Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то . Медианы треугольника АD1C пересекаются в точке М. Разложите вектор по векторам , 1, . Скалярное произведение векторов.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.
Векторы и координаты.
Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Формула бимедианы (средней линии) пространственного четырехугольника ABCD 13 EMBED Equation.3 1415, где M и N – середины отрезков АD и BС.
Коллинеарные векторы. Признак трапеции. M и N – середины отрезков АВ и СD. Если для пространственного четырехугольника ABCD выполняется равенство 13 EMBED Equation.3 1415, где M и N – середины отрезков АВ и СD.
Коллинеарные векторы. В наклонной треугольной призме проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и параллельная основаниям. Докажите, что точки пересечения медиан оснований и сечения лежат на одной прямой.
Признак компланарности векторов. В кубе АВСDА1В1С1D1 точки Е и F середины отрезков ВD и С1С. Докажите, что прямые ВС1, ЕF и DC параллельны одной плоскости.
Признак компланарности векторов. В тетраэдре АВСD точки М и H – середины ребер АD и ВС. Докажите, что прямые АВ, HM и DC параллельны одной плоскости.
Разложение вектора в пространстве. K – середина медианы АЕ треугольника АВС, М – произвольная точка пространства. Разложите вектор 13 QUOTE 1415 по векторам 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
Разложение вектора в пространстве. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Медианы треугольника АD1C пересекаются в точке М. Разложите вектор 13 QUOTE 1415 по векторам 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 14151, 13 QUOTE 1415 .
Скалярное произведение векторов. Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая – диагональ грани куба, равен 90°.
Скалярное произведение векторов. Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее значение выражения 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 +1. При каком x достигается это значение?
Расстояние между точками. Объяснить геометрический смысл уравнения и решить 13 QUOTE 1415;
б)13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415.
Расстояние между точками. Даны точки А (–1; 2; 3), В (–2; 1; 2) и С (0; –1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости Оxy.
Метод координат. АВСD –прямоугольник, М – произвольная точка пространства. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Метод координат. Прямая, выходящая из начала координат, образует с координатными осями углы
·,
· и
·. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415.
Метод координат. Найдите на трех попарно скрещивающихся ребрах куба такие точки K, L, М, сумма квадратов расстояний между которыми наименьшая возможная.
Координаты и векторы. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника с вершинами А ( x1; y1; z1 ), В ( x2 ; y2; z2 ), С ( x3; y3; z3 ) имеет координаты (13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415 ).
Уравнение плоскости. Найдите все точки плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, равноудаленные от координатных плоскостей.
Уравнение плоскости. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки 13 EMBED Equation.3 1415, В (1; 8; 0),С (0; 2; 0).
Уравнение плоскости. Найдите косинусы углов, образованных плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415 и координатными плоскостями.
Уравнение плоскости. Докажите, что сумма квадратов косинусов углов, образованных произвольной плоскостью с тремя попарно перпендикулярными плоскостями, равна 1.
ГМТ. Найдите множество таких точек , сумма квадратов расстояний которых до точек А(3; 8; 1) и В(1; –1; 3) равна сумме квадратов их расстояний до точек С(0; –1; 3) и D(1; 5; –2).
ГМТ. Найдите множество точек, равноудаленных от точек (–2; 1; –1) и (4; –1; 3).
Расстояние от точки до плоскости. Найдите геометрическое место точек, удаленных от плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 на расстояние 2.
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плоскости. Найдите координаты всех векторов единичной длины, перпендикулярных плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плоскости. Определите величину угла между плоскостями (: 13 EMBED Equation.3 1415 и (: 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение плоскости. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415 параллельно векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Расстояние от точки до плоскости. Известно, что в треугольной пирамиде все плоские углы при вершине – прямые. Найдите длину ее высоты, если длины ее боковых ребер равны a, b и c.
Расстояние от точки до плоскости. Найдите уравнения плоскостей, находящейся на расстоянии 1 от плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
Единичные векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 образуют угол 13 EMBED Equation.3 1415, а единичный вектор 13 EMBED Equation.3 1415 им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Разные задачи.
Параллельность прямых и плоскостей. Длина каждой стороны треугольника АВС равна a. Точка М удалена от каждой его вершины на расстояние b. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и МС.
Параллельность прямых и плоскостей. Длина стороны квадрата АВСD равна 6 см. Точка М удалена от каждой его вершины на 17см. Найдите расстояния от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата.
Параллельность прямых и плоскостей. АВСD – квадрат, периметр которого Р. Точка О пространства соединена со всеми вершинами квадрата. Через центроид треугольника АОВ проведены прямые, соответственно параллельные прямым ОА, ОВ, ОС, OD. Они пересекли плоскость квадрата в точках А1, В1, С1, D1. Найдите периметр и площадь четырехугольника А1В1С1D1.
Параллельное проектирование. Дано изображение четырехугольника АВСD и параллельные проекции на плоскость
· точек K, L, М, лежащих соответственно на сторонах АВ, ВС и СD. Постройте проекцию четырехугольника на эту плоскость.
Теорема о трех перпендикулярах. В треугольнике АВС13 EMBED Equation.3 1415см, величина угла В равна 30°. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника, ВD = 5см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости ADC.
Теорема о трех перпендикулярах. Из точки, удаленной от плоскости квадрата на 36 см, к сторонам квадрата проведены равные перпендикуляры. Другая точка того же полупространства удалена от этих перпендикуляров и от плоскости квадрата на 10 см. Найдите площадь квадрата.
Перпендикулярность прямых и плоскостей. Доказать, что скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды перпендикулярны.
Скрещивающиеся прямые. Найти расстояние между двумя непересекающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а.
Скрещивающиеся прямые. Найдите расстояния и углы между диагональю АС1 куба АВСDА1В1С1D1 и каждой из скрещивающихся с ней диагональю граней этого куба, если ребро куба равно 1.
Скрещивающиеся прямые, перпендикулярность. Два прямоугольных неравных друг другу треугольника АВD и СВD имеют по равному острому углу
·, общий катет ВD = a и общую вершину прямого угла D. Найдите угол между прямыми АВ и СD и расстояние между ними, если плоскости АВD и CBD взаимно перпендикулярны.
Перпендикулярность прямых и плоскостей. Дана трапеция ABCD, не лежащая в плоскости
·. Отрезки АА1, ВВ1, СС1, DD1 являются перпендикулярами, опущенными на эту плоскость, причем АА1 + СС1 = ВВ1 + DD1. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости
·.
Угол между прямой и плоскостью. Три луча с общим началом попарно образуют углы, равные 60°. Найдите угол наклона одного из лучей к плоскости двух других.
Перпендикулярность плоскостей.В кубе АВСDА1В1С1D1 диагональ АС1 равна 213 QUOTE 1415. Точки М, H и P – середины соответственно ребер В1С1, D1C1 и DD1. а) Найдите периметр сечения куба плоскостью МНР. б) Докажите, что плоскости АА1С1 и МНР взаимно перпендикулярны.
Площадь ортогональной проекции многоугольника. Ортогональная проекция квадрата на плоскость
· – параллелограмм со сторонами 7см. и 8 см. и диагональю 11 см. Определите: а) площадь квадрата; б) угол между плоскостью квадрата и плоскостью
·.
Выпрямление траектории. Паук находится в точке А на стене комнаты с квадратным основанием и ползет в точку В на соседней стене. Постройте кратчайший возможный путь паука по стенам.
Выпрямление траектории. АВСDA1B1C1D1 – куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани АВВ1А1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С1?
Площадь сечения. Найти площадь сечения куба АВСDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани АВСD параллельно прямым АВ1 и ВK, где K – середина ребра СС1, если ребро куба равно а.
Угол прямой с плоскостью. Из точки М опущены перпендикуляры: МО на плоскость АВС, MD и ME на стороны AB и АС равностороннего треугольника, периметр которого равен 72 см. Известно, что точка О лежит на ВС, а углы между MD и МЕ и плоскостью треугольника составляют 30° и 60°. Найдите длину МО.
Угол прямой с плоскостью. Прямая проходит через вершину прямого угла ВАС и образует с его сторонами углы в 60° и 45°. Какой угол она образует с плоскостью АВС?
Теорема о трех перпендикулярах. Известно, что в треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершине D – прямые. H – проекция точки D на плоскость ABC. Докажите, что H – точка пересечения высот треугольника ABC.
Развертка. Ребро правильного тетраэдра равно a. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр P сечения удовлетворяет неравенствам 13 EMBED Equation.3 1415.
Выпрямление траектории. На столе стоит правильная треугольная пирамида РАВС (сделанная из стекла), все ребра которой равны 1. Муравей ползет из точки М, лежащей на луче АВ на расстоянии 2 от точки В, в точку N – середину ребра РС. Найдите длину его кратчайшего пути.
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 13 EMBED Equation.3 1415. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины трех попарно скрещивающихся ребер куба, и найдите угол между плоскостью этого сечения и плоскостью одной из граней куба.
В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 2, а боковые ребра 3. Вычислите расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани.
Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы
· с перпендикуляром. Угол между наклонными 
·. Найдите угол между проекциями наклонных.
Наклонная образует с плоскостью угол 45°. Через основание наклонной в плоскости проведена прямая под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной.










Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 1802347
    Размер файла: 349 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий