизон-
тальной пластине при
ps = 0,392 МПа [17]:
/ w0 = 0; 2 и'О = 1,05 м/с;
3 wq = 2 м/с; 4 и'о = 3,1 м/с;
5 расчет по (8.18)
50 80 100 200 400 600 q, кВт/м2
q начинается кипение. Однако до тех пор, пока интенсивность кипе-
ния низка, оно не сказывается на величине а = ан>. Отклонение кри-
вых 2, 3, 4 от горизонтали показывает, что влияние кипения стало су-
щественным. Дальнейшее увеличение q приводит к тому, что коэф-
фициент теплоотдачи а сравнивается со значением а , отвечающим
условиям кипения в большом объеме. Чем выше скорость вынужден-
ного движения, тем при больших q это происходит.
Практически можно пользоваться простым правилом: если
aw > 2 а ^, то а = aw; при ад > 2аw а = ад, где а действитель-
ный коэффициент теплоотдачи при кипении в вынужденном пото-
ке жидкости; aw коэффициент теплоотдачи при однофазной
конвекции, определяемой скоростью потока w0; ос коэффици-
ент теплоотдачи при пузырьковом кипении в большом объеме, ко-
торый может быть рассчитан по (8.18). На рис. 8.5 расчету по (8.18)
отвечает кривая 5, которая дает ос , отличающиеся от опытной кри-
вой 1 менее чем на 8 %, что существенно меньше, чем обычный
разброс опытных данных.
В области соизмеримых значений ос и aw рекомендуется ин-
терполяционная формула:
3 3 1
а = (а + ccw)
(8.19)
которая учитывает перенос тепла, обусловленный одновременны