Лекция 6. Системы массового обслуживания Вопросы лекции: 1. Понятие систем массового обслуживания и их классификация 2. Моделирование систем массового Подробнее Применение элементов теории массового облуживания для решения экономических задач.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Лекция
6
. С
истемы массового
обслуживания

Вопросы лекции:

1.

Понятие систем массового обслуживания и их классификация

2.

Моделирование систем массового обслуживания с
использованием метода Монте
-
Карло


Вопрос 1. Понятие систем массового обслуживания и их
классификация


Системы массового обслуживания



это такие системы, в которые в
случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом
поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении
системы каналов обслуживания.

Подробнее

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации,
когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают
следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование
присоединяется к очереди других (ранее поступивших) т
ребований. Канал
обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем,
чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры
обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к
обслуживанию следующего требования, если т
аковое имеется в блоке
ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного
рода повторяется многократно в течение всего периода работы
обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы
на обслуживание очередного требо
вания после завершения обслуживания
предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты
времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;

• посты ремонта автомобилей;

• персональн
ые компьютеры, обслуживающие поступающие заяв
ки или
требования на решение тех или иных задач;

• станции технического обслуживания автомобилей;

• аудиторские фирмы;

• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и про
веркой
текущей отчетности предприятий;

• телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого
вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

• дисциплина очереди;

• механизм обслуживани
я.

Входной поток требований
.
Для описания входного потока требуется
задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов
поступления требований на обслуживание и указать количество таких
требований в каждом очередном поступлении. При этом,
как правило,
оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления
требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые
требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае
обычно речь идет о системе обслужив
ания с параллельно
-
групповым
обслуживанием.

Дисциплина очереди



это важный компонент системы массового
обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым
поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из
очереди к процедуре о
бслуживания. Чаще всего используются дисциплины
очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел


первый обслуживаешься;

• пришел последним


обслуживаешься первым;

• случайный отбор заявок;

• отбор заявок по критерию приоритетности;

• огра
ничение времени ожидания момента наступления обслуживания
(имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания,
что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания
определяется характеристиками самой
процедуры обсл
уживания и структурой обслуживающей системы. К
характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность
процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в
результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического
описания х
арактеристик процедуры обслуживания оперируют понятием
«вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Подробнее

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от
характера самой заявки или требований клиента и от состояния и
возмо
жностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также
учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении
некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы

определяется количеством и
взаимным расположением ка
налов обслуживания (механизмов, приборов и т.
п.).

П
одробнее

Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания
может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого
рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В эт
ом
случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и,
следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное
обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных
каналов обслуживания, через которые должно пройти

каждое
обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры
обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм
обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного)
потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систе
м обслуживания, можно
констатировать, что функциональные возможности любой системы
массового обслуживания определяются следующими основными факторами:


вероятностным распределением моментов поступлений заявок на
обслуживание (единичных или групповых);


вероятностным распределением времени продолжительности
обслуживания;

• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное,
последовательное или параллельно
-
последовательное обслуживание);

• количеством и производительностью обслуживающих каналов;


дисциплиной очереди;

• мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования
систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой
задачи могут выступать:


вероятность немедленного обслуживания поступив
шей заявки;

• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

• относительная и абсолютная пропускная способность системы;

• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

• среднее время ожидания в очереди;

• средняя длина очереди;


средний доход от функционирования системы в единицу времени и
т.п.

Предметом теории массового обслуживания
является установление
зависимости между факторами, определяющими функциональные
возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее
функц
ионирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие
системы массового обслуживания, являются случайными величинами или
функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в о
бщем
случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе
массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру
случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания
(СМО), различают системы марковские и немарковские
. В марковских
системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных
требований (заявок) являются пуассоновскими.

Подробнее

Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить
математическую модель системы массового обслуживания. Данные м
одели
имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных
приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему.
В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового
обслуживания значительно усложняются и требуют
применения
статистического моделирования, численных методов с использованием
ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового
обслуживания, различают
два основных вида СМО
:

• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систе
му в
момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает
очередь;

• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в
момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и
ждет, пока не освободится один из канал
ов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с
ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с
ограниченным ожиданием
может ограничиваться:

• длина очереди;

• время пребывания в очереди.

В системах с
неограни
ченным ожиданием
заявка, стоящая в очереди,
ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов
обслуживания:


одноканальные системы;

• многоканальные системы.

Приведенная к
лассификация СМО является условной. На практике чаще
всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных
систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного
момента, после чего система начинает работать как система с отказ
ами.


Вопрос 2. Моделирование систем массового обслуживания

с использованием метода Монте
-
Карло


Рассмотренные аналитические методы анализа СМО исходят из
предположения, что входящие и исходящие потоки требований являются
простейшими. Зависимости, используемые в этих методах для определения
показателей качества обслуживания, справедливы лишь для устан
овившегося
режима функционирования СМО.

Однако в реальных условиях функционирования СМО имеются
переходные режимы, а входящие и исходящие потоки требований являются
далеко не простейшими. В этих условиях для оценки качества
функционирования систем обслужи
вания широко используют
метод
статистических испытаний (метод Монте
-
Карло).
Основой решения
задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является
статистическое моделирование входящего потока требований и процесса их
обслуживания (исходящег
о потока требований).

Для решения задачи статистического моделирования
функционирования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:

• описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности работы
системы);

• параметры закона распределения периодично
сти поступлений
требований в систему;

• параметры закона распределения времени пребывания требования в
очереди (для СМО с ожиданием);

• параметры закона распределения времени обслуживания требований в
системе.

Решение задачи статистического моделировани
я функционирования
СМО складывается из следующих этапов.

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число ξ
i
.

2. Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в
величины с заданным законом распределения:

• интервал времени между поступле
ниями требований в систему (Δ
t
);

• время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной длиной
очереди);

• длительность времени обслуживания требования каналами (Δ
t
0
).

3. Определяют моменты наступления событий:

• поступление требования на обслуживание;



уход требования из очереди;

• окончание обслуживания требования в каналах системы.

4. Моделируют функционирование СМО в целом и накапливают
статистические данные о процессе обслуживания.

5. Устанавливают новый момент поступления требования в систему, и
вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем
обработки результатов моделирования методами математической статистики.


Подробнее

Применение элементов теории массового облуживания для решения
экономических задач.

Обоснование эффективности вариантов строительства объекта можно
производить различными методами, исходя из критерия эффективности. В
данном разделе пособия предлагается выб
рать наиболее эффективный вариант
строительства автозаправочной станции по критерию максимальной
эффективности обслуживания клиентов. Для решения такой задачи
целесообразно рассмотреть автозаправочную станцию как систему массового
обслуживания.

Основным пр
изнаком систем массо
вого обслуживания является наличие
некоторой
обслуживающей сис
темы,
которая предназначена для
осуществления действий согласно
требованиям поступающих в систему
заявок.
Заявки поступают в сис
тему случайным образом. Поскольку обслуживающа
я
система, как
правило, имеет ограниченную пропускную способность, а заявки
по
ступают нерегулярно, то периодически создается очередь заявок в
ожидании обслуживания, а иногда обслуживающая система простаи
вает в
ожидании заявок. И то и другое в экономических

системах вле
чет
непроизводительные издержки (потери), поэтому при проектировании систем
массового обслуживания возникает задача нахождения рациональной
пропускной способности системы, при которой дости
гается приемлемый
компромисс между издержками от прост
оя в очередях в ожидании выполнения
заявки и простоя системы от недогруз
ки.

В качестве примера применения системы массового обслуживания
рассмотрим задачу проектирования автозаправочной станции (АЗС).

Пусть
необходимо выбрать один из нескольких вариантов
строитель
ства АЗС.
Автомобили прибывают на станцию случайным образом и,
если не могут быть
обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина
очереди


«первым пришел


первым обслужен». Предположим для простоты, что во всех вариантах
рассматривается только

одна бензоко
лонка, а вариант от варианта отличается
лишь ее мощностью.

Предположим, статистические наблюдения позволили получить ве
личину
среднего количества клиентов μ, обслуживаемых в единицу времени.
Обратная величина 1/μ определяет среднее время обслу
жи
вания одного
клиента.

Далее допускается стандартное предположение, что вероятность
того,
что обслуживание одного клиента, находящегося в процессе об
служивания в
момент
t
,
будет завершено в малом промежутке времени
[
t
,
t

+
τ
],
приблизительно равна
μ
τ
, где
μ

> 0. Вероятность того, что об
служивание не
закончится, считается приблизительно равной 1
-

μ
τ
, а
вероятность того, что
будет закончено обслуживание двух или более
клиентов,


пренебрежимо
малой величиной. Тогда плотность распре
деления времени обслуж
ивания имеет
экспоненциальное распределе
ние:


F
(
t
)=

μ
exp
(
-

μ
τ
),
t
�=0

(1)

Далее, исходя из того что клиенты прибывают на АЗС случайно,
предполагается, что вероятность прибытия одного клиента за любой
малый
промежуток времени
[
t
,
t

+
τ
]
,
начинающийся в произвольный момент времени
t

и имеющий длину
τ
, с точностью до пренебрежимо
малых величин
пропорциональна
τ

с некоторым коэффициентом
пропорциональности
λ


0.
Величина
λ

интерпретируется как среднее число клиентов, появляющихся в
АЗС за единицу времени, а обратная
ей величина 1
/

λ



как среднее время
появления одного клиента. Веро
ятность того, что за этот промежуток времени
не прибудет ни одного
клиента, считается приблиз
ительно равной 1
-

λ

τ
, а
вероятность прибытия двух или более клиентов


пренебрежимо малой
величиной по сравнению со значением
λτ
.
Из выдвинутых предположений в
теории
вероятностей делаются следующие выводы. Во
-
первых, промежутки
времени
τ

между двумя пос
ледовательными появлениями клиентов
удовлетворяют экспоненциальному распределению:


φ
(
t
)=
λexp
(
-
λt
),
t
�=0

(
2)

Во
-
вторых, вероятность того, что за любой, уже не малый период
времени
T

прибудет
п
клиентов, подсчитывается по формуле


Р(п)  (
λ
T
)"
exp
(
-
λ
t
)/
n
!,
n

-

0,1, 2,...


(3)

т. е. входной поток заявок является пуассоновским.

Отметим, что в
отличие от среднего количества автомобилей, при
бывающих в единицу
времени на АЗС, т. е. величины
λ
,
величина
μ

зависит от выбранного нами
варианта строительства АЗС. Поэтому
имеет смысл рассматривать те проекты
АЗС, для которых среднее время обслуживания 1/
μ

меньше среднего
промежутка времени
1
/
λ

между прибытием клиентов, ибо в противном случае
очередь будет постоя
нно расти. В том же случае, когда
1/
μ

1
/

λ
,
через
некоторое
время после начала работы система перейдет в
стационарный
режим,
т. е. ее показатели не будут зависеть от времени.

Обозначив отношение
1/
μ

через р
, можно показать, что стационарный
режим устанавливается при р <

λ
.
Величину р называют
нагруз
кой системы.
Тогда основные характеристики системы массового об
служивания
определяются по формулам:



коэффициент простоя системы



(4)



среднее число клиентов в системе



(5)



средняя длина очереди



(6)



среднее время пребывания клиента в системе



(7)



время пребывания клиента в очереди



(8)

На
основе анализа значений приведенной системы показателей,
ха
рактеризующих систему массового обслуживания, делается вывод о
целесообразности выбора варианта строительства АЗС.

Например,

для общих условий постановки задачи по проектированию АЗС
известны следующие данные: средний интервал между прибытиями
автомобилей составляет 4 минуты. Варианты строительства АЗС име
ют
следующие средние времена обслуживания автомобилей: 5 мин, 3,5
мин, 2 мин,
1 мин, 0,5 мин. Результаты расчетов по исследованию ра
з
личных вариантов
строительства АЗС сведены в таблицу.


Таблица 9.1


Значение характеристик по вариантам строительства

Характеристики
СМО

1

2

3

4

5

1


4 мин

4 мин

4 мин

4 мин

4 мин

λ

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

1/μ

5 мин

3,5 мин

2 мин

1 мин

0,5 мин

μ

0,2

0,286

0,5

1

2

p

1,25

0,875

0,5

0,25

0,125

E
1

-
0,25

0,125

0,5

0,75

0,875

E
2

-
5

7

1

0,333

0,143

E
3

-
6,25

6,125

0,5

0,083

0,018

E
4

-
20

27,477

4

1,333

0,571

E
5

-
25

24,305

2

0,333

0,071


Из анализа результатов расчетов следует.

Первый вариант
строительства АЗС не годен из
-
за того, что очередь в этом
случае будет расти до бесконечности.

Второй вариант хорош по показателю загруженности оборудова
ния р
-

0,875 и, следовательно, малой средней доли простоя оборудования
Е
1

= 0,125,
но при этом
варианте возникают большие очереди и,

следовательно, большие средние времена простоя автомобилей
E
4
=
= 27
мин 48 с.

Третий вариант приводит к тому, что оборудование в среднем поло
вину
времени простаивает, но среднее число автомобилей в системе
равно толь
ко 1,
ш

а средние потери времени равны 4 мин при среднем времени обслуживания 2
мин.

В остальных вариантах очереди практически нет, но большую часть
времени оборудование простаивает, поэтому эти варианты целесообразно
отбросить как неэффективные.

Окончательн
ый выбор варианта проекта АЗС, очевидно, принадле
жит
лицу, принимающему решение (ЛПР), но предварительная реко
мендация по
результатам анализа может состоять в предложении тре
тьего варианта, если
исходить из того, что наблюдается постоянная
тенденция роста
автомобильного парка в стране.


Вопросы для самопроверки:

1. Что такое система массового обслуживания, каковы ее основные
элементы?

2. Классифицируйте системы массового обслуживания.

3. В чем особенность применения метода Монте
-
Карло для
моделирования
систем?



Приложенные файлы

  • pdf 2144300
    Размер файла: 297 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий