Гиперссылки для быстрого перехода к нужной лекции: Лекция 1. Лекция 2. Лекция 3. Лекция 4. Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Лекция 9. Лекция 10. – Красноярск: изд-во КГТУ, 2003.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО Т ЕОРИИ М ЕХАНИЗМОВ И М АШИН Для направления КТОП всех форм обучения Гиперссылки для быстрого п ерехода к нужной лекции : Лекция 1 . Лекция  . Лекция 3 . Лекция 4 . Лекция 5 . Лекция 6 . Лекция 7 . Лекция 8 . Лекция 9 . Л екция 1 0 . Лекция 1 1 . Лекция 1 2 . Лекция 13 . Лекция 1 4 . Лекция 1 Цель лекции : ознакомиться с сущностью курса теории механизмов и м ашин ; ознакомиться с основными понятиями структуры механизмов. Задачи : 1. Ознакомиться с понятием и проблемами теории механизмов и машин. 2. Ознакомиться с основными понятиями теории механизмов и машин. 3. Ознакомиться с основными понятиями структуры механизмов. Же лаемый результат : студенты должны усвоить основную проблематику теории механизмов и машин и ознакомиться с основными понятиями науки . Учебные вопросы : 1. Понятие теории механизмов и машин. 2. Основные проблемы теории механизмов и машин. 3. Основные понятия теории м еханизмов и машин. 4. Основные понятия структуры механизмов. Введение в курс теории механизмов и машин. Основные пон ятия теории механизмов и машин Теория механизмов и машин ‬ это наука, изучающая строение, кинематику и динамику механизмов и машин в связи с их анализом и синтезом. Проблемы теории механизмов и машин могут быть разбиты на две группы. Первая группа проблем посвящена исследованию структурных, кинематических и динамических свойств существующих механизмов, т.е. анализу механизмов. Вторая группа про блем посвящена проектированию механизмов, имеющих заданные структурные, кинематические и динамические свойства и предназначенных для осуществления требуемых движений, т.е. синтезу механизмов. Курс теории механизмов и машин содержит научные основы анализа и синтеза механизмов. Основные задачи курса ТММ ‬ установление общих принципов, по которым строится механизм и объяснение того, что механизм есть четко упорядоченное соединение твердых тел, осуществляемое по определенным законам; исследование и разработка н аучных положений и технических приемов анализа и синтеза механизмов. Излагаемые в ТММ методы пригодны для проектирования любого механизма и не зависят от его технического назначения, а также физической природы рабочего процесса машины. Научные основы и тех нические приемы, изучаемые в ТММ, базируются на общих законах теоретической механики. Но эти законы используются в ТММ не только для анализа, но и для синтеза (проектирования) механизмов. В этом заключается инженерная направленность курса ТММ. Машина ‬ эт о механизм или комплекс механизмов, предназначенных для сове р шения полезной работы, преобразования энергии одного вида в другой и для облегч е ния физического и умственного труда человека. С точки зрения функционального назначения машины делятся на сл е дующие классы (представить в виде схемы): 1) энергетические машины (двигатели и генераторы); ) рабочие машины (технологические и транспортные); 3) информационные машины (контрольно - управляющие и м атемат и ческие); 4) кибернетические машины. Энергетические машины предназначены для преобразования одного вида эне р гии в другой вид. Машины - двигатели преобразуют различные виды энергии в мех а ническую, а машины - генераторы ‬ наоборот. Рабочие машины предназначены для выполнения механической работы. Техн о логические машины в ыполняют функции преобразования формы, свойств и состо я ния материала или обрабатываемого объекта. К ним относится основное оборудование промышленных предприятий: металлообрабатывающие, деревообрабатывающие станки, прокатные станы, кузнечно - прессовые машины , машины литья под давлением и т.п.; роботы - манипуляторы, предназначенные для выполнения основных технологических операций (сварка, сборка, окраска). Транспортные машины используются для изменения положения пер е мещаемого объекта. К ним относятся автомобили , локомотивы, водный и воздушный транспорт, ракеты - носители, подъемно - транспортные машины; роботы - манипуляторы, предназначенные для выполнения транспортных операций. Информационные машины предназначены для получения и прео б разования информации. Контрольно - управляющие машины преобразуют получаемую ко н трольно - измерительную информацию с целью управления энергетической или раб о чей машинами. Математические машины преобразуют информацию, получаемую в виде различных математических образов, заданных в форме отдельн ых чисел или а л гори т мов. Кибернетическими машины обладают элементами искусственного интеллекта и заменяют или имитируют различные механические, физиологические или биологич е ские процессы, присущие человеку и живой пр и роде. Механизм ‬ это механическая систе ма тел, предназначенная для пр е образования движения одного или нескольких тел в требуемые движения других тел. По функциональному назначению механизмы делятся на: 1) механизмы двигателей и преобразователей; ) передаточные механизмы; 3) исполнительные меха низмы; 4) механизмы управления, контроля и регулирования; 5) различные механизмы более узкой специализации. Механизмы двигателей осуществляют преобразование различных видов энергии в механическую работу. Механизмы преобразователей (генераторов) осуществляю т преобразование механической работы в др у гие виды энергии. Передаточные механизмы предназначены для передачи движения от двигателя к рабочей машине или исполнительным механизмам. Исполнительными называются механизмы, которые непосредс т венно воздействуют н а обрабатываемую среду или объект. Механизмами управления, контроля и регулирования называются различные механизмы и устройства для контроля различных параметров обрабатываемых объе к тов, различные регуляторы. Как правило, современные машины представ ляют собой т.н. машинные устано в ки, т.к. имеют достаточно сложную структуру и состоят из нескольких машин. Состав типичной машинной установки можно предст а вить в виде схемы: Таким образом, к ак сложные системы, машины состоят из следующих функциональных ча стей: механическая часть, двигатели, источники питания, система управления движением. Механическая часть служит для преобразования механической энергии двигателей в энергию требуемых движений рабочих органов машины. Механическая часть, как правило, состоит из нескольких отдельных механизмов. Двигатели, по принципу действия, могут быть тепловыми (например, двигатели внутреннего Система управления ПРИВОД Двиг а тель Передаточный механизм Исполнительный механизм (или р а бочая маш и на) сгорания), электрическими, гидравлическими или пневматическими. И сточники питания могут быть как автономными, так и стационарными. С истема управления движением осуществляет контроль внутреннего состояния машины, управляемых перемещений и состояния внешней среды с помощью датчиков, информация с которых подается на входы вычислительной системы, управляющей энергией источников питания маш ины. Современные машины, системы управления движением которых построены на основе микропроцессорных средств, образуют особый кла сс машин ‬ мехатронные системы . МОДУЛЬ 1. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ. 1.1. Структура механизмов В состав механиз мов входят твёрдые тела , которые называются звеньями . Звенья могут быть и не твёрдыми (например, ремень). Жидкости и газы в ги д ро - и пневмомеханизмах звеньями не считаются. Условное изображение звеньев на кинематических схемах механизмов регламентируется Г ОСТом. Примеры изображения некоторых звеньев прив е дены на рис. 1.1. На кинематических схемах звенья обозначаются арабскими цифрами: 0, 1,  и т.д. Рис. 1.1. Примеры изображения звеньев на кинематических схемах м е ханизмов Звенья бывают : ‬ входные (ведущие) ‬ отличительным признаком их является то, что элементарная работа приложенных к ним сил пол о жительна (работа силы считается положительной, если направление действия силы совпадает с направлением движения точки её приложения или под остр ым углом к ней); ‬ выходные (ведомые) ‬ элементарная работа приложенных к ним сил является отрицательной (работа силы считается отрицательной, если направление действия с и лы противоположно направлению движения точки её приложения); ‬ подвижные ; ‬ неподвиж ные (станина, стойка). Подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев называется кин е матической парой . Она допускает возможность движения одного звена отн о сительно другого. Классификация кинематических пар 1. По элементам соединения звеньев кинематичес кие пары делятся: ‬ на высшие (они имеются, например, в зуб - чатых и кулачковых механизмах) ‬ соединение звень - ев друг с другом происходит по линии или в точке: ‬ низшие ‬ соединение звеньев друг с другом происходит по поверхности. В свою очередь низшие со единения делятся: на вращательные поступательные цилиндрические сферические в плоских механизмах; в пространственных м е ханизмах. . По количеству наложенных связей . Тело, находясь в пространстве (в декартовой системе координат X, Y, Z ) имеет 6 степеней свободы. Оно может перемещаться вдол ь каждой из трёх осей X, Y и Z , а также вращаться вокруг каждой оси (рис. 1.). Если тело (звено) образует с другим телом (звеном) кинематическую пару, то оно теряет одну или несколько из этих 6 степеней свободы. Рис. 1.. Степени свободы тела в простран стве По количеству утраченных телом (звеном) степеней свободы кинематические пары делят на 5 классов. Например, если телами (звеньями), образовавшими к и нематическую пару, утрачено по 5 степеней свободы каждым, эту пару наз ы вают кинематической парой 5 - го класса. Если утрачено 4 степени свободы ‬ 4 - го класса и т.д. Примеры кинематических пар различных классов приведены на рис. 1. 3 . Рис. 1.3. Примеры кинематических пар различных классов По структурно - конструктивному признаку кинематичес кие пары можно раздел и ть на вращательные, поступательные, сферические, цилиндрические и др. Вопросы для самопроверки : 1. Что изучает теория механизмов и машин? 2. Охарактеризуйте понятие «машина». 3. На какие типы разделяются машины по функциональному назначению? 4. Ч то называют механизмом? 5. На какие типы разделяются механизмы по функциональному назначению? 6. Что называют машинной установкой? 7. Что называют мехатронной системой? 8. Что называют деталью механизма , звеном, кинематической парой ? 9. По каким признакам классифицируют кинематические пары? Лекция  Цель лекции : изучение понятия кинематической цепи и основ учения о степенях свободы кинематических цепей. Задачи : 1. Ознакомиться с понятием кинематической цепи. 2. Рассмотреть классификацию кинематических цепей . 3. Изучить понятие степени свободы кинематической цепи. 4. Изучить понятие избыточных связей и лишних степеней свободы. Желаемый результат : студенты должны усвоить основы учения о степенях свободы кинематических цепей. Учебные вопросы : 1. Понятие кинематической ц епи. 2. Классификация кинематических цепей. 3. Понятие степени свободы кинематической цепи. 4. Структурные формулы Сомова - Малышева и Чебышева. 5. Понятие избыточных связей. 6. Понятие лишних степеней свободы. Кинематическая цепь Несколько звеньев, соединённых между собо й кинематическими парами, образуют кинематическую цепь . Кинематические цепи бывают: замкнутые простые; разомкнутые сложные . Чтобы из кинематической цепи получить механизм , необходимо: ‬ одно звено сделать неподвижным, т.е. образовать стан и ну (стойку); ‬ одному или нескольким звеньям задать закон движения (сделать вед у щими) таким образом, чтобы все остальные звенья совершали требуемые целесообразные движения. Число степеней свободы механизма ‬ это число степеней свободы всей кинематической цеп и относительно неподвижного звена (стойки). Для пространственной кинематической цепи в общем виде условно обозн а чим: количество подвижных звеньев ‬ n , количество степеней свободы всех этих звеньев ‬ 6 n , количество кинематических пар 5 - го класса ‬ P 5 , коли чество связей, наложенных кинематическими парами 5 - го класса на звенья, входящие в них, ‬ 5Р 5 , количество кинематических пар 4 - го класса ‬ Р 4 , количество связей, наложенных кинематическими парами 4 - го класса на зв е нья, входящие в них, ‬ 4Р 4 и т.д. Звенья кинематической цепи, образуя кинематические пары с другими звеньями, утрачивают часть степеней свободы. Оставшееся число степеней свободы кинематической цепи относительно стойки можно вычислить по формуле Это структурная формула пространственной кинемат ической цепи, или формула Малышева, получена П.И. Сомовым в 1887 году и развита А.П. Малышевым в 193 году. Величину W называют степенью подвижности механизма (если из кин е матической цепи образован механизм). Для плоской кинематической цепи и соответств енно для плоского мех а низма W = 6n ‬ 5P 5 ‬ 4P 4 ‬ 3P 3 ‬ 2P 2 ‬ P 1 . W = 3n ‬ 2P 5 ‬ P 4 . Эту формулу называют формулой П.Л. Чебышева (1869). Она может быть получена из формулы Малышева при условии, что на плоскости тело о б ладает не шестью, а тремя степенями свободы: W = (6 ‬ 3) n ‬ (5 ‬ 3) P 5 ‬ (4 ‬ 3) P 4 . Величин а W показывает, сколько должно быть у механизма ведущих звеньев (если W = 1 ‬ одно, W = 2 ‬ два ведущих звена и т.д.). Избыточные связи В некоторых случаях при проектировании механизмов для повышения жёсткости конструкции, улучшения условий передачи сил в водятся так наз ы ваемые избыточные (пассивные) связи (дополнительные звенья), (рис. 1.8). Рис. 1. 8 . Механизм с избыточной связью В этом случае степень свободы вычисляется по формуле W = 3 n ‬ 2 P 5 + q = 3 4 - 2 6 + 1 = 1 , где q ‬ число избыточных (пассивных) связей. Лишние степени свободы Лишние степени свободы используются для упрощения кинематической схемы механизма, сокращения потерь при передаче мощности, повышения механического коэффициента полезного действия механизма. Например, между кулачком 1 и толкателем  кулачкового механизма у с танав - ливается ролик 3 для устранения трения (рис. 1. 9 ). Рис. 1.9. Кулачковый механизм с роликовым толкателем Избыточная (пассивная) связь В этом случае степень подвижности ме ханизма, вычисленная по формуле П.Л. Чебышева, буд ет равна : W = 3 n ‬ 2 P 5 ‬ P 4 = 3 3 ‬ 2 3 ‬ 1 = 2. Здесь явно присутствует лишняя степень свободы, а именно вращение ролика под действием силы трения качения. Её следует учитывать при пров е дении структурного анализа данного механизма. Ведь очевидно, что да нный механизм может функционировать и без ролика 3. Но при этом трение качения будет заменено трением скольжения между кулачком и толкателем (высшей кинемат и ческой парой), что увеличивает потери мощности в механизме на преодоление сил трения. Тогда степень свободы такого механизма вычисляется по формуле W = 3 n ‬ 2 P 5 - P 4 - q , где q ‬ количество лишних степеней свободы. Вопросы для самопроверки : 1. Дайте определение кинематической цепи. 2. Приведите примеры простых и сложных, замкнутых и незамкнутых кинематических ц епей. 3. Что понимают под степенью свободы кинематической цепи? 4. Разъясните смысл структурной формулы Сомова - Малышева. 5. Преобразуйте структурную формулу пространственной кинематической цепи в структурную формулу Чебышева для плоской цепи. 6. Какие кинематические ц епи называются механизмами? 7. Приведите примеры механизмов с лишней степенью свободы и с пассивной связью . Лекция 3 Цель лекции : изучение структурной классификации плоских рычажных механизмов. Задачи : 1. Ознакомиться с видами классификаций механизмов . 2. И зучить основные принципы структурной классификаци и плоских рычажных механизмов, разработанной Л.В. Ассуром . 3. Изучить все виды групп Ассура II класса . Желаемый результат : студенты должны усвоить основы структурной классификации плоских рычажных механизмов . У чебные вопросы : 1. Классификации механизмов . 2. Понятие структурных групп (Ассура) . 3. Свойства групп Ассура . 4. Классификация групп Ассура . 5. Виды групп Ассура II класса . 1.. Классификация механизмов Количество типов и видов механизмов исчисляется тысячами, поэтому классификация их необходима для выбора того или иного механизма из бол ь шого ряда существующих, а также для проведения синтеза механизма. Универсальной классификации нет, но наиболее распространены 3 вида классификации: 1) функциональная . П о принципу выполнения технологического пр о цесса механизмы делятся на механизмы: приведения в движение режущего инс т румента; питания, з агрузки, съёма детали; транспор тирования и т.д.; 2) структурно - конструктивная . Предусматривает разделение мех а низмов как по к онструктивным особенностям, так и по структу р ным принципам. К этому виду относят механизмы: кривошипно - ползунный; кулисный; рычажно - зубчатый; кулачково - рычажный и т.д.; 3) структурная . Проста, рациональна, тесно связана с образованием механизма, его строением , методами кинематического и силового анализа, была предложена Л.В. Ассуром в 1916 году и основана на принципе построения механизма путем н а слоения (присоединения) кинематических цепей (в виде структурных групп) к начальному механизму. Согласно этой класси фикации, любой механизм можно получить из более простого присоединением к последнему кинематических цепей с числом степ е ней свободы W = 0, получивших название структурных групп, или групп Асс у ра. Недостаток данной классификации ‬ неудобство для выбора меха низма с тр е бу е мыми свойствами. 1.3. Структурные группы для плоских рычажных механизмов Условие существования любой структурной группы описывается формулой W = 3 n ‬ 2 P 5 = 0. Так как количество звеньев n и количество кинематических пар P 5 ‬ целые числа, то ‬ кратно , то есть чётно, ‬ кратно 3. Все структурные группы принято разделять на классы ‬ со  - го по 4 - й. Примеры структурных групп и начального механизма приведены на рис. 1.4. Двухповодковая с труктурная группа  - го кл. Структурная группа  - го кл. Структурная группа 3 - го кл. Структурная группа 4 - го кл. Механизм 1 - го кл. (начальный механизм) Рис. 1.4. Примеры структурных групп При добавлении к механизму 1 - го класса разли чных структурных групп можно получить механизм, состоящий из одной или нескольких структурных групп и механизма 1 - го класса. Механизмам присваивается определённый класс, соответствующий на и высшему классу входящих в него структурных групп. Примеры механизмо в различных классов приведены на рис. 1.5. Не путать класс механизма, класс структурной группы и класс кинематической пары! 2 - й кл. 3 - й кл. 4 - й кл. Рис. 1.5. Механизмы различных классов Порядок структурной группы равен числу свободных кинематичес ких пар, которыми группа присоединяется к более простому механизму. Свободные пары показаны стрелками (рис. 1.6). Структурная группа  - го кл.,  - го порядка (все структурные группы  - го кл. имеют  - й порядок) Структурная группа 3 - го кл., 3 - го порядка Структурная группа 4 - го кл.,  - го порядка Рис. 1.6. Примеры структурных групп различных классов Наиболее распространённые структурные группы  - го класса подразд е ляются на 5 видов (модификаций) (табл . 1 ). Таблица 1 Кинематическая схема структу р ной гр уппы, вид Механизм, содержащий такую стру к турную группу Примечание. 1 ‬ веду щее звено;  и 3 ‬ звенья, образующие структурную группу. Для определения класса механизма его расчленяют на структурные гру п пы, начиная с конца механизма. За начало механизма принимают ведущее зв е но (начальный механизм). От конца механизма отделяются пооч ерёдно простейшие структурные группы до тех пор, пока не останется лишь механизм 1 - го класса (начальный механизм, их может быть н е сколько). По классу структурных групп определяют класс механизма. Количество начальных механизмов равно величине W . Пример рас членения плоского рычажного механизма на структурные группы пок а зан на рис. 1.7. Предварительно вычисляют степень подвижности механи з ма W по формуле W = 3 n ‬ 2 P 5 ‬ P 4 . В данном случае W = 1, а это значит, что в механизме должны быть одно в е дущее звено и со ответственно один начальный механизм. а б в г Рис. 1.7. Расчленение механизма на структурные группы: а ‬ исходный механиз м; б ‬ начальный механизм; в ‬ 2 - й класс, 1 - й вид; г ‬ 2 - й класс,  - й вид Вопросы для самопроверки : 1. В чем заключается принцип образования плоских рычажных механизмов, сформулированный Л.В. Ассуром? 2. Какой механизм называют первичным? 3. Дайте определение ст руктурных групп Ассура и охарактеризуйте их основные свойства. 4. Чем определяется класс и порядок структурных групп Ассура? Приведите примеры структурных групп II, III, IV, V классов. 5. Как определяется класс сложного рычажного механизма? 6. Каковы цели проведени я структурного анализа механизмов? В какой последовательности выполняется структурный анализ плоских механизмов? МОДУЛЬ  КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИ З МЕХАНИЗМОВ Лекция 4 Цель лекции : ознакомиться с целями, задачами и основными методами кинематического анал иза механизмов; ознакомиться с методикой кинематического анализа механизмов г раф о - аналитическим метод ом . Задачи : 1. Ознакомиться с понятием ки нематического анализа механизмов . 2. Ознакомиться с целями и задачами кинематического анализа механизмов . 3. Ознакомиться с основными методами кинематического анализа механизмов . 4. Рассмотреть графо - аналитический метод кинематического анализа на примере нескольких механизмов. 5. Изучить понятие и свойства пл а на скоростей механизм а. 6. Изучить понятие и свойства плана у скоре ни й механиз ма. Желаемый результат : студенты должны усвоить цели, задачи и методы кинематического анализа механизмов, а также методику выполнения кинематического анализа основных типов механизмов графо - аналитическим методом . Учебные вопросы : 1. Понятие кинематического ан ализа механизмов . 2. Ц ели и задачи кинематического анализа механизмов . 3. О сновны е метод ы кинематического анализа механизмов . 4. Г рафо - аналитический метод кинематического анализа . 5. План скоростей механизма и его свойства. 6. План ускорений механизма и его свойства. 7. Г ра фический метод кинематического анализа механизмов . .1. Цели и задачи кинематического анализа Синтез механизма ‬ проектирование ‬ имеет значительные трудности теоретического характера, поэтому при выполнении прикладных инженерных задач менее распростра нен, чем анализ. Анализ механизма ‬ исследование его основных параметров с целью изучения законов их изменения и на основе этого выбор из ряда известных наилучшего механизма. По сравнению с синт е зом ан а лиз механизма широко используется в практике. Цели: 1. Оп ределение кинематических характеристик звеньев: перемещение; скорость; ускорение; траектория движения; функция положения при известных законах движения входных (ведущих) звеньев. 2. Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного) зв е на. 3. Определение необходимых численных данных для проведения силового, динамического, энергетического и других расчётов механизма. Задачи : 1) о положениях звеньев механизма. Определение траект о рий движения точек; 2) о скоростях звеньев или отдельных точек механизма; 3) об ускорения х звеньев или отдельных точек механизма. Методы : графический (или метод графиков и диаграмм); графоаналитический (или метод планов скоростей и уск о рений); аналитический; экспериментальный. 2. 2 . Графоаналитический метод кинематического анализа Графоаналит ический метод называют методом планов скоростей и ускорений . Задача о положениях решается графическим методом, то есть построен и ем нескольких совмещённых планов механизма в выбранном ма с штабе длин. Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением плано в скор о стей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скор о стей и ускорений звеньев механизма. Преимущество этого метода по сравнению с графическим в том, что он м енее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их вел и чину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для мн о жества точек механизма. Недостатком метода является то, что требуется построить планы скор о стей и ускорений дл я нескольких положений механизма (если необходимо о п ределять скорость и ускорение при различных положениях механизма и его звеньев). 2. 3 . Планы скоростей и уско рений шарнирного четырёхзвенник При решении задач такого типа известны угловая скорость 1 вед ущего звена 1 ‬ кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек. Последовательность решения задачи: 1. Строится план механизма (рис. .) в выбранном масштабе длин : , м/мм, где L OA ‬ длина кривошипа, м; AO ‬ длина отрезка, из ображающего кривошип на плане механизма, мм. Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. .) переводятся масштабом длин L в отрезки: AB = L AB / L , мм, BC = L BC / L , мм, OC = L OC / L , мм . . Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма. Векторное уравнение для звена  (шатуна) V В = V А + V ВА , (2.1) где V А = V АО ‬ скорость точки А , котор ая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа точки О ; V ВА ‬ вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма. Векторное уравнение для звена 3 (коромысла) V В = V С + V ВС . (2.2) Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю ( V С = 0), а вектор относительной скорости точки В относительно С ( V ВС ) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма. 3. Строится план скоростей механизма ‬ это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (.1) и (.) в каком - либо масштабе. План скоростей механизма и его свойства План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. .). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа: , м/с. Затем выбирается масштаб плана скоростей по соотношению , , где A ‬ скорость точки А , м/с; P V a ‬ длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость V A , выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерж и ваться условий: во - первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во - вторых, численн ое значение масштаба должно быть удобным для расчётов ( должно быть круглым чи с лом). После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности, соответ - ствующей написанию векторных уравнений (.1) и (.). Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механи з ма точки Р ( полюса плана скоростей) вектор скорости V А , который перпенд и кулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину P V a , выбранную нами при определении масштаба плана скор остей . Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс P V ‬ л и ния, перпендикулярная отрезку ВС . Пересечение этих линий даёт точку b . В соответствии с векторными уравнениями (.1) и (.) на построенном пл ане наносятся направления (стрелки) векторов V В и V ВА . Определим скорость точки К , принадлежащей шатуну. Для неё можно з а писать векторные уравнения скоростей: V К = V А + V КА , V К = V В + V КВ , где вектор скорости V КА перпендикулярен отрезку АК на плане мех а низ ма, а вектор V КВ ‬ отрезку КВ . Построением этих векторных уравнений п о лучаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана скоростей проводим линию, перпендикулярную отрезку АК , а через точку b плана скоростей ‬ линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычи с лить по формуле V К = (Р V k ) V , где Р V k ‬ длина соответствующего вектора на плане скоростей. Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механи з ма подобны: , так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использ о вать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому - либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относ и тельных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма. Стороны фигур взаимно пе р пендикулярны. Угловые скорости шатуна  и коромысла 3 рассчитываются по фо р мулам , c - 1 , , c - 1 . Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов V ВА и V BC . Для этого вектор V ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун  относительно точки А , в ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна ω 2 . Аналогично поступают со ск оростью V ВА . В каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С , туда и будет направлена угловая скорость ω 3 . План ускорений механизма и его свойства Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис. .). Примем угловую скорость кривошипа постоянной ( 1 = const , что является наиболее распространё н ным и рациональным видом движения в реальных механизмах). Векторное урав нение ускорений для звена 1 (кривошипа) а А = а АО = а n АО + а АО , где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O рассчитыв а ется по формуле . Вектор а n АО параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная с о ставляющ ая ускорения а АО рассчитывается по формуле . В нашем случае угловое ускорение кривошипа 1 = 0, тогда . Векторное уравнение ускорений для звена  (шатуна) а В = а А + а n ВА + а ВА , где нормальная составляющая ус корения точки В относительно точки А ра с считывается по формуле . Вектор а n ВА параллелен отрезку АВ и направлен от В к А , а тангенциальная составляющая а ВА пе р пендикулярна АВ . Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла) а В = а С + а n ВС + а ВС , где ускорение точки С а С = 0; нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле . Вектор а n ВС направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к С , а вектор а ВС ‬ п ерпендикулярно ВС . Выбираем масштаб плана ускорений: , , где Р а а ‱ ‬ длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы план уск орений разместился на отведенном месте чертежа и численное значение μ а было удобным для расчетов ( μ а должно быть круглым числом). Тогда ускорение а n ВА будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение а n ВС ‬ вектором длиной , мм. Затем строится план ускорений (рис. .) с использованием составленных векторных уравнений ускорений. Из произвольно выбранного полюса Р а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Р а а ′ была выбрана произвольно при расчете масштаба μ а . Из конца этого вектора (точки а ′ ) проводится вектор ускорения длиной а ′ n 2 , который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и нап равлен от точки В к точке А . Перпендикулярно ему через точку n 2 проводят прямую. Затем из полюса Р а проводят вектор ускорения длиной Р а n 3 . Перпендикулярно ему через точку n 3 проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n 2 перпендикулярно отрезку АВ . Точка пересечения обозначается буквой b ′ , которая, будучи соединена с полюсом Р а , образует отрезок Р а b ′ , изображающий вектор полного ускорения точки В . Используя план ускорений, можно вычислить ускорения , . Запишем , где 2 и 2 ‬ угловые скорость и ускорение шатуна. , где 2 и 2 не зависят от выбора (расположения) полюса Р а плана ускорений, а отношение масштабов постоянно ( L / a = const ) для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например, К , принадлежащей ш а туну) можно записать пропорции . Отсюда формулируется теорема подобия : о трезки полных относительных ускорений на плане ускорений образую т фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане м е ханизма. Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле . Угловые ускорения звеньев шатуна , c - 1 , направление 2 определяются по а ВА ; угловые у скорения звеньев коромысла , c - 1 , направление 3 ‬ по а Вс . Так как 2 и 2 направлены в противоположные стороны, вращение ш а туна является замедленным. Использование плана скоростей и плана ускорений для определения радиуса кривиз ны траектории движения точки Радиус кривизны траектории движения точки (например, точки К ) можно вычислить по формуле , где а n К ‬ нормальная составляющая ускорения точки К . Для определения величины (и направления) а n К следует вектор полного ускорения а К на плане ускор е ний разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, причём а n К перпендикулярна вектору скорости V К , а К пара л лельна последнему. Для этого сначала через полюс плана ускорений Р а проводится прямая, параллел ь ная ве ктору скорости точки К , а через точку k ` ‬ перпендикуляр к этой прямой; на их пересечении получают точку m . Рис. .. План механизма, скоростей, ускорений Использование плана скоростей и плана ускорений для определения мгновенного центр а скоростей (МЦС) и мгновенного центра ускорений (МЦУ) звена Для определения МЦС и МЦУ используют теорему подобия, а на плане механизма строят фигуры, подобные фигурам (треугольникам) на планах ск о ростей и ускорений (рис. .3). Рис. .3 . Определение положений мгновенных центров скоростей P V 2 и ускорений Р а 2 шатуна Из теоретической механики известно, что плоскопараллельное движение звена механизма в каждый момент времени может быть представлено как вр а щение вокруг некоторой точки, котор ую называют мгновенным центром вр а щения или мгновенным центром скоростей (МЦС). Если данная точка относи т ся к станине (стойке) механизма, т.е. является неподвижной, то соответс т вующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в абсолютном движ е нии рассматр иваемого звена. Таким образом, если мы представим, что точка P V 2 принадлежит шатуну (рис. .3), то её ск о рость будет равна нулю. Если же рассматривается движение звена относительно любого подви ж ного звена механизма, то соответствующий МЦС называют мгнове нным це н тром скоростей в относительном движении рассматриваемых звеньев. Аналогично может быть найдена условная точка, принадлежащая звену, абсолю т ное ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка наз ы вае т ся мгновенным центром ускорений (МЦУ) звена. Если звено механизма совершает сложное плоскопара л лельное движение, то меняются и положения МЦС и МЦУ. 2. 4 . Планы скоростей и ускорений кривошипно - ползунного механизма Последовательность построения планов скоростей и ускорений крив о шипно - пол зунного механизма (рис. .4) аналогична той, которая приведена в предыдущем случае. В дальнейшем некоторые подробности (расчёты масштабов, длин е , масштабов планов скоростей v и ускорений а и т.д.) б у д у т пропущены. План скоростей кривошипно - ползунного м еханизма начинают строить п о сле построения плана механизма в заданном положении, в выбранном масшт а бе длин L , составления векторного уравнения скоростей и выбора масштаба плана скоростей v . Векторное уравнение скоростей шатуна  (рис. .4) V В = V А + V ВА , где V А = 1 L OA ‬ скорость точки А , м/с; вектор этой скорости направлен перпендикулярно прямой ОА кривошипа 1 (рис. .4) на плане механизма; V ВА ‬ вектор скорости точки В относительно А ; имеет направление, перпенд и кулярное прямой АВ на плане механизма; V В ‬ вектор полной (абсолютной), скорости ползуна 3; должен быть пара л лельным направлению движения ползуна. Для построения плана скоростей сначала из п о люса плана Р v ( рис. .4) проводится вектор скорости точки А относительно О ‬ V А , т.е. векторный отр езок Р v a . Затем через точку а пров о дится перпендикуляр к прямой АВ плана механизма и через полюс Р v ‬ прямая, параллельная движению ползуна 3. На пересечении этих двух прямых получ а ется точка b . Направления векторов скоростей V В и V ВА обозначают стрелками. Например, необходимо определить скорость точки S 2 , принадлеж а щей шатуну  и расположенной на середине отрезка АВ . Используя теорему подобия, на отрезке ab плана скоростей находят его середину (точка S 2 ), кот о рая, будучи соединенной с полюсом Р v , даст вект ор V S2 , изображающий абс о лютную (полную) скорость точки S 2 . Рис. .4. Построение планов скоростей и ускорений кривошипно - ползунного механизма Рассчит аем величину линейных скоростей и угловую скорость шатуна: , м /с, , м/с, , м/с, , с - 1 . Направление вектора угловой скорости шатуна 2 определяется следу ю щим образом. Вектор скорости V ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вр ащать шатун относительно точки А , в ту сторону и направлена угловая скорость 2 шатуна. План ускорений кривошипно - ползунного механизма строят после того, как будет составлено векторное уравнение ускорений шатуна, учитывая, что он с о вершает сложное движение : а В = а А + а n ВА + а ВА , где а А ‬ ускорение точки А ; его величину и направление можно опред е лить, используя векторное уравнение ускорения точки А относительно оси О вращения кривошипа: а А = а О + а АО , причём ускорение точки А относительно О можно разложить на две соста в ляющие ‬ нормальное ускорение а n АО и тангенциальное а АО , т.е. а АО = а n АО + а АО . Так как точка О неподвижна и ускорение её равно нулю ( а О = 0 и а АО = 0 при условии, что угловая скорость вращения кривошипа постоянна: 1 = const и его углово е ускорение 1 = 0), то векторное уравнение ускорения то ч ки А можно записать в виде а А = а n АО . Величина нормальной составляющей ускорения (нормальное ускорение) рассчитывается по формуле (его вектор направлен по радиусу вращения к ривошипа от точки А к то ч ке О ). Затем вычисляется нормальное ускорение точки В относительно А по формуле (его вектор направлен от В к А ). После выбора масштаба плана ускорений по формуле величина нормального ускорения a n BA переводится этим масштабом в векто р ный отрезок длиной , мм. Затем строится план ускорений (см. рис. .4). Из произвольно выбранного полюса Р а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения a n A О , дл ина которого была выбрана прои з вольно при расчёте масштаба а . Из конца этого вектора (точки ) проводится вектор ускорения a n BA длиной , который должен быть параллелен отрезку АВ плана м еханизма и направлен от точки В к А . Перпендикулярно ему через точку n 2 проводят прямую до пересечения с прямой, проведённой через полюс Р а параллельно линии движения ползуна 3. Полученная точка их пересечения b ' определяет длины векторов у с корений a BA и a B . Для нахождения величины ускорения точки S 2 , принадлежащей шатуну, можно применить теорему подобия. При этом необходимо на векторе, изобр а жающем на плане ускорений относительное ускорение a BA , найти соответс т вующую точку S 2 ' , делящую отрезок a ' b ' в той же пропорции, что и точка S 2 д е лит отрезок АВ на плане механизма. Угловое ускорение шатуна вычисляется по формуле , с - 1 , где n 2 b ' ‬ длина вектора на плане ускорений, изображающего тангенциальное ускорение а . Дл я определения направления вектора углового ускорения шатуна 2 необходимо вектор тангенциального ускорения а условно пер е нести в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки А , в ту сторону и направлено уск орение 2 ш а туна. 2. 5 . Планы скоростей и ускорений кулисного механизма Чтобы построить план скоростей , необходимо составить векторное ура в нение скоростей. При этом следует иметь в виду, что точка А 1 (рис. .5), пр и надлежащая кривошипу 1, и точка А 2 , принадлежащая ползуну  и совпада ю щая на плане механизма с точкой А 1 , вращаются вокруг оси О с одинаковыми линейными и углов ы ми скоростями: V А1 = V А и 1 = 2 . Рис. .5. Построение пл анов скоростей и ускорений кулисного механизма Если задана величина 1 , то величину линейной скорости рассчитывают по формуле V А1 = V А = 1 L ОА , м/с. Векторы скоростей V А1 и V А направлены перпендикулярно радиусу ОА 1 . Скорость точки А 3 , принадлежащей ку лисе 3, можно найти по векторному уравнению скоростей V А3 = V А + V А3А , где V А3А ‬ вектор скорости точки А 3 кулисы относительно точки А 2 ползуна, параллельный прямой А 1 В плана механизма. После выбора масштаба плана скоростей v (см. предыдущие примеры м еханизмов) строят план скоростей. Из полюса Р v (см. рис. .5) перпендикулярно отрезку ОА плана механизма проводится вектор скорости V А1 , совпадающий с вектором скорости V А (см. рис. .5, вектор ). Через точку а 1 проводят прямую, пар аллельную пр я мой А 1 В , а через полюс Р v ‬ прямую, перпендикулярную А 1 В . На их пересеч е нии получают точку а 3 и наносят направление векторов (стрелки), руков о дствуясь векторным уравнением скоростей. Вычисляют величины скоростей: , м/с, , м/с, где Р v a 3 и а 1 а 3 ‬ длины векторов, измеренные на плане скоростей. Угловая скорость коромысла 3 вычисляется по формуле ,с - 1 . Для построения плана ускорений составляются векторные уравн е ния а А3 = а А + а + а , а А3 = а В + а + а , где а А ‬ ускорение ползуна; а ‬ ускорение Кориолиса точки А 3 относительно А 2 (возникает тогда, когда есть относите льное движение двух точек с одновременным вращением их вокруг какой - либо оси; в данном случае точка А 3 движется относительно А 2 , вместе они вращаются вокруг неподвижной точки В; направление вектора а определяется так: необходимо усло вно повернуть вектор скорости V А3А по н а правлению вращения кулисы 3 ‬ это и будет направление ускорения Кориолиса) ; а ‬ относительное ускорение точки А 3 относительно А 2 (его вектор паралл е лен А 3 В ); а В ‬ ускорение точки В ( а В = 0, т ак как точка В неподвижна); а ‬ нормальное ускорение точки А 3 относительно В (направление вектора от А 3 к точке В ); а ‬ тангенциальное ускорение точки А 3 относительно В (вектор направлен перпендикулярно А 3 В ). Вычисление величины ускорения Кориолиса и нормальных ускорений можно произвести по формулам а А = а = L ОА , м/с 2 , а = 2 3 V А3А , м/с 2 , а = L А3В , м/с 2 . Масштаб плана ускорений выбирают, используя формулу , , где Р а а ' 2 ‬ длина вектора, изображающего ускорение а А на плане ускорений; она выбирается произвольно с таким расчётом, чтобы будущий пл ан ускорений разместился на отведённом месте чертежа и масштаб был удобен для использования в дальнейших расчётах. Остальные известные величины ускорений переводятся масштабом в ве к торные отрезки соответствующих длин: , мм; , мм. Затем строится план ускорений . Из прои з вольно выбранного полюса ‬ точки Р а ‬ проводится вектор ускорения а с длиной Р а а ' 2 . Из точки а ' 2 перпендикулярно А 2 В проводится вектор ускорения а с длиной a ' 2 k . Через точку k проводится прямая, перпендикулярная этому вектору. Таким образом, будет выполнено графическое изображение первого векторного уравнения ускорений из двух, ранее составленных. Затем приступ а ют к построению второго векторного уравне ния. Из полюса Р а параллельно прямой А 3 В проводится вектор ускорения а длиной Р а n 2 , а через точку n 2 ‬ перпендикулярная ему прямая до пересечения с прямой, проведённой ранее ч е рез точку k . На пересечении этих прямых получается точка а ' 3 . Вектор, соед и няющий точки Р а и а ' 3 , ‬ полное ускорение а А3 точки А 3 . Угловое ускорение кулисы вычисляется по формуле , с - 2 , где n 2 a ' 3 ‬ длина вектора, изображающего на плане ускорений тангенциальное ускорение точки А 3 . Направ ление углового ускорения определяется, как и в предыдущем пр и мере (для кривошипно - ползунного механизма), по направлению усло в ного вращения кулисы 3 вектором ускорения а : условно п е ренести этот вектор в точку А 3 плана механизма и посм отреть, в каком напра в лении он будет «вращать» кулису. Вопросы для самопроверки : 1. Назовите основные цели и задачи кинематического анализа механизмов. 2. Назовите основные методы кинематического анализа механизмов. Укажите и сравните достоинства и недостатки графич еских и аналитического методов. 3. В чем Вы видите основные достоинства и недостатки графо - аналитического метода кинематического анализа механизмов ? 4. Что называют п лан ом скоростей механизма? В какой последовательности производят его построение? 5. Укажите о с новные свойства плана скоростей. 6. Как определяется модуль и направление угловой скорости звена ? 7. Что называют п лан ом у скоре ни й механизма? 8. Как определяется модуль и направление углового ускорения зве на? 9. Как определяют радиус кривизны траектории движения точк и с помощью плана скоростей и плана ускорений механизма? 10. Как находят мгновенн ый центр скоростей (МЦС) и мгновенн ый центр ускорений (МЦУ) звена с помощью плана скоростей и плана ускорений механизма? Лекция 5 Цель лекции : ознакомиться с основными методами к инематического анализа зубчатых механизмов. Задачи : 1. Ознакомиться с понятием передаточного отношения зубчатого механизма. 2. Ознакомиться с аналитическим методом определения передаточного отношения зубчатых механизмов с неподвижными осями колес. 3. Ознакомиться с особенностями аналитического метода определения передаточного отношения зубчатых механизмов с подвижными осями колес. 4. Рассмотреть графический метод кинематического анализа зубчатых механизмов. Желаемый результат : студенты должны усвоить цели, задачи и мет оды кинематического анализа механизмов, а также методику выполнения кинематического анализа основных типов механизмов графо - аналитическим методом. Учебные вопросы : 1. П онятие передаточного отношения зубчатого механизма . 2. Передаточное отношение зубчатой пары. 3. О пределение передаточного отношения с тупенчаты х зубчаты х передач . 4. Определение передаточного отношения рядовых зубчаты х передач . 5. Определение передаточного отношения зубчаты х передач с подвижными осями колес. 6. Г рафический метод кинематического анализа зубчатых механизмов . 2. 6 . Кинематическое исследование зубчатых механизмов аналитическим методом 2. 6 .1. Зубчатые механизмы с неподвижными геометрическими осями к о лес Важнейшей кинематической характеристикой зубчатого механизма я в ляется передаточное отношение. Пере даточным отношением называется отношение угловой скорости ведущего звена 1 к угловой скорости ведомого звена N в м е ханизме с одной степенью свободы: , ( 2 . 11 ) где n 1 , n N частота вращения колес 1 и N . Для колес с параллельными осями передаточное отношение имеет знак. Передаточное отношение зубчатой пары внешнего и внутреннего зацепл е ния определяется формулой . ( 2 . 12 ) Положительное передаточное отношение имеет место для пары внутреннего зацепления (зубчатые колеса вращаются в одном направлении), а отриц а тельное ‬ для пары внешнего зацепления (колеса вращаются в противоп о ложных направл е ниях). Известно, что . Диаметр основной окружности , тогда ( 2 . 12 ) можно преобразовать к виду . ( 2 . 13 ) Значения передаточных отношений для одной зубчатой пары соста в ляют: при цилиндрических колесах 1 6, кон и ческих колесах 1 4. Реечное зацепление является частным видом трехзвенного зубчатого механизма. Для него скорости связаны очевидным услов и ем: , ( 2 . 14 ) где V 2 скорость рейки; угловая скорость колеса; радиус дел и тельной окружности колеса. Все зубчатые механизмы можно подразделить на две группы: 1) механизмы с неподвижным и геометрическими осями к о лес; ) механизмы с подвижными геометрическими осями колес (эп и цикл и ческие механизмы). В свою очередь, механизмы с неподвижными геометрическими осями образ у ют две подгруппы: ступенчатые передачи; рядовые передачи. Ступенчатые зуб чатые передачи В этом зубчатом механизме на каждый промежуточный вал посажено по два колеса. Каждое из колес входит лишь в одно зацепление. Ступенч а тый механизм, изображенный на рис. 2.8 , состоит из двух зубчатых пар внешнего зацепления ( Z 1 Z 2 , Z 3 Z 4 ) и па ры внутреннего зацепления ( Z 5 Z 6 ). Общее передаточное отношение всего механизма равно . Опр е делим пер е даточное отношение для каждой пары колес. Имеем: ; ; . Рис. 2.8 Перемножив полученные передаточные отношения, получим . Так как , то , где Z 1 Z 6 числа зубьев на колесах. Таким образом, передаточное отношение многоступенчатой зубчатой передачи есть произведение (взятых со своими знаками) передаточных о т ношений отдельных его ступ е ней. В общем случае для передаточного отношения ступенчатого механи з ма мо ж но написать: , ( 2 . 15 ) или , ( 2 . 16 ) где m число пар внешнего зацепления. Множитель позволяет опр е делить знак передаточного отношения мех а низма. Рядовые зубчатые передачи Эта передача характерна тем, что на каждом промежуточном валу с и дит по одному колесу, но это колесо находится в двух зацеплениях. Для о п ределения передаточного отношения рядового механизма (рис. 13), с о стоящего из пары внешнего зацепления ( Z 1 Z 2 ) и пары внутреннего зацепл е ния ( Z 2 Z 3 ), воспол ь зуем ся формулами ( 2 . 15 ) и ( 2 . 16 ): . ( 2 . 17 ) Как видно из ( . 17 ), величина общего передаточного отношения не з а висит от промежуточных зубчатых колес (паразитных). Роль паразитных колес заключается в обе спечении большого межосевого расстояния либо тр е буемого направления вращения выходного вала. Рис. 2.9 В общем случае для рядового механизма передаточное отношение . ( 2 . 18 ) 2. 6 .2. Зубчатые механ измы с подвижными геометрическими осями колес Такие механизмы с одной степенью подвижности называются план е тарными (рис. 2.10 ), а с двумя и более степенями свободы дифференциал ь ными механизмами или просто ди ф ференциалами (рис. 2.11 ). Планетарные механизм ы могут воспроизводить очень большие (или очень малые) передаточные отношения при малых габаритах и малом числе зубьев. Назначение дифференциальных механизмов сложение и разложение движений. В первом случае эти механизмы используются для приведения в дв и жение одного рабочего органа от двух независимых источников движ е ния. Во втором случае такой механизм применяется для привода в движение двух рабочих органов от одного источника энергии (дифференциал автом о биля). В эпициклических механизмах колеса с подвиж ными осями вращения называются сателлитами (звено  рис. 2.10 , а , рис. 2.11 ; звено  3 рис. 2.10 , б , в , г ). Звено H , на кот о ром располагается ось сателлитов, водило. а б в г Рис. 2.10 Зубчатые колеса с неподвижной осью враще ния 1, 4 (рис. 2.10 ) наз ы вают центральными или солнечными. В планетарных механизмах есть н е подви ж ное колесо 3 (рис. 2.10 , а ), колесо 4 (рис. 2.10 , б , в , г ). Связь между угловыми скоростями дифференциального м еханизма (рис. .11 ) установлена формулой Вилл иса. Примем метод обращенного движения. Сообщим звеньям механизма угловую скорость ‬ H , т. е. скорость, равную угловой скорости водила H , но н а правленную в противоположном направлении. Относительные движ е ния звен ь ев при этом не изменяются. Скорости же соо тветственно меняю т ся (см. табл. 3 ). Таблица 3 Звено Факт. угл. скорость Угл. скорость в обр а щенном движ. Колесо 1 Колесо  Колесо 3 Водило 0 Рис. 2.11 В этом случае водило становится неподвижным, а дифференциал пр е вращается в механизм с неподвижными осями колес (обращенный мех а низм). Тогда передаточное отношение от звена 1 к звену 3 при неподвижном водиле опр е делится формулой (2 . 19 ) или в общем виде , ( 2 . 20 ) где n номер вед омого колеса. Формула Виллиса ( . 200 для дифференциала позволяет определить п е редаточное отношение планетарного механи з ма. Вычислим, к примеру, передаточное отношение планетарного механизма (рис. 2.10 , г ). Запишем формулу Виллис а для аналогичного ди ф ференциального механизма (при св о бодном колесе 4): . ( 2 . 21 ) В планетарном механизме , тогда ( 2 . 21 ) преобразуе т ся к виду . ( 2 . 22 ) Разделив почленно правую часть уравнения ( 2 . 22 ), получим . Отсюда . ( 2 . 23 ) Выражение ( 2.23 ) называется формулой Виллиса для планетарного меха ни з ма. Если известно число зубьев Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 , то можно вычислить перед а точное отношение . Предварительно найдем передаточное отношение обращенного механизма (с неподвижными геометрическими осями к о лес): . Тогда ( 2 . 23 ) примет окончательный вид: . ( 2 . 24 ) Запишем (без вывода) формулы для определения передаточного о т ношения планетарных механизмов различных типов. Тип а (рис. 2.10 , а ): ; тип б , в (рис. 2.10 , б , в ) . ( 2 . 25 ) Для планетарного механизма с ведущим водилом можно зап и сать: . ( 2 . 26) В табл. 4 приведены ориентировочные передаточные отношения планета р ных механизмов, применяемые при практических расчетах. Таблица 4 Передаточное отношение Тип а Тип б Тип в Тип г 2,3 9 2 150 0,445 111 32 1500 и более 0,5 0,067 1,77 1,125 2,0 1,071 0,565 0,888 0,5 0,993 2 . 7 . Графический метод кинематического исследования зубчатых механизмов Графический метод кинематики зубчатых механизмов включает в себя построение плана скоростей и плана чисел оборотов всех звеньев заданного механизма. План скоростей Вначале рассмотрим построение плана скоростей зубчатого колеса построенного в масштабе (рис. 2.12 ). Провед ем вертикальную ось y . Пр о ект и руем на ось y точки A и O . Подсчитаем скорость точки A : . В масштабе от точки a откладываем отрезок aa масштабное значение скорости V A . При этом масштаб . Соединим точку O с точкой a , получим план скоростей зубчатого колеса. Таким образом, для того, чт о бы построить план скоростей колеса, необходимо знать скорости его двух точек. Для определения скорости произвольной точки B ее требуется спр о ектир о вать на ве ртикальную ось Y . Из точки b проводим прямую, перпенд и кулярную оси y до пересечения с прямой аО . Точка пересечений отсекает отрезок bb , который в масштабе изображает скорость т. B . . Перейдем к построению план а скоростей для механизма, изображе н ного на рис. 2.13 . Пусть заданы числа зубьев всех колес и число оборотов n 1 ведущего звена 1. Изобразим механизм в масштабе e . Проектируем все х а рактерные точки плана механизма на вертикальную ось y (рис. 2.13 , б ). Опр е д е лим скорость V A точки A : Откладываем от точки a отрезок аа ‬ масштабное значение скорости V A . Соединим точку O с точкой a , треугольник Oaа является планом скор о стей колеса 1, а прямая Оа ‬ линией распределения концов (годографом) скор о стей точек колеса 1. Рис. 2.12 Затем строим план скоростей сателлитов , 3, для чего соединяем то ч ки a и c прямой ac . Точка B принадлежит одновременно сателлитам и вод и лу H , поэтому, проектируя ее на план a c, получим точку b и отрезок bb ‬ масшта б н ое значение скорости V B . Линия ob является планом скоростей в о дила H и жестко связанного с ним колеса 5. Проектируя точку D на план ob , получаем отрезок dd ‬ масштабное значение скорости V D . Для построения плана скор о стей колеса 6 соединим точки d и e . Лин ия de является искомым пл а ном. План чисел оборотов Для данного механизма построим план чисел оборотов (рис. 2.13 , в ). В любом месте проведем горизонтальную прямую и ниже ее, на произвол ь ном расстоянии, выберем полюс P плана чисел оборотов. Чер ез полюс P пр о ведем лучи P 1, P 2, P 3, ... P 6, параллельные планам скоростей соответс т ву ю щих звеньев зубчатого механизма. Эти лучи отсекают на горизонтал ь ной пр я мой отрезки 01, 0, 03, … 06, которые в масштабе изображают числа оборотов к о лес 1, , ...6. Пока жем это. Рассмотрим передаточное отношение (рис. 2.13 , б ): . Рис. 2.13 Из плана чисел оборотов (рис. 2.13 , в ) видно, что ; , следовательно, . ( 2 . 27 ) Это и требовалось показать. Расчет масштаба n плана чисел оборотов в е дем по формуле , т.е. . ( 2 . 28 ) Из плана чисел оборотов (рис. 137, в ) видно, что 1 и 6 колеса вращ а ются в противоположные стороны, так как отрезки 01 и 06 расположились по ра з ные стороны от точки О . Число оборотов ведомого колеса 6 найдем по формуле а б в . Таким образом, план скоростей позволяет вычислить скорость л ю бой точки зубчатого механизма, а план чисел оборотов определить число оборотов звена механизма, вел и чину и знак передаточного отношения. Вопросы для самопроверки : 1. Что называют передато чным отношением зубчатого механизма? 2. Назовите основные методы кинематического анализа зубчатых м еханизмов. 3. На какие типы принято делить зубчатые механизмы при выполнении кинематического анализа? 4. Как вычисляется передаточное отношение зубчатой пары? 5. По како му правилу определяется передаточное отношение ступенчатых и рядовых зубчатых передач с неподвижными осями колес? 6. Как называются звенья зубчатого механизма с подвижными осями колес? 7. В чем заключается сущность метода обращения движения зубчатого механизма с подвижными осями колес? Как составляется формула Виллиса? Как из неё получить передаточное отношение механизма? 8. В какой последовательности производят построение плана линейных скоростей зубчатого механизма ? Укажите его ос новные свойства . 9. Как выполняется п остроение плана углов ых скорост ей механизма ? Укажите его ос новные свойства. Ле кция 6 МОДУЛЬ 3 . СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАН ИЗМОВ И УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕ ХАНИЗМОВ В этом модуле р ассматрива е тся перв ая основная задач а динамики , к которой относится определение н еизвестных внешних сил, действующих на звенья механизма, и усилий в кинематических парах, возн и кающих при движении механизма. При этом законы движения должны быть известны. К первой задаче принадлежит также вопрос об устранении допо л нительных динамических нагрузок от сил инерции при помощи ура в новеш и вания масс звеньев. 3.1. Силовой расчет механизмов Классификация сил Известны два вида сил: внешние и внутренние. Внутренние силы об у славливаются внутренним взаимодействием, внешние силы, действующие со стор оны внешних систем. Внутренние силы нетрудно перевести в разряд внешних сил, пользуясь принципом освобождаемости от связей. Например, силы взаимодействия и звеньев в кинематической паре А (рис. 3 .1 , б ) взаимн о уравновешиваются (в теоретической механике установлено, что главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю: , ). Переведем одну из сил взаимодействия в разряд внешних сил. Для этого отбросим какое - либо из звеньев ‬ 2 - е или 1 - е (рис. 3 .1 , в ). Тогда мера действия этого звена на другое определится силой или . а б в Рис. 3 .1 Внешние силы, в свою очередь, делят на две группы: сил ы движущие и силы сопротивления. Движущие силы приложены к ведущим звеньям, они прив о дят механизм в движение, направлены в сторону движения, работа этих сил всегда положительна. Силы сопротивления приложены к ведомым звеньям, направлены в сторону, противоп оложную движению, работа их всегда о т рицател ь на. Силы сопротивления делятся на две подгруппы: силы полезного сопротивления и силы вредного сопротивления. Силы полезного сопроти в ления это такие силы, для преодоления которых и предназначен механизм. Они пр иложены непосредственно к ведомому звену. Силы вредного сопр о тивления возн и кают в основном вследствие трения. Определение сил инерций для звеньев, совершающих различные виды движения 1. Плоскопараллельное движение (рис. 3 .2 ) Здесь силы инерции приводятся к главному вектору и главному м о менту сил инерции и определяются по формулам: , (3. 1 ) , (3. 2 ) где ускорение центра масс; m масса звена; момент инерции о т носительно центра масс S , угловое ускорение звена. Направление силы инерции противоположно направлению ускор е ния центра ма сс , момент сил инерции направлен противоположно у г ловому ускорению . Рис. 3 .2 Рис. 3 .3 . Вращательное движение: а ) центр тяжести лежит на о си вращения (рис. 3 .3 ): т. е. ; ; при = 0 ; б ) центр тяжести не лежит на оси вращения (рис. 3 .4 ): 3. П оступательное движение (рис. 3 .5 ): Рис. 3 .4 Рис. 3 .5 Рассмотрим обозначение реакций в различных кинематических парах. В поступательной паре реакция перпендикулярна оси движения ползуна (рис. 3 .6 ). Следовательно, известно направление реакции, но неизвестны величина и точка приложения. Реакция во вращательной паре проходит ч е рез центр шарнира и неизвестна по величине и направлени ю (рис. 3 .7 ). На рису н ке пунктирной линией показано отсутствующее звено в момент, когда кинематическая пара разомкнута. При определении реакции во вращател ь ной п а ре целесообразно разложить ее на две составляющие нормальную и та н генциальную (рис. 3 .8 ). В кинематической паре второго класса реакция направлена по нормали, а неи з вестной является ее величина (рис. 3 .9 ). Рис. 3 .6 Рис. 3 . 7 Рис. 3 . 8 Рис. 3 . 9 Лекц ия 7 Задачи силового расчета : 1) определить усилия (меру взаимодействия между звеньями) в кин е ма - тических парах; ) определить движущий момент, который нужно приложи ть к веду - щему звену, чтобы привести механизм в движение (если заданы силы соп - ротивления), либо определить силы полезного сопротивления, которые м о жет преодолеть данный механизм при заданном движущем моменте. Результаты силового исследования используются для расчета звеньев механизма на прочность, подбора подшипников, выбора соприкасающихся поверхностей и т. д., для определения необходимой мощности, по которой выбирают двигатель. Применяются следующие методы силового расчета: метод решения уравнений динами ки, метод кинетостатики, т. е. решение задачи динамики методами статики. В основе метода кинетостатики лежит принцип Д'Аламбера: "Если ко всем действующим на механизм силам добавить силы инерции, развиваемые звеньями механизма, то механизм будет находиться в состоянии условного (формального) равновесия". Этот принцип нетрудно вывести из вт о рого закона Ньютона: (3. 3 ) где m масса системы; a S ускорение центра масс; главный вектор сил, ; J S центробежный момент инерции относительно оси, пр о ходящий через центр масс системы; угловое ускорение системы; главный момент системы относительно центра масс, Перенеся члены уравнений из правой части в левую, получим: (3. 4 ) Обозначим главный вектор сил инерций, приложенный к центру масс; главный момент сил инерции относительно це н тра масс. Тогда уравнения (3. 4 ) приобретут вид: (3. 5 ) Уравнения (3.5 ) являются уравнениями равновесия. Таким образом, при силовом расчете в число заданных сил включают силы инерции. Это позволяет определить неизвестные силы (реакции, дв и жущий момент) при помощи уравнений статики. Порядок силового расчета 1. Вычертить в масштабе кинематическую схему механизма в заданном п о ложении. . Построить план скоростей и ускорений. Методом подобия опред е лив ускорения центров масс звеньев, найти угловые ускорения звеньев. 3. Определить силы и моменты сил инерции. 4. Разложить механизм на группы Ассура (так как группа Ассура имеет нулевую степень подвижности, то она является статически определимой си с темой). 5. Нагрузить группы Ассура всеми внешними силами и силами ине р ции. 6. Произвести силовой расчет каждой группы отдельно, начиная с п о следней, наиболее отдаленной от ведущего звена. 7. Произвести силовой расчет ведущего зв ена. Пример силового расчета (без учета сил трения) Силовой расчет шарнирного четырехзвенника (рис. 3 .10 ). Заданы: размеры звеньев , , , , массы от , , , моменты ине р ции звеньев относительно центров их масс, момент полезного сопротивл е ния , приложенный к ведомому звену 3; угловая скорость ведущего зве на; положение механизма, определяемое обобщенной координатой ведущего звена. Рис. 3 .10 Найти реакции во всех кинематических парах и уравновешивающий момент Решение. Для определения в еличин и направлений сил и моментов сил инерции предварительно построим план скоростей и план ускорений м е ханизма. Запишем уравнения для плана скоростей: Строим план скоростей (рис. 3.11 , а ) в масштабе . Запишем уравнения для плана ускорений (м/с 2 ): 1) , 2) Вычислим масштаб плана ускорений: ; , где a ‬ отрезок произвольной длины в мм. Вычислим нормальные ускорения: Рассчитаем масштабные значения нормальных ускорений: Построим план ускорений (р ис. 3.11 , б ) в масштабе a . Определим уск о рения центров масс по подобию: а б Рис. 3.11 Рассчитаем угловые ускорения звеньев  и 3: Изобразим группу Асс ура в масштабе (рис. 3.12 ). Определим силы инерции и моменты сил инерции соглас но (3. 1 ) и (3. 2 ): для звена  ; ; для звена 3 Рис. 3.12 Нагружаем группу Ассура силами (рис. 3.12 ), раскладывая реакции в шарн и рах А и С на взаимно перпендикулярные составляющие (вдоль звена и пе р пенд и кулярно ему), силовой расчет проводим методом кинетостатики. Группа Ассура содержит четыре неизвестные реакции. Две реакции найдем с помощью уравнений моментов всех сил относительно некоторой общей точки. Оставшиеся две реакции определим из плана сил. Составим уравнение моментов сил отн о сительно точки В для звена : , (3.6) или . Из этого уравнения определим составляющую реакции . Составим уравнение моментов сил относительно точки В для звена 3: (3.7) Из этого уравнения определим составляющую реакции . Запишем векторное уравнение равновесия для всей системы сил: , . (3.8) Решим графически урав нение (3.8), т. е. построим план сил. Вычислим ма с штаб сил и каждую из известных сил разделим на него. В результате получим отрезки, изображающие в масштабе величины сил. Д а лее строим замкнутый многоугольник сил из этих отрезков, пр оведенных п а раллельно вектором соответствующих сил. Для этого из произвольной точки плоскости (рис. 3.13 , а ) откладываем масштабное значение силы , приба в ляем к ней силу . Продолжим геометрическое сложение сил в п о рядке, указанном в уравнении (3.8). Затем из начала отрезка, изображающего , проводим линию действия реакции (перпендикулярно ). Далее из конца последнего отрезка, изображающего , проводим линию дейс т вия реакции (перпендикулярно ). Точка пересечения этих двух пр я мых определит величины нормальных составляющих и . Необход имо с о блюсти последовательное направление векторов. Полные реакции и могут быть получены как результирующие согласно уравнен и ям: а б Рис. 3.13 Для определения реакции в кинематической паре В рассмотрим в ра в новесии одно звено, например третье. Искомую реакцию найдем из уравн е ния равновесия: (3. 9) Для решения (3.9) строим план сил (рис. 3.13 , б ). Реакцию можно было определить на плане сил (рис. 3.13 , а ). Переходим к силовому расчету ведущего звена. Изобразим ведущее звено в масштабе l (рис. 3.14 , а ) и нагрузим его силами : М УР уравновешивающий момент (уравновешивает все силы, приложенные к в е дущему звену), реакция в кинематической паре О . В данном случае сила инерции (так как центр масс звена 1 л е ж ит на оси его вращения 0); момент сил инерции (так как ). Определению подлежат и . Составим уравнение моментов сил относительно точки О : , (3.10) Из уравнения (3.10) определим: : . Запишем векторное уравнение равновесия для ведущего звена: , . (3.11) Уравнение (3.11) решим графическим методом, построив план сил в ма с штабе (рис. 3.14 , б ). Рис. 3.14 3 .2 . Теорема о «жёстком» рычаге Жуковского Теорема используется для определения ур авновешивающей силы или ура в новешивающего момента без предварительного определения реакций в кинематических парах механизма и является графической интерпретацией принципа возможных перемещ е ний. Для реального механизма эти возможные перемещения являю т ся реальными. Исходя из принципа сохранения энергии сумма работ всех внешних сил, приложенных к звеньям механизма, равна нулю. Это условие можно записать в виде , (3. 12 ) где P i ‬ все внешние силы, в том числе силы полезного и вредного сопротивления, силы инерции и веса, действующие на звенья механизма (силы реакции здесь не учитываются); dS i ‬ элементарные перемещения точек приложения этих сил; i ‬ угол приложения внешних си л, или угол давления (угол между вектором силы и вектором скорости). Разделим уравнение (3. 12 ) на бесконечно малый интервал времени dt и пол у чим (при условии, что dS / dt = ) , (3. 13 ) то есть сумму мгновенных мо щностей, равную нулю. Для определения величины мгновенных мощностей можно выполнить решение следующей графической интерпретации. Дано звено ВС с известной скоростью точки D и приложенной к этой точке силой (ри с. 3.1 5 ). Построим план скоростей, повёрнутый на 90 0 , где , . Вычислим момент силы относительно полюса Р v плана скоростей: . С учётом этого уравнение (3. 13 ) можн о записать как . Так как масштаб , то можно сформулировать теорему Жуковск о го: , (3. 14 ) или алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, перен есенных с механизма в соотве т ствующие точки повёрнутого на 90 0 плана скоростей, относительно полюса равна нулю. Рис. 3.15. План звена с повёрнутым на 90 0 планом скоростей Последовательность определения P ур в механизме по теореме Жуко в ского: 1. Пос троить повёрнутый на 90 0 (в любую сторону) план скоростей мех а низма. . В соответствующие точки плана скоростей нанести все ранее опред е лённые внешние силы (включая силы инерции и силы веса), действующие на м е ханизм, в том числе и уравновешивающую силу P ур . 3. Составить ура внение вида (3. 14 ). Плечи моментов сил брать из повёрн у того плана скор о стей. 4. Из составленного уравнения определить P ур . Пример . З аданы внешние силы, действующие на звенья механизма Р 2 и Р 3 . Найдём уравновешивающую силу Р ур , для чего по строим план механизма в масштабе длин (рис. 3.1 6 ) и повёрнутый на 90 0 план скоростей (рис. 3.1 7 ). Рис. 3.1 6 . План механизма Рис. 3.1 7 . Повёрнутый на 90 0 план скоростей Приложим силы в соответствующие точки k и b 3 повёрнутого плана скоростей, обозначаем плечи сил. Составляем уравнение моментов сил относительно полюса плана скоростей: . Отсюда . Е сли сила P ур получается с отрицательным знаком, то её предварительно выбра н ное направление следует поменять на противоположное. Ле кция 8 МОДУЛЬ 4 . ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С ЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ 4.1. Анализ движения механизмов под действием за да н ных сил Перейдем к рассмотрению второй задачи динамики установлению истинного закона движения по заданным внешним силам и ма с сам. Три стадии движения машины Процесс движения машины включает три периода: разгон, установи в шееся движение и выбег (рис. 6). Разгон характеризует увеличение скор о сти главного вала машины. При этом происходит нарастание кинетической эне р гии, это наблюдается при пуске машины в ход или при переводе ее с мен ь шей скорости на большую. При выбеге ( t В ) скорость главного вала уменьш а ется, происходит убывание кинетической энергии. Разгон и выбег относятся к неустановившемуся движению и называют п е реходными пр о цессами. Рис. 4.1 При установившемся движении ( t Д ) скорость главного вала изменяется периодически. При этом кинетическая энергия и угловая скорость остаются постоянными или колеблются о т носительно среднего значения. t О станов У становившееся движение Р азгон A дв � А сопр А дв =А сопр А дв =0 Уравнения движения машины Уравнение Лагранжа второго рода Для определения закона движения механизма с одной степенью по д вижности (таких ме ханизмов большинство) достаточно найти закон движ е ния одного звена (ведущего), на основании которого положения остальных звеньев легко уставить методами кинематики. Для этой цели обычно прим е няют уравнение Лагранжа второго рода либо уравнение, устанавливае мое теоремой об изменении кинетич е ской энергии системы. Уравнение Лагранжа второго рода им е ет вид , (4.1) где Е ‬ кинетическая энергия механизма; Q ‬ обобщенная сила; ‬ обо б щенная координата. С решением данного уравнения по д роб нее ознакомимся ниже. Уравнение кинетической энергии В общем виде уравнение, выражающее теорему об изменении кинет и ческой энергии системы, следующее: , ( 4 . 2 ) где E i+ 1 ‬ текущее значение кинетическо й энергии системы; E i ‬ предыдущее значение; A k ‬ сумма работ всех сил и моментов сил, приложенных к си с теме при перемещении последней из положения i в положение i+ 1. Кинетическая энергия E механизма, машины, машинного агрегата ра в на сумме кинетических эн ергий отдельных звеньев. В плоском механизме звенья могут совершать поступательное, вращательное, плоскопараллельное движ е ние. Если звено движется поступательно, то его кинетическая энергия , где m ‬ масса звена, V ‬ ск о рость тела. Если звено находится во вращательном движении вокруг неподви ж ной оси, то его кинетическая энергия , где J 0 ‬ момент инерции звена относительно оси вращения; угловая скорость звена. Если звено соверш а ет плоскопараллельное движе ние, то кинетическая энергия такого звена определяе т ся по формуле , где m , V S , J S , масса, скорость центров масс, момент инерции, угловая ск о рость звена соответственно. Следовательно, кинетическая энергия си с темы (механизма, маши н ного агрегата) определяется по формуле , ( 4 . 3 ) где n ‬ количество подвижных звеньев; k ‬ номер звена. Для определения р а боты всех сил, действующих на механизм, можно использовать формулу, известную из курса те о ретической механики: , ( 4 . 4 ) где P k ‬ сила, приложенная к k - й точке звена; M k ‬ момент пары сил k - го зв е на; A k ‬ работа силы P k (момента силы М k ); k ‬ угол между силой P k и элементарным перемещен и ем j ‬ номер положения. Подставляя 4 . 3 и 4.4 в 4 . 2 , получаем Это уравнение ‬ очень громоздкое со многими неизвестными. Построение динамической модели (приведение масс и сил) При исследовании движени я механизма (с одной степенью свободы), находящегося под действием сил, достаточно получить закон движения о д н о го из звеньев. За такое звено обычно принимают ведущее и называют его зв е ном приведения. К нему приводят массы всех звеньев и силы, дейс т вующие н а звенья механизма. Звено приведения с приведенными параме т рами являе т ся динамической моделью механизма. Звено приведения может совершать п о ступательное движение (рис. 4 . 2, а ) и вращательное движение (рис. 4. 2, б ). а б Рис. 4.2 Положение механизма с одной степенью свободы (рис. 4.2 ) определ я ется одной координатой, которую называют обобщенной. В качестве ее можно принять линейную координату точки или угловую координату вр а щающегося ведущего звена. Так, обобщенной координатой может быть дуга S и угол (см. рис. 4. а , б ). При этом (рис. 4. 2, а ) точка А , звено ОА , в дал ь нейшем будет динамической (условной, расчетной) моделью механизма, машины, машинн о го агрегата (точкой приведения или звеном приведения). Приведение масс и сил к точке и к вр а щающемуся зв ену Возьмем в качестве точки приведения точку А , а в качестве обобще н ной координаты линейную координату точки А ‬ дугу (см. рис. 4. 2, б ). Умножив и разделив выражение ( 4 . 3 ) на , а выражение ( 4 . 4 ) на ds А ‬ эл еме н тарное перемещение точки А , получим: , ( 4 . 5 ) . ( 4 .6) Умножив и разделив выражение ( 4.3 ) на и выражение ( 4 . 4 ) на , получим: , ( 4 . 7 ) . ( 4 . 8 ) Каждый член скобки выражения ( 4 . 5 ) имеет размерность массы, а та к же условный смысл массы, сосредоточенной в точке А . В уравнении ( 4 . 7 ) каждый член скобки имеет размерность момента инерции. При этом согласно ( 4 . 5 ) масса и момент инерции каждого звена приводятся к точке А отдельно и имеют следующие условные значения: ; . ( 4 . 9 ) Согласно ( 4 . 7 ) масса и момент инерции каждого звена приводятся к вращающемуся звену ОА (рис. 4. 3) и тогда приведенный момент инерции к а ждого звена имеет значения: . ( 4 . 10 ) а б Рис. 4.3 Таким образом, выражение в фигурной скобке ( 4 . 5 ) представляет с о бой приведенную массу механизма (машины, машинного агрегата), которая складывается из приведенных масс всех звеньев и частей данного ме хани з ма, т. е. ( 4 . 1 1 ) Выражение в фигурной скобке ( 4 . 7 ) представляет приведенный м о мент инерции всего механизма (машинного агрегата), который складывается из приведенных моментов инерции всех звеньев и частей машины, т. е. . ( 4 . 12 ) Подставив ( 4 . 9 ) в ( 4 . 5 ), получим . ( 4 . 13 ) Подставив ( 4 . 5 ) в ( 4 . 7 ), получим . ( 4 .1 4 ) Из равенства выражений ( 4 . 5 ) и ( 4 . 7 ), а также с учетом того, что , определим зависимость между приведенной массой и приведе н ным моментом инерции. Разделив ( 4 . 12 ) на ( 4 . 11 ), получим . ( 4 . 15 ) На основании ( 4 . 11 ) дадим определение приведенной массы. Прив е денной массой механизма называется условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна кинетической эне р гии мех а низма. Привед енная масса одного звена ‬ это условная масса, с о средоточе н ная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна к и нетической эне р гии данного звена. На основании ( 4 . 12 ) дадим определение приведенного момента ине р ции. Приведенным моментом инерции механ изма называют условный м о мент инерции звена приведения, кинетическая энергия которого равна кин е тической энергии всего механизма. При необходимости можно массу люб о го зв е на привести к звену приведения. Теперь обратимся к левой части уравнения ( 4 . 2 ), т. е. к выражениям ( 4 . 8 ) и ( 4 . 10 ). Каждый член скобки ( 4 . 8 ) имеет размерность силы ( Н ) , а также условный смысл силы , приведенной к точке А и направленной пара л лельно скорости V А (перпендикулярно звену ОА ): ; ; . ( 4 . 16 ) Каждый член скобки выражения ( 4 . 10 ) имеет размерность момента с и лы ( ), а также условный смысл момента силы, приведенного к звену ОА , где ; ; . ( 4 . 17 ) Таким образом, выражение в квадратной скобке формулы ( 4 . 8 ) мо ж но представить как ( 4 . 18 ) Выражение в квадратной скобке ( 4 . 10 ) представляет собой суммарный приведенный момент силы: ( 4 . 19 ) Подставив ( 4 . 18 ) в ( 4 . 8 ), получим , (4 . 20 ) где работа приведенной силы. Подставляя ( 4 . 19 ) в ( 4 . 10 ), получаем . ( 4 . 21 ) Из равенства выражений ( 4 . 20 ) и ( 4.21 ) и принимая во внимание, что , определим зависимость между приведенной силой ( P ПР ) и пр и веденным моментом сил ( М ПР ). Так как , а , то . ( 4 . 22 ) Приведенную силу ( P ПР ) и приведенный момент сил удобнее вычи с лять через мощность как первую производную от работы по времени . З апишем выражение элементарной работы для приведенной силы, см. ( 4.18 ): , ( 4 . 23 ) . ( 4 . 24 ) Разделив обе части одинаковых равенств ( 4 . 24 ) и ( 4.23 ) на dt , получим: , или , ( 4 .2 5 ) где ‬ мощность приведенной к точке А силы; ‬ мощность приведенного момента сил к вращающемуся звену ОА ; сумма мощностей всех сил, приложенных к м е хани з му (машине). На основании формулы ( 4 . 25 ) дадим определение приведенной силы и приведенного момента. Приведенной силой называется условная с и ла, приложенная к точке приведения, мощность которой равна сумме мощн о стей всех внешн их сил, приложенных к механизму. При необходимости любую силу можно привести к точке приведения, см. ( 4 . 16 ). Приведенным моментом сил называют условный момент силы (пары сил), приложенной к звену приведения, мгновенная мощность кот о рого равна мгнове нной мощности всех сил, приложенных к механизму. При нео б ходимости любую силу можно привести к звену приведения, см. ( 4 . 17 ). Подставив ( 4 . 11 ) и ( 4 . 20 ) в уравнение ( 4 . 2 ) и отделив движущие силы от сил сопротивления , получим . ( 4 . 26 ) Уравнение ( 4 . 26 ) является исходным при определении истинного з а кона движения точки А или тела, совершающего поступательное движение. Мат е матическое описание динамической модели дано на рис. 4. 2, б . Подставив выражения (4 . 12 ) и ( 4. 21 ) в уравнение ( 4 . 2 ), получим . ( 4 . 27 ) Уравнение ( 4 . 27 ) является исходным при определении истинного з а кона движения вращающегося звена 1 ( ОА ). Звено, к которому приведены все силы и массы, является динамич е ской расчетной модель ю механизма. Его называют звеном приведения. Связь ме ж ду приведенной массой и приведенным моментом инерции выр а жена форм у л ой ( 4 . 15 ). Связь между приведенной силой и прив е денным моме н том сил выражается формулой ( 4 . 22 ). . Решив уравнен ия ( 4 . 26 ) и ( 4 . 27 ) для последовательных положений м е ханизма, можно определи ть характер изменения приведенной силы и приведенного момента сил (мощности всех сил механизма) работ движущих сил, сил с о противления, кинетической энергии и приведенного момента ин ерции за цикл движения механизма в зависимости от обобщенной координаты φ мех анизма. Уравнение движения машины в дифференциальной форме В соответствии с законом и зменения кинетической энергии ( 4 . 2 ) ди ф ференциал dE кинетической энергии массы равен элемента рной работе dA приложенной к ней сил: ( 4 . 28 ) Имея в виду, что , получим ( 4 . 28 ) в дифференциальной форме: , или . ( 4 . 29 ) Если приведенный момент инерции является функцией угла поворота звена приведения, то ( 4 . 29 ) дифференцируют как функцию двух н е зависимых переменных и J p : ( 4 . 30 ) Производная сложной функции: ( 4 . 31 ) Дифференциальное уравнение ( 4 . 30 ) с учетом ( 4 . 31 ) примет вид . ( 4 . 32 ) Когда силы и массы приводятся к точке, то аналогичным ( 4 . 32 ) уравн е нием движения будет такое: ( 4 . 33 ) Приведенные массы (моменты инерции), приведенные силы (моменты сил) можно определить аналитическим, численным или графо аналитическим методами. Суть решения задачи (определения истинного закона движения машины) состоит в анализе характера изменения этих характеристик, пол у ченных на основе исходных данных (линейных размеров, масс, звеньев м е хани з ма, сил, действующих на них, и т. д.). Чтобы определить характер изменения массы или приведенного м о мента инерции (кинетической энергии) механизма (машины, машинного а г регата) за цикл движения машины, необходимо вычислить их значения в конкретных последовательных положениях механизма. Можно отметить несколько характерных свойств приведенной массы ( и приведенного момента инерции ) . 1. Приведенная масса, приведенный момент инерции вращающегося звена, связанного со звеном приведения постоянным передаточным отн о шением, есть величина постоян ная. . Приведенные массы (момент ы инерции) остальных звеньев механизма ‬ величины переменные, а следовательно, приведенная масса (м о мент инерции) м ашины есть величина переменная. Поэтому величину приведенного момента инерции можно записать так : , - постоянная част ь приведенного момента инерции; - переменн ая част ь приведенного момента инерции. Так может быть определен приведенный момент инерции любого м е ханизма, машины, машинного агрегат а. Для ряда механизмов (зубчатых и других) переменное слагаемое равно нулю. Для таких механизмов приведе н ный момент инерции (приведенной массы) есть величина постоянная. 3. В выражение приведе н н ого момент а инерции входят лишь первые передаточные функции (а налоги скоростей) , величина которых в данном положении механизма не зависит от величины скорости точки или звена приведения. Значит, закон изменения приведенной массы (приведенного момента инерции) не зависит от скор о сти зв е на приведения. Следов а тельно, пр иведенная масса (приведенный момент инерции) является фун к цией положения механизма (функ цией обобщенной координаты) или ; . Лекция 9 4 . 2 . Установившееся движение машины . Неравномерность движения машин в ус тановившемся режиме, средняя скорость, коэффиц и ент неравномерности В установившемся режиме угловая скорость главного вала двигателя или входного звена исполнительного механизма является периодической функцией времени, период которой равен времени одного ц икла (рис. 4 .4 ). В общем случае угловая скорость близка к постоянной и отличается от нее на некот о рую периодическую функцию ( t ): ; , где t Ц ‬ период цикла установившегося движения. Рис. 4.4 Неравномерность движения отдельных звеньев в механизмах зависит не только от характера внешних сил, распределения масс, но и от структуры механизма, его геометрии. Например, в рычажных механизмах все звенья, совершающие поступательные и плоскопараллельные движения, движу тся неравномерно с переменными скоростями и ускорениями. В таких механи з мах кинетическая энергия, мощность приведенной массы, моменты ине р ции, пр и веденные моменты сил являются функциями положения ведущего звена. Следовательно, динамическая модель механизма , машины, машинн о го агр е гата ‬ звено приведения, функцию которого выполняет ведущее зв е но, н а груженное переменным приведенным моментом сил и обладающее п е реме н ной кинетической энергией, движется неравномерно. Ведущее звено в мех а низме обычно имеет наибольш ую скорость по сравнению с другими звеньями. Следовател ь но, неравномерность движения ведущего звена ус и лит неравномерность о с тальных звеньев, вызывает появление дополнител ь ных реакций в кинематич е ских парах, упругие колебания в звеньях, вызыв а ет появление дополнител ь ных реакций в кинетических парах, упругие кол е бания в звеньях. Все это вредно сказывается на работе машины, прочности ее звеньев, точности в ы полняемых операций. Каждой машине соответствует свой коэффициент неравномерности , который определяет с тепень максимального отклонения скорости (в стор о ну увеличения до max , уменьшения ‬ до min ) от ее среднего значения ср . , ( 4 . 34 ) . ( 4 . 35 ) Допустимые коэффициенты неравномерности хода машины имеются в справочниках машиностроителя, некоторые из них приводятся в табл. 5 . В машинах, в которых требуется высокая точность наполняемых оп е раций, например в станках, коэффициент неравномерности = 1/30 ‬ 1/50, в двигателях внутреннего сгорания = 1/50 ‬ 1/80 , в механизмах с очень выс о кой скоростью ведущего звена (например, в электрогенераторах, авиацио н ных двигателях, турбогенераторах) коэффициент неравномерности еще меньше: = 1/100 ‬ 1/300. В механиз мах и машинах с небольшой скоростью вращения ведущего звена (не более 100 об/мин) и с невысокими требов а ниями к точности выполняемых операций коэффициент неравномерности коле б лется от 1/5 до 1/30 (в насосах, сельскохозяйственных машинах). Задача динамическ ого анализа определить на основе исходных да н ных (геометрических параметров, масс, сил) и результатов кинематического анализа истинного закона изменения угловой скорости ведущего звена, для того чтобы сравнить фактическую неравномерность с допускаемой. Е сли фактический коэффициент неравномерности превышает допустимый, то сл е дует предусмотреть меры, снижающие неравномерность до определе н ного пред е ла. Таблица 5 Типы машин Коэффициенты неравн о мерности хода Насосы 1/5 ‬ 1/30 Сельскохозяйственные машины 1/5 ‬ 1/50 Металлообрабатывающие станки 1/20 ‬ 1/50 Ткацкие, полиграфические, мук о мольные 1/10 ‬ 11/50 Бумагопрядильные 1/60 ‬ 1/100 Судовые двигатели 1/20 ‬ 1/150 Двигатели внутреннего сгорания 1/80 ‬ 1/150 Компрессоры 1/50 ‬ 1/100 Электрич. генераторы постоянного тока 1/100 ‬ 1/200 Авиационные двигатели 1/00 и менее Турбогенераторы 1/00 и менее Решение уравнений динамики графоаналитическим методом Для решения интегральных уравнений ( 4 . 26), (4 . 27 ) предложено н е сколько графоаналитических методов: методы Мерцалова , Зиновьева, Гут ь яра и других. Сущность этих методов построение ряда диаграмм, показ ы вающих изменение приведенной силы (момента сил), работ движущих сил ( А Д ) и сил сопротивления ( А С ) их алгебраической суммы ( А Д А С ), равной и з менению кинетической энергии ( ), приведенной массы ( ) или прив е денного м о мента инерции ( ) в зависимости от времени или угла повор о та ведущего звена. Решим уравнение ( 4 . 27 ) на базе диаграммы энергомасс . Ди а грамма пред ставляет зависимость между кинетической энергией м а шины и ее приведенным моментом (рис. 4.5 ). Рис. 4.5 Кривая позволяет определить угловую скорость звена пр и ведения в любом положен ии механизма. Возьмем, например, точку, с о отве т ствующую k - му положению механизма, и соединим ее с началом коо р динат (рис. 4.5 ). Кинетическая энергия вращающегося звена приведения (машины) в k - м положении определится как , откуда , ( 4 . 36 ) где , а . Формула ( 4.36 ) является основанием для построения диаграммы энергомасс. y k и x k ‬ отрезки, изображающие в соответствующих м асштабах кинетическую энергию и приведенный момент инерции машины. Подставив два последних равенства в ( 4.36 ), получим: ( 4 . 37 ) Таким образом можно определить угловую скорость звена прив е д е ния для любого положения механизма. Наибольшая угловая скорость (наименьшая ) будет там, где угол принимает наибольшее (на и мен ь шее) значение. Это соответствует тому положен ию, где прямая ( ) касается кр и вой (рис. 4.7 ). При этом , ( 4 . 38 ) а определится из уравнения . ( 4.39 ) Неполная диаграмма энергомасс Известно (см. выше), что ; , где E , E 0 кинетическая энергия машинного агрегата в конце и начале ра с сматриваемого движения; E приращение кинетической энергии; приведенный момент инерции машинного агрегата; , постоянная и переменная составляющая приведенного момента инерции машинного а г регата. Приращение кин етической энергии E определяет формула ( 4 . 27 ), фо р мула ( 4.36 ) определяет зависимость между кинетической энергией и приведенным моментом инерции и служит основанием для опред е ления истинного закона изменения угловой скорости ведущего звена на о с нове ди а граммы энергомасс . Для машинного агрегата сложно определить , поэтому переход к полной диаграмме энергомасс ведут от неполной диаграммы . Взяв в качестве динамической модели вращающееся звено (звено пр и ведения) и исходя из формулы ( 4 . 27 ), получим диаграммы энергомасс: 1) диаграммы приведенных сил сопротивления и движущих сил и ; ) диаграммы работ сил сопротивления и работ движущих сил , ; 3) диаграммы приращения кинетической энергии ; 4) диаграммы переменной части приведенного момента инерции ; 5) диаграммы энергомасс . Рассмотрим построение зависимости . Вычертим 1 с о вмещенных планов положений механизма, соответствующих одному обор о ту ведущего звена. Если рабочий цикл машины завершае тся за два оборота в е дущего звена, то механизм вычертим в 4 положениях. Построим 12(24) пл а нов скоростей и с помощью рычага Жуковского осуществим приведение сил ‬ найдем приведенный момент сил сопротивления . Силы сопр о тивления обыч но задаются индикаторной диаграммой. В расчетах учитыв а ются также силы тяжести некоторых звеньев (если они составляют не менее 10 15 % от максимального значения силы сопротивления). Построим зав и симость от угла поворота ведущего зв ена в выбранных масштабах и (рис 4. 6, а ). Графически проинтегрировав диаграмму , получим диагра м му работ сил А , сил сопротивления за период (рис. 4. 6, б ). На этом графике стр о им диаграм му работ движущих сил . При этом предполагае т ся, что приведенный момент движущих сил ‬ величина постоянная и, следов а тельно, его работа пропорциональна углу поворота ведущего звена. Это в ы ражается прямолинейны м графиком. При установившемся движении за период . Поэтому для построения графика нужно соединить прямой н а чальную и конечную точки диаграммы . Методом графического дифференцирования строим диаграмму пр и веденного момента движущих сил. Произведем алгебраическое сложение ординат диаграмм и на основе уравнения , и построим график приращения кинетической энергии (рис. 4. 6, в ). Вычислим для всех положений приведенные моменты инерции механизма по формуле ( 4 . 12 ). Построим диаграмму в масштабе (рис. 4. 6, г ). Методом графического исключения параметра на основе графиков и строим неполную диаграмму энергомасс петлю Виттенбауэра (рис. 4.6 , д ). Рис. 4.6 О т неполной диаграммы энергомасс легко перейти к полной диагра м ме , имея значение коэффициента неравномерности хода Выв е дем формулы для вычисления углов max и min (см. рис. 4.5 ). Ранее было показ а но Отсюда Решив данную систему уравнений, получим . ( 4 . 40 ) а б в г д Возведя эти уравнения в квадрат и пренебрегая членом ввиду мал о сти, имеем , ( 4 . 41 ) . Подставив ( 4 . 41 ) в ( 4 . 38 ) и ( 4 . 39 ), можно выразить , ( 4.42 ) . Проведем к петле неполной диаграммы энергомасс касательные под углами max и min (рис. 4.7 ), которые соответс т вуют и . Рис. 4.7 Получим новый центр координат и полную диаграмму энергомасс . Расстояния между осями координат соответствуют (начальное значение кинетической энергии) и (постоянная часть приведенного момента ине р ции). Приближенное определение закона изменения углово й скорости звена приведения (силы зависят от положения звена приведения) методом Д.М. Мехонцевой . Для определения истинного закона изменения угловой скорости и углового ускорения ведущего звена воспользуемся неполной и полной диаграммами энергомасс (рис. 4.7 ). Точки 0, 1, , . . . К , . . . на петле Витте н бауэра (соответствующие углам поворота ведущего звена . . ., . . .) соединим с началом координат диаграммы . Точки пересечения л у чей 01, 0, . . ., 0 К , . . . c осью координат E отметим как 0, 1, 2, . . ., K , . . . . Введем следующие обозначения , , , , , , . . ., , . . . . Используя ( 4 . 37 ) и геометрические соотношения (рис. 4.7 ), з а пишем , ( 4 . 43 ) где постоянная часть приведенного момента инерции. . ( 4.44 ) Подставив ( 4.44 ) в ( 4 . 43 ), п о лучим: . ( 4.45 ) Из отрезков . . . ., . . ., лежащих на ординате , вычтем отр е зок и обознач им полученные разности . . ., Этой ра з ности соответствует разность квадратов угловых скоростей, так как согласно (3.105) Зн а чит, . ( 4 . 46 ) Согласно ( 4.46 ) можно построить график зависимости приращения квадрата угловой скорости ведущего звена от угла его поворо та . Для этого отложим отрезки на соответствующих ординатах (рис. 4.8 , а ). Фун к цию продифференцируем по : , окончательно: . ( 4 . 47 ) Следовательно, для получения закона изменения углового ускорения достаточно построить диаграмму и продифференцировать ее (рис. 4.8 , б ). б Рис. 4.8 a Рассмотрим метод определения закона изменения угловой скорости при малом коэффициенте неравномерности хода . В этом случае угол поворота ведущего звена примерно пропорционален времени . Зн а чит, ось можно заменить осью и, интегрируя диаграмму п о лучить диаграмму При этом кривые диаграмм и со в падают. Диаграммы будут отличаться лишь положением осей абсцисс. Ра с стояния между осями абсцисс определяются значениями п о стоянных интег рирования. Приняв во вним а ние, что и подставим эти выражения в ( 4.47 ), тогда имеем: Интегрируя части этого равенства, находим: , . Из второго уравнения следует, что кривые диаграмм и имеют одинаковый вид. Постоянные С и учитывают с помощью масшт а бов и расстояний между осями абсцисс. , ( 4.48 ) , ( 4.49 ) где ; ( 4.50 ) Установим степень точности данного приближения. Обозн а чим . Угловую скорость представим как Переменный к о эффициент определяет степень отклон е ния от , Максимальная относительная погрешность также будет иметь м е сто при максимальном коэффициенте Выр а зим из ( 4.40 ): Подставим это выражение в и Тогда относительную погре ш ность покажем как Эта величина очень мала, например, при По этому степень приближения к высока. Масштабы диаграмм и . Определим масштабы диаграмм и . Воспользуемся формулой ( 4.43 ). Из нее видно, что . ( 4.51 ) Из ( 4.41 ) следует, что . Из рис. 4.7 . Тогда ( 4.52 ) Выше было показано, что При малом коэффициенте приращение угловой скорости пропорционально приращению ординат (рис. 4.7 ), тогда Следовательно, или ( 4.53 ) Расстояние между осями аб с цисс Расстояние между осями ординат диаграмм и соответс т вует (рис. 4.8 , а ). Следовательно, расстояние Расстояние между осями ординат S диаграмм и найдем по постоянной С' из ( 4.50 ). Оно соответствует . С ледует отметить, что при малом коэффициенте неравномерности х о да углы наклона касательных к петле (рис. 4.7 ) max , min , k мало отлич а ются друг от друга. Поэтому при построении диаграммы можно принять эти углы один а ковыми и равны ми ср . Определим согласно ( 4 . 37 ) , где ( n ‬ число об/мин). Далее из точек 0, 1, , . . , K , . . . на петле Виттенбауэра (рис. 4.9 ) пр о водим лучи, параллельные лучу . (Луч касательная к петле, проведенная под углом ср ). Отрезки на оси , , ... , , . . . используем при построении диаграммы Рис. 4.9 При больших значениях углов касательные к петле и другие лучи не пересекают ось в пределах чертежа. Они пересекают ось в точках . . ., . . . (рис. 4.10 ). В этом случае отрезки можно вычислить следующим образом (рис. 4.11 ): , ( 4.54 ) в свою очередь, Рис. 4.10 Рис. 4.11 Из треугольника видно, что . Из треугольника следует, что . Тогда, с учетом значений и , им е ем: При малом заменим max и k на ср . Окончательно пол у чим: . ( 4.55 ) В частном случае, если углы max и близки нулю (когда приведенный момент инерции является постоянной величиной), закон изменения угловой скорости описывается тем же графиком, что и завис и мость . Порядок построения диаграмм угловой скорости и углового ускор е ния Из сказа нного выше следует такой порядок определения законов изм е нения угловой скорости и углового ускорения звена приведения. Исходной базой является неполная диаграмма энергомасс . Сначала определим углы max и min из ( 4.41 ). Если , то вычислим ср по формуле ( 4.36 ), из которой , а . Из точек 0, 1, , . . ., K , . . . кривой неполной диаграммы энергомасс (рис. 4.9 ) проведем параллельные лучи под углом ср к оси до пересечения с осью E . Точки пересечения отметим теми же цифрами , , , . . ., , . . .. Нижнюю точку А примем за начало отсч е та. Построим ди аграмму разности квадратов угловых скоростей . Для этого из точек 0, 1, , . . ., 1 (рис. 4.12 , а ) оси отложим ординаты A 0, A 1, . . ., (рис. 4.9 ) соответственно. Учитывая, что полученная кривая изобр а жает одновременно диаграммы , , проведем ниже оси диаграммы еще две оси абсцисс для диаграммы и . Запишем формулы для опред е лени я расстояния между осями (рис. 4.1 ): Диаграмму углового ускорения построим, дифференцируя гр а фик , рис. 4.1 , б . Масштабы диаг рамм вычислим по формулам ( 4.52 ), ( 4.53 ), а . б Рис. 4.12 Регулирование установившегося движения м а шины Периодическое (установившееся) движение машины характеризуется колебаниями угловой скорости ведущего звена (звена приведения) . Эти к о лебания количественно оцениваются коэффициентом неравномерности хода ( 4 . 34 ). Изменение угловой скорости вызывает в кинематических парах д о полнительные (динамические) давления, которые снижают КПД машины, ее надежность и долг овечность, ухудшают рабочий процесс машины. Поэтому к а ждой машине соответствует свой коэффициент . Некоторые допустимые зн а чения приведены в табл. 5. а Если коэффициент неравномерности машинного агрегата превышает допустимый, то возникает задача уменьш ить его до допустимых пределов. Проанализируем уравнение ( 4 . 27 ). Пусть , тогда . Согласно (4 . 27 ) , откуда . Отсюда следуют  способа уменьшения колебаний угловой ск орости: 1) , когда и ) , когда . Второй метод регулирования колебаний угловой скорости з а ключается в создании дополнительных переменных моментов, прот и воположных по зн а ку возмущающим моментам. Это можно достичь применением разгружат е лей. Введение разгружающего устройства (за счет н а личия в нем сил трения) приводит к увеличению сил сопроти в ления и, следовательно, расходу эне р гии. Подробнее рассмотрим способ увеличе ния приведенного момента инерции . Ранее было показано, что приведенный момент инерции скл а дывается из двух частей: постоянной и переменной . Переменная часть обу словлена неравномерным распределением масс звеньев, дв и жущихся с ускорениями относительно центра масс системы. Это вызывает появление сил инерции и реактивных сил в звеньях механизма, опорах, фу н даменте. Следовательно, увеличивать н ельзя, его нужно уменьшать. Поэтому неравномерность хода можно уменьшить лишь увеличением п о стоянной части приведенного момента инерции. Эта часть представл е на массами и моментами инерции звеньев, движущихся с постоянной угл о вой ско ростью. Массы и моменты инерции звеньев связаны с массой (м о ментом инерции) звена приведения постоянными передаточными отнош е ни я ми. Если при фактическом моменте инерции неравномерность хода превышает пределы допустимой, то разность между расчетным (нео б х о димым) приведенным моментом инерции и фактическим опред е лит дополнительный момент инерции Его может обеспечить установка в машине дополнительной (маховой) массы маховика. Момент рассч и тывают как . ( 4 . 56 ) В свою очередь, , ( 4.57 ) где приведенный к кривошипу момент инерции ротора двигателя; приведенный к кривошипу момент инерции передаточного мех а низма; момент инерции кр и вошипа. Для заданного коэффициента определим расчетный приведенный момент инерции . Выше было показано ( рис. 4.7 ), что . ( 4.58 ) Поскольку входит в формулу ( 4.43 ), то для его определения приравняем правые части одинаковых равенств ( 4.41 ) и ( 4.42 ). Пол у чаем: . Отсюда следует, что . ( 4.59 ) При больших значениях углов max и min касательные к диаграмме энергомасс пересекают не ось а oсь (рис. 4.11 ) в то чках и П е реход к проводим по формуле (дается без выв о да) . ( 4.60 ) Для определения момента инерции маховика методом Виттенбауэра (при ) предварительно построим диаграмму энергомасс (рис. 4.7 ). Далее на основе заданного коэффициента находим отрезок и рассч и тываем момент по ( 4.59 ). Вычисляем момент инерции маховика ( 4.56 ). Маховик представляет собой стальное или чугунное колесо, основная масса которого сосредоточена в ободе (рис. 4.13 ). Маховик является аккум у лятором кинетической энергии механизмов машины, накапливая ее во вр емя ускоренного движения и отдавая обратно при замедленном движении. Со б ственный момент инерции мах о вика определяется как ( 4.61 ) где D средний диаметр обода маховика; m масса маховика. Выразим массу m через объем и плотность мат е риала маховика. Определим объем обода маховика как объем равновеликого паралл е лепипеда: , тогда , где ( ). Подставив значение массы в ( 4.61 ), получим: ( 4.62 ) Из уравнения ( 4.61 ) следует, что для уменьшения металлоемкости маховика выгодно увели чивать его диаметр. Однако это противоречит тр е бованию малых габаритов. Увеличение диаметра ограничивается критич е ской угловой скор о стью. При посадке маховика на вал, угловая скорость которого , кривошипа, должно соблюдат ься условие равенства кинетических эне р гий: следовательно, момент инерции маховика на валу . ( 4.63 ) Рис. 4.13 Таким образом, при посадке маховика на быстроходно м валу момент инерции его уменьшается обратно пропорционально квадрату передаточн о го отношения . Соответственно меньше будут габариты мах о вика. Статическую характеристику двигателя при расчете маховика можно учесть, если подставить в формулу ( 4.59 ) уточненное значение отрезка . Лекция 10 МОДУЛЬ 6 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕ З ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХ АНИЗМОВ 6 .1. Задачи и методы кинематического синтеза Задача кинематического синтеза рычажного механизма с остоит в определении постоянных параметров его кинематической схемы удовл е творяющих заданным условиям. Условия синтеза в общем случае разд е ляются на основные и дополнительные. Основное условие ‬ воспроизв е дение заданного движения ведомого объекта с требуем ой степенью то ч ности. В качестве ведомого объекта может выступать ведомое коромысло, шатун (или точка, прямая, плоскость, связанная с этим звеном). Дополн и тельные условия синтеза обеспечивают существование кривошипа в мех а низме, благоприятные углы давления , ограничивают длины звеньев, габ а риты механи з ма и т. п. Задачи синтеза рычажных механизмов включают : 1) задачи синтеза передаточных механизмов; ) задачи синтеза направляющих механизмов. Передаточным механизмом называется механизм для воспроизведения за данной функциональной зависимости между перемещениями звеньев, о б разующих кинематические пары со стойкой. В свою очередь, в синтезе передаточных механизмов рассматриваются две задачи: а) воспроизведение ведомым звеном заданной непрерывной функции положения на некотором диапазоне поворота ведущего звена; б) воспроизведение нескольких дискретных положений ведомого зв е на. Рассмотрим подробнее постановку задачи синтеза передаточного м е ханизма на примере шарнирного четырехзвенника (рис. 6 .1 ). В общем случае его кинематическая схема характеризуется пятью постоянными параметр а ми: a, b, c, 0 , 0 . Переменные параметры: ‬ угол поворота ведущего зв е на, о т считываемый от линии начала отсчета I; ‬ угол поворота ведомого звена, отсч и тываемый от линии II. Шарнирный че тырехзвенник может обеспечить некоторую функцию положения ведомого звена = ( , a , b , c , 0 , 0 ), которая зависит от угла и пяти постоянных параметров кинематической схемы (рис. 6.2 ). Для во с пр о изведения механизмом заданной функции положения f = f ( ) с дост а точной степенью точности следует подобрать такую комбинацию параме т ров синт е за, при которой обе функции мало отличаются друг от друга на заданном диапазоне поворота ведущего звена: 0 m , где m правая граница ди а пазона. Степень малости опре деляется как максимальное или среднеквадр а тическое отклонение функций. Рис. 6.1 Рис. 6.2 Шарнирный четырехзвенник позволяет воспроизвести дискретные п о ложения ведомого звена. В этом случае заданная фу нкция положения f = f ( ) должна точно совпадать с функцией = ( , a , b , c , 0 , 0 ), воспрои з вод и мой механизмом в точках, соответствующих заданным углам поворота вед у щего звена 1 , 2 , n (рис. 6.3 ). Путем подбора постоянных параметров кинематич е ской сх емы механизма можно обеспечить равенство f k = k ( k = 1, 2, ..., N ) и, следовательно, решить задачу синтеза. Здесь k количество дискретных положений механизма. Направляющим механизмом называется механизм, в котором траект о рия некоторой точки звена, образ ующего кинематические пары только с по д вижными звеньями, приближенно (точно) совпадает с заданной кривой на всем ее протяжении или на некотором участке (погрешность изготовл е ния не принимается во внимание). В общем случае кинематическая схема направляющего шарнирного четырехзвенника (рис. 6.4 ) характеризуется постоянными параметрами: a , b , c , e , x a , y a , 2 , 4 , 0 . Все они могут быть обозначены через вектор постоя н ных п а раметров . Пусть траектория точки М задана уравнением F ( x, y ) = 0 . Задача синтеза направляющего механизма состоит в подборе постоя н ных параметров механизма таким образом, чтобы траектория точки М , воспроизводимая механизмом, мало отличалась от заданной. Координаты точки М полученной траектории им еют вид: X M = X M ( , ) , Y M = Y M ( , ) . Рис. 6.3 При синтезе рычажных механизмов используются следующие методы: 1) точные методы (позволяют точно воспроизводить движение); ) приближенные методы (позволяют пр иближенно воспроизводить движение). Приближенные методы, в свою очередь, разделяются на алге б раические и геометрические. Алгебраические методы основаны на теории приближения функций: интерполировании, квадратическом приближении, наилучшем приближении. Геом етрические методы используют кинематич е скую ге о метрию; 3) оптимизационные методы. Рис. 6.4 4.. Условия существования кривошипа и угол давления в рычажных м е ханизмах Условия существования кривошипа Прежде чем приступить к вопросам синтеза, рассмотрим св ойства шарнирного четырехзвенника, являющегося основой многих рычажных м е х а низмов. Предварительно отметим, что в шарнирном четырехзвеннике (рис. 6.5 , а ) звено, совершающее полный оборот относительно неподвижной оси, называется кривошипом; зв ено, совершающее неполный оборот отн о сительно неподвижной оси, называется коромыслом; звено, не образующее кинематич е ской пары со стойкой, называется шатуном. Выведем условия существования кривошипа. Если ведущее звено АВ кривошип, то за один оборот (цик л) механизм имеет два крайних полож е ния, в которых кривошип оказывается на одной прямой с шатуном BC (рис. 6.5 , б , в ). Так как длина любой стороны треугольника меньше суммы двух др у гих его сторон, то согласно рис. 6.5 , б имеем: a + b d + c . ( 6 .1) Для рис. 6.5 , в , запишем неравенство c b a + d или a + c b + d . ( 6 .2) Рис. 6.5 На рис. 6.5 , г показано характерное положение механизма , для него им е ет место неравенство: a + d b + c , (6.3) Неравенства ( 6 .1), ( 6 .2), ( 6 .3) преобразуем к виду a b + c + d � 0 , ( 6 .4) a + b c + d � 0 , a + b + c �d 0 . a б в г Выражение ( 6 .4) называется условиями существования кривошипа условиями Грасгофа. Складывая почленно неравенства выражения ( 6 .4), получаем: a b , a c , a d . ( 6 .5) Рассмотренные неравенства ( 6 .1) , ( 6 .2), ( 6 .3), ( 6 .5) приводят к форм у лировке теоремы Грасгофа : наименьшее звено является кривошипом, если су м ма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин о с тальных двух звеньев. В случае когда сумма длин кривошипа и шатуна равна сумме длин к о ромысла и стойки: a + b = c + d , ( 6 .6) получается двухкривошипный механизм, в котором звено CD также будет д е лать полный оборот. Если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев больше суммы длин двух друг их звеньев, то четырехзвенник оказывается двухкоромысл о вым, т. е. ни одно звено не может совершать полный оборот. В кривошипно - ползунном механизме (рис. 6.6 ) условия существования кривошипа a определяются очевидным неравенством: a + e b или a b e , (6 .7) где e ‬ дезаксиал . Для кулисного механизма (рис. 6.7 ) из очевидных геометрических с о ображений следует, что кулиса с будет кривошипом, если �a d + e . ( 6 .8) Кулиса с будет коромыслом, когда a d + e . ( 6 .9) Рис. 6.6 Рис. 6.7 Угол давления в рычажных механизмах Важной задачей синтеза является обеспечение бл агоприятных условий передачи сил в проектируемом механизме. Этого можно достичь огранич е н и ем угла давления. Углом давления называют угол между направлением вектора силы, действующей на ведомое звено, и вектором скорости точки прил о жения силы. В шарнирном четырехзвеннике (рис. 6.5 , а ) угол давления образован векторами силы и скорости . Как видно из рисунка, сила , затраче н ная на преодоление сил сопротивления, определяется как Q = P cos . ( 6 .10) Из ( 6 .10) следует, что с уменьшением угла давления возрастает дв и жущая сила Q , уменьшаются потери на трение, увеличивается КПД мех а низма. Поэтому при синтезе рычажных механизмов для рабочего хода зад а ется max 30 0 , а для холостого max 45 0 . Можно использовать угол пер е дачи max = 90 0 . В этом случае необходимо, чтобы минимальный угол п е редачи min был больше некоторого допустимого угла доп согласно нер а венству min доп . ( 6 .11) 4.3. Некоторые вопросы синтеза рычажных механизмов графическим методом Проектирование механизмов по заданному ходу ведомого звена На практике часто требуется спроектировать механизм, у которого з а дано перемещение звена между его крайними положениями (ход звена). Ра с смотрим, как решена эта задача для шарнирного четырехзвенника, крив о шипно - ползунного и кулисного механизмов. Шарнирный четырехзвенник Пусть требуется спроектировать механизм, у которого коромысло CB имеет кра йние положения CB / и CB // , при этом угол размаха коромысла ‬ (рис. 6.8 ). Выберем за ось вращения кривошипа произвольную точку O . Соединив точки O и B // , получим отрезок OB // , равный сумме длин крив о шипа a и шатуна b : a + b = OB // . Соединив т очки O и B / , получим отрезок, равный разности длин шат у на и кривошипа: b a = OB / . Величины всех параметров определим, замерив соответствующие о т резки. Так как длины отрезков c и d выбраны произвольно, то задача имеет мн о жество решений. Целесообразно при синтезе механизма обеспечить условия ( 6 .11). Угол передачи меняется с изменением положения звеньев механизма и достигает минимального значения в одном из крайних положений. Пусть величина min задана для крайнего правого положения кор о мысла. Тогда точку O (ось вращения коромысла) можно выбрать в любом месте прямой I (или выше ее), проведенной через точку B // под углом min к правому крайнему положению коромысла CB // (рис. 6.9 ). Угол min задан для крайнего левого положения коромысла. Рис. 6.8 Рис. 6.9 Центр O вращения кривошипа может быть выбран в любом месте пр я мой II (или ниже ее), проведенной через точку B / под углом min к левому крайнему положению коромысла CB / (рис. 6.9 ). Очевидно, чтобы текущий угол передачи min был больше min , необходимо ось O вращения кривош и па н а значить в произвольной точке между прямыми I и II. Дальнейший ра с чет разм е ров кривошипа и шатуна аналогичен предыдущему. Кривошипно - ползунный механизм Пусть задан ход ползуна H между его крайними положениями B / и B // (рис. 6.10 ). Пр оизвольно выберем ось вращения кривошипа (точка O ). Соед и ним точки O и B // , полученный отрезок равен a + b = OB // , ( 6 .12) где a ‬ длина кривошипа; b ‬ длина шатуна. Отрезок OB / , полученный соединением точки O и B / , равен b a = OB / . ( 6 .13) Измерим отрезки OB / и OB // , определим согласно ( 6 .1) и ( 6 .13) вел и чину кривошипа a и b . В кинематической схеме синтезированного механи з ма параметр e называется дезаксиалом. Рис. 6.10 Так как положение оси O кривошипа выбрано произвольно, возможно множество решений данной задачи. Учтем при ее решении ограничение на угол давления (или угол передачи ). Для кривошипно - ползунного мех а низма угол давления ‬ это угол между шатуном и вектором скорости по л зуна (рис. 6.10 ). Он принимает максимальное значение (а угол передачи ‬ м и н и мальное), когда кривошип находится в верхнем вертикальном положении. Чтобы не превысить заданное максимальное значение угла давления max , п а раметры спроектиро ванного механизма должны удовлетворять нер а венству . ( 6 .14) На практике часто применяют центральные кривошипно - ползунные механизмы ( e = 0). Очевидно, что для таких механизмов H = 2 a . ( 6 .15) Таким образом, у всех центральных механизмов с одинаковой длиной кривошипа a будет одинаков ход H . Для нецентральных механизмов ход ползуна близок двум радиусам кр и вошипа: H 2 a . В кривошипно - ползунном механизм е уменьшение угла давления в е дет к уменьшению ускорения и силы инерции ползуна. Одновременно ув е личивается параметр b и, следовательно, габариты механизма. Поэтому в авт о мобильных двигателях, где уменьшение габаритов имеет особое знач е ние, пр и нимают . В стационарных поршневых насосах , в поршневых насосах и кривошипных прессах . Кулисный механизм Рассмотрим проектирование кулисного механизма по заданному ходу H (углу размаха ) кулис ы (рис. 6.11 ). На рисунке показаны крайние полож е ния кулисы 3. В этих положениях кулиса касательна окружности радиуса крив о шипа r . Поэтому из прямоугольного треугольника O 1 A / O следует . ( 6 .16) По заданному углу из выражения ( 6 .16) вычислим отношение r / l OO1 . Значения параметров r и l OO 1 определим на основании некоторых ко н стру к тивных соображений. Проектирование механизмов по заданному коэффициенту изменения скорости На рис. 6.8 видно, что коромысло CB при переходе из одного крайнего положения в другое поворачивается на один и тот же угол . При этом кр и вошип OA поворачивается на разные углы (на рабочем ходе) и (на х о лостом ходе). Следоват ельно, при постоянной скорости вращения крив о шипа время перехода из одного крайнего положения в другое оказывается разли ч ным, соответственно различной оказывается и средняя угловая ск о рость к о ромысла. Отношение средних скоростей выходного звена за время дв ижения в прямом и обратном направлениях называют коэффициентом K изменения средней скорости выходного звена. Он равен , (4.17) где угол между положениями шатуна со ответствующими крайним п о ложениях коромысла. При заданном значении K угол находится по формуле, полученной из ( 6 .17): . ( 6 .18) Рис. 6.11 Рис. 6.12 Коэф фициент изменения средней угловой скорости K имеет место та к же для нецентрального кривошипно - ползунного и кулисного механи з мов. Для кулисного механизма (рис. 6.11 ). На практике часто требуется спроектировать механизм с наперед з а дан ным коэффициентом K . Рассмотрим в качестве примера синтез крив о шипно - коромыслового механизма. Пусть заданы крайние положения коромысла СB / и CB // . Проведем ч е рез точку B / в произвольном направлении прямую B / I, а через точку B // под углом к этому направлению ‬ прямую B // II (рис. 6.12 ). Точка O пересечения этих прямых может быть выбрана центром вращения кривошипа. Однако это не единственное решение. Другие возможные варианты найдем следу ю щим о б разом. Проведем окружность через точки B / , B // и O . Любую точку, напр и мер A , лежащую на этой окружности, можно принять за центр вращ е ния крив о шипа. Доказательством этого является то, что лучи, соединяющие выбра н ную точку с точками B / и B // , образуют угол, равный (как углы, о пирающи е ся на одну и ту же дугу). При этом возможно учесть ограничение на угол да в ления и конструктивные соображения. Лекция 1 1 МОДУЛЬ 7 СИНТЕЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХА НИЗМОВ Зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного движен ия от одного вала к другому с заданным отношением угловых ск о ростей. Передача непрерывного вращательного движения от одного вала к др у гому может осуществляться как с помощью промежуточного гибкого звена (ременная, цепная, канатная передачи), так и путем не посредственного вза и модействия ведущего звена на ведомое (зубчатые колеса). В зубчатой передаче оба звена имеют выступы определенной формы (зубья), разделе н ные впадинами. Во время работы передачи зубья одного звена последов а тельно входят во впадины другого . В зависимости от расположения осей зубчатых колес различают следующие передачи: цилиндрическая оси колес пара л лельны. Цилиндрическая пара бывает с внешним (рис. 7.1 , а ) и внутренним (рис. 7.1 , б ) зацеплением зубьев. Частным случаем ц и линдрической перед ачи является реечная передача (рис. 7.1 , в ); коническая оси колес пересекаются (рис. 7.2 ); гиперболоидная оси колес скрещ и ваются (рис. 7.3 ). Частные случаи червячная передача (рис. 7.4 ), ви н товая п е редача. Рис. 7.1 Рис. 7.2 Рис. 7.3 Рис. 7.4 7 .1. Основы теории эвольвентного зацепления Основная теорема зацепления Профили зубьев двух колес, передающих непрерывное вращательное движение с постоянным отношением угловых скоростей, не могут иметь произвольный вид. Условия, которым должны отвечать кривые, очерч и вающие эти профили, устанавливает основная теорема заце п ления. Пусть зубья колес 1 и , вращающихся с угловыми скоростями 1 , 2 , касаются друг друга в точке A (рис. 7.5 ). Запишем формулировку основной теоремы зацепления: общая нормаль к профилям зубчатых колес, проведе н ная в точке их касания (зацепления), делит межцентровое расстояние на ча с ти, обратно пропорциональные угловым скоростям. Докажем теорему. Для того чтобы колеса 1 и  были в постоянном соприкосновении, необходимо обеспечить р а венство , ( 7. 1) где , проекции скоростей и точки A касания звеньев 1 и  на нормаль n n (рис. 7.5 ). ‬ касательная. В свою очередь, , . ( 7. 2) Учитывая, что , , ( 7. 3) получаем из ( 7. 2) . ( 7. 4) Восстановим из точек O 1 и O 2 перпендикуляры O 1 K и O 2 L на нормаль n n . Из треугольников O 1 AK и O 2 AL имеем: , . ( 7. 5) Подставим ( 7. 5) в ( 7. 4), получим равенство или . ( 7. 6) Из рис. 7.5 видно, что . Из подобия следует пропорция . ( 7. 7) Подставив ( 7. 7) в ( 7. 6), получим: . ( 7. 8) Рис. 7.5 Пропорци я ( 7. 8) является доказательством теоремы заце п ления. Из уравнения ( 7. 8) следует: постоянство отношения угловых скоростей , которое называется передаточным отношением, возможно, когда то ч ка P (полюс) пересечения нормали n n с линией центров O 1 O 2 занимает на этой линии постоянное положение. Кривые, удовлетворяющие этому требов а нию, называются сопряженными и могут быть использованы для образов а ния боковых поверхностей зубчатых колес. Таких кривых много, но на пра к тике чаще всего исполь зуется эвольвента. Полюс P является мгновенным це н тром скоростей колес при их относительном движении. Действительно, из ( 7. 8) скорости точки P равны . Лекция 1 2 Геометрия, уравнение и свойства эвольвенты Эвольвент ой называется кривая, которую описывает какая - либо точка прямой, катящейся без скольжения по окружности. Прямая линия называе т ся производящей, а окру ж ность основной (радиуса r b ). Пусть дана основная окружность радиуса r b и некоторая точка P вне ее. Требу ется построить эвольвенту, пр о ходящую через эту точку. Проведем через точку P (рис. 7.6 , а ) касательную к основной окру ж ности. Расстояние PA разделим на несколько равных частей (например на 6). Длину малого отрезка, получившегося в результате деления, обоз начим ч е рез h . Далее, из точки A касания образующей прямой делаем 6 засечек на осно в ной окружности раствором циркуля, равным h , нумеруем точки (рис. 7.6 , а ). Через все промежуточные точки проводим касательные к основной окружн о сти. На каждой касательной от кладываем такое число отрезков h , которое совпадает с номером соответствующей точки на основной окру ж ности. Полученные точки 0, 1', ', ..., P соединяем плавной кривой, явля ю щейся искомой эвольвентой. Эвольвенты, описываемые различными точк а ми B , C , ... об разующей прямой при ее качении по окружности, один а ковы. Выведем уравнение эвольвенты в полярных координатах (рис. 7.6 , б ) r и , где r полярный радиус; полярный угол. Так как образующая перекатывается по основной окружности без скольжения, то . ( 7. 9) Подставим в ( 7. 9) и , имеем . ( 7. 10) Функция ( 7. 10) носит название инволю та. Существуют специальные инв о лютные таблицы, позволяющие определить , или по этой функции соо т ветствующий угол . Радиус r найдем из зависимости . ( 7. 11) а б Рис. 7.6 Формулы ( 7. 10) и ( 7. 11) выражают уравнение эвольвенты в параметр и ческой форме. Для теории зацепления важное значение имеют следующие основные свойства эвольвенты: 1) эвольвента начинается на основной окружности и всегд а проходит вне ее; ) образующая прямая в каждой точке нормальна к эвольвенте и одновр е ме н но касательна к основной окружности; 3) форма эвольвенты зависит только от радиуса r b основной окружн о сти; 4) эвольвента ‬ кривая без перегибов. 7. . Основные геомет рические параметры нулевого зубчатого колеса Рассмотрим сечение нулевого зубчатого колеса плоскостью, перпе н дикуля р ной его оси вращения (рис. 7.8 ). Рис. 7.8 Одна из окружностей зубчатого колеса является делительной, и ее ди а метр обозначается d . Запишем выражение для длины этой окружности: , ( 7. 12) где P шаг - расстояние по делительной окружности между одноименными точками соседних зубьев; Z число зубьев на колесе. Отношение шага P к числу назвали модулем m (мм): . ( 7. 13) Величина модуля m определяется из расчета на прочность и уточняе т ся по таблице стандартных модулей. Имея в виду ( 7. 13), записываем форм у лу для вы числения диаметра делительной окружности: . ( 7. 14) В связи с этим уточним определение делительной окружности, ра с четной окружности стандартного модуля и шага. Часть зуба, выступающая з а пределы делительной окружности, называется головкой зуба. Для нулев о го колеса ее высота . Часть зуба, проходящая ниже делительной о к ружности, носит название ножки зуба. В ы сота ножки нулевого колеса . Диаметр окружности вершин (головок) (рис. 7.8 ) равен , ( 7. 15) а диаметр окружности впадин (ножек) определяется как . ( 7. 16) Шаг P складывается из толщины зуба S и ширины впадины e , при этом в н у левом колесе: . ( 7. 17) Расстояние между осями двух колес равно . ( 7. 18) Радиус основной окружности r b определяется формулой ( 7. 11): , ( 7. 19) где профильный угол рейки (см. параграф 7. 4). Как видно, все геометрические параме тры колеса вычисляются через модуль m , который является основным параметром геометрии зубчатого кол е са . Эвольвентное зацепление и его свойства Пусть вращательное движение передается при помощи зубьев, проф и ли которых выполнены по эвольвентам Э 1 и Э 2 основ ных окружностей r b 1 и r b 2 (рис. 7.7 ). На основании теоремы зацепления и свойства эвольвенты можно показать, что отношение угловых скоростей в этом случае постоя н но: . Докажем это. Нормаль к эвольвенте проходит касательно к основной о кружности. Раз нам нужно провести общую нормаль, то проводим общую касательную к основным окружностям N 1 N 2 . Рис. 7.7 Действительно, общая касательная N 1 N 2 к основным окружностям нормал ь на к каждой из эвольвент и поэтому проходит через точку их касания ( то ч ку K ). Согласно основной теореме зацепления нормаль N 1 N 2 (к эвольве н там Э 1 и Э 2 ) делит межосевое расстояние O 1 O 2 на части, обратно пропо р циональные угловым скоростям . Так как прямая N 1 N 2 кас а ется одних и тех же основных окр ужностей, то при вращении колес она все время занимает о д но и то же положение и постоянно пересекает межосевое расстояние в точке P . Следовательно, при любом положении зубчатых к о лес имеем перед а точное отношение . Так как эвольвенты Э 1 и Э 2 были выбраны произвольно, то и другие эвольвенты, например Э ` 1 и Э ` 2 , касаются по пр я мой N 1 N 2 (в точке K` ). Прямая N 1 N 2 является геометрическим местом контакта двух эвол ь вентных профилей и называется линией зацепления . Так как линия заце п лени я занимает одно и то же положение, то сила давления одного зуба на др у гой не меняет своего направления. Это положительно сказывается на прочности передачи. Точка P пересечения линии зацепления с линией це н тров O 1 O 2 , определяющая мгновенный центр скоростей двух профилей в их относительном движении, я в ляется полюсом зацепления . Окружности радиуса , касающиеся друг друга в полюсе P и в относ и тельном движении перекатывающиеся друг по другу без скольжения, носят н а звание начал ь ных . Эвольве нтное зацепление (как внешнее, так и внутреннее) допускает изменения межосевого расстояния O 1 O 2 с сохранением передаточного о т ношения. Рассмотрим треугольники O 1 N 1 P и O 2 N 2 P , они подобны. Из этого следует пропо р ция и тогда . Таким образом, передаточное отношение зависит от радиусов основных окружностей, а они не меняются при изменении межосевого ра с стояния. Лекция 13 7. 3. Изготовление зубчатых колес Рассмотрим в самых общих ч ертах методы нарезания эвольвентных зубчатых колес. Они обычно нарезаются на фрезерных станках двумя мет о дами: I) м е тодом обкатки и ) методом копирования. Метод копирования При методе копирования режущая кромка фрезы имеет очертания вп а дины между зубьями. Фреза 1 (рис. 7.9 ) вращается вокруг своей оси и п е ремещается вдоль боковой поверхности образующей зуба заготовки . По прохождении всей впадины фреза возвращается в исходное положение. П о сле этого нарезаемое колесо поворачивается на величину угла , где Z ‬ число зубьев нарезаемого колеса, и процесс повторяется. На рис. 7.9 , а показано нарезание колеса дисковой фрезой, а на рис. 7.9 , б ‬ пальцевой фр е зой. Недостатком этого метода является невысокая точность. Это вызвано тем, что одной фрезой точно можно нарезать колесо с определенным чи с лом зубьев, так как форма впадины зависит от радиуса основной окружн о сти и, следовательно, от числа зубьев. Для уменьшения парка инструментов составлен стандартный ряд фрез, каждая из которых использует ся для нар е зания колес определенного диапазона чисел зубьев. Тем самым заведомо допускается неточность изгото в ления колеса. а б Рис . 7.9 Рис. 7.10 Метод обкатки Метод обкатки заключается в том, что режущему инструменту и заг о товке сообщают то от носительное движение, которое имели бы два колеса, находящиеся в действительном зацеплении. В таком случае режущий инс т румент также представляет собой зубчатое колесо. Инструмент может быть выполнен в виде зубчатого колеса (долбяка), инструментальной рейки , че р вя ч ной фрезы. На рис. 7.10 показан процесс нарезания зубчатого колеса долбяком. Долбяк совершает поступательное движение параллельно оси нарезаемого колеса. Одновременно долбяку и заготовке сообщается вращательное дв и жение с тем же отношением угловых скоростей , как если бы они н а ходились в зацеплении. Практически процесс долбления имеет ряд последов а тельных операций вверх (холостой ход) и вниз (рабочий ход), поворота нарезаемого колеса и т. д. Все движения строго согласованы с к инематич е скими соотношениями, определяющими долбяк и заготовку как два колеса, находящихся в з а цеплении. Профиль нарезаемого колеса получается как огибающая всех полож е ний режущей кромки долбяка. Инструмент как бы обкатывает нарезаемое к о лесо. Так как для любого зубчатого колеса может быть спроектирована с о пряженная с ним рейка, то вместо колеса - инструмента может использоват ь ся инстр у ментальная рейка. Сечение червячной фрезы (широко используемой в зубонарезании) плоскостью, проходящей через ее ось, является профилем инструментал ь ной рейки. 7. 4. Геометрия инструментальной рейки Производящий контур инструментальной рейки показан на рис. 7.11 . Прямая, для которой толщина зуба S равна ширине впадины e : , ( 7. 20) называется средней прямой рейки. Поскольку режущие кромки зубьев пр я молинейны, то шаг P по любой делительной прямой рейки (параллельной средней) величина постоянная. Высота головки и высота ножки стандар т ной рейки один а ковы и равны , ( 7. 21) где коэффициент высоты головки зуба. Рис. 7.11 Для обеспечения соответствующей глубины впадины колеса вводится величина радиальный зазор . Коэффициент . Радиус перехо д ной кривой зуба . Угол профильный угол рейки. Для ста н дартной рейки . Часть инструментальной рейки, ограниченная штриховой линией на высоте головки h a , называется исходным контуром рейки. Эвольвентную часть зуба нарезает только исходный контур, а часть зуба рейки выше и с ходного контура образует галтель зуба колеса. 7. 5. Расчет геометрических параметров эвольвентной передачи Станочное зацепление (зац епление колеса с инструментальной ре й кой) В процессе нарезания зубчатого колеса некоторая делительная прямая рейки касается делительной окружности колеса и перекатывается по ней без скольжения. Прямая передает свой шаг делительной окружности. При этом толщ ина зуба колеса по делительной окружности будет равна ширине вп а дины ре й ки, а ширина впадины колеса толщине зуба рейки. Параметры нарезаемого колеса зависят от того, какая из делительных прямых рейки катится по делительной окружности колеса. Расстояние м е ж ду делительной окружностью и средней прямой рейки называется абсолю т ным смещением рейки xm . Здесь x относительное смещение рейки. В зав и сим о сти от смещения рейки могут быть получены три вида колес. Когда средняя прямая рейки касается делительной окружн ости колеса, нарезается нулевое зубчатое колесо (рис. 7.12 , а ). Сместим рейку от оси з а готовки так, чтобы средняя прямая располагалась на расстоянии (положительное смещение) от делительной окружности. В этом случае формир у ется полож ительное колесо (рис. 7.12 , б ). Если придвинуть рейку к оси кол е са на величину xm (средняя прямая рейки пересекает делительную окру ж ность), то будет нарезано отриц а тельное колесо (рис. 7.12 , в ). а б в Рис. 7.12 Сравнивая геометрические параметр ы нулевого колеса с положител ь ным и отрицательным (рис. 7.12 ), отметим: толщина зуба по делительной о к ружности S , диаметр окружности вершин d a , диаметр окружности впадин d f у положительного колеса больше, а у отрицательного меньше, чем у нул е вого колеса . Как говорилось выше, размеры с рейки переносятся на дугу делительной окружности колеса. Поэтому ширина впадины рейки e (по н е которой делительной прямой, которая касается делительной окружности) равна толщине зуба колеса S по делительной окружности. Найде м S с п о мощью рис. 7.13 . , окончательно: . ( 7. 22) " " для колес с внутренними зубьями. Рис. 7.13 Смещение инструмента не меняет шага по дуге делительной окружн о ст и, а лишь соотношение между толщиной зуба и шириной впадины зубч а того кол е са. Рис. 7.14 Дно впадины зуба колеса профилируется вершиной зуба рейки. П о этому радиус впадин r f определяется глубиной внедрения h f зуба рейки в заг о товку. Для вычисления r f восп ользуемся рис. 7.14 . Из него видно, что , . ( 7. 23) Виды зацеплений зубчатых колес Различают следующие виды зацеплений зубчатых колес, зависящие от значений коэффициентов относ ительного см е щения x : 1) нулевое зацепление . В зацепление входят нулевые кол е са; ) равносмещенное зацепление . В зацепление входят полож и тельное и отрицательное колеса, нарезанные с одинаковым по модулю см е ще нием. Для 1 и  характерно . 3) положительное зацепление . В зацепление могут входить положительные, отрицательные и нулевые колеса при условии, что по мод у лю положительное смещение больше отрицательного. В это м случае ; 4) отрицательное смещение . В зацепление могут входить положительные, отрицательные и нулевые колеса. При этом модуль отрицательного смещения должен быть больше модуля положительно го см е щения. Тогда имеют место условия . 7. 6 . Явление подрезания зубьев Из свойств эвольвенты известно, что она не может проходить внутри основной окружности радиуса r b (см. параграф 7. 1). Поэтому если линия г о ловок рейки в процесс е нарезания зубчатого колеса будет пересекать линию зацепления ниже точки N (рис. 7.18 , а ), то произойдет подрез зуба у его о с нования (рис. 7.18 , б ). Для предотвращения этого явления инструментальную рейку надо сместить как минимум так, чтобы линия головок рейки проход и ла через точку N (рис. 7.18 , а ). Определим минимальное абсолютное смещ е ние рейки x min m на основе рис. 7.18 , а : . ( 7. 32) В свою очередь, . Так как , а , то (7.3) преобразуется к в и ду . (7.33) При . Тогда минимальное относительное смещение x min рейки, га рантирующее о т сутствие подреза, определим формулой . (7.34) Если нарезать нулевое колесо, то подрез будет отсутствовать при м и нимальном числе зубьев Z min = 17. Это условие получено из равенства x min = 0. Рис. 7.18 а б Лекция 14 Модуль 8 Синтез кулачковых механизмов 8 .1. Общие сведения Кулачковым механизмом называется механизм, содержащий высшую кинематическую пару и звено ‬ кулачок 1, профиль которого имеет сло ж ное криволинейное оче ртание (рис. 8.1 ). Кулачковые механизмы прим е няются для воспроизведения любого, наперед заданного, движения толк а теля  с остановками требуемой продолжительности. Так как кулачки я в ляются программоносителями, то их набор на распределительном валу позволяет управлять работой машин - автоматов. а б Рис. 8.1 Для уменьшения износа поверхности кулачка трение скольжения в высшей кинематической паре 1  заменяют трением качения, испол ь зуя ролик 3 (рис. 8.1 , б ). Кула чковые механизмы имеют ряд недостатков. Требуется замкнуть высшую кинематическую пару. Это возможно силовым способом уст а новкой пружины (рис. 8.2 , а ) или кинематическим (рис. 8.2 , б ). Высокое удельное давление в высшей кинематической паре ведет к интенси вному износу кулачка. Поэтому для его изготовления требуются специальные материалы и термообработка. Процесс изготовления кулачков тоже представляет определенные трудности. Виды кулачковых механизмов Основные виды кулачковых механизмов можно классифицирова ть по чет ы рем признакам: 1) по характеру движения кулачка кулачок вращается (рис. 8.3 , а , б , в , д ), кулачок движется поступательно (рис. 8.3 , г ); ) по характеру движения толкателя толкатель движется поступательно (рис. 8.3 , а , б ), толкатель качается ( рис. 8.3 , г , д ), толкатель совершает плоскопараллельное движение (рис. 8.3 , в ); 3) по конструктивному оформлению кулачка дисковый кулачок (рис. 8.3 , а , б , в , д ), торцовый кулачок (рис. 8.3 , г ); 4) по конструктивному оформлению толкателя плоски й (рис. 8.3 , а , д ), сферический (рис. 8.3 , б ), роликовый (рис. 8.3 , в , г ). а б Рис. 8.2 Геометрия кулачка Изобразим профиль кулачка (рис. 8.4 , а ). Расстояние от оси кулачка до точек профиля называется радиусом - вектором профиля, при этом r min мини мальный радиус профиля кулачка. В общем случае профиль кула ч ка включает четыре участка: ab и cd очерчены дугами окружностей с центрами на оси вращения, участки bc и da имеют переменный радиус - вектор. Движение толкателя возможно, когда он касается части про филя bc и da , дуги ab и cd соответствуют остановке толкателя. Рис . 8.3 а б в г д а б Рис. 8.4 Таким образом, на протяжении одного оборота кулачка различают четыре фазы движения толкателя: фаза удаления (толкатель удаляется от центра кулачка); фаза вер хнего стояния (толкатель стоит неподвижно в положении, наиболее удаленном от центра вращения кулачка); фаза пр и ближения (толкатель приближается к центру O ); фаза нижнего стояния (толкатель стоит неподвижно на минимальном расстоянии от центра O ). Кулачок по ворачивается за это время на центральные углы, называемые соответственно фазовыми углами удаления , верхнего стояния вc , приближения n , нижнего стояния , т.е. . Познакомимся с другими г еометрическими параметрами кулачкового механизма. Расстояние между крайними (верхним и нижним) полож е ниями толкателя носит название хода толкателя H (рис. 8.4 , а ). У к а чающегося коромыслового толкателя аналогичный параметр называется углом размаха коромысл а . Кроме того, на рис. 8.4 показаны геометр и ческие параметры: e эксцентриситет, l длина коромысла, A ‬ межосевое расстояние. 8 .. Кинематический анализ плоских кулачковых механизмов Задачей кинематического анализа является определение закона дв и жен ия толкателя по известному профилю кулачка. Графический метод Графический метод кинематического исследования рассмотрим на примере центрального кулачкового механизма с остроконечным пост у пательно движ у щимся толкателем (рис. 8.5 ). Применим метод обращенного движения (инверсии). Он заключается в том, что всему механизму сообщается вращательное движение с угл о вой скоростью k (угловая скорость кулачка). Благодаря этому кулачок останавливается, а толкатель придет во вращательное движение со ск о ростью k . При этом относительное движение сохраняется прежним. Рассмотрим построение диаграммы перемещения толкателя S в фун к ции угла поворота кулачка . Кулачок, вычерченный в масштабе , расположим так, чтобы линия действи я толкателя проходила через точку A 0 начало фазового угла (рис. 8.5 , а ). Определим величину хода то л кателя H , фазовые углы , вc , n , нc . Разделим углы y и n на некоторое число равных частей (в примере на четыре). По оси абсцисс системы координат S ( ) отложим фазовые углы в масштабе (град/мм), а фазовые углы удаления и пр и ближения ра з делим на то же число равных частей, как на кулачке. а б Рис. 8.5 Перейдем к определению пере мещений толкателя. Вместо того чтобы поворачивать кулачок на угол , согласно методу обращенного движ е ния повернем толкатель на этот угол в направлении k (рис. 8.5 , а ). Л и ния толкателя займет положение 1. Для определения перемещения то л кателя нужно радиусом O 1 A 1 сделать засечку на действительной линии движения толкателя. Отрезок есть искомое перемещение толкателя. В точке 1 (рис. 8.5 , б ) по ординате откладываем отрезок , вычисленный по фо рмуле , где принятый масштаб диаграммы S ( ). Далее поворачиваем толкатель на угол , определяем отрезок , в ы числяем отрезок ' и откладываем его в точке  по орд инате диаграммы S ( ). Такую процедуру выполним для всех точек, выбранных на фазовых углах y и n кулачка, получим диаграмму S ( ). Для получения диаграммы аналога скоростей dS/d требуется граф и чески продифференцировать диаграмму S ( ) . Вторичное дифференц иро в ание даст диаграмму аналога ускорений . Построение плана скоростей и ускорений целесообразно вести на основе замены высшей пары низшими. Техника замены такова: 1. Определить центры кривизны элементов высшей пары. 2. Поместить в них низшие вращательные пары (если радиус находится в бесконечности, то заменить вращательную пару поступательной). 3. Отрезок, соединяющий низшие кинематические пары, фиктивное звено. На рис 8.6 , а ‬ это звено АВ . Таким образом, кулачковый механизм в данн ом положении заменен кривошипно - шатунным, для которого и строим план скоростей и ускорений: ( 8 .1) Модуль как скорость точки, совершающей вращательное движение, найдем из выражения . Вектор этой скорости направлен перпендикулярно радиусу l OA . Скорость относительного движения н а правлена перпендикулярно отрезку AB . В связи с тем, что толк а тель совершает поступательное движение, скорость направлена по вертикали. Уравнение ( 8 .1) содержит две неизвестные и может быть р е шено графически ‬ построением пл а на скоростей (рис. 8.6 , б ). Масштаб плана скоростей . Истинно е значение: . . Рис. 8.6 8 .3. Динамический синтез кулачкового механизма Задача синтеза кулачкового механизма заключается в определении профиля кулачка, обеспечивающего заданный закон движения толкателя. На этапе проектирования ку лачка можно получить благоприятные усл о вия передачи сил с учетом угла давления. Поэтому можно говорить о д и намическом синтезе механизма. Выбор закона движения толкателя При выборе закона движения толкателя могут встретиться три ситу а ции: 1) закон движения диктуется технологическим процессом; ) тр е буется переместить толкатель на определенную величину за определе н ный промежуток времени; 3) необходимо осуществить остановку толкателя любой продолжительности. Во втором и третьем случаях конструктор имеет возмож ность подб и рать оптимальные законы движения толкателя на фазах удаления и пр и ближения. а б в Рассмотрим некоторые законы движения: 1. Толкатель движется с постоянной скоростью (рис. 8.7 , а ). На диагра м ме ускорения видно, что в точках A , B , где скорость за бескон ечно м а лый промежуток времени меняется на конечную величину, ускорение возрастает теоретически до бесконечности. Практически, из - за упругих свойств материала кулачка и толкателя, ускорение конечно. Однако "скачок" ускорения в этом случае велик, вызывает зн ачител ь ные силы инерции и соответственно жесткий удар в кулачковом мех а низме. Поэтому закон движения толкателя с постоянной скоростью и с пользуется в неответственных тихоходных механизмах. 2. Толкатель движется с постоянным ускорением (рис. 8.7 , б ). На ди а г рамме ускорения видно, что в точках A , B , C происходит скачок уск о рения на конечную величину. Это вызывает появление конечных сил инерции, что приводит к мя г ким ударам. 3. Закон движения толкателя косинусоидальный (рис. 8.7 , в ). Здесь, как и в предыдущем случае, наблюдается явление мягкого удара. Законы движения толкателя, вызывающие мягкий удар, используются в кулачковых механизмах со средними оборотами. 4. Закон движения толкателя ‬ синусоидальный (рис. 8.7 , г ). Как видно из рисунка, ускорение меняется плавно, без скачков. Это безударный закон движения и может быть использован в быстроходных кулачковых мех а низмах. Рис. 8.7 Список использованных источников 1. Мехонцева Д. М. , Синенко Е. Г. М еханизмы и машины. Структура, кинематика, динамика: учеб. по собие . ‬ Красноярск : изд - во КГТУ, 2 003 . ‬ 43 с. 2. Пузырев Н.М. Теория механизмов и машин : у ч еб. пособие. ‬ Тверь: ТГТУ, 006. ‬ 10 с. 3. Ефанов А.М., Ковалевский В.П. Теория механизмов и машин : У чеб. пособие. ‬ Оренбург: ОГУ, 004 ‬ 67 с.

Приложенные файлы

  • pdf 2226766
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий