2. У Маши есть двухрублевые и пятирублевые монеты. Но тогда график весь лежит либо выше оси Ox , либо ниже. Из этого и следует, что уравнение f (x) 0 не имеет корней. Второе решение.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
X
L

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШЕНИЯ

7класс









ГОРОД


1.

В
строку

выписано 5 последовательных натуральных чисел. Возможно ли,
что сумма цифр первого числа равна 52, а пятого


20?

Решение
:

Возможно, например. Если это числа 889999


890003.


2.

У Маши есть двухрублевые и пятирублевые монеты. Если она возьмет
все свои двухрублевые монеты, ей не хватит 60 рублей, чтобы купить
четыре пирожка. Если все пятирублевые


не хватит 60 рублей на пять
пирожков. А всего ей не хватает 60 рублей на
шесть пирожков. Сколько
стоит пирожок?

Ответ
: 20 рублей.

Решение
: Если Маша возьмет все свои и двухрублевые, и пятирублевые
монеты, то всего ей не хватит 6060120 рублей на 459 пирожков. А с
другой стороны, ей будет не хватать 60 рублей на 6 пирожков. Т
о есть 9
-
6=3
пирожка стоят 120
-
6060 рублей. Значит, один пирожок стоит 60:320
рублей. (А всего у Маши 60 рублей: 10 монет по два рубля и 8 монет по пять
рублей.)


3.

У ослика Иа
-
Иа есть 2012 палочек длиной 1 см, из которых он
сложил клетчатый прямоугольник

(сторона клетки тоже 1 см).
Найдите сумму периметра этого прямоугольника и его
учетверенной площади. (Для примера на рисунке показан
клетчатый прямоугольник 3 × 2, составленный из 17 палочек.)


Ответ
: 4024.

Решение
:
Пусть Иа
-
Иа составил прямоугольник
a

b
.

Если в каждой клетке
прямоугольника отметить верхнюю и правую сторону, то в результате будут
отмечены все палочки, выложенные осликом, кроме тех, что лежат на
нижней или левой стороне прямоугольника. Это наблюдение можно записать
в виде уравнения
. Отсюда искомая сумма равна 4024.


4.

В некоторых клетках доски 10 × 10 стоят шашки. Шашка называется
красивой
, если на горизонтали, проходящей через эту клетку (включая
саму клетку), стоит нечетное число шашек и на вертикали, проходящей
чере
з эту клетку, тоже стоит нечетное число шашек. Может ли на доске
оказаться ровно 42 красивые шашки?

Ответ
: может









5.

У каждого из 30 ребят ровно один враг среди остальных. (Вражда
взаимна.) Они встали по кругу. После этого некоторые из ребят сказали:
Между мной и моим врагом стоят ровно трое ребят», а каждый из
остальных сказал: Между мной и моим враго
м стоят ровно пять ребят».
Могли ли все они сказать правду?

Ответ
. Не могли.

Решение:

Пусть ребята смогли встали по кругу так, что условие задачи
выполняется. Дадим им 15 красных и 15 синих карточек


по одной каждому


так, чтобы у стоящих рядом карточки

были бы разного цвета (то есть цвета
карточек чередуются). Заметим, что тогда у пары врагов карточки будут
одного цвета. Но ребята разбиваются на 15 пар врагов, поэтому карточек
каждого цвета должно быть чѐтное количество, а их по 15. Противоречие.

+











+

+

+

+

+

+

+




+

+

+

+

+

+

+




+

+

+

+

+

+

+




+

+

+

+

+






+

+

+

+

+






+

+

+

+

+






+

+

+

+

+

























X
L

ВС
ЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШЕНИЯ

8 класс









ГОРОД


1.

На уроке физкультуры все ученики 8а класса построились в шеренгу.
Оказалось, что мальчики и девочки в ней чередуются. Известно, что ровно 52%
учеников 8а класса


мальчики. Найди
те количество девочек в 8а классе. Не
забудьте обосновать ответ.

Ответ
: 13 мальчиков, 12 девочек.

Решение
: Мальчики и девочки чередуются, но при этом мальчиков в классе
больше, значит, мальчиков на 2 больше, чем девочек, и шеренга начинается и
кончается ма
льчиком. Приходим к уравнению:
. Решая это
уравнение, находим, что
k=13
.


2.

В клетки таблицы

записаны числа, сумма которых равна 0. Оказалось, что
произведение чисел в любом прямоугольнике, состоящем из двух клеток
, равно

(минус пять). Какое наименьшее число могло оказаться в углу таблицы?

Отве
т
:

-

2



Рис.
1

Решение:

Из условия следует, что числа, записанные в клетках, соседних с
центральной, должны быть равны между собой и равны
, где



число,
записанное в центральную клетку. Но тогда числа, записанные во все угловые
клетки, должны быть равны
. Значит, сумма всех чисел, записанных
в клетки квадрата, равна
. Решая

уравнение

получаем
. Оба варианта приводят к расстановкам чисел, удовлетворяющим
условиям задачи (см. рис.
1
).


3.

Назовѐм
двойным

число, являющееся произведением двух последовательных
натуральных чисел. Из четырѐх по
следовательных натуральных чисел
образовали два двойных: произведение первых двух и произведение последних
двух чисел. Докажите, что сумма этих двойных чисел на 2 больше
произведения каких
-
то двух двойных чисел.


Решение:

Пусть



перво
е из указанных четырѐх чисел. Тогда сумма двойных
чисел равна
. Но
, то есть равно произведению двух
двойных чисел.

Замечание
. Запись решения упростится, если обозначить последовательные
числа из условия как
,
,

и
.

4.

Прямая, проходящая через середину

гипотенузы

прямоугольного
треугольника

параллельно прямой
, пересекает продолжение
биссектрисы

угла

за точку

в точке
. Докажите, что
.


Решение
:
Из параллельности прямых

и

следует, что

(так как



биссектриса угла
). Отсюда
. Получаем, что медиана

треугольника

равна половине его стороны
. Значит, треугольник



прямоугольный:
. Но тогда
(см. рис. 4). Утверждение доказано.




Рис. 4

Замечание
. То, что
, можно доказать и по
-
другому. Пусть



точка
пересечения прямых

и
. Тогда прямая

проходит через середину

стороны треугольника

и параллельна стороне
; значит, она яв
ляется
средней линией, и
. Тогда



медиана и биссектриса в этом
треугольнике; значит, она является и высотой.


5.

Клетчатая доска

разрезана на шестиклеточные лесенки» (см.
рис.) и прямоугольники
. Может ли оказаться, что лесенок» ровно
333? (Лесенки и прямоугольники могут быть повѐрнуты как угодно.)


Ответ
. Не может.

Решение
:
Рассмотрим шахматную раскраску нашей доски в два цвета


чѐрный и
белый. Тогда клеток чѐрного и бело
го цвета будет одинаковое количество.
Заметим, что в каждом прямоугольнике

будет по одной чѐрной и белой клетке.
Это означает, что суммарно во всех лесенках количество клеток чѐрного и белого
цвета должно быть одинаковым. Но в каждой л
есенке будет либо 4 белых и 2
чѐрных клетки, либо 4 чѐрных и 2 белых клетки. Пусть количество лесенок первого
вида
, а второго вида
. Тогда суммарное количество белых клеток в лесенках
равно
, а ч
ѐрных


. Отсюда
, то есть
. Это
означает, что общее количество лесенок

чѐтно, и поэтому не может равняться
333.

X
L

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШЕНИЯ

9

класс









ГОРОД


1.

Ненулевые числа

таковы, что


Докажите, что
.

Первое решение.
Вынесем из каждой скобки множитель, равный первому слагаемому в этой скобке. Тогда
данное произведение примет в
ид



Чѐтная степень ненулевого числа положительна, поэтому
. Разделив исходное неравенство
на это число, получаем, что
.

Второе решение.
Приведѐм сумму в каждой скобке к общему знаменателю:



Из положительности этой дроби следует положительность знаменателя, то есть положительность искомого
произведения.

2.

Сумма двух наибольших собственных делителей n равна 515. Найдите все такие n. (Собственным
делителем числа называется любой
его натуральный делитель, кроме 1 и самого числа.)

Ответ: такое
n

единственно:
n
=618=2*3*103
.

Решение: Если два числа в сумме дают 515, то одно из них четно. Таким образом, у числа
n

есть четные
делитель, следовательно
n



четное число. Тогда наибольший со
бственный делитель числа
n

равен
n
/2
.
обозначим второй собственный делитель через
n
/
d
. Очевидно, что 2 и
d



наименьшие делители
n
, поэтому

либо
d
=4
, либо
d
-
нечетное простое. По условию
задачи выполнено равенство
, откуда
n
(
d
+2)=2
d

5
15
.

Если
d
-
четно, то
d
=4
, следовательно
n
=8*515/6
, что не является целым числом.

Если



3.

Может ли сумма 100 последовательных натуральных чисел оканчиваться той же цифрой, что и сумма
следующих 98 чисел?

Ответ.
Не может.

Замет
им, что сумма 100 последовательных натуральных чисел является чѐтным числом, так как
содержит ровно 50 нечѐтных слагаемых. А сумма 98 последовательных натуральных чисел является
нечѐтным числом, так как содержит ровно 49 нечетных слагаемых. Поэтому эти сум
мы оканчиваются на
цифры разной чѐтности.

Замечание.

Другое решение можно получить, заметив, что сумма 100 последовательных
натуральных чисел оканчивается на 0, а сумма двух подряд идущих чисел на 0 не оканчивается.

4.

Четырѐхугольник

впи
сан в окружность. На продолжении диагонали

за точку

выбрана
точка

такая, что
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника
,
касается прямой
.

Условие касания равносильно тому, что угол

между прямой

и хордой

равен
половине градусной меры дуги
, то есть вписанному углу
, опир
ающемуся на эту дугу (см. рис. 5).


Рис. 5


Но из параллельности прямых

и

следует, что

(последнее
равенство вытекает из того, что вписанные углы

и

опираются на одну дугу
), что и
требовалось.


5.

В клетках квадрата

расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисе
л в
любом трѐхклеточном уголке
(повѐрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма

чисел
во всем квадрате также положительна?

Ответ.
Обязательно.

Докажем, что сумма чисел в любом квадрате

клетки положительна. Действительно,
рассмотрим любой квадрат
. Пусть в нем записаны числа
. Рассмотрим трѐхклеточный уголок
с числами
. Их сумма положительна, значит, по крайней мере одно из них, например,



тоже
положительно. Сумма оставшихся трѐх чисел квадрата

также положительн
а (так как числа стоят в
уголке). Значит, сумма всех четырѐх чисел любого квадрата

положительна.

Разобьем теперь квадрат

на 25 квадратов
. В каждом из этих квадратов сумма чисел
положительна. Зн
ачит, и сумма чисел во всем квадрате

положительна.

Замечание.

То, что сумма чисел в любом квадрате

клетки положительна, можно доказать по
-
другому. Рассмотрим любой квадрат
. Пусть в нем записаны

числа
. Тогда
,
,
,
. Сложив все эти неравенства, получим
, что и
требовалось.

X
L

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШ
ЕНИЯ

10 класс









ГОРОД


1.

В круг встали 5 мальчиков. Могло ли оказаться, что количество денег у любых двух ребят, стоящих
через одного, отличается ровно на 5 рублей?

Ответ.
Не могло.

Пусть такое возможно. Тогда у двух ребят

и
, стоящих через одного соответственно по
часовой стрелке и против часовой стрелки от мальчика
, количество денег либо одинаково, либо
отличается на 10 рублей. А мальчики

и

стоят р
ядом. Аналогично рассуждая, получаем, что у любых
двоих ребят, стоящих рядом, количество денег либо одинаково, либо отличается на 10 рублей. Но тогда у
любых двоих разность между количеством денег делится на 10, что противоречит условию задачи.

2.

Найдите все

такие пары действительных чисел

и

(
), что числа
,

и

являются последовательными натуральными числами (именно в этом порядке).

Ответ.
,
.

Из условия следует, что



то есть
. Отсюда получаем
, то есть
, поэтому
. Тогда из
условия следует, что числа



последовательные натуральные числа. Значит,
.

3.

Дана

возрастающая последовательность натуральных чисел, в которой любые три подряд идущих
числа образуют прогрессию


арифметическую или геометрическую. Известно, что
первые два числа в
последовательности делятся на 4. Докажите, что в последовательности нет

простых чисел.




4.

Биссектриса

угла между диагоналями вписанного четырехугольника
ABCD
пересекает стороны
AB
и
CD
в точках
X
и
Y
соответс
твенно. Известно, что середина стороны
AD
равноудалена от точек
X
и
Y
.
Докажите, что середина стороны
BC
также равноудалена от точек
X
и
Y
.



Версия 2.




биссектриса

треугольника

такого, что
. На стороне

отмечена точка
, а на
стороне



точка
такие, что
.
Докажите, что
.


5.

У
ослика

Иа
-
Иа есть 2012 палочек натуральной длины, сумма их длин равна n. Ослик хочет выломать
из них 2012 палочек: длины 1, длины 2, . . . ,

длины 2012. (Из одной палочки можно выламывать
несколько, например, из палочки длины
6 можно выломать палочки длины 1 и 4). При каком
наименьшем n Иа
-
Иа заведомо сможет это сделать?




X
L

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШЕНИЯ

11 класс









ГОРОД


1.

Числа
,
,

и

таковы, что
,
,
,
. Докажите, что
.


Пусть
, тогда из первого неравенства следует, чт
о
, то есть
. Далее аналогично

и
. Значит, все четыре числа отрицательны, и их произведение положительно.

Если
, то из последнего неравенства
, и далее аналогично

и
, откуда
.

Если же
, то тогда из первого неравенства следует, что
, то есть
. Далее
аналогично

и
. После этого из последнего неравенства следует, что
; противоречие. Итак,
случай

невозможен.

2.

На доске в строку написали несколько различных натуральных чисел. Потом под каждым число
м
записали новое число, равное его сумме с произведением остальных чисел первой строки. После этого
все числа первой строки стерли. (Например, если в первой строке были написаны числа
,
,
, то на
доске останутся числа
,
,
.) Докажите, что среди оставшихся на доске чисел не
могло оказаться трѐх последовательных натуральных чисел.


Пусть



произведение всех данных чисел,

тогда при прибавлении к числу

произведения остальных
чисел получается число
. Предположим, что три натуральных числа
,
,

получились
после операции на мес
те чисел
,
,

соответственно. Тогда выполняются равенства
,
,
. Отсюда
. Заметим, что



произве
дение всех чисел, поэтому



произведение всех исходных чисел без

и
, то есть
натуральное число. Значит, в каждой из скобок написано целое число. Поскольку их произведение равно 1,
и второй сомно
житель неположителен, получаем
. Аналогично,
. Но это
означает, что
. Получили противоречие, так как данные числа


различные.


3.

Квадратный трѐхчлен

таков, что каждое из уравне
ний

и

имеют ровно
по одному решению. Докажите, что трѐхчлен

не имеет корней.


Первое решение.
Из условия следует, что график

касается прямых

и
, то есть вписан в угол с вершиной

на оси

(см. рис. 7).


Рис. 7


Но тогда график весь лежит либо выше оси
, либо ниже. Из этого и следует, что уравнение

не име
ет корней.

Второе решение.
Пусть
. Так как трѐхчлены

и

имеют
ровно по одному решению, их дискриминанты обращаются в ноль. Итак,

и
. Отсюда
, то есть дискриминант исходного
трѐхчлена

равен

и, следовательно, отрицателен.


4.

На диагонали

выпуклого четырехугольника

нашлась точка
,
лежащая внутри
треугольника
, для которой
. Докажите, что
либо
, либо
.






5.

В клетках квадрата

расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом
трѐхклеточном уголке (повѐрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всем
квадрате также положительна
?


Ответ.

Обязательно.

Докажем, что сумма чисел в любом квадрате

клетки положительна. Действительно,
рассмотрим любой квадрат
. Пусть в нем записаны числа
. Рассмотрим трѐхклеточный уголок
с ч
ислами
. Из сумма положительна, значит, по крайней мере одно из них, например,



тоже
положительно. Сумма оставшихся трѐх чисел квадрата

положительна (так как числа стоят в уголке).
Значит, сумм
а всех четырѐх чисел квадрата

положительна.

Разобьем теперь квадрат

на квадраты

и трѐхклеточные
уголки, как показано на рис. В каждой фигурке сумма чисел положительна.
Значит, и сумма чисел во
всем квадрате

положительна.

Замечание 1.
Другое решение можно получить, рассмотрев
трѐхклеточный уголок с вершиной в угловой клетке квадрата
. Либо в
угловой клетке, либо в соседней с ней стоит положительное число,
а
оставшуюся доску (в каждом из случаев) можно разрезать на трѐхклеточные
уголки. То, что такие разрезания существуют, можно легко увидеть из 115.

Замечание 2.

То, что сумма чисел в любом квадрате

клетки
положительна, можно доказать п
о
-
другому. Рассмотрим любой квадрат
.
Пусть в нем записаны числа
. Тогда
,
,
,
. Сложив все эти неравенства, получим
, что и требовалось.


Приложенные файлы

  • pdf 1280529
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий