Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а разность её равна 7. Дано: a13.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Алгоритм решения задач на
основе формул арифметической
прогрессии
Составитель ученица 9 класса школы
при Посольстве РФ в Великобритании
Дудко Елизавета
Учитель математики Щербакова В.Б
.
Из истории

Первые представления о
прогрессиях были ещё у древних
народов.
В клинописных табличках
вавилонян, в египетских пирамидах
(II в. до н. э) встречаются примеры
арифметических прогрессий.
Вот пример задачи из египетского
папируса
Ахмеса
: «Пусть тебе
сказано: раздели 10 мер ячменя
между 10 человеками и, разность же
между каждым человеком и его
соседом равна меры
».

Арифметической прогрессией
называется
последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему
члену, сложенному с одним и тем же числом
a
n+1=
a
n +
d
d
-
разность арифметической пргрессии
Примеры арфметических прогрессий
:
1;2;3;4;5;...
d= 1
-
5;
-
7;
-
9;
-
11;...
d=
-
2
-
4;
-
2;0;2;4;6;...
d= 2
Формула
n
-
го члена
арифметческой
прогрессии
a
n
=a
1
+d(n
-
1)
Решение:
1)
Найдем
d (
разность)
d=8
-
3=5
2)
Подставим значения в
формулу и решим
получившееся уравнение
X
50
=3+5(50
-
1)
X
50
=248
Ответ:
X
50
= 248 (248
-
50
-
ый член
арифметической пргрессии)
Дана
арифметическая
пргрессия
3
;
8
;
13
...
Найти:
a
50
-
?
Задача № 1
Сумма
n
-
первых членов
арифметической прогрессии
Формула суммы арифметической прогрессии
была доказана
Диофаном
(III
в.)
Дана
арифметическая
пргрессия
4; 8; 12...
a
1
=4
Найти:
Сумму первых 15
членов
S
15
-
?
Решение:
1)
Найдем
d (
разность)
d=8
-
4=4
2)
Найдем 15 член прогрессии по формуле
n
-
члена арифмет.
п
рогрессии
a
15
=4 +4(15
-
1)
a
15
=60
3)
Воспользуемся формулой для нахождения
суммы 15 членов
S
15
=480
Задача № 2
Ответ:
S
15
=480
Если задан 1
-
ый член арифметической
прогрессии и разность, то можно
воспользоваться другой формулой суммы
n

первых членов арифметической прогрессии
Дано:
a
1
=3
d=7
Найти:
S
14
-
?
Решение:
Подставим значения в формулу
S
14
= 679
Ответ
:
S
14
= 679
Найдите сумму первых четырнадцати членов
арифметической прогрессии, если первый член равен 3,
а разность её равна 7.
Задача № 3
Способ нахождения разности
По определению арифметическая прогрессия имеет
вид
a
,
a
+
d
,
a
+ 2
d
,
a
+ 3
d
, ...
Это поможет достаточно легко решать некоторые
задачи.

Найдите разность арифметической прогрессии,
если известно что третий член прогрессии равен
3, пятый член прогрессии равен 2.
Задача № 4
Дано:
a
5
=
2
a
3
=
3
Найти:
d
-
?
Решение.
1)
a
5
можно представить так
a
5
=
a
4
+d
=
a
4
+d = a
3
+2d
2) Подставим числа
2=3+2
d
3) Выразим разность
d
и найдем ее:
Ответ
:
d=0.5
Задача № 5
с папируса
Ахмеса

Текст задачи приведён на слайде 2. Речь в ней
идёт об арифметической прогрессии.

Запишем формулу суммы

и выразим из неё
a
1

Вычисления дают следующий результат:
и т.д..Надо прибавлять к следующему результату .

Так мы получим все 10 значений.
Дано:
S
14
=
10
d=
Найти:
a
1
,
a
2,
a
3,
a
4 ͙
a
n
-
?
Сложная задача № 6

Как найти первый положительный член
арифметической прогрессии
-
10,2;
-
9,5?
Дано:
a
1
=
-
10,2
a
2
=
-
9,5
a
n
� 0
Найти:
n
-
?
Решение.
Формула члена арифметической прогрессии:
a
n
=
a
1
+
d
(
n

1 )
В этом примере:
a
1
=
-
10.2,
a
2
=
-
9.5
,
Разность арифметической прогрессии находим по формуле:
d
=
a
2
-
a
1
=
-
9.5
-
(
-
10.2)= 0.7
Искомый член должен быть положительным, т.е. больше
нуля. Составляем неравенство:
a
1
+
d
(
n

1 ) �0
, в нашем случае
-
10.2+0.7(n
-
1)�0
Решаем, находим значение, округляем до большего целого
(получиться 15 с чем
-
то, значит, 15
-
й член прогрессии ещё
отрицательный, а 16
-
уж
e
положительный).
Вычислим его:
a
16
=
-
10,2
+
0,7 ( 16

1 ) =
-
10,3 + 10,5 = 0,3
Ответ
:
n = 16
;
a
16
= 0,3

Приложенные файлы

  • pdf 3018935
    Размер файла: 653 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий