Разные задачи. 1. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60° . Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Векторы и координаты.

1.

Векторная формула медианы тетраэдра.

Докажите, что если
М



точка пересечения медиан
треугольника
АВС
, а
О



произвольная точка пространства, то
.

2.

Формула бимедианы

средней линии пространственного четырехугольника

ABCD

,
где
M

и

N



середины отрезков
А
D

и

B
С
.

3.

Коллинеарные векторы
.

Признак трапеции.

M

и

N



середины отрезков
АВ
и

С
D
. Если

для
пространственного четырехугольника

ABCD

выполняется
равенство

, где
M

и

N



середины отрезков
АВ
и

С
D
.

4.

Коллинеарные векторы
.
В наклонной треугольной призме проведена плоскость, пересекающая три
боковых ребра и параллельная основаниям. Докажите, что точки пересечения медиан оснований и
сечения лежат на одной прямой.

5.

Признак компланарности векторов
.
В кубе
АВС
D
А
1
В
1
С
1
D
1

точки
Е
и
F

середины отрезков
В
D

и
С
1
С.
Докажите, что прямые
ВС
1
, Е
F

и
DC

параллельны одной плоскости.

6.

Признак компланарности векторов.

В тетраэдре
АВС
D

точки
М
и
H



серед
ины ребер
А
D

и
ВС
.
Докажите, что прямые
АВ,
HM

и
DC

параллельны одной плоскости.

7.

Разложение вектора в пространстве.

K



середина медианы
АЕ

треугольника
АВС
,
М


произвольная
точка пространства. Разложите вектор











по векторам
�ܣ







,
�ܤ







,
�ܥ









.

8.

Разложение вектора в пространстве.
Дан параллелепипед
АВС
D
А
1
В
1
С
1
D
1
.

Медианы треугольника
А
D
1
C

пересекаются в точке
М
. Разложите вектор
ВМ








по векторам
ВА






,
ВВ






1
,
ВС







.

9.

Скалярное произведение векторов.

Докажите, что угол между скрещивающимися

прямыми, одна из
которых содержит диагональ куба, а другая


диагональ грани куба, равен 90°.

10.

Скалярное произведение векторов
.
Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее
значение выражения
. При каком
x

достигается

это значение?

11.

Расстояние между точками.

Объяснить геометрический смысл уравнения и решить

а
;


б

.

12.


Расстояние между точками.

Даны точки
А
(

1; 2; 3),
В
(

2; 1; 2 и
С

(0;

1; 1. Найдите точку,
равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости
О
xy
.

13.

Метод координат.

АВС
D


прямоугольник,
М


произвольная точка пространства. Докажите, что
.

14.

Метод координат.

Прямая
, выходящая из начала координат, образует с координатными осями углы
α
,
β

и
γ
. Найдите значение выражения
.

15.

Метод координат.

Найдите на трех попарно скрещивающихся ребрах куба такие точки
K
,

L
,

М
,

сумма
квадратов расстояний между кото
рыми наименьшая возможная.

16.


Координаты и векторы.

Докажите, что точка пересечения медиан треугольника с вершинами
А 
x
1
;

y
1
;
z
1

)
, В 
x
2

;
y
2
;
z
2

, С 

x
3
;
y
3
;
z
3

)
имеет координаты 


1
+

2
+

3
3

;

1
+

2
+

3
3

;

1
+

2
+

3
3

).

17.

Уравнение плоскости
.
Найдите все точки плоскости
, равноудаленные от
координатных плоскостей.

18.


Уравнение плоскости.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки
,
В
(1; 8;
0),
С

(0; 2; 0).

19.

Уравнение плоскости.

Найдите косинусы углов, образованных плоскостью

и
координатными плоскостями.

20.


Уравнение плоскости.

Докажите, что сумма квадратов косинусов углов, образованных произвольной
плоскостью с тремя попарно перпендикулярными плоскостями, рав
на 1.

21.


ГМТ
.
Найдите множество таких точек , сумма квадратов расстояний которых до точек
А
3; 8; 1 и
В
(1;

1; 3 равна сумме квадратов их расстояний до точек
С
(0;

1; 3 и
D
(1; 5;

2).

22.

ГМТ
.
Найдите множество точек, равноудаленных от точек 

2; 1;

1 и 4;


1; 3).

23.

Расстояние от точки до плоскости.

Найдите геометрическое место точек, удаленных от плоскости

на расстояние 2.

24.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плоскости.

Найдите координаты всех векторов
единичной длины, перпен
дикулярных плоскости
.

25.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плоскости.

Определите величину угла между
плоскостями

:

и

:
.

26.

Уравнение плоскости.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку

параллельно
векторам

и
.

27.

Расстояние от точки до плоскости.

Известно, что в треугольной пирамиде все плоские углы при
вершине


прямые. Найдите длину ее высоты, если длины ее боковых ребер равны
a
,
b

и
c
.

28.

Расстояние от точки до плоскости.

Найдите уравнения плоскостей, находящейся на расстоянии 1 от
плоскости
.

29.

Единичные векторы

и

образуют угол
, а единичный вектор

им перпендикулярен. Найдите
абсолютную величину вектора
.



Разные
задачи.

1.

Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют
угол
60


. Общее
основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого
перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников
.

2.

Внутри двугранного угла взята точка, удаленная от граней этого угла на расстояния 12 и 15. Найдите
расстояние от этой точки, до ребра двугранного угла, если его
величина равна

60

.

3.

Дан куб ABDA
1
B
1
C
1
D
1
. Вычислите угол между скрещивающимися прямыми AD
1

и

A
1
C
1
.

4.

В основании пирамиды MABD лежит квадрат, вершина M проектируется в центр квадрата. Все рёбра
пирамиды равны
a
. Найдите угол, образованный плоскостями MB и MD.

5.

Основание правильной пирамиды PABDEF


правильный шестиугольник ABDEF со стороной .
Боковое ребро пирамиды равно 2
a
. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми AB и PD.

6.

Кате
ты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до
плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет
угол

30


с плоскостью треугольника.

7.

Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расс
тоянию между их проекциями
на плоскость, перпендикулярную одной из них.

8.

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние
а
, проведены две наклонные под углом 30


к плоскости,
причем их проекции образуют угол 120

. Найдите расстояние между концами наклонных.

9.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины трех попарно скрещивающихся ребер
куба, и найдите угол между плоскостью этого сечения и плоскостью одной из граней куба.

10.

В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 2, а боковые реб
ра 3. Вычислите
расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани.

11.

В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 1. Все боковые грани
равновелики основанию. Вычислите высоту этой пирамиды.

12.


Точки А

и В лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого равна 60

; А
1

и В
1



проекции
точек А и В на ребро двугранного угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА
1
ВВ
1
А
1
В
1
=2

.

13.

Точка
К



середина стороны
AD

квадрата
ABCD
. Квадрат «перегнули» по прямо
й
KC

так, что
образовался двугранный угол величиной
60

. Найдите отношение длины отрезка
BD

к длине диагонали
квадрата.

14.

Наклонна
я образует с плоскостью угол 45

. Через основание наклонной в плоскост
и проведена прямая
под углом 45


к проекции наклонной. Най
дите угол между этой прямой и наклонной.

15.


Стороны треугольника равны 17 см, 15 см, и 8 см. Через вершину
A

меньшего угла треугольника
проведена прямая
AM
, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки
M

до прямой,
содержащей меньшую стор
ону треугольника, если известно, что
AM
20 см.

16.


Дан куб ABDA
1
B
1
C
1
D
1
. Точка M


середина ребра 
1
. Определите косинус угла между прямыми A
1
M
и BD
1
.

17.


Из вершин
A

и

B

острых углов прямоугольного треугольника
ABC

восстановлены перпендикуляры
AA
1

и
BB
1

к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины
C

до середины отрезка
A
1
B
1
, если
A
1
C
=4
,
AA
1
=3
,

B
1
C
=6,
BB
1
2 и отрезок
A
1
B
1
не пер
есекает плоскость треугольника.

18.


У пирамиды ABD все ребра равны. Точки M и N


середины ребер

D и AB соответственно.

Опреде
лите угол между прямыми AD и MN.

19.

Основанием пирамиды служит прямоугольник площадь, которого 20,25. Две боковые грани пирамиды
перпендикулярны плоскости основания, а две други
е наклонены к ней под углами 30


и 60

. Найдите высоту
пирамиды.

20.


Дан равно
бедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга
восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого
перпендикуляра до сторон треугольника.

21.


Точки
A

и
B

лежат на ребре
данного двугранного угла, равного
120

. Отрезки
AC

и
BD

проведены в
разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок
CD
, если
AB=AC=BD=
a

.

22.


В кубе ABDA
1
B
1
C
1
D
1

точка M


середина ребра AB, точка N делит ребро BB
1

в отношении BN :

NB
1

=
 1 : 2. Определите косинус угла между прямыми MN и AD
1
.

23.


ABCD


ромб со
стороной 4 см и тупым углом 150

. O


точка пересечения диагоналей. MO


перпендикуляр к плоскости ромба, MO  1 см. Найдите расстояние от М до сторон ромба.

24.


K плоскости т
реугольника AB проведен перпен
дикуляр D длиной 8 см. Найдите расстояние от точки
D
до прямой AB, если AB  16 см, A  B  10 см. Каков угол между плоскостями ABD и AB?

25.

Квадрат
ACMD

и правильный треугольник
ABC

расположены так, что двугранный угол
M
(
AC
)
B
=120

.
Найдите расстояния от точки
B

до плоскости квадрата и от точки
M

до плоскост
и треугольника, если
AC
=4.

26.


В правильной четырехугольной пирамиде S
ABD, все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла


между плоскостями AB и BS.

27.


Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного
диаметра?

28.

MABCD



правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой
равны 10. Н
айдите расстояние
между прямой
AC

и медианой грани
MDC
.

29.



В правильной шестиугольной призме АBDEFА
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1

все рёбра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми АВ
1

и ВС
1
.

30.


На изображен
ии прямоугольного треугольника
ABC
, длины катетов которого относятся как
3:4
,
постройте изображение центра
вписанной окружности.

31.


Даны три утверждения: 1 апофемы пирамиды равны; 2 двугранные углы при основании пирамиды
равны; 3 вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание. Докажите, что из
каждого из этих утверждений следуют
остальные.

32.


В правильной шестиугольной призме
АBDEFА
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
все рёбра которой равны 1, найдите косинус
угла между прямыми АВ
1

и ВD
1
.

33.


Найдите геометрическое место точек середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых.

34.


На изображении треуголь
ника, длины сторон которого пропорциональны числам 2,

3, и 4 постройте
изображение центра окружности, вписанной в треугольник.

35.


Даны три утверждения: 1 боковые ребра пирамиды равны; 2 боковые ребра пирамиды наклонены к
плоскости основания под одним и тем

же углом; 3 вершина пирамиды проектируется в центр окружности,
описанной около основания. Докажите, что из каждого из этих утверждений следуют остальные.

36.


В правильной шестиугольной призме
АBDEFА
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1

вс
е рёбра которой равны 1, найдите косинус
уг
ла между прямыми АВ
1

и ВE
1
.




Приложенные файлы

  • pdf 1251364
    Размер файла: 734 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий