При исследовании гиперболы делаем вывод, что это не замкнутая кривая, состоящая из двух, простирающихся в. § 4.5. Характиристики кривых второго порядка.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

Кривые второго порядка.


Определение 1
:
Линией (кривой) второго порядка называется множество {М} точек
плоскости, декартовы координаты (X, Y) которых удовлетворяют
алгебраическому уравнению второй степени:
,
0
2
2
2
0
2
1
2
22
12
2
11







y

x

y

xy

x


(1)

где
0
2
1
22
12
11
,
,
,
,
,







постоянные действительные числа.

Уравнение (1) называется общим уравнением кривой второго порядка.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.


1. Окружность.


Определение 2:

Окружностью называется множе
ство точек, одинаково удаленных от
одной точки называемой центром

Рассмотрим рис. 1.

2
2
oy
ox
OM


Обозначим
;
R
OM

;
x
ox

;
y
oy

Получ
им
2
2
y
x
R


или
2
2
2
y
x
R



2
2
2
R
y
x


(2)

уравнение окружности с центром в точке О.


Рассмотрим окружность с произвольным центром в.
т
).
,
(
0
0
0
y
x
M

Рис.2.

Перенесем начало
O

в т.
0
M
, получим новую систему
координат
x

и
y

, в которой запишем уравнение окружности
2
2
2
)
(
)
(
R
y
x





Выразим
x

и
y

через прежние x и y:
;
0
x
x
x



,
0
y
y
y



тогда
2
2
0
2
0
)
(
)
(
R
y
y
x
x





(3)

уравнение окружности с центром в произвольной точке
).
,
(
0
0
0
y
x
M
, где

)
,
(
0
0
y
x
координаты
центра окружности.

Раскрыв скобки уравнения (3) получим:
2
2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
R
y
yy
y
x
xx
x






и
обозначив:
;
1
0

x


;
2
0

y


,
0
2
0
2
0

R
y
x




получим общее уравнение окружности:
0
2
2
0
2
1
2
2






y

x

y
x
(4)

Таким образом окружность определяется
общим уравнением второго порядка с двумя
переменными, если в нем коэффициенты
при
2
x
и
2
y
равны (равны единицы) и
отсутствует произведение
xy
.



y

x

x

y

O

Рис 1.

).
,
(
0
0
0
y
x
M

0
y

0
x

O

O


y

y

x


x

Рис 2


2. Эллипс.


Определение 3:

Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма
расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная
(большая
расстояния между фокусами ).

Рассмотрим кривую на рис.3, где обозначены :

2
1
,
F
F

фокусы,
c

фокусное расстояние

Выбираем произвольную точку
).
,
(
y
x
M


По определению эллипса
const
M
F
M
F


2
1

Обозначим
,
2

const

тогда
2
2
2
2
1
)
(
)
0
(
)
(
y
c
x
y
c
x
M
F








2
2
2
2
2
)
(
)
0
(
)
(
y
c
x
y
c
x
M
F









По определению
,
2
)
(
)
(
2
2
2
2

y
c
x
y
c
x







после преобразований получим
2
2
4
2
2
2
2
2
2
c


y

x
c
x





или
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c


y

x
c





(*) по определению 2c2

или c, следовательно
,
0
)
(
2
2


c

обозначим эту
разность
,
2
2
2
b
c



подставим в уравнение (*), получим
)
(:
2
2
2
2
2
2
2
2
b

b

y

x
b



1
2
2
2
2


b
y

x
(5)

уравнение эллипса с центром в т.0.

где 

большая полуось ; b

малая по
луось эллипса.

Аналогично уравнению окружности, уравнение эллипса с центром в т
)
,
(
0
0
y
x
M
имеет вид
,
1
)
(
)
(
2
2
0
2
2
0




b
y
y

x
x
(6)

Задав в уравнении (5)
,
0
,
0


y
x
получим

x

x
b
y
b
y






,
,
2
2
2
2

уравнения симметрии

Очевидно , ч
то эллипс симметричен относительно осей координат рис.4.

Зададим в эллипсе
,
b


получим
1
2
2
2
2



y

x

2
2
2

y
x



уравнение окружности, т.о. окружность частный вид
эллипса, у которого полуоси равны между собой.



3
.
Г
ипербола.


Определение 4:

Гиперболой называется геометрическое
место точек, разность расстояний от
каждой из которых до двух данных точек
называемых фокусами есть величина
постоянная, взятая по абсолютной величине и меньшая, чем фокусное
расстояние.
const
M
F
M
F


2
1

Уравнение гиперболы выводится аналогично уравнению эллипса, с условием
,
2
2

c

т.е.
,

c



b

).
,
(
y
x
M



b




O

1
F

y

x

2
F

2C

Рис 3


b



b




O

y

x

Рис 4

y

x

b



M

1
F

2
F

Рис 5

1
2
2
2
2


b
y

x
(7)

коэффициенты ,b,c имеют тот же смысл ,
что в уравнении эллипса рис 5.

При исслед
овании гиперболы делаем вывод, что это не
замкнутая кривая, состоящая из двух, простирающихся в
бесконечность ветвей. Точки (), (

)

называются
вершинами гиперболы, т.0

центром.

Если центр гиперболы лежит в т.

),
,
(
0
0
y
x
M
уравнение (7)
принимает вид
,
1
)
(
)
(
2
2
0
2
2
0




b
y
y

x
x
(8)

Если в уравнении (7) поменять местами

,
y
x

,
b


Получим
1
2
2
2
2



x
b
y
или
1
2
2
2
2



b
y

x
(8а)

где (,

)

мнимые вершины.

Уравнение (8а) называется сопряженной гиперболой . рис 6.

Если b, то
2
2
2
2
2
2
2
1

y
x
b
y

x





(8б)


уравнение равносторонней гиперболы , асимптоты которой расположены под углом


45

.



§ 4.4. Парабола.


Определение 5:

Параболой называется геометрическое место
точек, каждая из которых одинак
ово удалена от
точки, называемой фокусом и от прямой,
называемой директрисой, при условии, что фокус не
лежит на директрисе.

Обозначим
,

kF

рис 7
расстояние от директрисы до фокуса,
,
2
2
x
y


(9)

где 

параметр параболы. В
етви располагаются вдоль оси
OX


,
2
2
y
x


(9а)

уравнение параболы у которой
,
ветви располагаются вдоль оси
OY

)
(
2
)
(
0
2
0
x
x

y
y




(10)


уравнение параболы с вершиной в т.0
)
,
(
0
0
y
x



§ 4.5. Характиристики кривых второго порядка.
Зависимости между ними.


Уравнения (2), (5), (7), (9), называются каноническими уравнениями
кривых 2

го порядка.

Для эллипса и для гиперболы справедливы равенства:


2
2
2
c

b


(12)

эллипс

2
2
2

c
b


(13)

гипербола

которые связывают основные характеристические величины этих
кривых, где , b

большая и малая полуоси, 2c

фокусное растояние

Определение 5:

Назовем эксцентриситетом отношение фокусного расстояния к большой
оси кривой
.
2
2




c

c

y

x

b



Рис 6


b




O

D

x

y

F

N

M

Рис 7

O

D

x

y

F

M

Рис 8

Эксцентриситет характеризует форму кривой

если
0



окружность

1



парабола


c


1


эллипс


c


1


гипербола

Таким образом по

величине м
ожно сделать однозначный вывод о форме кривой.


Прямые
2
1
,
D
D


называются директрисами кривой (рис 8) и вычисляются по формуле:

Эллипс:
,
2
c
b
b
y





если b

Гипербола:
,
2
c
b
b
y




если b

Парабола:
2
/

x


,
2
/

y



Асимптоты гиперболы:
)
(
)
(
0
0
x
x

b
y
y





Пример:

Дан эллипс
400
25
16
2
2


y
x

Определить: длину его осей, координаты вершин и фокусов,
эксцентриситет и уравнения биссектрис.

Решение:

Запишем уравнение в каноничес
ком виде:
1
400
25
400
16
2
2


y
x

После сокращения
1
16
25
2
2


y
x

8
2
4
16
10
2
5
25
2
2






b
b
b




оси

Координаты вершин A(

5, 0); B(0, 4);C(5, 0); D(0,

4).рис 9.

Фокусное расстояние C:
2
2
2
b

c


;
3
16
25
2
2
2






b

c

)
0
,
3
(
1

F
)
0
,
3
(
2
F

координаты фокусов.

Эксцентриситет
.
1
6
,
0
5
3





c

(соответствует
теории).

Директрисы b;
3
,
8
3
25
5
/
3
5





x


6.
Приведение общего уравнения кривой 2

го
порядка к каноническому виду.


Пример:
Привести к каноническо
му виду, построить
кривую и найти ее характеристики:
0
28
36
40
9
4
2
2





y
x
y
x

Задача решается с использованием принципа выделения полного квадрата.


0
28
)
36
9
(
)
40
4
(
2
2






y
y
x
x

0
)
4
4
(
9
)
25
10
(
4
2
2






y
y
x
x

0
36
)
2
(
9
)
5
(
4
2
2





y
x

1
36
)
2
(
9
36
)
5
(
4
2
2




y
x

Рис 9

1
F

2
F
1
D

2
D

A

B

C

D

Рис

1011
Р
1
D

2
D

A

B

О


2

5

x

y

1
4
)
2
(
9
)
5
(
2
2




y
x

Гипербола с центром. (5,

2) 3; b2, A(8,0) ,B(2,0) рис 10.

2
2
2

c
b



2
2
2

b
c



13
9
4



c

1
16
,
1
3
5
,
3
3
13






Директрисы b

13
13
9
13
9



x


§ 4.7. Полярная система координат.


На плоскос
ти выберем некоторую точку О, называемую полюсом
и выходящую из этой точки полупрямую, называемую полярной осью.
(
Рис
11.)


Положение точки М в этой системе определяется двумя числами:
числом
,

, выражающим расстояние от полюса и чи
слом
,

,
величиной угла, образованного отрезком ОМ с положительным
направлением полярной оси.

Числа


,
называются полярными координатами т. М.

Радиус вектор
,

будем считать всегда положитель
ным.

Как полярная система связана с декартовой ?

Совместим две системы. Рис 12

Из прямоугольного треугольника известно, что










sin
cos
y
x

формулы перехода от полярной системы координат
к декартовой.

,
;
2
2
x
y
tg
y
x






формулы перехода от
декартовой системы
координат к полярной.

Очевидно, что
2
2
2
2
sin
;
cos
y
x
y
y
x
x







Пример:
Запишем уравнение окружности
4
2
2


y
x
в полярной системе координат.

2
;
4
;
2
2







y
x

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе к
оординат имеют общий вид:

,
cos
1






где 

фокальный параметр и различаются
значениями параметров.

Значение  для эллипса и гиперболы
.
/
2

b

При е1

парабола

При е1

гипербола

При е1

эллипс

Составим уравнение окружности:

а)
2
2
2
2
2
R
R
y
x





,т.к.
0

R
и

, то
R




уравнение
окружности с центром в полюсе.рис 13.

б)
0
sin
cos
cos
0
2
2
2
2
2
2














y
x
x

0
)
cos
(






0



R

где

2
,
cos





(
рис 14
)


O

)
,
(


M




Рис 11

O

)
,
(
y
x
M

x



Рис 12

y

x

y



O

R



Рис 13

R

R









cos





sin



Рис 14

в)
0
sin
sin
cos
0
2
2
2
2
2
2













k
y
y
x

0
0
)
sin
(










R

где

2
,
sin





(
рис 14
)



§ 4. 8. Построение кривых в полярной системе координат.


Зададим различные значения параметра

(угол поворота полярной оси) и вычислим
величины радиуса

рис 15.



sin
2



















0

0

6
/


1

4
/


2

3
/


3

2
/


2






3
/
2


3

4
/
3


2

6
/
5


1



0

6
/
7



1

2
/
3



2




О

2

Рис 15


Приложенные файлы

  • pdf 3176752
    Размер файла: 299 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий