Кривые и поверхности второго порядка. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. I.2. Кривые второго порядка.


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31
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32
I.2.1.ÍÛÛØßá
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:
(2)
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ÝÕ
âÞÒÐàÝëÙÒØÔ

:ÓàÞÜÞ×ÔÚØÙØÝÕÚàÐáØÒëÙ.¿àÕÞÑàÐ×ãÕÜíâÞãàÐÒÝÕ-
ÝØÕÚÑÞÛÕÕãÔÞÑÝÞÙäÞàÜÕ.
33
I.2.1.ÍÛÛØßá
2
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:
(2)
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=

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a

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2

2
:
(3)
34
I.2.1.ÍÛÛØßá
2
a
=
p
(
x
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c
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2
+
y
2
+
p
(
c

x
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2
+
y
2
:
(2)
¿àÞÒÕÔÕÜÕáâÕáâÒÕÝÝëÕßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØï:

ãÕÔØÝØÜ

ÞÔØÝØ×ÚÞàÝÕÙ
ØÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ:

p
(
x
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p
(
c

x
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2

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(3)
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ÜããàÐÒÝÕÝØî(
2
)(çâÞÝÕçÐáâÞÑëÒÐÕâßàØâÐÚÞÜÝÕíÚÒØÒÐÛÕÝâÝÞÜ
ßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØØ,ÚÐÚÒÞ×ÒÕÔÕÝØÕÒÚÒÐÔàÐâ).ÀÐÒÝÞáØÛìÝÞáâìíâÞÓÞØ
ØáåÞÔÝÞÓÞãàÐÒÝÕÝØÙáÛÕÔãÕâØ×áÛÕÔãîéØåÓÕÞÜÕâàØçÕáÚØåáÞÞÑàÐ-
ÖÕÝØÙ:âÐÚÚÐÚ



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2
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I.2.1.ÍÛÛØßá
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c

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y
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(2)
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ãÕÔØÝØÜ

ÞÔØÝØ×ÚÞàÝÕÙ
ØÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ:

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2
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(2)
¿àÞÒÕÔÕÜÕáâÕáâÒÕÝÝëÕßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØï:

ãÕÔØÝØÜ

ÞÔØÝØ×ÚÞàÝÕÙ
ØÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ:

p
(
x
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c
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2
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2

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=

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a

p
(
c

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(3)
ÂÐÚÚÐÚ



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F
2
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1



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,âÞ



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F
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F
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M



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a




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F
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M




37
I.2.1.ÍÛÛØßá
2
a
=
p
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x
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c
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2
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y
2
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p
(
c

x
)
2
+
y
2
:
(2)
¿àÞÒÕÔÕÜÕáâÕáâÒÕÝÝëÕßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØï:

ãÕÔØÝØÜ

ÞÔØÝØ×ÚÞàÝÕÙ
ØÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ:

p
(
x
+
c
)
2
+
y
2

2
=

2
a

p
(
c

x
)
2
+
y
2

2
:
(3)
ÂÐÚÚÐÚ



��!
F
2
F
1



a
,âÞ



��!
F
1
M



=
a




��!
F
2
M



=
a




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F
2
F
1
+
��!
F
1
M




a




��!
F
2
F
1







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F
1
M




38
I.2.1.ÍÛÛØßá
2
a
=
p
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
p
(
c

x
)
2
+
y
2
:
(2)
¿àÞÒÕÔÕÜÕáâÕáâÒÕÝÝëÕßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØï:

ãÕÔØÝØÜ

ÞÔØÝØ×ÚÞàÝÕÙ
ØÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ:

p
(
x
+
c
)
2
+
y
2

2
=

2
a

p
(
c

x
)
2
+
y
2

2
:
(3)
ÂÐÚÚÐÚ



��!
F
2
F
1



a
,âÞ



��!
F
1
M



=
a




��!
F
2
M



=
a




��!
F
2
F
1
+
��!
F
1
M




a




��!
F
2
F
1







��!
F
1
M








��!
F
1
M



:
39
I.2.1.ÍÛÛØßá
2
a
=
p
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
p
(
c

x
)
2
+
y
2
:
(2)
¿àÞÒÕÔÕÜÕáâÕáâÒÕÝÝëÕßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØï:

ãÕÔØÝØÜ

ÞÔØÝØ×ÚÞàÝÕÙ
ØÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ:

p
(
x
+
c
)
2
+
y
2

2
=

2
a

p
(
c

x
)
2
+
y
2

2
:
(3)
ÂÐÚÚÐÚ



��!
F
2
F
1



a
,âÞ



��!
F
1
M



=
a




��!
F
2
M



=
a




��!
F
2
F
1
+
��!
F
1
M




a




��!
F
2
F
1







��!
F
1
M








��!
F
1
M



:
ÁÛÕÔÞÒÐâÕÛìÝÞ,ßàØÒÞ×ÒÕÔÕÝØØãàÐÒÝÕÝØï(
2
)ÒÚÒÐÔàÐâ

ßÞáâÞàÞÝ-
ÝØå

àÕèÕÝØÙÝÕÒÞ×ÝØÚÐÕâ.
40
I.2.1.ÍÛÛØßá

p
(
x
+
c
)
2
+
y
2

2
=

2
a

p
(
c

x
)
2
+
y
2

2
:
(3)
ÃßàÞáâØÜãàÐÒÝÕÝØÕ(
3
):
x
2
+2
xc
+
c
2
+
y
2
=4
a
2

4
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
+
c
2

2
cx
+
x
2
+
y
2
;
41
I.2.1.ÍÛÛØßá

p
(
x
+
c
)
2
+
y
2

2
=

2
a

p
(
c

x
)
2
+
y
2

2
:
(3)
ÃßàÞáâØÜãàÐÒÝÕÝØÕ(
3
):
x
2
+2
xc
+
c
2
+
y
2
=4
a
2

4
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
+
c
2

2
cx
+
x
2
+
y
2
;
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
=
a
2

xc:
42
I.2.1.ÍÛÛØßá
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
=
a
2

xc:
²ÝÞÒìÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ.¿àØ
íâÞÜ,ÒÞßàÕÚØÞßÐáÕÝØïÜ(ÚÞâÞàëÕÜëàÐ×ÒÕØÒÐâìÝÕáâÐÝÕÜ),ÜëßÞ-
ÛãçØÜàÐÒÝÞáØÛìÝÞÕãàÐÒÝÕÝØÕ
43
I.2.1.ÍÛÛØßá
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
=
a
2

xc:
²ÝÞÒìÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ.¿àØ
íâÞÜ,ÒÞßàÕÚØÞßÐáÕÝØïÜ(ÚÞâÞàëÕÜëàÐ×ÒÕØÒÐâìÝÕáâÐÝÕÜ),ÜëßÞ-
ÛãçØÜàÐÒÝÞáØÛìÝÞÕãàÐÒÝÕÝØÕ
a
2

c
2

2
cx
+
x
2
+
y
2

=
a
4

2
a
2
xc
+
x
2
c
2
;
44
I.2.1.ÍÛÛØßá
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
=
a
2

xc:
²ÝÞÒìÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ.¿àØ
íâÞÜ,ÒÞßàÕÚØÞßÐáÕÝØïÜ(ÚÞâÞàëÕÜëàÐ×ÒÕØÒÐâìÝÕáâÐÝÕÜ),ÜëßÞ-
ÛãçØÜàÐÒÝÞáØÛìÝÞÕãàÐÒÝÕÝØÕ
a
2

c
2

2
cx
+
x
2
+
y
2

=
a
4

2
a
2
xc
+
x
2
c
2
;
ÞâÚãÔÐ
x
2
a
2
+
y
2
a
2

c
2
=1
:
45
I.2.1.ÍÛÛØßá
a
p
(
c

x
)
2
+
y
2
=
a
2

xc:
²ÝÞÒìÒÞ×ÒÕÔÕÜÞÑÕçÐáâØßÞÛãçØÒèÕÓÞáïãàÐÒÝÕÝØïÒÚÒÐÔàÐâ.¿àØ
íâÞÜ,ÒÞßàÕÚØÞßÐáÕÝØïÜ(ÚÞâÞàëÕÜëàÐ×ÒÕØÒÐâìÝÕáâÐÝÕÜ),ÜëßÞ-
ÛãçØÜàÐÒÝÞáØÛìÝÞÕãàÐÒÝÕÝØÕ
a
2

c
2

2
cx
+
x
2
+
y
2

=
a
4

2
a
2
xc
+
x
2
c
2
;
ÞâÚãÔÐ
x
2
a
2
+
y
2
a
2

c
2
=1
:
²ÒÕÔÕÜÞÑÞ×ÝÐçÕÝØÕ:
b
=
p
a
2

c
2
.ÂÞÓÔÐßÞÛãçØÜ,çâÞ
ãàÐÒÝÕ-
ÝØÕ(
2
)
íÚÒØÒÐÛÕÝâÝÞãàÐÒÝÕÝØî
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(4)
46
I.2.1.ÍÛÛØßá
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(4)
¾ÝÞÝÐ×ëÒÐÕâáï
ÚÐÝÞÝØçÕáÚØÜãàÐÒÝÕÝØÕÜíÛÛØßáÐ
ÒÔÕÚÐàâÞÒëå
ÚÞÞàÔØÝÐâÐå.
47
I.2.1.ÍÛÛØßá
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(4)
¾ÝÞÝÐ×ëÒÐÕâáï
ÚÐÝÞÝØçÕáÚØÜãàÐÒÝÕÝØÕÜíÛÛØßáÐ
ÒÔÕÚÐàâÞÒëå
ÚÞÞàÔØÝÐâÐå.
¾âÜÕâØÜ,çâÞßÐàÐÜÕâà
b
ØÜÕÕâßàÞáâÞÙÓÕÞÜÕâàØçÕáÚØÙáÜëáÛ:
íâÞ,ÞçÕÒØÔÝÞ,ÞàÔØÝÐâÐâÞçÚØßÕàÕáÕçÕÝØïíÛÛØßáÐáÞáìî
Oy
.´ÕÙ-
áâÒØâÕÛìÝÞ,Þáì
Oy
ØÜÕÕâãàÐÒÝÕÝØÕ
x
=0
.½ÞßàØ
x
=0
ßÞÛãçÐÕÜ
0
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,ÞâÚãÔÐ
y
=

b
.ÇØáÛÐ
a
Ø
b
ÝÐ×ëÒÐîâáï,áÞÞâÒÕâáâÒÕÝÝÞ,
ÑÞÛìèÞÙßÞÛãÞáìîíÛÛØßáÐ
Ø
ÜÐÛÞÙßÞÛãÞáìîíÛÛØßáÐ
.
48
I.2.1.ÍÛÛØßá
ÃàÐÒÝÕÝØÕíÛÛØßáÐÒßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ.
¿ÞÛïàÝãî
áØáâÕÜãÚÞÞàÔØÝÐâÒÒÕÔÕÜáÛÕÔãîéØÜÞÑàÐ×ÞÜ:ßÞÛîáßÞÜÕáâØÜÒ
ÞÔØÝØ×äÞÚãáÞÒ,ÝÐßàØÜÕà,Ò
ÛÕÒëÙ
äÞÚãá
F
1
,ÐßÞÛïàÝãîÞáìßãáâØÜ
çÕàÕ×äÞÚãá
F
2
.
-








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J
J
J
J
J
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1
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2
M
N
¾âÜÕâØÜ,çâÞÔÕÚÐàâÞÒÐßàïÜÞãÓÞÛìÝÐïáØáâÕÜÐÚÞÞàÔØ-
ÝÐâ,ÒÚÞâÞàÞÙÜëßÞÛãçÐÛØãàÐÒÝÕÝØÕíâÞÓÞíÛÛØßáÐÒßàÕÔë-
ÔãéÕÜàÐ×ÔÕÛÕ,
ÝÕïÒÛïÕâáï
ÚÐÝÞÝØçÕáÚØáÒï×ÐÝÝÞÙ
áÒÒÕ-
ÔÕÝÝÞÙáÕÙçÐáÝÐÜØáØáâÕÜÞÙÚÞÞàÔØÝÐâ.
49
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
²ÞÒÒÕÔÕÝÝÞÙÝÐÜØßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
j
��!
F
1
M
j
=

.´ÛØÝã
ÒÕÚâÞàÐ
��!
F
2
M
ÜÞÖÝÞÒëçØáÛØâìáßÞÜÞéìîâÕÞàÕÜëÚÞáØÝãáÞÒ:
50
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
²ÞÒÒÕÔÕÝÝÞÙÝÐÜØßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
j
��!
F
1
M
j
=

.´ÛØÝã
ÒÕÚâÞàÐ
��!
F
2
M
ÜÞÖÝÞÒëçØáÛØâìáßÞÜÞéìîâÕÞàÕÜëÚÞáØÝãáÞÒ:
j
��!
F
2
M
j
2
=(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':
51
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








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J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
²ÞÒÒÕÔÕÝÝÞÙÝÐÜØßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
j
��!
F
1
M
j
=

.´ÛØÝã
ÒÕÚâÞàÐ
��!
F
2
M
ÜÞÖÝÞÒëçØáÛØâìáßÞÜÞéìîâÕÞàÕÜëÚÞáØÝãáÞÒ:
j
��!
F
2
M
j
2
=(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':
ÂÐÚØÜÞÑàÐ×ÞÜ,Ø×
ÞßàÕÔÕÛÕÝØïíÛÛØßáÐ
ßÞÛãçÐÕÜ,áàÐÒÝØÒÐïáãÜ-
ÜãàÐááâÞïÝØÙÞâ
M
ÔÞäÞÚãáÞÒáçØáÛÞÜ
2
a
:
52
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
²ÞÒÒÕÔÕÝÝÞÙÝÐÜØßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
j
��!
F
1
M
j
=

.´ÛØÝã
ÒÕÚâÞàÐ
��!
F
2
M
ÜÞÖÝÞÒëçØáÛØâìáßÞÜÞéìîâÕÞàÕÜëÚÞáØÝãáÞÒ:
j
��!
F
2
M
j
2
=(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':
ÂÐÚØÜÞÑàÐ×ÞÜ,Ø×
ÞßàÕÔÕÛÕÝØïíÛÛØßáÐ
ßÞÛãçÐÕÜ,áàÐÒÝØÒÐïáãÜ-
ÜãàÐááâÞïÝØÙÞâ
M
ÔÞäÞÚãáÞÒáçØáÛÞÜ
2
a
:
2
a
=

+
p
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':
53
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
2
a
=

+
p
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':

ÃÕÔØÝØÜ

ÚÞàÕÝìØÒÞ×ÒÕÔÕÜíâÞãàÐÒÝÕÝØÕÒÚÒÐÔàÐâ.¿ÞÛãçØÜ
ãàÐÒÝÕÝØÕ(íÚÒØÒÐÛÕÝâÝÞáâìíâÞÓÞãàÐÒÝÕÝØïØáåÞÔÝÞÜãÜëßàÞÒÕ-
àïâìÝÕÑãÔÕÜ)
54
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
2
a
=

+
p
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':

ÃÕÔØÝØÜ

ÚÞàÕÝìØÒÞ×ÒÕÔÕÜíâÞãàÐÒÝÕÝØÕÒÚÒÐÔàÐâ.¿ÞÛãçØÜ
ãàÐÒÝÕÝØÕ(íÚÒØÒÐÛÕÝâÝÞáâìíâÞÓÞãàÐÒÝÕÝØïØáåÞÔÝÞÜãÜëßàÞÒÕ-
àïâìÝÕÑãÔÕÜ)
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
'
=
(2
a


)
2
;
55
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
2
a
=

+
p
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
':

ÃÕÔØÝØÜ

ÚÞàÕÝìØÒÞ×ÒÕÔÕÜíâÞãàÐÒÝÕÝØÕÒÚÒÐÔàÐâ.¿ÞÛãçØÜ
ãàÐÒÝÕÝØÕ(íÚÒØÒÐÛÕÝâÝÞáâìíâÞÓÞãàÐÒÝÕÝØïØáåÞÔÝÞÜãÜëßàÞÒÕ-
àïâìÝÕÑãÔÕÜ)
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
'
=
(2
a


)
2
;
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
'
=4
a
2

4
a
+

2
:
56
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
'
=4
a
2

4
a
+

2
:
²ëàÐÖÐïØ×ßÞáÛÕÔÝÕÓÞãàÐÒÝÕÝØï

,ßÞÛãçÐÕÜ
57
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N
(2
c
)
2
+

2

2

2
c



cos
'
=4
a
2

4
a
+

2
:
²ëàÐÖÐïØ×ßÞáÛÕÔÝÕÓÞãàÐÒÝÕÝØï

,ßÞÛãçÐÕÜ

=
a
2

c
2
a

c
cos
'
;
58
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N

=
a
2

c
2
a

c
cos
'
;
¿ÞÛÞÖØÜ
"
=
c
a
.ÇØáÛÞ
"
ÝÐ×ëÒÐÕâáï
íÚáæÕÝâàØáØâÕâÞÜ
íÛÛØßáÐ.
ÍâÞçØáÛÞåÐàÐÚâÕàØ×ãÕâ

ÒëâïÝãâÞáâì

íÛÛØßáÐ:ÔÛïÞÚàãÖÝÞáâØ
(âÞÕáâìßàØ
c
=0
)íâÞçØáÛÞàÐÒÝÞ0,áàÞáâÞÜíâÞÓÞçØáÛÐÞâÝÞèÕ-
ÝØÕÑÞÛìèÞÙßÞÛãÞáØÚÜÐÛÞÙãÒÕÛØçØÒÐÕâáï.¸âÐÚ,ßÞÛãçÐÕÜ
ÚÐÝÞ-
ÝØçÕáÚÞÕãàÐÒÝÕÝØÕíÛÛØßáÐ
ÒßÞÛïàÝëåÚÞÞàÔØÝÐâÐå(ÕáÛØßÞÛîá
ÒÛÕÒÞÜäÞÚãáÕ):
59
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N

=
a
2

c
2
a

c
cos
'
;
¿ÞÛÞÖØÜ
"
=
c
a
.ÇØáÛÞ
"
ÝÐ×ëÒÐÕâáï
íÚáæÕÝâàØáØâÕâÞÜ
íÛÛØßáÐ.
ÍâÞçØáÛÞåÐàÐÚâÕàØ×ãÕâ

ÒëâïÝãâÞáâì

íÛÛØßáÐ:ÔÛïÞÚàãÖÝÞáâØ
(âÞÕáâìßàØ
c
=0
)íâÞçØáÛÞàÐÒÝÞ0,áàÞáâÞÜíâÞÓÞçØáÛÐÞâÝÞèÕ-
ÝØÕÑÞÛìèÞÙßÞÛãÞáØÚÜÐÛÞÙãÒÕÛØçØÒÐÕâáï.¸âÐÚ,ßÞÛãçÐÕÜ
ÚÐÝÞ-
ÝØçÕáÚÞÕãàÐÒÝÕÝØÕíÛÛØßáÐ
ÒßÞÛïàÝëåÚÞÞàÔØÝÐâÐå(ÕáÛØßÞÛîá
ÒÛÕÒÞÜäÞÚãáÕ):

=

a
2

c
2

=a
1

"
cos
'
(5)
60
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N

=

a
2

c
2

=a
1

"
cos
'
(5)
µáÛØßÞÛïàÝãîÞáìÝÐßàÐÒØâìÒßàÞâØÒÞßÞÛÞÖÝãîáâÞàÞÝã,ØÛØßÕ-
àÕÜÕáâØâìßÞÛîáÒ
ßàÐÒëÙ
äÞÚãá,âÞãàÐÒÝÕÝØÕÑãÔÕâØÜÕâìÒØÔ:
61
I.2.1.ÍÛÛØßá
-








u
J
J
J
J
J
u

'
F
1
F
2
M
N

=

a
2

c
2

=a
1

"
cos
'
(5)
µáÛØßÞÛïàÝãîÞáìÝÐßàÐÒØâìÒßàÞâØÒÞßÞÛÞÖÝãîáâÞàÞÝã,ØÛØßÕ-
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74
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
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I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
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76
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
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:
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+
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4
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y
2
:
77
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
x
+
p
2
=
r

x

p
2

2
+
y
2
:
²Þ×ÒÕÔÕÜÛÕÒãîØßàÐÒãîçÐáâØíâÞÓÞàÐÒÕÝáâÒÐÒÚÒÐÔàÐâ,ßÞÛãçØÜ
x
2
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xp
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p
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4
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x
2

xp
+
p
2
4
+
y
2
:
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ÚÐÝÞÝØçÕáÚÞÕãàÐÒÝÕÝØÕßÐàÐ-
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ÒÔÕÚÐàâÞÒëåÚÞÞàÔØÝÐâÐå:
78
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
x
+
p
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=
r

x

p
2

2
+
y
2
:
²Þ×ÒÕÔÕÜÛÕÒãîØßàÐÒãîçÐáâØíâÞÓÞàÐÒÕÝáâÒÐÒÚÒÐÔàÐâ,ßÞÛãçØÜ
x
2
+
xp
+
p
2
4
=
x
2

xp
+
p
2
4
+
y
2
:
ÀÐÒÝÞáØÛìÝÞáâìßÞÛãçÕÝÝëåãàÐÒÝÕÝØÙßàÞÒÕàïâìÝÕÑãÔÕÜ.¿ÞáÛÕ
ßàÞáâëåßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐÝØÙßÞÛãçØÜ
ÚÐÝÞÝØçÕáÚÞÕãàÐÒÝÕÝØÕßÐàÐ-
ÑÞÛë
ÒÔÕÚÐàâÞÒëåÚÞÞàÔØÝÐâÐå:
y
2
=2
px
(7)
79
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
ÃàÐÒÝÕÝØÕßÐàÐÑÞÛëÒßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ.
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ÒäÞÚãá,ßÞÛïàÝãîÞáìÝÐßàÐÒØÜßÕàßÕÝÔØÚãÛïàÝÞÔØàÕÚâàØáÕ,ÝÐ-
ßàÐÒÛÕÝØÕÝÐßÞÛïàÝÞÙÞáØ

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1

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x
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2
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2

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2
px
=
y
2
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F
(
p=
2;0)

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81
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
ÁàÐÒÝØÒÐïàÐááâÞïÝØï
Þâ
M
ÔÞäÞÚãáÐØÔÞÔØàÕÚâàØáë,ßÞÛãçØÜ
ãàÐÒÝÕÝØÕ

=
p
+

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':
82
I.2.3.¿ÐàÐÑÞÛÐ
ÁàÐÒÝØÒÐïàÐááâÞïÝØï
Þâ
M
ÔÞäÞÚãáÐØÔÞÔØàÕÚâàØáë,ßÞÛãçØÜ
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p
+

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':
ÍâÞãàÐÒÝÕÝØÕÛÕÓÚÞßàÕÞÑàÐ×ÞÒÐâìÚÒØÔã

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p
1

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'
(8)
ÝÐ×ëÒÐÕÜÞÜã
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5
.
98
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r
d
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"
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"
=1
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1

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'
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"
=1
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k
ÔÛïÚÐÖÔÞÙØ×íâØåÚàØÒëåØÜÕÕâÒÕáìÜÐßàÞ×àÐç-
ÝëÙÓÕÞÜÕâàØçÕáÚØÙáÜëáÛ:íâÞàÐááâÞïÝØÕÞâäÞÚãáÐÔÞâÞçÚØßÕàÕ-
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99

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b

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1



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4
@
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4

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1
F
2
ss
F
3
F
4
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9
.
1

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x
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2

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x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
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3

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4

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x
2
a
2

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2
b
2
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1
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2

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F
3
;F
4

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100
I.5.¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕÛØÝØÙÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐáßÞÜÞéìî
íÚáæÕÝâàØáØâÕâÐØÔØàÕÚâàØáë
¸ÝÞÓÔÐàÐááÜÞâàÕÝÝëÕÝÐÜØÛØÝØØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐÒÒÞÔïâáïÝÕ
ÞßàÕÔÕÛÕÝØïÜØ
3
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4
,
5
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âÕÞàÕÜÕ
1
ÞáÒÞÙáâÒÕÔØàÕÚâàØáë
.
101
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íÚáæÕÝâàØáØâÕâÐØÔØàÕÚâàØáë
°ØÜÕÝÝÞ,àÐááÜÐâàØÒÐîâáïÛØÝØØ,ÞßàÕÔÕÛÕÝÝëÕáÛÕÔãîéØÜÞÑ-
àÐ×ÞÜ:ßãáâì
"

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F

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P

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ÓÔÐáÞÞâÒÕâáâÒãîéÐïÛØÝØïßàÕÔáâÐÒÛïÕâáÞÑÞÙÓÕÞÜÕâàØçÕáÚÞÕÜÕ-
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r
d
=
"
,ÓÔÕ
d

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âàØáë,
r

àÐááâÞïÝØÕÞââÞçÚØÔÞäÞÚãáÐ.
102
I.5.¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕÛØÝØÙÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐáßÞÜÞéìî
íÚáæÕÝâàØáØâÕâÐØÔØàÕÚâàØáë
¸×ÜÐâÕàØÐÛÐßàÕÔëÔãéØåàÐ×ÔÕÛÞÒáÛÕÔãÕâ,çâÞßàØ
0

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1
ßÞ-
ÛãçÐÕâáïíÛÛØßá,ßàØ
"
=1

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"�
1

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ÑÞÛë,ÑÛØÖÐÙèÐïÚÔÐÝÝÞÜãäÞÚãáã.¸×ÜÕÝÕÝØÕäÞàÜëÛØÝØØÒ×Ð-
ÒØáØÜÞáâØÞâ×ÝÐçÕÝØï
"
(ßàØäØÚáØàÞÒÐÝÝëåäÞÚãáÕØÔØàÕÚâàØáÕ)
Ø×ÞÑàÐÖÕÝÞÝÐ
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10
.
103
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íÚáæÕÝâàØáØâÕâÐØÔØàÕÚâàØáë
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àØá.
11
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ÛØÝØØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ

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k
1

"
cos
'
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"
Ò
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k
(ÐÝÕàÐááâÞïÝØÕ
ÞâäÞÚãáÐÔÞÔØàÕÚâàØáë,ÚÐÚÝÐ
àØá.
10
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104
-
6
12
3
4
5
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x
y
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ÀØá.
10
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1

"
cos
'
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àÞÒÐÝÞàÐááâÞïÝØÕ
m
ÞâäÞÚãáÐÔÞÔØàÕÚâàØáë).
1

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1
1

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:
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,
"
=0
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2
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íÛÛØßá

=
1
1

0
:
5cos
'
,
"
=0
:
5
;
3

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=
1
1

cos
'
,
"
=1
;4

ÓØßÕàÑÞÛÐ

=
1
1

2cos
'
,
"
=2
;
5

ÔØàÕÚâàØáÐ.
105
-
6
ßÞÛïàÝÐï
Þáì
x
y
'
=

2
k

k
12
3
4
ÀØá.
11
.·ÐÒØáØÜÞáâìäÞàÜëÛØÝØØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ

=
k
1

"
cos
'
ÞâíÚáæÕÝâàØáØâÕâÐ(×ÐäØÚ-
áØàÞÒÐÝÞçØáÛÞ
k
,ÔØàÕÚâàØáÐØÜÕÕâãàÐÒÝÕÝØÕ
x
=

k
"
ÒáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
Oxy
ØãàÐÒÝÕÝØÕ

=

k
"
cos
'
ÒßÞÛïàÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ).
1

íÛÛØßá

=
1
1

0
:
2cos
'
,
"
=0
:
2
;2

íÛÛØßá

=
1
1

0
:
5cos
'
,
"
=0
:
5
;
3

ßÐàÐÑÞÛÐ

=
1
1

cos
'
,
"
=1
;4

ÓØßÕàÑÞÛÐ

=
1
1

2cos
'
,
"
=2
.
106
I.6.ÆØÛØÝÔàØçÕáÚÐïØáäÕàØçÕáÚÐïáØáâÕÜëÚÞÞàÔØ-
ÝÐâ
¿ãáâìÒßàÞáâàÐÝáâÒÕ×ÐÔÐÝÐßàïÜÞãÓÞÛìÝÐïÔÕÚÐàâÞÒÐáØáâÕÜÐ
ÚÞÞàÔØÝÐâ
K
(
x;y;z
)
.
107
I.6.1.ÆØÛØÝÔàØçÕáÚÐïáØáâÕÜÐÚÞÞàÔØÝÐâ
ÆØÛØÝÔàØçÕáÚÐïáØáâÕÜÐÚÞÞàÔØÝÐâ
âàÞÙÚÕçØáÕÛ
(

;
'
;
z
)
áâÐ-
ÒØâÒáÞÞâÒÕâáâÒØÕâÞçÚãßàÞáâàÐÝáâÒÐáßàïÜÞãÓÞÛìÝëÜØÔÕÚÐàâÞ-
ÒëÜØÚÞÞàÔØÝÐâÐÜØ
(
x
;
y
;
z
)
,ÓÔÕ
(
x
;
y
)

ÚÞÞàÔØÝÐâëâÞçÚØÝÐßÛÞá-
ÚÞáâØáßÞÛïàÝëÜØÚÞÞàÔØÝÐâÐÜØ
(

;
'
)
,ÓÔÕßÞÛïàÝÐïÞáìáÞÒßÐÔÐÕâ
áÞáìîÐÑáæØáá,ÐßÞÛîá

áÝÐçÐÛÞÜÚÞÞàÔØÝÐâ.½ÕâàãÔÝÞÒëçØá-
ÛØâì,çâÞßÕàÕåÞÔÞâæØÛØÝÔàØçÕáÚÞÙÒÔÕÚÐàâÞÒãáØáâÕÜãÚÞÞàÔØÝÐâ
ÞáãéÕáâÒÛïÕâáïßÞäÞàÜãÛÐÜ
8

:
x
=

cos
'
y
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'
x
=
z
;
�!
r
=

cos
'
�!
i
+

sin
'
�!
j
+
z
�!
k
:
(9)
108
I.6.2.ÁäÕàØçÕáÚÐïáØáâÕÜÐÚÞÞàÔØÝÐâ
ÁäÕàØçÕáÚÐïáØáâÕÜÐÚÞÞàÔØÝÐâ
âàÞÙÚÕçØáÕÛ
(
r
;
'
;

)
áâÐÒØâÒ
áÞÞâÒÕâáâÒØÕâÞçÚãßàÞáâàÐÝáâÒÐ,àÐÔØãá-ÒÕÚâÞàÚÞâÞàÞÙØÜÕÕâÔÛØ-
Ýã
r
ØÞÑàÐ×ãÕâáÞáìîÐßßÛØÚÐâ
2
ãÓÞÛ

,ÐßàÞÕÚæØïíâÞÓÞàÐÔØãáÐ-
ÒÕÚâÞàÐÝÐßÛÞáÚÞáâì
xOy
ÞÑàÐ×ãÕâáÞáìî
Ox
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'
.¿àØäØÚáØ-
àÞÒÐÝÝëå×ÝÐçÕÝØïåßÕàÕÜÕÝÝëå
r
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r
0
Ø
'
=
'
0
ßÞÛãçÐîâáïÚàãÓØ,
ÝÐ×ëÒÐÕÜëÕÝÐÓÛÞÑãáÕàÐÔØãáÐ
r
0
ßÐàÐÛÛÕÛïÜØ
,ßàØäØÚáØàÞÒÐÝ-
Ýëå×ÝÐçÕÝØïåßÕàÕÜÕÝÝëå
r
Ø

ßÞÛãçÐîâáïÚàãÓØ,ÝÐ×ëÒÐÕÜëÕÝÐ
ÓÛÞÑãáÕ
ÜÕàØÔØÐÝÐÜØ
(ÝÞÒßÞáÛÕÔÝÕÜáÛãçÐÕãÓÞÛÞâáçØâëÒÐÕâáï
ÞâáÕÒÕàÝÞÓÞßÞÛîáÐ,ÐÝÕÞâíÚÒÐâÞàÐ
3
).¿àØäØÚáØàÞÒÐÝÝëå×ÝÐçÕ-
ÝØïåßÕàÕÜÕÝÝëå
'
=
'
0
Ø

=

0
ßÞÛãçÐÕÜÛãç,ÒëåÞÔïéØÙØ×ÝÐçÐÛÐ
ÚÞÞàÔØÝÐâ.
2
¸ÝÞÓÔÐßÞÔ

ßÞÝØÜÐîâãÓÞÛÜÕÖÔãàÐÔØãáÞÜ-ÒÕÚâÞàÞÜâÞçÚØØ
ßÛÞáÚÞáâìî
xOy
.
3
ÃÓÞÛÞâáçØâëÒÐÕâáïÞâíÚÒÐâÞàÐÒáÛãçÐÕ,ÚÞÓÔÐßÞÔ

ßÞÝØÜÐîâãÓÞÛÜÕÖÔãàÐÔØãáÞÜ-ÒÕÚâÞàÞÜ
âÞçÚØØ
ßÛÞáÚÞáâìî
xOy
.
109
I.6.3.¿ÕàÕåÞÔÞâáäÕàØçÕáÚÞÙÒÔÕÚÐàâÞÒãßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝãîáØáâÕÜãÚÞÞàÔØÝÐâ
¿ÕàÕåÞÔÞâáäÕàØçÕáÚÞÙÒÔÕÚÐàâÞÒãßàïÜÞãÓÞÛìÝãîáØáâÕÜãÚÞ-
ÞàÔØÝÐâÞáãéÕáâÒÛïÕâáïßÞäÞàÜãÛÐÜ
8

:
x
=
r
cos
'
sin

y
=
r
sin
'
sin

x
=
r
cos

;
�!
r
=
r
cos
'
sin

�!
i
+
r
sin
'
sin

�!
j
+
r
cos

�!
k
:
(10)
110
II.¿ÞÒÕàåÝÞáâØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ6.
¿ÞÒÕàåÝÞáâì

ÝÐ×ëÒÐÕâáï
ßÞÒÕàåÝÞáâìîÒâÞ-
àÞÓÞßÞàïÔÚÐ
âÞÓÔÐØâÞÛìÚÞâÞÓÔÐ,ÚÞÓÔÐÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
Oxyz
ÞÝÐØÜÕÕâãàÐÒÝÕÝØÕ
x
2
+
y
2
+
z
2
+
pxy
+
qxz
+
ryz
+
ux
+
vy
+
wz
+

=0
;
ÓÔÕåÞâïÑëÞÔØÝØ×ÚÞíääØæØÕÝâÞÒ
; ; ;p;q;r
ÞâÛØçÕÝÞâ
ÝãÛï.
111
II.¿ÞÒÕàåÝÞáâØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ6.
¿ÞÒÕàåÝÞáâì

ÝÐ×ëÒÐÕâáï
ßÞÒÕàåÝÞáâìîÒâÞ-
àÞÓÞßÞàïÔÚÐ
âÞÓÔÐØâÞÛìÚÞâÞÓÔÐ,ÚÞÓÔÐÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
Oxyz
ÞÝÐØÜÕÕâãàÐÒÝÕÝØÕ
x
2
+
y
2
+
z
2
+
pxy
+
qxz
+
ryz
+
ux
+
vy
+
wz
+

=0
;
ÓÔÕåÞâïÑëÞÔØÝØ×ÚÞíääØæØÕÝâÞÒ
; ; ;p;q;r
ÞâÛØçÕÝÞâ
ÝãÛï.
¼ÞÖÝÞßÞÚÐ×Ðâì,çâÞÛîÑÐïßÞÒÕàåÝÞáâìÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐïÒÛïÕâ-
áïÛØÑÞæØÛØÝÔàØçÕáÚÞÙßÞÒÕàåÝÞáâìî,ÛØÑÞÔÛïÝÕÕÝÐÙÔÕâáïâÐÚÐï
ÔÕÚÐàâÞÒÐßàïÜÞãÓÞÛìÝÐïáØáâÕÜÐÚÞÞàÔØÝÐâ,ÒÚÞâÞàÞÙãàÐÒÝÕÝØÕ
íâÞÙßÞÒÕàåÝÞáâØØÜÕÕâÞÔØÝØ×áÛÕÔãîéØåÒØÔÞÒ:
112
II.¿ÞÒÕàåÝÞáâØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ

x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1

íÛÛØßáÞØÔ;

x
2
a
2
+
y
2
b
2

z
2
c
2
=1

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x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
=1

ÔÒãßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔ;

x
2
a
2
+
y
2
b
2

z
2
c
2
=0

ÚÞÝãá;

z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2

íÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ;

z
=
x
2
a
2

y
2
b
2

ÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ;
113
II.¿ÞÒÕàåÝÞáâØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ
´ÛïßÞáâàÞÕÝØïíâØåßÞÒÕàåÝÞáâÕÙÞÑëçÝÞßàØÜÕÝïÕâáï
ÜÕâÞÔ
áÕçÕÝØÙ
.½ÐßàØÜÕà,àÐááÜÞâàØÜíÛÛØßáÞØÔ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1
.
ÁÕçÕÝØïíâÞÙßÞÒÕàåÝÞáâØßÛÞáÚÞáâïÜØ
x
=
x
0
ïÒÛïîâáïíÛ-
ÛØßáÐÜØ
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1

x
2
0
a
2
.ÍâØíÛÛØßáë

áÚÞÛì×ïâ

ßÞíÛÛØß-
áÐÜ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1

z
2
0
c
2
.ÁÛÕÔÞÒÐâÕÛìÝÞ,ßÞÛãçÐÕâáïäØÓãàÐ,ßÞÔÞÑÝÐï
Ø×ÞÑàÐÖÕÝÝÞÙÝÐàØáãÝÚÕ
12
.²ÝÕèÝØÙÒØÔÞáâÐÛìÝëåäØÓãàØ×ÞÑ-
àÐÖÕÝÝÐàØáãÝÚÐå
13
,
14
,
15
.
114
II.¿ÞÒÕàåÝÞáâØÒâÞàÞÓÞßÞàïÔÚÐ
¾ÑàÐâØâÕÒÝØÜÐÝØÕÝÐàØá.
13
,Ø×ÚÞâÞàÞÓÞÒØÔÝÞ,ÚÐÚØ×ÜÕÝïÕâ-
áïäØÓãàÐ
x
2
a
2
+
y
2
b
2

z
2
c
2
=
d
ßàØØ×ÜÕÝÕÝØØßÐàÐÜÕâàÐ
d
.¿àØ
d�
0
ßÞÛãçÐÕÜÞÔÝÞßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔ.ÁãÜÕÝìèÕÝØÕÜ
d

ßÕàÕâïÖ-
ÚÐ

4
ßÞáâÕßÕÝÝÞ

áâïÓØÒÐÕâáï

.¿àØ
d
=0
íâÐ

ßÕàÕâïÖÚÐ

ßàÕÒàÐ-
éÐÕâáïÒâÞçÚã

ÝÐçÐÛÞÚÞÞàÔØÝÐâ.ºÞÓÔÐ
d
áâÐÝÞÒØâáïÞâàØæÐâÕÛì-
ÝëÜ,

áÒï×ì

ÜÕÖÔãÒÕàåÝÕÙØÝØÖÝÕÙçÐáâìîäØÓãàëàÐ×àëÒÐÕâáï,
ØíâÐäØÓãàÐßàÕÒàÐéÐÕâáïÒÔÒãßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔ.½ÐßàØÜÕà,
ßàØ
d
=

1
ßÞÛãçÐÕÜÔÒãßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔ
x
2
a
2
+
y
2
b
2

z
2
c
2
=

1
,
ÚÐÝÞÝØçÕáÚÞÕãàÐÒÝÕÝØÕÚÞâÞàÞÓÞßÞÛãçÐÕâáïØ×íâÞÓÞãàÐÒÝÕÝØï
ãÜÝÞÖÕÝØÕÜÞÑÕØåçÐáâÕÙàÐÒÕÝáâÒÐÝÐ

1
:

x
2
a
2

y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1
.
4
¸ÜÕÕâáïÒÒØÔãíÛÛØßá
(
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
d
z
=0
.
115
X
X
X
X
Xz




6
x
y
z
ÀØá.
12
.ÍÛÛØßáÞØÔ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1
.
116
X
X
X
X
Xz



6
x
y
z
Ð)
X
X
X
X
Xz




6
x
y
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X
X
X
X
Xz



6
x
y
z
Ò)
ÀØá.
13
.
Ð)¾ÔÝÞßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔ
x
2
a
2
+
y
2
b
2

z
2
c
2
=1
;
Ñ)ºÞÝãá
x
2
a
2
+
y
2
b
2

z
2
c
2
=0
;
Ò)´ÒãßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔ

x
2
a
2

y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1
.
117
X
X
X
Xz



6
x
y
z
X
X
X
Xz



6
x
y
z
ÀØá.
14
.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
(Ø×ÞÑàÐÖÕÝÐÞÔÝÐØâÐÖÕ
ßÞÒÕàåÝÞáâì)
118
-




6
x
y
z
-









6
x
y
z
ÀØá.
15
.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
(Ø×ÞÑàÐÖÕÝÐÞÔÝÐØâÐÖÕ
ßÞÒÕàåÝÞáâì)
119
II.1.¿ÐàÐÑÞÛÞØÔë
ÀÐááÜÞâàØÜßÞÒÕàåÝÞáâØÒØÔÐ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
Ø
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
.
120
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
x
=0
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
8

:
x
=0
;
z
=
y
2
b
2
:
121
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
x
=0
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
x
=0
;
z
=
y
2
b
2
:
122
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
z
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
8

:
z
=1
;
1=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
:
123
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
z
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
íÛÛØßá:
8

:
z
=1
;
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
:
124
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
z
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
íÛÛØßá:
8

:
z
=1
;
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
:
125
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
z
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
íÛÛØßá:
8

:
z
=2
;
x
2
2
a
2
+
y
2
2
b
2
=1
:
126
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
z
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
íÛÛØßá:
8

:
z
=3
;
x
2
3
a
2
+
y
2
3
b
2
=1
:
127
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
z
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
íÛÛØßá:
8

:
z
=4
;
x
2
4
a
2
+
y
2
4
b
2
=1
:
128
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
8

:
y
=

1
;
5
;
z
=
x
2
a
2
+
2
;
25
b
2
:
129
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

1
;
5
;
z
=
x
2
a
2
+
2
;
25
b
2
:
130
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

1
;
z
=
x
2
a
2
+
1
b
2
:
131
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

0
;
5
;
z
=
x
2
a
2
+
0
;
25
b
2
:
132
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=0
;
z
=
x
2
a
2
:
133
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=1
;
z
=
x
2
a
2
+
1
b
2
:
134
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=1
;
5
;
z
=
x
2
a
2
+
2
;
25
b
2
:
135
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ7.
ÍÛÛØßâØçÕáÚØÜßÐàÐ-
ÑÞÛÞØÔÞÜ
ÜëÝÐ×ÞÒÕÜßÞÒÕàåÝÞáâì,
ÚÞâÞàãîÜÞÖÝÞÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝÞÙÔÕÚÐàâÞÒÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞà-
ÔØÝÐâ×ÐÔÐâìãàÐÒÝÕÝØÕÜ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
.
136
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ7.
ÍÛÛØßâØçÕáÚØÜßÐàÐ-
ÑÞÛÞØÔÞÜ
ÜëÝÐ×ÞÒÕÜßÞÒÕàåÝÞáâì,
ÚÞâÞàãîÜÞÖÝÞÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝÞÙÔÕÚÐàâÞÒÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞà-
ÔØÝÐâ×ÐÔÐâìãàÐÒÝÕÝØÕÜ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
.
¾çÕÒØÔÝÞ,çâÞßàØ
a
=
b
ÒáÕçÕÝØïå
z
=
const
ÑãÔãâßÞÛãçÐâìáïÞÚàãÖÝÞáâØ.
137
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ7.
ÍÛÛØßâØçÕáÚØÜßÐàÐ-
ÑÞÛÞØÔÞÜ
ÜëÝÐ×ÞÒÕÜßÞÒÕàåÝÞáâì,
ÚÞâÞàãîÜÞÖÝÞÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝÞÙÔÕÚÐàâÞÒÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞà-
ÔØÝÐâ×ÐÔÐâìãàÐÒÝÕÝØÕÜ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
.
¾çÕÒØÔÝÞ,çâÞßàØ
a
=
b
ÒáÕçÕÝØïå
z
=
const
ÑãÔãâßÞÛãçÐâìáïÞÚàãÖÝÞáâØ.
ÂÐÚØÜÞÑàÐ×ÞÜ,ßÐàÐÑÞÛÞØÔ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
a
2
ÜÞÖÕâÑëâìßÞÛãçÕÝÒàÐ-
éÕÝØÕÜßÐàÐÑÞÛë
8

:
y
=0
;
z
=
x
2
a
2
ÒÞÚàãÓÞáØÐßßÛØÚÐâ,â.Õ.ÞáØ
Oz
.
138
II.1.1.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ7.
ÍÛÛØßâØçÕáÚØÜßÐàÐ-
ÑÞÛÞØÔÞÜ
ÜëÝÐ×ÞÒÕÜßÞÒÕàåÝÞáâì,
ÚÞâÞàãîÜÞÖÝÞÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞ-
ãÓÞÛìÝÞÙÔÕÚÐàâÞÒÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞà-
ÔØÝÐâ×ÐÔÐâìãàÐÒÝÕÝØÕÜ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
.
¾çÕÒØÔÝÞ,çâÞßàØ
a
=
b
ÒáÕçÕÝØïå
z
=
const
ÑãÔãâßÞÛãçÐâìáïÞÚàãÖÝÞáâØ.
ÂÐÚØÜÞÑàÐ×ÞÜ,ßÐàÐÑÞÛÞØÔ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
a
2
ïÒÛïÕâáïçÐáâÝëÜáÛãçÐÕÜ
ßÞÒÕàåÝÞáâØÒàÐéÕÝØï
.
139
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
ÂÕßÕàìßÞáâàÞØÜßÞÒÕàåÝÞáâì
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
.
140
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
x
=0
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
8

:
x
=0
;
z
=

y
2
b
2
:
141
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
x
=0
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
x
=0
;
z
=

y
2
b
2
:
142
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
8

:
y
=

2
;
z
=
x
2
a
2

4
b
2
:
143
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

2
;
z
=
x
2
a
2

4
b
2
:
144
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

1
;
5
;
z
=
x
2
a
2

2
;
25
b
2
:
145
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

1
;
z
=
x
2
a
2

1
b
2
:
146
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=

0
;
5
;
z
=
x
2
a
2

0
;
25
b
2
:
147
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=0
;
z
=
x
2
a
2
:
148
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=1
;
z
=
x
2
a
2

1
b
2
:
149
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=1
;
5
;
z
=
x
2
a
2

2
;
25
b
2
:
150
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
²ãàÐÒÝÕÝØØ
z
=
x
2
a
2

y
2
b
2
ßÞÛÞÖØÜ
y
=
const
.
²áÕçÕÝØØßÞÛãçØÜ
ßÐàÐÑÞÛã:
8

:
y
=2
;
z
=
x
2
a
2

4
b
2
:
151
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ8.
¿ÞÒÕàåÝÞáâì,ÚÞâÞ-
àãîÜÞÖÝÞÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞãÓÞÛì-
ÝÞÙÔÕÚÐàâÞÒÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
×ÐÔÐâìãàÐÒÝÕÝØÕÜ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
,ÝÐ×ë-
ÒÐÕâáï
ÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÜßÐàÐÑÞÛÞØ-
ÔÞÜ
.
152
II.1.2.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔ
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ8.
¿ÞÒÕàåÝÞáâì,ÚÞâÞ-
àãîÜÞÖÝÞÒÝÕÚÞâÞàÞÙßàïÜÞãÓÞÛì-
ÝÞÙÔÕÚÐàâÞÒÞÙáØáâÕÜÕÚÞÞàÔØÝÐâ
×ÐÔÐâìãàÐÒÝÕÝØÕÜ
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
,ÝÐ×ë-
ÒÐÕâáï
ÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÜßÐàÐÑÞÛÞØ-
ÔÞÜ
.
¸ÝÞÓÔÐíâãßÞÒÕàåÝÞáâìÝÐ×ëÒÐîâ

áÕÔ-
ÛÞÜ

.
153
II.2.ÆØÛØÝÔàë
ÀÐááÜÞâàØÜßÞÒÕàåÝÞáâØ,×ÐÔÐÝÝëÕãàÐÒÝÕÝØïÜØÒØÔÐ
f
(
x
;
y
)=0
,
â.Õ.ãàÐÒÝÕÝØïÜØ,ÒÚÞâÞàëåÞâáãâáâÒãÕâïÒÝÐï×ÐÒØáØÜÞáâìÞâ
z
.
154
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
.
155
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
2
.
156
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
2
.
157
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
4
.
158
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
4
.
159
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
6
.
160
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
6
.
161
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

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2
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2
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z
=0
;
8
.
162
II.2.1.³ØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2

y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
8
.
163
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¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
.
164
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
2
.
165
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
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z
=

0
;
2
.
166
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
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z
=0
;
4
.
167
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
4
.
168
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
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z
=0
;
6
.
169
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
6
.
170
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
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z
=0
;
8
.
171
II.2.2.¿ÐàÐÑÞÛØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
y
=
px
2
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
8
.
172
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
.
173
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
2
.
174
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
2
.
175
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
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2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
4
.
176
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
4
.
177
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
6
.
178
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
6
.
179
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=0
;
8
.
180
II.2.3.ÍÛÛØßâØçÕáÚØÙæØÛØÝÔà
¿àÞÒÕÔÕÜáÕçÕÝØÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
ßÛÞáÚÞáâìî
z
=

0
;
8
.
181
II.3.¿ÞÒÕàåÝÞáâìÒàÐéÕÝØï
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ9.
¿ÞÒÕàåÝÞáâìîÒàÐéÕÝØï
ÝÐ×ëÒÐÕâáïßÞÒÕàå-
ÝÞáâì,ßÞÛãçÕÝÝÐïÒàÐéÕÝØÕÜÛØÝØØÞâÝÞáØâÕÛìÝÞÚÐÚÞÙ-
ÛØÑÞÞáØÒáÛãçÐÕ,ÚÞÓÔÐÛØÑÞÛØÝØïÝÕïÒÛïÕâáïßÛÞáÚÞÙ,ÛØÑÞ
Þáì
ÝÕßÕàßÕÝÔØÚãÛïàÝÐ
ßÛÞáÚÞáâØ,ÒÚÞâÞàÞÙÛÕÖØâíâÐÛØÝØï.
182
II.3.¿ÞÒÕàåÝÞáâìÒàÐéÕÝØï
¾ßàÕÔÕÛÕÝØÕ9.
¿ÞÒÕàåÝÞáâìîÒàÐéÕÝØï
ÝÐ×ëÒÐÕâáïßÞÒÕàå-
ÝÞáâì,ßÞÛãçÕÝÝÐïÒàÐéÕÝØÕÜÛØÝØØÞâÝÞáØâÕÛìÝÞÚÐÚÞÙ-
ÛØÑÞÞáØÒáÛãçÐÕ,ÚÞÓÔÐÛØÑÞÛØÝØïÝÕïÒÛïÕâáïßÛÞáÚÞÙ,ÛØÑÞ
Þáì
ÝÕßÕàßÕÝÔØÚãÛïàÝÐ
ßÛÞáÚÞáâØ,ÒÚÞâÞàÞÙÛÕÖØâíâÐÛØÝØï.
¿àØÜÕàÐÜØßÞÒÕàåÝÞáâÕÙÒàÐéÕÝØïïÒÛïîâáïæØÛØÝÔà
x
2
+
y
2
=
R
2
,ÚÞÝãá
z
2
c
2
=
x
2
+
y
2
,ßÐàÐÑÞÛÞØÔ
pz
=
x
2
+
y
2
ØÔà.
183
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
¿ÞÒÕàåÝÞáâìÝÐ×ëÒÐÕâáï
ÛØÝÕÙçÐâÞÙ
,ÕáÛØÕÕÜÞÖÝÞÞÑàÐ×ÞÒÐâì
ÔÒØÖÕÝØÕÜßàïÜÞÙÛØÝØØ(ÞÑàÐ×ãîéÕÙ).¸×ßÞÒÕàåÝÞáâÕÙÒâÞàÞÓÞ
ßÞàïÔÚÐÛØÝÕÙçÐâëÜØïÒÛïîâáïæØÛØÝÔàëØÚÞÝãáë.°âÐÚÖÕÞÔ-
ÝÞßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔØÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔïÒÛïîâáï
ÛØÝÕÙçÐâëÜØ
ßÞÒÕàåÝÞáâïÜØ.
¿ÞÒÕàåÝÞáâì,ÞÑàÐ×ãÕÜÐïÔÒØÖÕÝØÕÜßàïÜÞÙÛØÝØØ(ÞÑàÐ×ãîéÕÙ),
ßÐàÐÛÛÕÛìÝÞÙÝÕßÞÔÒØÖÝÞÙßàïÜÞÙ,ÝÐ×ëÒÐÕâáï
æØÛØÝÔàØçÕáÚÞÙ
.
²áïÚÐïÛØÝØï,ÚÞâÞàãîÞÑàÐ×ãîéÐïßÕàÕáÕÚÐÕâÒÛîÑÞÜáÒÞÕÜßÞ-
ÛÞÖÕÝØØ,ÝÐ×ëÒÐÕâáïÝÐßàÐÒÛïîéÕÙ.
¿ÞÒÕàåÝÞáâì,ÞÑàÐ×ãÕÜÐïÔÒØÖÕÝØÕÜßàïÜÞÙÛØÝØØ(ÞÑàÐ×ãîéÕÙ),
ßàÞåÞÔïéÕÙçÕàÕ×ÝÕßÞÔÒØÖÝãîâÞçÚã(ÒÕàèØÝÐßÞÒÕàåÝÞáâØ),ÝÐ-
×ëÒÐÕâáï
ÚÞÝØçÕáÚÞÙ
.²áïÚÐï(ÝÕßàÞåÞÔïéÐïçÕàÕ×ÒÕàèØÝã)ÛØ-
ÝØï,ÚÞâÞàãîÞÑàÐ×ãîéÐïßÕàÕáÕÚÐÕâÒÛîÑÞÜáÒÞÕÜßÞÛÞÖÕÝØØ,ÝÐ-
×ëÒÐÕâáïÝÐßàÐÒÛïîéÕÙ.
184
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
¾ÔÝÞßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔØÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔïÒ-
Ûïîâáï
ÛØÝÕÙçÐâëÜØßÞÒÕàåÝÞáâïÜØ
,â.Õ.ÜÞÓãâÑëâìßàÕÔáâÐÒÛÕ-
ÝëÒÒØÔÕÞÑêÕÔØÝÕÝØïßàïÜëåÛØÝØÙ.´ÛïíâÞÓÞßÞÚÐÖÕÜ,çâÞÜÞÖ-
ÝÞßàÕÔáâÐÒØâì
x
Ø
y
,ÚÐÚÛØÝÕÙÝëÕäãÝÚæØØÞâ
z
:

x
(
z
)=
k
1
z
+
b
1
;
y
(
z
)=
k
2
z
+
b
2
;
ßàØçÕÜÑãÔÕâÒëßÞÛÝïâìáïàÐÒÕÝáâÒÞ
x
2
(
z
)
a
2
+
y
2
(
z
)
b
2

z
2
c
2
=1
185
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
¿àÕÞÑàÐ×ãÕÜãàÐÒÝÕÝØÕÓØßÕàÑÞÛÞØÔÐÚÒØÔã

x
a

z
c

x
a
+
z
c

=

1

y
b

1+
y
b

:
¿ÞáÛÕÔÝÕÕàÐÒÕÝáâÒÞÑãÔÕâÒëßÞÛÝïâìáï,ÝÐßàØÜÕà,ßàØÚÐÖÔÞÜ
Ø×ãáÛÞÒØÙ,ßàÕÔáâÐÒÛÕÝÝëåÞÔÝÞÙØ×áÛÕÔãîéØåáØáâÕÜãàÐÒÝÕÝØÙ
(×ÔÕáì

,


çØáÛÞÒëÕÚÞÝáâÐÝâë):
8





:


x
a
+
z
c

=


1+
y
b

;


x
a

z
c

=


1

y
b

ØÛØ
8





:


x
a

z
c

=


1+
y
b

;


x
a
+
z
c

=


1

y
b

:
186
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
8





:


x
a
+
z
c

=


1+
y
b

;


x
a

z
c

=


1

y
b

)
187
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
8





:


x
a
+
z
c

=


1+
y
b

;


x
a

z
c

=


1

y
b

)
8



















:
x
=
2
a

2
+

2
+


2


2

a
c
(

2
+

2
)

z;
y
=


2


2

b

2
+

2
+
2
b
c
(

2
+

2
)

z;
z
=
z
188
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
8





:


x
a

z
c

=


1+
y
b

;


x
a
+
z
c

=


1

y
b

:
)
189
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
8





:


x
a

z
c

=


1+
y
b

;


x
a
+
z
c

=


1

y
b

:
)
8



















:
x
=

2
a

2
+

2
+


2


2

a
c
(

2
+

2
)

z;
y
=


2


2

b

2
+

2

2
b
c
(

2
+

2
)

z;
z
=
z:
190
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
ÂÐÚØÜÞÑàÐ×ÞÜ,ÞÔÝÞßÞÛÞáâÝëÙÓØßÕàÑÞÛÞØÔÜÞÖÝÞßàÕÔáâÐÒØâìÒ
ÒØÔÕÞÑêÕÔØÝÕÝØïßàïÜëå,×ÐÔÐÝÝëåíâØÜØãàÐÒÝÕÝØïÜØ.
191
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
°ÝÐÛÞÓØçÝÐïáØâãÐæØïáÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÜßÐàÐÑÞÛÞØÔÞÜ:ÕÓÞ
ãàÐÒÝÕÝØÕÜÞÖÝÞßàÕÔáâÐÒØâìÒÒØÔÕ
z
=

x
a

y
b

x
a
+
y
b

:
¿ÞíâÞÜã,ÕáÛØßÞÛÞÖØâì
x
a

y
b
=

ØÛØ
x
a
+
y
b
=

,âÞßÞÛãçØÜ,
çâÞÓØßÕàÑÞÛØçÕáÚØÙßÐàÐÑÞÛÞØÔÒÚÛîçÐÕâÒáÕÑïßàïÜëÕ,×ÐÔÐÝÝëÕ,
ÝÐßàØÜÕà,áÛÕÔãîéØÜØãàÐÒÝÕÝØïÜØ:
8















:
x
=
a
+
a
b

y;
y
=
y;
z
=

2
+
2

b

y
ØÛØ
8















:
x
=
a

a
b

y;
y
=
y;
z
=

2

2

b

y:
192
II.4.»ØÝÕÙçÐâëÕßÞÒÕàåÝÞáâØ
.
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