Так как правильное обучение младших школьников математике во многом зависит от математической подготовки будущего учителя. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, носящим название «теория чисел».


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА г. СЕМЕЙ
Документ СМК 3 уровня УМКД УМКД 042-X.1.ХХ/03-2013
УМКД
Учебно-методические материалы по дисциплине «Основы математики » Редакция №_1_ от __2013 года___ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
“Основы математики”
для специальности 5В010200
«Педагогика и методика начального обучения»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей
2013
РАЗРАБОТАНО
Составитель ______________________ “_02_” __сентября__2013 г.
К.К Абдуалиева, ст. преподаватель кафедры математики и МПМ

2 ОБСУЖДЕНО
2.1 На заседании кафедры математики и методики преподавания математики государственного университета имени Шакарима г. Семей.
Протокол от “____” __________ 2013 года, № __.
Заведующий кафедрой ___________ О.М. Жолымбаев
2.2 На заседании учебно-методического бюро физико-математического факультета
Протокол от “____” __________ 2013 года, № __.
Председатель УМС ______________ К. Батырова
3. УТВЕРЖДЕНО
Одобрено и рекомендовано к изданию на заседании Учебно-методического совета университета
Протокол от “____” __________ 2013 года, № __.
Председатель УМС _____________ Г.К. Искакова Г.К.
4 ВВЕДЕНО ВПЕРВЫЕ
Содержание
1 Глоссарий 3
2 Лекции 7
3 Практические занятия 2674 Самостоятельная работа студента Глоссарий
по дисциплине «Основы математики»
Взаимообратные задачи Это три задачи, сходные сюжетом и числами, и являющиеся попарно обратными друг другу.
Вопрос – требование задачи, заключение Это указание того, что является искомым.
Это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.
Данные числа Это численные (числовые) компоненты текста задачи. Они характеризуют количественные отношения предлагаемой в задаче ситуации: значения величин, численные характеристики множеств, численные отношения между ними.
Задача Это требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.).
В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.).
Задача – понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует исполнения, решения.
Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.).
Задачи – специальные и особенные математические упражнения, с помощью которых раскрывается сущность многих теоретических вопросов из разных разделов начального курса математики (Оспанов Т.К.)
Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.).
Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.).
Задачи с альтернативным условием  Это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.
Иллюстрация
задачи Использование средств наглядности для вычленения величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также установления связей между ними.
Неопределенные задачи  Задачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.
Переопределенные задачи Задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом.
Предметная
иллюстрация Для иллюстрации используются либо предметы, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче.
Схематическая иллюстрация Краткая запись задачи, в которой в удобной форме фиксируются величины, числа (данные и искомые) и связи между ними.
Иллюстрация в виде графика Иллюстрация в «отрезках» (для решения задач, в которых величины выражаются в единицах длины или даны отношения между величинами).
Искомое число Это значение неизвестной величины, которое требуется найти, т.е. является конечной целью решения арифметической задачи.
Обратная задача Это задача, в которой то, что было известно в данной задаче, становится неизвестным, а то, что было неизвестным, становится известным.
Обратные задачи Это две задачи, сходные сюжетом и числами, но то, что было известно в первой задаче, становится неизвестным, а то, что было неизвестно в первой задаче, становится известным во второй.
Ознакомление с содержанием задачи Это значит, прочитав ее, представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче.
Определенные задачи  Это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.
План решения задачи Это объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и определение последовательности выполнения арифметических действий.
Проверка решения задачи Установление правильности или ошибочности выполненного решения.
Простая задача Это задача, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие.
Разбор задачи по тексту Специальная беседа, во время которой учитель должен поставить детям вопросы так, чтобы навести их на правильный и осознанный выбор арифметических действий.
Аналитический
(разбор задачи) Отыскание путем решения от главного вопроса задачи к данным.
Синтетический
(разбор задачи) Установление связей между данными и искомым от данных к главному вопросу задачи.
Решение задачи Это выполнение арифметических действий, выбранных при составлении плана решения.
Решить задачу Это значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи, то есть осуществить переход от конкретного содержания задачи к математической модели (выражение, уравнение) - описание ситуации на языке цифр и знаком, то есть перевод естественного на цифровой язык.
Это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на вопрос задачи).
Составная задача Это задача, для решения которой надо выполнить несколько арифметических действий, связанных между собой
Способ
(решения задачи) Действие или система действий, применяемые при исполнении какой-нибудь работы, при осуществлении чего-нибудь (по Ожегову).
*Алгебраический
Ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения
*Арифметический Ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами
* Графический Ответ на вопрос задачи находится с помощью чертежа, связан с построением отрезков и с измерением их длин.
* Практический Ответ на вопрос задачи находят, выполняя действия с предметами
Условие задачи Часть задачи, в которой сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих эти объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними, т.е. в условие включены числа (данные и искомые) и связи между ними, которые определяют выбор соответствующих арифметических действий.
Та часть текста, в которой задана сюжетная ситуация, численные компоненты этой ситуации и связи между ними. В стандартной формулировке условие выражается одним или несколькими повествовательными предложениями, содержащим числовые компоненты.
Часть задачи, в которой указываются связи между данными числами, а также между данными и искомыми. Эти связи и определяют выбор арифметических действий.
Лекция №1
Тема: «Основы математики» как учебный предмет
цель:
иметь представление об объекте, предмете и задачах курса «Основы начального курса математики»; знать содержание курса; уметь выявлять взаимосвязь начального курса математики с математикой как наукой и теорией и технологией обучения математике в начальной школе.
1.1 Объект, предмет и задачи курса
1.2 Содержание курса
1.3 Связь курса с другими дисциплинами
Объект, предмет и задачи курса
Реформирование школьного образования в Республике Казахстан предъявляет к учителю начальной школы высокие требования, которые не могут не отразиться на системе подготовки учительских кадров в педагогических учебных заведениях.
Система профессиональной подготовки будущего учителя начальных классов включает в себя психолого-педагогическую, предметно-теоретическую, частно-методическую компоненты подготовки, осуществляемые в процессе изучения различных учебных, специальных и факультативных дисциплин, в числе которых «Основы математики».
Дисциплина «Основы математики» является базовой профилирующей дисциплиной для специальности 5В010200 – «Педагогика и методика начального обучения», составляющей основу теоретической подготовки будущих учителей начальных классов. Так как правильное обучение младших школьников математике во многом зависит от математической подготовки будущего учителя. Будущий учитель должен получить четкие представления об основных понятиях и операциях теории множеств, математической логики, о числе и о геометрической фигуре и операциях над ними, о величинах и их измерении, т.е. о тех вопросах, которые находят свое отражение в курсе математики начальной школы. Кроме того, он должен иметь элементарные представления о современной математике, понимать значение применение ее методов в различных областях человеческой деятельности. Все это играет важную роль не только в обеспечении высокого профессионального уровня учителя, но и создаст определенную базу для углубления и расширения его математических знаний в дальнейшей учебе и самообразований. Все это привело к введению для педагогических факультетов, готовящих учителей начальных классов курса «Основы начального курса математики», отражающего изменения, произошедшие в содержании начального курса математики (НКМ).
Данный курс содержит основы классической и современной математики и занимает особое место как дисциплина, которая формирует основы абстрактного мышления и раскрывает содержание математических понятий, законов, свойств, фактов и способов действий.
Объект курса - математическое образование как компонент высшего педагогического профессионального образования учителя начальных классов в соответствии с требованиями государственного общеобязательного стандарта образования РК по специальности «Педагогика и МНО».
Предмет курса - процесс формирования знаний, умений и навыков будущего учителя начальных классов по основам НКМ в соответствии с требованиями Госстандарта РК по специальности «Педагогика и методика начального обучения».
Дисциплина «Основы начального курса математики» призвана дать будущим учителям начальных классов теоретическую и практическую подготовку, необходимую для успешного обучения математике учащихся начальных классов, а также для видения перспективы использования понятий начального курса математики в основной школе.
Обучение математическому языку как специфическому средству коммуникации в его сопоставлении с реальным языком, а также формирование математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей являются основными методами изучения дисциплины.
Цель учебной дисциплины «Основы начального курса математики»- вооружить студентов теоретическими знаниями и практическими умениями, необходимыми для профессионального решения учебно-воспитательных задач, возникающих в процессе обучения математике младших школьников.
Задачи начального курса математики:
- раскрыть суть важнейших математических понятий и фактов;
- раскрыть значение математики в системе профессионального образования будущего учителя начальных классов;
- выявить взаимосвязь начального курса математики с математикой как наукой и важнейшими областями ее применения.
Одной из основных задач этого курса является ознакомление студентов с современным состоянием начального математического образования и возможностями, открывающимися в связи с использованием его в учебном процессе.
1.2 Содержание курса
Предмет «Основы математики» как специальная дисциплина для профессиональной подготовки учителей начальных классов начал складываться в 20-е годы прошлого века, когда определились единые государственные принципы организации работы советской, высшей школы. Особенно активно эта дисциплина начала разрабатываться в 70-е годы XX века в связи с открытием в Московском и Ленинградском педагогических институтах факультета для подготовки учителей начальных классов с высшим образованием.
Содержание данного курса для специальности «Педагогика и МНО» за этот период подвергалось изменениям в 1973, 1979, 1986гг. В суверенной Республике Казахстан содержание этого курса пересматривалось в 1994, 2001, 2004 и 2005гг.
Обновление содержания вызнано разработкой государственной программы развития образования в Республике Казахстан на 2005 - 2010гг.
Содержание курса и последовательность рассмотрения материала способствуют повышению творческого потенциала будущих учителей начальных классов в плане самостоятельной дальнейшей работы по углублению и расширению математических знаний, и разделено на 7 глав:
I Общие понятия математики, которые включают в себя:
множества, операции над множествами; графы; соответствия и отношения на множестве; основы математической логики; элементы комбинаторики.
II Расширение понятия числа:
натуральные числа; целые неотрицательные числа; системы счисления; делимость чисел; целые числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа; техника арифметических вычислений.
III Элементы алгебры:
математические выражения; равенства и неравенства; уравнения; функции.
IV Элементы геометрии:
планиметрия; стереометрия; простейшие геометрические построения; задачи с геометрическим содержанием.
V Величины и их измерения:
величины и процесс их измерения; длина отрезка; площадь фигуры; объем тела (вместимость); величина угла; масса; время и ее измерение; зависимость между величинами.
VI Основы теории вероятностей и математической статистики:
теория вероятностей; математическая статистика.
VII Задачи и процесс ее решения:
задача; нестандартные и занимательные упражнения.
1.3 Связь с другими дисциплинами
1.3.1 Связь курса с методикой обучения математике в начальных классах
Каждая глава типовой программы курса включает профессиональную направленность материалов главы. Это говорит о том, что «Основы математики» тесно связаны с дисциплиной «методика математики».
Решая проблемы содержания и методов обучения математике «Методика математики опирается на математику.
Отбор учебного материала, который должен стать предметом изучения в начальной школе, требует проведения глубокого анализа математических идей, методов и содержания самой математики как науки. Для того чтобы отобранный математический материал мог быть усвоен младшими школьниками, он подвергается «дидактической обработке», включающей анализ логической структуры материала подлежащего изучению, рассмотрение различных вариантов его подачи учащимся, подбор примеров, ситуаций, упражнений и задач, иллюстрирующих основные понятия.
Разумеется, при дидактической обработке математического материала опираются не только на математику, но и на педагогику, психологию и логику. Однако роли этих наук различны. Математика поставляет исходный объект, подлежащий обработке (математический материал), педагогика, логика и психология указывают, каким должен быть результат этой обработки (учебный материал) и как его достичь.
Особенностью начального обучения математике является то, что:
1) теоретической основой начального обучения математики не может быть построенная, логическая совершенная математическая теория; такой основой должна служить та стадия развития математических знаний, которая предшествовала созданию построенной математической теории (эту стадию называют «предматематикой»);
2) математический материал, подлежащий изучению в начальных классах, требует тщательной дидактической обработки, при этом необходимо учитывать особенности психологии и мышления детей 6-9 лет.
Предматематические понятия не разделяются, как в строго построенной математической теории, на исходные понятия и определяемые. На этом уровне прообразом математических понятий являются реальные объекты и ситуации, а доказательство истинности основывается на частных случаях.
Содержание учебного материала по математике в начальных классах содержит различные разделы математической науки. Главное его содержание составляет арифметический материал, а алгебраический и геометрический материалы не составляют особого раздела НКМ, но органически связаны между собой и с арифметическим материалом.
В 2003 году в Республике начат эксперимент по переходу на 12-летнее образование. В связи с этим были разработаны вариативные УМК по математике. Учебные программы по математике (разработанные Акпаевой А.Б., Лебедевой Л.А.), содержат наряду с арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом, содержание которых расширилось за счет дробей и геометрических тел (призма, пирамида, конус, шар), еще и элементы логики.
В 2006 году разработан новый государственный общеобязательный стандарт среднего общего образования, согласно которому на начальной ступени (1-5классы) будет изучаться предмет «математика», который входит в образовательную интегрированную область «математика и информатика».
Новые программы для начальной школы еще разрабатываются.
1.3.2 Связь курса с историей математики
В связи с тем, что математика в начальной школе представляет собой интегрированный учебный предмет, который содержит различные разделы математической науки, возникшие на протяжении ее многовековой истории, необходимо знать основные этапы развития математики и понимать, как математика расширяла свой предмет в процессе исторического развития.
Как известно, «математика» - слово, пришедшее к нам из Древней Греции: mathema в переводе обозначает «познание, наука». В истории его развития выделяют четыре основных периода, причем начало каждого нового периода ознаменовано выдающимися научными достижениями, определявшими переход математики на новый качественный уровень.
I период - период зарождения математики
начался с древнейших времен и закончился в VII-V вв. до н.э. Это был период накопления фактического материала, тесно связанного с практическими вычислениями и измерениями, с формированием трех основных понятий математики: число, величина и геометрическая фигура. В этом периоде берут свое начало арифметика и геометрия.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.
Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что означает «число». Возникла арифметика в странах Древнего Востока: в Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Греции. История сохранила имена многих ученых, занимавшихся арифметикой. Яркой звездой сверкает среди них имя Пифагора (VI в. до н.э.).
Слово «геометрия» состоит из двух слов: «ге», что в переводе с греческого означает земля, и «метрио» - мерю. Значит, в переводе на русский язык «геометрия» означает землемерие.
В своем дальнейшем развитии наука геометрия шагнула далеко за пределы землемерия и стала важным и большим разделом математики. В геометрии рассматривают формы тел, изучают свойства фигур, их отношения и преобразования.
II период - период математики постоянных величин (или элементарной математики)
начался в VI-V вв. до н.э. и закончился в XVII в. н.э. Основным достижением математической мысли, характеризующим начало этого периода, было возникновение и развитие понятия о доказательстве. В этот период возникает понимание математики как самостоятельной научной дисциплины, имеющей собственный предмет исследования (число и фигура) и собственные методы исследования.
Выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки сыграла знаменитая книга Евклида, жившего в городе Александрия, «Начала».
Евклид, опираясь на исследования и выводы своих предшественников - Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Евдокса и других древнегреческих ученых, привел в систему накопленные по геометрии сведения, дополнил их своими исследованиями и открытиями, а затем последовательно изложил в 13 книгах, назвав их «Начала». Его труд на протяжении свыше двух тысяч лет служил учебным пособием по геометрии. Его книги изучали все великие математики.
В этом периоде центр математических исследований переместился на Восток - в Индию, Китай, страны арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль - Каши (XVв.), работавшего в Самаркандской обсерватории Улугбека, - десятичные дроби.
Индийские математики провели исследования по комбинаторике (Ариабхатта, V в. н.э.), который занимается изучением вопросов, о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из данных объектов.
Основной заслугой арабских математиков (аль -Беруни, Омар Хаям, IX-XIII вв. н.э.) следует считать развитие тригонометрии, раздела геометрии, главную задачу которой составляет решение треугольников. От греческих слов trigonon «треугольник» и metreo- «измеряю».
В этот период возникает и развивается новая математическая дисциплина - «алгебра». Слово «алгебра» арабского происхождения и означало «восстановление», т.е. перенос отрицательных слагаемых в другую часть уравнения. В начале XVII века в трудах французских и английских математиков, в частности, Франсуа Виета (1540-1603) и Рене Декарта (1596-1650) завершается развитие алгебраической символики и берет начало аналитическая геометрия. Р.Декарт (XVII в.) ввел алгебраический способ решения геометрических задач.
III период, начавшийся в XVII в. и продолжавшийся до середины XIX века, - период математики переменных величин
характеризуется дальнейшим расширением предмета исследования. Началом третьего периода развития математики следует считать введение Р.Декартом понятия переменной величины.
Одним из основных достижений этого периода явилось введение общего понятия функции, сделанное в конце XVII в. немецким математиком и философом Готфрид Вильгельм Лейбницем (1646-1716).
Рассматривая вопросы геометрии и механики в конце того же века, английский математик и физик Исаак Ньютон (1643-1727) и почти одновременно с ним Г.В. Лейбниц создали основы дифференциального и интегрального исчисления. Возникновение математического анализа делает математику мощным инструментом познания природы.
Этот период ознаменован так же возникновением и развитием теории вероятностей. Большой вклад в нее внесли русские математики XIX в. Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), Андрей Андреевич Марков (1856-1922), Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918) и другие.
IV период (с середины XIX столетия) - период математики переменных отношений
характеризуется развитием аксиоматического метода, ставшего одним из ведущих методов познания в математике. Началом послужило открытие в 20-ых годах XIX в. неевклидовой геометрии, сделанное великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1852) и независимо от него (и несколько позже) венгерским ученым Ян Больяй (1802-1860).
Качественные изменения произошли в алгебре. Английский логик Дж. Буль (1815-1864) начал изучать операции над высказываниями, а немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) ввел операции над множествами.
Андрей Николаевич Колмогоров (1903) создал аксиоматику теории вероятностей. Возникли новые отрасли математики, связанные с вычислительными машинами.
Таким образом, математика, как и всякая другая наука, переживает период бурного развития, обусловленный расширением областей ее применения.
Вопросы для самоконтроля:
1. Определите объект и предмет курса «Основы НКМ».
2. Сформулируйте основные цели и задачи курса.
3. Из каких глав состоит содержание данного курса?
4. Какие разделы математической науки включены в содержание учебного материала по математике в начальных классах?
5. Назовите основные этапы развития математики.
Лекция №2 Тема: Множества
Цель:
сформировать представления об основных понятиях теории множеств; знать теоретико-множественные основы начального курса математики ;уметь определять отношения между множествами и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна, выполнять операции над множествами и изображать декартово произведение множеств на координатной плоскости.
2.1. Понятие множества. Элемент множества
2.2.Способы задания множества
2.3.Отношения между множествами. Диаграммы Эйлера-Венна
2.4.Операции над множествами
2.5. Законы операции над множествами
2.6.Понятие разбиения множества на классы
2.1 Понятие множества. Элемент множества
2.1.1 Понятие множества
Понятие множества является одним из основных понятий математики, и поэтому не определяется через другие.
Когда мы говорим, что под множеством предметов понимают совокупность, собрание или класс различных предметов произвольной природы, мы указываем лишь синонимы для слова «множество» (собрание, класс, набор, коллекция, стадо, табун, лес, стая). Это поясняется и многочисленными примерами. Можно говорить о множестве учащихся некоторой школы, о множестве решений неравенства х+5>12, о множестве парт в данной аудитории, о множестве молекул данного тела.
Когда в математике говорят о множестве объектов (чисел, точек, функций), то понимают под этим одно целое – совокупность этих объектов. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».
Слово «множество» в обычном смысле связывают с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу - множество деревьев, но если перед домом имеются два дерева, обычно не говорят, что перед домом имеется множество деревьев. Математическое же понятие множества не связываются обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и такие множества, которые содержат три, два, один предмет, и даже такое странное множество, которое не содержит ни одного предмета (пустое множество). Множества обозначают обычно заглавными латинскими буквами А, В, С,…, или буквой с индексом, например, А1, А2,…,Ап,… . Пустое множество обозначают символом Ø. Этот знак применяется в качестве имени пустого множества (никакое другое множество этим знаком не обозначается). Для некоторых числовых множеств имеются специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых неотрицательных чисел – буквой Z0, множество всех целых чисел – буквой Z, множество всех рациональных чисел – буквой Q и множество всех действительных чисел – буквой R.
2.1.2 Элемент множества
Объекты любой природы (люди, дома, книги, геометрические фигуры, числа), составляющие множество, называют его элементами или говорят, что они принадлежат этому множеству. Например, число 3 является элементом множества натуральных чисел, май – элементом множества месяцев в году.
Отношение между множеством и его элементами, которое мы выразили словами, является элементом, выражают и при помощи слова принадлежит. Так, можно сказать, что число 3 принадлежит множеству натуральных чисел.
Элементами множества могут быть множества. Например, можно говорить о множестве классов некоторой школы. Элементы этого множества – классы, являющиеся в свою очередь множествами учащихся. Но учащиеся уже не являются элементами множества классов школы.
Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами: а,b,с,..., или какой-нибудь буквой с индексом, например а1, а2,…,ап… .
Для сокращения записи различных высказываний о множествах и их элементах принята следующая символика:
слово «принадлежит» заменяют символом . Высказывание «Объект а принадлежит множеству А» записывают так: аА. Запись аА можно прочитать иначе: «Объект а есть элемент множества А». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а А, причем эта запись может быть прочитана и иначе: «Объект а не является элементом множества А».
Например, если А – множество четных натуральных чисел, то следующие высказывания об элементах множества А истинны:
16А, 328А, 17A, 1A
2.2 Способы задания множества
Множество считают заданным, известным, если мы владеем способом, позволяющим для любого объекта решить, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Иногда множество может быть задано перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов записываются в строчку, отделяются между собой точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.
Например: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} - множество цифр десятичной системы счисления;
{а, b, с} - множество, состоящее из элементов а, b, с. Это множество можно записать, перечислив элементы в каком-либо другом порядке: {b, а, с}, {с, а, b}.
Если, а, b, с, d – обозначения различных объектов, то множество А этих объектов можно записать и так: А = {а, b, с, d}; читают его:
«А – множество, элементы которого а, b, с, d».
Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и {а}. Символом а означают элемент, символом {а}- множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). Можно написать аА и {а}А, но нельзя писать аА и {а}А.
Очевидно, что перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: описанием характеристического свойства его элементов.
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Рассмотрим примеры множеств, заданных с помощью характеристического свойства.
Пусть А - множество двузначных чисел. Свойство, которым обладает любой элемент данного множества, – «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решить вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит – оно не является двузначным.
Множество, для элементов которого указано некоторое характеристическое свойство обозначают символом {x| Р(x)}, который читается
так: «множество всех x таких, что x обладает свойством Р», или короче: «множество всех x, обладающих свойством Р».
Например, множество М натуральных чисел, меньших 6, запишется так:
M = {x|x N x < 6} или М = {x|xN, x < 6}.
(в фигурных скобках пишется обозначение элемента, затем проводится вертикальная черта, после которой пишется свойство, которым обладают элементы данного множества и только они).
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.
Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов.
Второй способ более общий. Он позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в отличие от первого способа, который, как правило, может быть использован для задания конечных множеств с небольшим числом элементов. Иногда первый способ используется и для задания бесконечных множеств. Например, множество N натуральных чисел может быть задано в виде N={1, 2, 3, ...}. Однако такой способ записи возможен лишь тогда, когда по записанной части, множества ясно, что означает многоточие.
Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано и первым и вторым способом. Например, множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посредством указания характеристического свойства его элементов, можно задать и так: В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, т.е. перечислив все его элементы.
В начальном курсе математики понятия множества и элемента множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой общности они, по существу, пронизывают всю начальную математику. Так, при выполнении задания «Запишите числа, которые больше чем 65 и меньше чем 75» учащиеся встречаются с двумя способами задания одной и той же совокупности чисел.
Один способ – указано свойство чисел «быть больше чем 65 и меньше чем 75», другой – числа этой совокупности перечисляются: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74.
Смысл упражнения – перейти от одного способа задания множества к другому.
Аналогичные задачи приходится решать младшим школьникам и на других уроках, в частности на уроках русского языка: «Назовите все согласные буквы русского алфавита», «Подчеркните в данном упражнении все существительные», «Выпишите из текста все прилагательные» и т. д.
2.3 Отношения между множествами. Диаграммы Эйлера-Венна
2.3.1 Отношения между множествами
Два множества могут находиться в различных отношениях. Пусть даны два множества: А={а, b, с, d, е} и В = {b, d, f, e}. Видим, что элементы b и d принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что b и d – общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.
Весьма важным отношением между двумя множествами является отношение включения.
Рассмотрим множества А={а, b, с, d, е} и В={c, d, e}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в A или что множество В является подмножеством (или частью) множества A и записывают так: ВА.
Определение. Множество В включается во множество А, если каждый элемент множества В является также элементом множества A. Множество В называется подмножеством или частью множества А. Отношение включения обозначается символом .
Вокруг нас встречаются многочисленные примеры множеств, находящихся в таком отношении. Примеры: NZ, ZQ, QR.
Множество прямоугольников включается во множество параллелограммов;
Множество параллелограммов включается во множество четырехугольников;
Множество учащихся класса включается во множество учащихся школы; население города - в население республики и т.д.
Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. ØА, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. АА.
Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.
Выпишем, например, все подмножества множества А={2, 3, 4}.
Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А={2, 3, 4} и Ø. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.
Основные свойства отношение включения:
Всякое множество включается в себя, т.е.для всякого А, АА.
Это свойство называется рефлексивностью, а отношение включения, обладающее этим свойством,- рефлексивным отношением.
Для любых множеств А, В, С, если АВ и ВС, то АС.
Это свойство называется транзитивностью, а отношение включения, обладающее этим свойством,- транзитивным отношением.
Частным случаем включения является равенство.
Пусть даны множества А={а, b, с, d, е} и В={с, a, b, e, d}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. АВ, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. ВА. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут: А=В.
Определение Множества А и В называются равными, если АВ, и ВА, т.е. если множества А и В состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.
Равенство множеств характеризуется тремя свойствами:
Для всякого А справедливо А = А (равенство рефлексивно).
2) Для любых множеств А, В, С, если А=В и В=С, то А=С (равенство транзитивно).
3) Для любых множеств А и В, если А=В, то В=А (равенство симметрично).
Это свойство называется симметричностью, а отношение равенства, обладающее этим свойством,- симметричным отношением.
Различают два вида подмножеств множества А:
1) если существует хотя бы один элемент множества А, не принадлежащий В, то говорят В – собственное подмножества А (собственная часть) или В строго включается в А и обозначают BА;
2) если не существует ни одного элемента множества А, не принадлежащего В, т.е. А=В.
Само множество А и Ø называют несобственными подмножествами множество А; например, множество А={т; п; р} имеет шесть собственных подмножеств: {т}, {п}, {р}, {т; п}, {т; р}, {п; р} и два несобственных: {т; п; р}, Ø.
В математике часто рассматривают подмножества одного и того же множества, принимаемого за основное, или универсальное.
Так, если А - множество студентов первого курса некоторого института, В – множество студенток в этом же институте, С – множество спортсменов этого же института, то в качестве универсального множества можно взять Е-множество всех студентов данного института, потому что AЕ, BЕ, CЕ.
Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики, в частности при определении геометрической фигуры.
Геометрической фигурой называется всякое множество точек. Таким образом, отрезок, луч, прямая, треугольник, шар, куб – геометрические фигуры. Так как множество может состоять из одного элемента, то отдельно взятая точка (точнее говоря, множество, состоящее из одной точки) является геометрической фигурой, так же как и любое конечное множество точек. Если фигура F1 является собственным подмножеством фигуры F, то говорят также, что F1 – часть фигуры F. Например, отрезок АВ – часть прямой АВ.
Так же как и понятие множества, понятие подмножества в начальной математике в явном виде не изучается, но задач, связанных с выделением части некоторой совокупности, учащиеся решают много. Например: «Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники», «Назови среди данных чисел четные».
Диаграммы Эйлера-Венна
Наглядно множества и отношения между множествами, изображают при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур (нарисовав замкнутый контур и представив, что элементы этого множества изображены точками, находящимися внутри этого контура). Для изображения отношения между множествами Леонард Эйлер использовал круги. Такие круговые диаграммы называют кругами Эйлера.
Леонард Эйлер (1707–1783) – швейцарский математик, член Петербургской академии наук. В 1727 году по приглашению Петербургской академии наук приехал в Россию, где вырос в крупнейшего математика. Огромно научное наследие Эйлера, в списке его трудов более 800 названий.
Английский ученый Джон Венн (1834-1923) изображал их при помощи замкнутых кривых, называемых диаграммой Венна. Такие изображения называют еще и диаграммами Эйлера – Венна.
Например, если мы хотим наглядно изобразить, что множество В={с, e, d} является собственным подмножеством множества А ={а, b, с, d, е}, то рисуем круги Эйлера как на рисунке 2.1.
Если же надо показать, что множества А и В не имеют общих элементов, то эти множества изображают так, как на рисунке 2.2, т.е. непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.
Множества А={а, b, с, d, е} и В={b, d, k, e} пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так, как на рисунке 2.3.
Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике, как на рисунке 2.4.
U
A
A
B
U

B
A
B
A



рис. 2.3
рис. 2.2

рис. 2.1
рис. 2.4

2.4 Операции над множествами. Законы операции над множествами
Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатом операций над множествами, которые, в свою очередь, следует рассматривать как обобщение операций, выполняемых над различными совокупностями. В частности, таких, как нахождение общих элементов двух и более множеств, объединение двух и более совокупностей в одну, удаление из совокупности ее части в другие.
2.4.1 Пересечение множеств
Пусть даны два множества: А={2, 4, 6, 8} и В={5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С={6, 8}.
Полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
Определение Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам А и В.
Пересечение множеств А и В обозначают А∩В, где символ ∩ – знак пересечения множеств.
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис.2.5).
Если множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что эти множества не пересекаются, и пишут: А∩В=Ø.
Например, не пересекаются множества однозначных натуральных чисел и двузначных натуральных чисел, их пересечение пусто.
Если же множества А и В имеют хотя бы один общий элемент, то говорят, что множества А и В пересекаются или что пересечение множеств А и В непусто, и пишут А∩ВØ.
Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется пересечением.
Как находят пересечение множеств в конкретных случаях? Прежде чем рассматривать примеры, заметим, что согласно определению пересечения
xА∩В xА и xВ
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А∩В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т. е. их общие элементы.
А как быть, если множества заданы при помощи характеристических свойств их элементов?
Из определения следует, что характеристическое свойство множества А∩В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Найдем, например, пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А∩В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24А∩В поскольку число 24 четное и двузначное.
Если А – множество тупоугольных треугольников (здесь характеристическое свойство а – «быть тупоугольным треугольником»), а В–множество равнобедренных треугольников (характеристическое свойство элементов этого множества в– «быть равнобедренным треугольником»), то множеству А∩В принадлежат треугольники, которые являются и тупоугольными, и равнобедренными, т.е. тупоугольные равнобедренные треугольники.
A
A
B

B


рис. 2.5
рис. 2.6

Выясним теперь, что представляет собой пересечение множества А– четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В (рис. 2.6). Следовательно, А∩В=В.
2.4.2 Объединение множеств
Рассмотрим еще один из способов получения нового множества из двух данных. Для того чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 – это 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит пересчитать эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки полученной совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 + 3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.
В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.
Определение Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из заданных множеств А или В.
Объединение множеств А и В обозначают АВ, где символ - знак объединения множеств. Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется объединением.
Если изобразить пересекающиеся множества А и В при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 2.7).
Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так, как это сделано на рисунке 2.8.
Как находят объединение множеств в конкретных случаях? Прежде чем рассматривать примеры, заметим, что согласно определению объединения
xА В xА или xВ
Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти АВ, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А или В, т.е. хотя бы одному из множеств.
Так, если А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}, то АВ = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
А как быть в том случае, когда множества заданы при помощи характеристических свойств их элементов? Из определения следует, что характеристическое свойство множества АВ составляется из характеристических свойств множеств А и В с помощью союза «или».
Найдем, например, объединение множества А - четных чисел и множества В - двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А–«быть четным числом», а свойство элементов множества В – «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых – «быть четным или двузначным числом». Такие числа образуют бесконечное множество, но сформулированное характеристическое свойство позволяет однозначно определять, содержится тот или иной элемент в объединении множеств А и В или нет. Например, в АВ есть числа: 8, поскольку оно четное; 17, поскольку оно двузначное; 36, поскольку оно четное и двузначное.
Выясним теперь, что представляет собой объединение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Ранее было установлено, что ВА. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и В, будут элементы множества А (рис. 2.9). Следовательно, в данном случае АВ= А.

B
A
A

B
A

B

рис. 2.8
рис. 2.9
рис. 2.7

2.4.3 Дополнение подмножества. Разность множества
Пусть В – подмножество множества А. Тогда множество всех элементов, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к подмножеству В и обозначают ВА. Так, если А – множество учащихся в некотором классе, а В – множество девочек в нем, то ВА есть множество мальчиков в этом классе.
При помощи кругов Эйлера данные множества А, В можно изобразить так, как на рисунке 2.10, где заштрихована та часть, которая осталась после удаления из множества А подмножества В.
Определение. Пусть BA. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
Дополнение множества В до множества А (при условии, что BA) обозначают так: А\В. Дополнение к множеству В в универсальном множестве I обозначают . Например, если I- множество всех треугольников, а В-множество прямоугольных треугольников, то дополнением к множеству В является множество треугольников, которые не являются прямоугольными.
Операция, при помощи которой находят дополнение подмножества, называется вычитанием.
Как находят дополнение подмножества в конкретных случаях? Прежде чем рассмотреть пример, заметим, что согласно определению дополнения
xА\В xА и xВ
Если элементы множества А и В перечислены, то, чтобы найти А, надо из множества А удалить все элементы, которые есть В.
Так, если А={1, 2, 3, 5}, а В={1, 5}, то А={2, 3}. Говорят, что множество А можно найти, если из множества А вычесть множество В.
Производить вычитание множества В их множества А можно и в том случае, когда множество В не является подмножеством А.
Определение Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят те элементы, которые принадлежат А и не принадлежат В.
Разность множеств обозначают А\В. Если элементы множества А и В перечислены, то, чтобы найти А\В, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В.
Так, если А={а, в, с, d, е}, а В={l, k, d, е }, то А\В = {а, в, с}.
При изображении множеств А и В при помощи диаграмм Эйлера-Венна множество А\В имеет вид заштрихованной области (рис 2.11).
В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В (BA), характеристическое свойство множества А\В имеет вид
xА и xВ.
Найдем дополнение множества В до множества А при условии, что А – это множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4, и определим, содержатся ли в этом дополнении числа 20 и 26.
Так как все числа, кратные 4, четные, то BA. Если из множества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные числа, не кратные 4. Значит, А\В – множество четных чисел, не кратных 4.
Характеристическое свойство элементов этого множества – «быть четным числом и не кратным 4».
Нетрудно видеть, что 20А\В, поскольку 20– четное число и кратно 4, а 26А\В, так как 26 – четное число и не кратно 4.
Разность двух фигур часто рассматривается в геометрии, определяя ее следующим образом. Разностью двух фигур F1 и F2 называется множество всех точек фигуры F1, которые не принадлежат фигуре F2. так разностью двух фигур – прямоугольника АВСD и круга (рис 2.12) будет заштрихованная фигура, не содержащая точек дуги АВ.
Понятие дополнения одного множества до другого используют в начальном курсе математики, в качестве основы введения вычитания натуральных чисел.
A
B
B
A
A\B
C
B


O




D
A

рис.2.10
рис.2.11
рис.2.12

2.4.4 Декартово умножение множеств
В начальных классах учащиеся решают задачу: «Используя цифры 1, 2, 3, образовать всевозможные двузначные числа». Путем перебора дети получают:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Запись каждого полученного числа состоит из двух цифр, причем существен порядок их следования: например, из цифр 1 и 2 образовано два различных числа 12 и 21.
В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче мы имеем дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято обозначать (а, b), причем элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b – второй координатой (компонентой) этой пары. Пары (а, b) и (с, d) равны только в том случае, если а = с и b = d.
В упорядоченной паре может быть, что а=b. Так, числа 11, 22, 33 можно рассматривать как упорядоченные пары (1, 1), (2, 2), (3, 3).
Вернемся еще раз к задаче, рассмотренной выше. В ней мы, по существу, оперировали множеством {1, 2, 3}, из элементов которого образовали всевозможные упорядоченные пары.
Можно образовывать упорядоченные пары и из элементов двух различных множеств. Например, возьмем множества А={1, 2, 3} и В={3, 5} и образуем всевозможные упорядоченные пары так, что первая компонента выбирается из множества А, а вторая компонента – из множества В. Получим множество:
{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}.
В данную задачу, носящую формальный характер, можно вложить конкретный смысл – образовать всевозможные двузначные числа так, что цифра десятков выбирается из цифр 1, 2, 3, а цифра единиц может быть 3 или 5.
В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Определение Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают АВ. Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств.
Элементы декартова произведения двух конечных множеств удобно записывать при помощи прямоугольной таблицы. Например, декартово произведение множеств А={1, 2, 3} и В={3, 5} можно представить в виде таблицы (см. таблицу 2.1):
Таблица 2.1
A B 3 5
1 (1,3) (1,5)
2 (2,3) (2,5)
3 (3,3) (3,5)
В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют еще кортежами. Так, (1,5,6) –кортеж длины 3 (т.е. в нем три элемента), а (7,8,9,4,3) – кортеж длины 5.
Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартова произведения п множеств.
Определение Декартовым произведением множеств А1, А2, ..., Ап называется множество кортежей длин п, образованных так, что первая компонента кортежа принадлежит множеству A1, вторая – множеству А2, ..., п-я – множеству Ап.
Обозначают декартово произведение множеств А1 А2, ..., Ап так:А1А2...Ап.
Найдем декартово произведение множеств А1, А2, А3, если А1={2, 3}, А2={3, 4, 5}, А3={7, 8}.
Элементами декартова произведения А1А2А3 будут кортежи длины 3, образованные так: первая компонента будет выбираться из множества А1, вторая – из множества А2 третья – из множества Аз. В итоге получим:
А1А2А3 ={(2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8), (3, 3,7), (3,3,8), (3, 4, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.
2.4.5 Графическое изображение декартова произведения множеств
Когда множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, найти их декартово произведение несложно. А если множества А и В бесконечны?
Как представить, например, декартово произведение множества А натуральных чисел, больших 3, и множества В натуральных чисел, больших 5?
Круги Эйлера в этом случае помочь не могут. В математике нашли выход из этой ситуации. Оказывается, наглядное изображение декартова произведения двух числовых множеств, можно получить при помощи координатной плоскости. Понятие координат точек на прямой и на плоскости было впервые введено в геометрию французским ученым и философом Рене Декартом в XVII веке. По его имени прямоугольные координаты на плоскости называют еще и декартовыми.
Но как связано с именем Декарта, жившего в XVII веке, понятие декартова произведения множеств, введенное в математику в конце XIX века? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним, как используют прямоугольную систему координат, для наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств.
Пусть А и В - числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В. Изобразим его на координатной плоскости.
1. Пусть А={1, 2, 3}, В={3, 4, 5, 6}. Тогда АВ={(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3,3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}. Это множество АВ можно изобразить геометрически в виде множества точек координатой плоскости, изобразив при этом множество А на оси Ох, а множество В на оси Оy (рис. 2.13).
2. Пусть А={1, 2, 3}, В=[3, 5], тогда множество АВ на координатой плоскости изображается в виде отрезков РМ, KL,SQ (рис. 2.14).
3. Пусть А=[-1, 3] и В=[-3, 1], тогда множество АВ геометрически представляет собой квадрат (рис. 2.15).
4. Если ли же А=]-1, 3[ и В=]-3, 1[, то АВ представляет собой внутреннюю область того же квадрата (рис. 2.16).
5. Пусть А=[-1, 1] и В=R, тогда АВ представляет собой полосу, опоясывающую ось Оy (рис. 2.17), ВА - полосу, опоясывающую ось Ох ( рис. 2.18).
6. Пусть А=В=R, тогда АВ=R2- множество всевозможных пар вещественных чисел. Геометрически оно изображается всей координатной плоскостью. Поэтому множество R2 называют так же числовой плоскостью.
Рассмотренные примеры показывают, что название «декартово произведение множеств» не случайно: в нем отражается тесная связь между множеством упорядоченных пар чисел и его представлением в декартовой прямоугольной системе координат.
y
6
5
4
3

y
o

x
1 2 3
A
B

1
o
3
-1
x
5
3
P K S
M L Q

рис.2.13 рис.2.14 рис.2.15
-3
x
0 1 2 3

АВ

3
o
1
-3
x
-1
y
y
y
x
o
1
-1

1


o
АВ
АВ
x
-1

АВ

рис.2.16 рис.2.17 рис.2.18

2.5. Законы операции над множествами
2.5.1 Законы пересечение и объединение множеств
Операции пересечения и объединения множеств обладает рядом свойств.
1. Пересечение и объединение множеств коммутативно: для любых множеств А и В справедливы равенства А∩В=В∩А и АВ=ВА. Это свойство вытекает из определения операции пересечения и объединения множеств А и В.
2. Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств А, В, С имеем А∩ (В∩С) =(А∩В)∩С и А (ВC) (АВ) С.
Назначение скобок в этих записях то же, что и в записях операций над числами.
Наглядно представить сочетательные законы можно при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, сочетательный закон пересечения множеств. Изобразим множества А,В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. В выражении (А∩В)∩С скобки определяют порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А∩В – оно отмечено на рисунке 2.19, вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если отметить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество (А∩В)∩С.
рис.2.20

Обратимся теперь к рисунку 2.20. Здесь сначала выполняется пересечение множеств В и С – оно отмечено на рисунке вертикальной штриховкой, а затем
рис.2.19

находят пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А∩ (В∩С).
Видим, что области, представляющие на рисунке множества (А∩В)∩С и А∩(В∩С), одинаковы, что и подтверждает справедливость сочетательного закона пересечения множеств.
Аналогично можно выполнить иллюстрацию и для сочетательного закона объединения множеств.
Каково назначение рассмотренных сочетательных законов? Они объясняют, как находить пересечение и объединение трех множеств, зная правило для двух. Кроме того, на основании сочетательных законов скобки в выражениях (А∩В)∩С и А∩(В∩С) можно опускать и писать: А∩В∩С, АВС. Сочетательные законы пересечения и объединения множеств можно распространить на любое число множеств.
3. Если AB, то А∩В=А, АВ=В
Действительно, если А–подмножество множества В, то эти множества изображаются так, как показано на рис. 2.21. Элементами, принадлежащими одновременно А и В, являются элементы множества А, т.е. А∩В=А.
В частности, для любого множества А имеем:
А∩А=А, А∩Ø=Ø, АА=А, АØ=А.
Пересечение и объединение множеств связаны друг с другом распределительными (дистрибутивными) законами: для любых множеств А, В и С справедливы равенства
(АВ)∩С=(А∩С)(В∩С) (1)
(А∩В)С=(АС)∩ВC)(2)
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что операция пересечения более «сильная», чем объединения. В связи со сказанным запись распределительного закона пересечения относительно объединения (1) можно упростить, опустив скобки в правой части равенства
(АВ)∩С=А∩СВ∩С
Свойства дистрибутивности (как, впрочем, и предыдущие три свойства) иллюстрируются на диаграммах Эйлера – Венна.
Выясним теперь, из каких чисел состоит множество А\В∩С, если А–множество четных чисел, В–множество чисел, кратных 4, С–множество чисел, кратных 6. В записи множества А\В∩С, нет скобок. Возникает вопрос: какое действие выполнять первым? Условились считать, что операция пересечения множеств является более «сильной», чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий над множествами в записи А\В∩С, следующий: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.
Пересечение множеств В и С состоит из чисел, кратных 4 и 6. Если удалить это пересечение из множества А, то в нем останутся четные числа, не кратные 4 и 6 (одновременно). При помощи кругов Эйлера данные множества А, В и С можно изобразить так, как на рисунке 2.22. Дополнение пересечения множеств В∩С, до множества А на нем изображено штриховкой.
B
C
A

В

A

рис. 2.22
рис. 2.21

2.5.2 Законы декартова умножения множеств
Декартово умножение множеств не обладает переместительным (коммуникативным) свойством, т.е. существуют такие множества А и В, что АВВА. Чтобы убедиться в этом, достаточно образовать декартовы произведения АВ и ВА для таких, например, множеств: А={1, 2, 3}, В={3, 5}.
Множество АВ={(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)}, было получено нами раньше, а множество ВА={(3,1), (3,2), (3,3), (5,1), (5,2), (5,3)}. Нетрудно видеть, что АВВА, так как множества АВ и ВА состоят из различных элементов.
Декартово умножение множеств не подчиняется и сочетательному закону, но связано с операциями объединения, пересечения и вычитания множеств распределительным свойством: для любых множеств А, В и С имеют место равенства:
(АВ)С =(АС)(ВС) (1)
(А∩В)С =(АС)∩(ВС) (2)
(А\В) С =(АС)\ (ВС) (3)
С(АВ) =(СА) (СВ) (4)
С(А∩В) =(СА)∩ (СВ) (5)
С(А\В) =(СА)\ (СВ) (6)
т.е. операция образования декартового произведения дистрибутивна справа и слева относительно объединения, пересечения и разности. Необходимость рассмотрения дистрибутивности и справа и слева вызвана некоммуникативностью операции образования произведения (эти свойства мы примем без доказательства).
2.6 Понятие разбиения множества на классы
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.
Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний.
Например, в биологии имеется классификация животных, охватывающая до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике – классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это многообразие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений или животных.
Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше развернутого) бывают острые, прямые и тупые.
Каким условиям должна удовлетворять правильно выполненная классификация?
Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество
разбито на непересекающиеся подмножества или классы.
Считают, что множество X разбито на классы Х1, Х2, ..., Хп, если:
1) подмножества Х1, Х2,..., Хп попарно не пересекаются;
2) объединение подмножеств Х1, Х2 ,..., Хп совпадает с множеством X.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.
Так, множество X треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются (среди остроугольных треугольников нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных – тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством X.
Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества X на классы мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, (все равносторонние треугольники являются равнобедренными).
Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.
2.6.1 Разбиение множества на классы с помощью одного свойства
Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами.
Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество В - чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел (рис. 23).
Выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.
Таким образом, задание одного свойства элементов множества определяет разбиение этого множества на два класса В и .
2.6.2 Разбиение множества на классы с помощью двух свойств
А каким будет разбиение множества на классы, если для его элементов указать два свойства, т.е. выделить из множества два различных подмножества?
Обратимся к примерам.
Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А – подмножество чисел, кратных 3, В – подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 2.24). Проанализируем получившуюся картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел, разбился на 4 непересекающиеся области – они пронумерованы римскими цифрами. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Определим, какие числа оказались в каждом из этих непересекающихся подмножеств:
- подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5;
- подмножество II– из чисел, кратных 3 и не кратных 5;
- подмножество III– из чисел, кратных 5 и не кратных 3;
- подмножество IV– из чисел, не кратных 3 и не кратных 5.
Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.
Таким образом, выделение двух свойств натуральных чисел привело к разбиению множества натуральных чисел на 4 класса:
- класс чисел, кратных 3 и 5;
- класс чисел, кратных 3 и не кратных 5;
- класс чисел, кратных 5 и не кратных 3;
- класс чисел, не кратных 3 и не кратных 5.
Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества приводит к разбиению этого множества именно на 4 класса. Так бывает не всегда. Например, при помощи двух свойств «быть прямоугольным» и «быть тупоугольным» множество треугольников разбивается на 3 класса (рис 2.25)
- класс прямоугольных треугольников;
- класс тупоугольных треугольников;
-класс треугольников, не являющихся ни прямоугольными, ни тупоугольными треугольниками (на рисунке он заштрихован).
Числа не кратные 3
8
прямоугольные треугольники

IV
N
N

6
5
A
III
II
2
B
A

Числа кратные 3
4
I
3
1

тупоугольные треугольники
B
C
7

рис. 2.23 рис. 2.24 рис. 2.25 рис. 2.26


2.6.3 Разбиение множества на классы с помощью трех свойств
Пусть универсальное множество М- множество студентов первого курса. С помощью свойств «быть отличником», «быть спортсменом», «быть участником художественной самодеятельности» выделяем подмножества: А- отличников, - неотличников, В-спортсменов, - неспортсменов, С-участников художественной самодеятельности, - студентов, не являющихся участниками художественной самодеятельности.
С помощью этих трех свойств осуществляется разбиение множества М на 8 попарно непересекающихся подмножеств (классов) (рис. 2.26).
(1)- А∩В∩С – множество студентов, являющихся отличниками, спортсменами и участниками художественной самодеятельности;
(2)- А∩В∩ – множество студентов, являющихся отличниками и спортсменами, но не участниками художественной самодеятельности;
(3)- ∩В∩С – множество студентов, являющихся спортсменами и участниками художественной самодеятельности, но не отличниками;
(4)- ∩В∩С – множество студентов, являющихся отличниками и участниками художественной самодеятельности, но не спортсменами;
(5)- А∩∩ – множество студентов, являющихся только отличниками, т.е. отличниками, но не спортсменами и не участниками художественной самодеятельности;
(6)- ∩В∩ – множество студентов, являющихся только спортсменами;
(7)- ∩∩С – множество студентов, являющихся только отличниками участниками художественной самодеятельности;
(8)- ∩∩ – множество студентов, не являющихся ни отличниками, ни спортсменами, ни участниками художественной самодеятельности.
Разумеется, некоторые из множеств (1)-(8) могут оказаться пустыми, и тогда получим разбиение множества М на меньшее, чем 8, число классов.
Вопросы для самоконтроля:
1. Приведите примеры конечного, бесконечного и пустого множеств.
2. Определите понятия «Пустое множество», «Равные множества», «Универсальное множество», «Подмножество».
3.Назовите основные способы задания множеств.
4. Сформулируйте определение пересечения и объединения множеств.
5. Что называется дополнением множества?
6. Как находят дополнение подмножества?
7. Сформулируйте определение декартового произведения множеств.
8. Сформулируйте законы пересечения и объединения множеств.
9. Сформулируйте законы декартового произведения множеств.
10.Сформулируйте условия разбиения множества на классы.
Литература:
1. Виленкин Н.Я., А.М. Пышкало, В.Б.Рождественская, Л.П. Стойлова. Математика. Учебное пособие для студентов пед. Институтов по специальности «Педагогика и методика начального обучения». М. «Просвещение», 1977, стр.25-38.
2. Мерзон. А.Е., А.С. Добротворский, А.Л. Чекин. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов.- М.:Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО«МОДЭК»,1998,с.6-36
3.Пышкало А.М., Л.П. Стойлова, Н.П. Ирошников, Д.Н.Зельцер. Теоретические основы начального курса математики. Учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. Училищ, М., «Просвещение», 1974, с.5-41
4. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ»- М. Просвещение, 1988г. с 61-97
5. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. (для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов.) Минск, «Вышэйшая школа», 1975, с.5-27
6. Столяр А.А., Н.М. Рогановский. Основы современной школьной математики. Ч. I. Язык. Множества. Отношения. Функции. Математические структуры. Минск, «Народная асвета», 1975, с.69
Лекция №3
Тема: Элементы теории графов
Цель:
сформировать представление об основных понятиях одного из бурно развивающихся разделов математики - теории графов; знать основные виды графов, теорему Эйлера о плоском графе; уметь строить ориентированные графы и использовать их при решении занимательных задач.
3.1. Понятия теории графов
3.2. Граф. Виды графов
3.3. Связные графы. Уникурсальные фигуры
3.4. Плоские графы. Теорема Эйлера о плоском графе
3.1 Понятия теории графов
Начало теории графов относят к 1736г., когда швейцарский математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707–1783) решил популярную в то время задачу о кёнигсбергских мостах, и нашел критерий существования в графе специального маршрута (эйлерова цикла, как теперь его называют). Этот результат более ста лет оставался единственным результатом теории графов. Лишь в середине XIX века инженер-электрик Г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для исследования электрических цепей, а математик А. Кэли в связи с описанием строения углеводородов решил перечислительные задачи для трех типов деревьев. К этому же периоду относится появление знаменитой проблемы четырех красок.
Родившись при решении головоломок и занимательных игр (задачи о шахматном коне, о ферзях, «кругосветное путешествие», задачи о свадьбах и гаремах и т.п.), теория графов стала в настоящее время простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем. Графы буквально вездесущи. В виде графов можно, например, интерпретировать схемы дорог и электрические цепи, географические карты и молекулы химических соединений, связи между людьми и группами людей.
Широкое развитие теория графов получила в 50-ых гг. XX века в связи со становлением кибернетики и развитием ВТ, и превратилась в один из наиболее бурно развивающихся разделов математики. Главное в содержании этого раздела - исследование графов.
В значительной степени через теорию графов происходит проникновение математических методов в науку и технику. Все это привело к тому, что теория графов появилась и в учебных планах педагогических институтов, в том числе и в программе по дисциплине «Основы начального курса математики» по специальности 050102 – «Педагогика и методика начального обучения».
3.2. Граф. Виды графов
3.2.1 Понятие о графах
Несмотря на то, что начальные задачи теории графов восходят еще к Эйлеру (XVIII в.), термин «граф» впервые появился в книге выдающегося венгерского математика Д. Кёнига в 1936 г.
Определение Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами; некоторые их них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.
Вершины и ребра графа называются его элементами, а число вершин графа называют его порядком.
Графы (от греческого слова «графо» — «пишу») удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек и направленных линий (стрелок), соединяющих некоторые из этих точек.
Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями, что дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук - топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.
Топология – одна из математических наук, возникшая во второй половине в., и изучающая те свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия непрерывности.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Графы используются при решении различных задач на нахождение наилучших вариантов развозки почты, товаров по магазинам, материалов по стройкам. В строительстве графы используются при планировании проведения работ. Графы часто используются для решения логических задач, связанных с перебором вариантов. В терминах графов легко формулируется, и решается задача о назначении на должности.
Типичным примером графа служит сеть железных дорог на географической карте: кружочки обозначают станции - вершины графа, а соединяющие их пути - ребра.
434340080772000На рис. 3.1 изображены колеса Wп (п = 3, 4, 5), а на рис.3.2 изображен граф Петерсена.
34290025463500 рис3.1 рис3.2
3.2.2 Виды графов
Отметим на плоскости различные пять точек , , C, D, E, полученный граф называется пустым (рис.3.3). Состоит он из изолированных точек (называемых его вершинами).
Определение Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Пустой граф порядка п обозначается 0п ,в данном случае 05.
. .
. C C
E. . D E D

рис.3.3 рис.3.4
Если вершины этого графа соединим линиями, как показано на рис.3.4: точка А соединена с тремя точками (C, D, E), точка В с тремя точками (C, D, E), точка D- с двумя точками (А, В), то получим граф, который называется неполным.
Иногда приведенное выше определение графа оказывается недостаточным и приходится рассматривать более общие объекты, в которых две вершины могут соединяться более чем одним ребром (т.е. допускаются кратные ребра). Такой граф называют «мультиграф» (рис 3.5).
1291590-381000 рис 3.5 рис 3.6
Кроме кратных ребер допускаются еще петли, т.е. ребра, соединяющие вершину саму с собой. Так возникает понятие «псевдограф» (рис 3.6).
Изучаются также ориентированные графы. Ориентированный граф (или орграф) содержит ориентированные ребра, которые называются дугами. Дуги отмечаются стрелками, указывающими направление от начала к концу (рис.3.7). Аналогично определяется ориентированный мультиграф (рис.3.8).
Рассматриваются также смешанные графы, у которых есть и дуги, и неориентированные ребра.

рис.3.7 рис.3.8
Изменив расположение вершин графа на плоскости, можно получить различные виды одного и того же графа (рис 3.9). Такие графы называются одинаковыми или изоморфными, так как:
между множествами их вершин можно установить взаимно - однозначное соответствие;

если две вершины одного графа соединены одним ребром, то соответствующие вершины другого графа так же соединены одним ребром.

рис.3.9
Определение Граф называется полным, если любые две его вершины соединены ребром.
122491577597000487299065722500305371565024000Полный граф порядка п обозначается символом Кп , число ребер в нем равно . На рис.3.5 изображены графы Кп , п5.
рис. 3.10
Определение Число ребер, выходящих из одной вершины графа называют степенью (или валентностью) вершины графа. Степень вершины может равняться 0, степени разных вершин могут быть одинаковыми, а могут быть различны. Вершина степени 0 называется изолированной, вершина степени 1 – концевой (или висячей). Вершина графа, смежная с каждой другой его вершиной называется доминирующей.
Если число ребер, выходящих их одной вершины четно, то вершина называется четной, а если нечетно, то вершина называется нечетной.
Рассмотрим сумму степеней всех вершин графа. Каждое ребро вносит в эту сумму 2, поэтому верно
Утверждение («лемма о рукопожатиях»). Сумма степеней всех вершин графа – четное число, равное удвоенному числу ребер.
Возможная интерпретация этой леммы такова: поскольку в каждом рукопожатии участвуют две руки, то при любом числе рукопожатий общее число пожатых рук четно (при этом каждая рука учитывается столько раз, во скольких рукопожатиях она участвовала).
Следствие. В любом графе число вершин нечетной степени четно.
Понятие степени вершины и лемма о рукопожатиях сохраняется для мульти - и псевдографов. При этом каждая петля вносит в степень соответствующей вершины двойку.
Определение. Граф, степени всех вершин которого равны, называется регулярным (или однородным). Степень вершин регулярного графа называется его степенью.
229171576390500112014072580500555879089725500399669073533000Все полные графы регулярны. Регулярны графы пяти платоновых тел (т.е. правильных многогранников): тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра (рис. 3.11).
550164014706600040824151432560001043940139446000тетраэдр куб
47586901563370002329815155384500212979033655000октаэдр додекаэдр
икосаэдр
рис.3.11
Изменив расположение вершин графа на плоскости, можно получить различные виды одного и того же графа (рис 3.9). Такие графы называются одинаковыми или изоморфными, так как:
между множествами их вершин можно установить взаимно - однозначное соответствие;
если две вершины одного графа соединены одним ребром, то соответствующие вершины другого графа так же соединены одним ребром.
3.3 Связные графы. Уникурсальные фигуры
Линия, проходящая через вершины и ребра графа, называется маршрутом.
Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме возможно, крайних, различны.
Маршрут называется циклическим, если его начало и конец совпадают. Циклическая цепь называется циклом, а простая циклическая цепь называется простым циклом.
На рис. 3. 12 показаны простые циклы и простые цепи.

рис. 3.12
Если любые две его несовпадающие вершины графа соединены простой цепью, то он (граф) называется связным. Это значит, что в связном графе нет ни одной изолированной точки (рис.3.13).

В противном случае, граф называют несвязным (рис.3.14).
рис. 3.13 рис. 3.14

Если цикл, в графе, содержит все его ребра, то граф называется эйлеровым. Связный граф, в котором есть эйлеров цикл, называется эйлеровым (или уникурсальным) графом. Такой граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий.
Граф в том, и только в том, случае уникурсален, если в каждой его вершине, кроме, может быть, двух, сходится четное число ребер.


С уникурсальными графами связана так называемая задача о кёнигсбергских мостах, рассмотренная Л. Эйлером. Семь мостов города Кёнигсберга были расположены на реке Преголь так, как, изображено на рис. 3.15. Вопрос состоит в том, можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу. Сопоставим с планом города граф, вершины которого соответствуют четырем разделяемым рекой участком суши , , C, D, а ребра – мостам. Этот мультиграф изображен на рис. 3.16. В этом графе в каждой вершине сходится нечетное число ребер, и потому граф не уникурсален, т.е. требуемого маршрута прогулки не существует.
рис. 315 рис.3.16 рис. 3.17
Помимо задачи о кёнигсбергских мостах известен ряд старинных занимательных задач, решение которых связано с эйлеровым графом. В одной из них требуется обрисовать фигуру, именуемую саблями (знаками) Магомета (рис. 3. 17), не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий.
Приведем еще один пример. Поскольку граф – это фигура, то примером уникурсальной фигуры служит граф, изображенный на рис. 3.18. а фигура, изображенная на рис.3.19 не уникурсальна.

рис. 3.18 рис. 3.19 рис. 3.20
В начальных классах ученики решают задачи, на построение таких фигур.
Например, в 1классе ([4], стр. 94, 108) ученикам предлагают задания вида: Начерти фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий.
В 4 классе ([4], стр. 189) ученики выполняют более сложные задания:
Начерти фигуры, изображенные на рисунке, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий. Для каждой фигуры определи начальную точку. Сколько таких точек и сколько линий сходятся в них?
Надо отметить, что эйлеровы графы достаточно редки. Верна следующая
Теорема Почти нет эйлеровых графов.
Граф называется гамильтоновым, если в нем имеется простой цикл, содержащий каждую вершину этого графа. Сам этот цикл также называется гамильтоновым. Гамильтоновой называют и простую цепь, содержащую каждую вершину графа. Слово «гамильтонов» в этих определениях связано с именем известного ирландского математика У. Гамильтона, которым в 1859 году предложил игру «Кругосветное путешествие». Каждой из двадцати вершин додекаэдра приписано название одного из крупных городов мира. Требуется, переходя от одного города к другому по ребрам додекаэдра, посетить каждый город в точности один раз и вернуться в исходный город.
Эта задача, очевидно, сводится к отысканию в графе додекаэдра (рис. 3.20) простого цикла, проходящего через каждую вершину этого графа.
Но не все связные, графы гамильтоновы. Ответить на вопрос, является ли данный граф гамильтоновым, как правило, очень сложно. Изучение условий гамильтоновности графов – одно из популярных направлений теории графов. В теории графов особое положение занимают связные графы, которые называются деревьями.
Деревья открывались независимо несколько раз. Еще в прошлом веке Г. Кирхгоф ввел деревья и применил их к исследованию электрических цепей, а А. Кэли, перечисляя изомеры насыщенных углеводородов, еще раз открыл деревья и первым исследовал их свойства. Тогда же деревья были введены и исследованы К. Жорданом как чисто математический объект.

Определение Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. Любой граф без циклов называется ациклическим (или лесом). Таким образом, компонентами леса являются деревья. На рис. 3.21 изображены все деревья шестого порядка.
рис. 3.21
Обобщим основные свойства графов:
В любом графе число вершин нечетной степени четно. Нарисовать граф, у которого число вершин нечетной степени нечетно, невозможно.
Если все вершина графа четны, то его можно нарисовать, не отрывая
карандаша от бумаги и не повторяя линий. Движение можно начать с любой точки и закончить его в той же точке.
Граф, число нечетных вершин которого равно 2 можно и не повторяя линий. В этом случае, движение необходимо начать с любой из этих нечетных вершин и закончить его в другой нечетной вершине.
Не отрывая карандаша от бумаги, невозможно нарисовать граф, у которого число вершин нечетной степени больше 2.
3.4 Плоские графы. Теорема Эйлера о плоском графе
Во многих случаях не имеет значения, как изображать граф, поскольку изоморфные графы несут одну и ту же информацию. Однако встречаются ситуации, когда важно выяснить, возможно, ли нарисовать граф на плоскости так, чтобы его изображение удовлетворяло определенным требованиям. Например, в радиотехнике при изготовлении микросхем печатным способом электрические цепи наносятся на плоскую поверхность изоляционного материала. Так как проводники не изолированы, то они не должны пересекаться. Аналогичная задача возникает при проектировании железнодорожных и других путей, где не желательны переезды.
Таким образом, возникает понятие плоского графа.
Определение. Плоским графом называют граф, вершины которого являются точками плоскости, а ребра - непрерывными плоскими линиями без самопересечений, соединяющими соответствующие вершины так, что никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины.
Примеры плоских графов приведены на рис. 3.22



рис. 3.22
Для плоского графа справедлива теорема Эйлера (1758г.).
Теорема. Для всякого связного плоского графа верно равенство В-Р+Г=2, где В-число вершин, Р - число ребер графа, а Г- число его граней (областей).
(Гранями плоского графа называют части, на которые этот граф разбивает плоскость).
Равенство В-Р+Г=2, называют формулой Эйлера.
Докажем теорему:
Пусть G – связный плоский п - вершинный граф. Рассмотрим некоторый остов Т этого графа. Очевидно, что дерево Т имеет одну грань (внешнюю) и п вершин. В то же время известно, см. теорему 13.1,([1], стр. 53), что число ребер дерева Т равно п-1. По этому для графа Т формула Эйлера верна. Теперь будем поочередно добавлять к Т недостающие ребра графа G. При этом на каждом шаге число
вершин, естественно, не меняется, а число ребер и число граней увеличивается на единицу на основании свойства 3 ([1], стр. 154).
Следовательно, формула верна для всякого графа, получающегося в результате операции (шагов), а поэтому она верна и для графа G, которым заканчивается данная процедура.
9372606731000Пример:
Дан связный плоский граф (рис.3.23).
В=5, Р =7, Г=4.
Тогда по теореме Эйлера
В-Р+Г=2,
получим
5-7+4=2.
рис. 3.23
Теорема Эйлера справедлива для любого выпуклого многогранника.
Теорема. У всякого выпуклого многогранника сумма числа вершин В и числа граней Г без числа ребер Р равна двум: В + Г- Р = 2.
Доказательство этой формулы было опубликовано Л.Эйлером в 1758г. в «Записках Петербургской академии наук».
Вопросы для самоконтроля:
Раскройте смысл понятия граф.
Сформулируйте основные свойства графа.
Назовите виды графов.
Какие фигуры называются уникурсальными?
Какой граф называют плоским?
Сформулируйте и докажите теорему Эйлера о плоском графе.
Раскройте смысл понятий «связный граф», «несвязный граф».
Сформулируйте основные свойства полного графа.
Сформулируйте основные свойства связного графа.
Литература:
1.Лекции по теории графов. Емельчиев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. - М.: Наука. Физматлит, 1990.
2. Оспанов Т.К. Математика. Учебное пособие - Алматы, 2000, стр.26-33.
3. Оспанов Т.К. и др. Математика. Учебники для 1-4 классов общеобразовательной школы.- Алматы., «Атамұра», 1997-2004.
4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.
Лекция 4 Тема: Соответствия и отношения (2ч)
Цель:
сформировать представление об одном из фундаментальных понятий математики - соответствиях между множествами, отображениях и отношениях на множестве; знать виды, свойства и способы задания соответствий, отображений и отношений; уметь строить граф и график соответствия между множествами, и отношения на множестве.
Понятие соответствия. Граф и график соответствия
Отображения. Равномощные множества
Отношения на множестве и их свойства
Отношения эквивалентности. Разбиение множества на классы
Отношение порядка. Упорядоченные множества
4.1 Понятие соответствия. Граф и график соответствия
4.1.1 Понятие соответствия
В математике изучают не только объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения, а так же соответствия между ними. По числу предметов, находящихся в данном отношении, отношения делятся на: бинарные (двуместные, двучленные), т.е. отношения между двумя предметами, тернарные (трехместные, трехчленные), т.е. отношения между тремя предметами, и вообще п-арные (п-местные, п- членные), т.е. отношения между п предметами.
Важную роль в математике, в том числе и в школьной математике, занимают бинарные отношения (слово «бинарный» происходит от латинского слова bis, означающего «дважды», и показывает, что речь идет о двух множествах X и Y).
Так, усвоение одного из ведущих понятий начального курса математики - понятия натурального числа — происходит благодаря изучению различных взаимосвязей между числами. Например, выясняется, что:
число 5 больше числа 2; число 10 больше числа 8 на 2; число 7 следует за числом 6, т.е. числа связаны различными отношениями: «больше», «больше на», «следует за» и др.
В геометрии изучают параллельность и перпендикулярность прямых, равенство и подобие фигур, т.е. различные отношения между геометрическими объектами.
Бинарные отношения встречаются не только в математике. Примером бинарного отношения между людьми служит отношение: «Человек х — друг человека у», «х живет в одном доме с у», «Человек х — отец человека у».
В этих примерах речь идет об отношениях между элементами одного и того же множества.
Можно говорить и о соответствиях между элементами различных множеств
— например, утверждение «Офицер а служит в роте b» задает соответствие между множеством офицеров и множеством рот.
Сравнивая множества, мы говорим, что они пересекаются, или равны, или одно включено в другое, т.е. устанавливаем отношения между множествами.
Например, в процессе измерения длин отрезков устанавливается соответствие между отрезками и действительными числами; с помощью координатной плоскости устанавливается соответствие между точками плоскости и парами действительных чисел; т.е. между двумя множествами вводится правило, по которому для каждого элемента одного множества указывается определенный элемент или подмножество элементов другого множества. При этом допускается, что некоторым элементам первого множества может соответствовать пустое подмножество.
Если заданы непустые множества X и Y, то между ними можно установить различные соответствия, выбирая по-разному подмножества в декартовом произведении ХY.
Определение Соответствием между множествами Х и Y называется тройка множеств: множество Х, множество Y и некоторое подмножество G декартова произведения множеств ХY.
Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y- множеством прибытия соответствия, а множество GХY (т.е. множество пар) называют графиком этого соответствия.
Условимся соответствия между множествами обозначать буквами R, P, Q, S, T.
Одно из фундаментальных понятий математики - понятие соответствия между множествами не только лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображения, но и находит широкое применение в других науках. Например:
в географии между множествами городов Х и множеством стран Y рассматривается соответствие «город х находится в стране у»;
в русском языке одно из распространенных соответствии между множеством различных слов и множеством частей речи таково: «слово х принадлежит части речи у»;
в физике часто можно встретить соответствие: «тело х имеет массу у»;
в химии: «вещество х имеет формулу у»;
в математике «площадь фигуры равна у» и т.д.
4.1.2 Граф соответствия
Соответствия между конечными множествами наглядно изображают при помощи особых чертежей, состоящих из точек и направленных линий (стрелок), идущих из одной точки в другую. Такие чертежи в математике называют ориентированными графами (от греческого слова «графо» — «пишу»).
Для этого построим диаграммы Эйлера-Венна данных множеств и изобразим их элементы точками. Затем проведем стрелки от точек, изображающих элементы множества Х к точкам, изображающим элементы множества Y так, чтобы начало стрелки было в точке, изображающей элемент х, а конец в точке, изображающей элемент у. Полученный чертеж называют графом соответствия R.
Множество концов этих стрелок называют образом элемента хХ при соответствии R и обозначают R(х). Образ состоит из элементов множества Y.
Множество начал этих стрелок называют полным прообразом элемента уY при соответствии R и обозначают R-1(у). Он состоит из элементов множества X.
Элемент множества прибытия Y может соответствовать нескольким элементам множества отправления, или одному, или он не соответствует ни одному элементу множества X. Тогда говорят, образ элемента а пуст, R(a)=0.
Совокупность А всех элементов из X, имеющих непустые образы (т.е. таких, что из них выходит хоть одна стрелка), называют множеством определения соответствия R.
Множество В всех элементов из Y, имеющих непустой полный прообраз (т.е. таких, что в них кончается хоть одна стрелка), называют множеством значений соответствия R.
-11430037719000Построим, например, граф соответствия «больше» между элементами множеств Х = {3, 5, 7, 9} и Y ={4, 6}. Для этого обозначим элементы данных множеств точками и проведем стрелки от точек, изображающих элементы множества Х, к точкам, изображающих элементы множества Y, при этом должно выполняться соответствие «больше». Так, стрелка должна идти от точки 5 к точке 4, т.к. 5 больше 4; должны быть стрелки, идущие от точки 7 к точкам 4 и 6 и т.д. В результате получаем граф соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y (рис. 4.1).
рис. 4.1
4.1.3 График соответствия
Так как график соответствия R между множествами Х и Y, есть подмножество декартова произведения ХY, то график соответствия R между множествами Х и Y можно представить в виде множества точек в прямоугольной системе координат.
Для этого изображают все пары чисел, находящихся в соответствии R, точками на координатной плоскости. Получившаяся при этом фигура и будет
графиком соответствия R. Обратно: любое подмножество точек координатной плоскости считают графиком некоторого соответствия.
Чтобы построить график соответствия «больше» между элементами множеств Х = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Запишем пары чисел, находящихся в заданном отношении: (5, 4), (7, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6). Изобразив элементы множества Х на оси Ох, элементы множества Y на оси Оу, а каждую из получившихся пар точкой на координатной плоскости, получим график соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y (рис. 4.2).
Такое представление соответствия позволяет наглядно изображать их в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел.
Рассмотрим, например, соответствие «больше» между элементами множеств Х= R и Y ={4, 6} и построим его график.
В этом случае элементы множества Х сплошь заполняют ось абсцисс, а множество Y состоит из двух элементов: 4 и 6. Так как для элементов множеств Х и Y задано отношение «больше», установим, какие числа из множества X больше числа 4. Все числа, большие 4, располагаются на оси вправо от точки, изображающей число 4. Значит, все точки, для которых абсцисса выбирается из промежутка (4, ), а ордината равна 4, образуют луч АВ (рис. 4.3). Этот луч не имеет начала, поскольку точка (4,4) графику данного соответствия не принадлежит. Аналогично все точки, для которых абсцисса выбирается из промежутка (6, ), а ордината равна 6, образует луч CD.
Таким образом, графиком соответствия «больше» между множествами Х= R и Y={4, 6} являются лучи АВ и CD, исключая точки А и С.
Заметим, что графики одного и того же соответствия «больше» для разных множеств различны. Построим график соответствия «больше» (х>у), заданного на множестве R действительных чисел, т.е. при Х=У= R.
Все числа, у которых абсцисса равна ординате, располагаются на биссектрисе 1-го и 3-го координатного углов (на рис. 4.4, она показана штрихованной линией). Все точки, у которых абсцисса больше ординаты, располагаются под биссектрисой.
Таким образом, графиком соответствия «больше», заданного на множестве R действительных чисел, является полуплоскость, расположенная под биссектрисой 1-го и 3-го координатного углов, сама биссектриса этой полуплоскости не принадлежит.
41205151619250022860017843500
20574002159000
рис. 4.2 рис. 4.3 рис.4.4
Если график соответствия R между множествами X и Y совпадает со всем декартовым произведением XY,to это соответствие называют полным. Если же график соответствия R пуст, то R называют пустым соответствием.
Например, соответствие «х питается тем же, чем у» пусто, если X — множество зайцев, a Y — множество тигров.
Полное и пустое соответствия существуют между любыми двумя множествами X и Y.
Может случиться, что графики соответствий хРу и xQу — дополнительные множества в XY (т.е. они не пересекаются, а их объединением является все XY). Такие соответствия называют противоположными.
Например, соответствие «Число х больше числа у» противоположно соответствию «Число х не превосходит числа у». Если соответствие хРу задано предикатом Р(х,у), то противоположное ему соответствие задается отрицанием этого предиката, т. е. предикатом .
Если не существует ни одной пары элементов (х;у), для которой одновременно выполнялись бы условия хРу и xQy, то соответствия хРу и xQy называют несовместимыми.
Например, для прямых несовместимы соответствия х||у и ху — две прямые не могут быть одновременно и параллельными, и перпендикулярными.
Если график соответствия хРу является подмножеством графика соответствия xQy, говорят, что xQy — следствие хРу. В этом случае для любой пары (х;у), такой, что хРу, имеем и xQy.
Например, соответствие «Треугольники х и у подобны» — следствие соответствия «Треугольники х и у конгруэнтны» — любая пара конгруэнтных треугольников подобна.
Если множества X и Y конечны, то бинарные соответствия между ними можно задать таблицами.
Например, таблица 1 задает соответствие «Школьник х дежурит в день у» между множествами X = {Алексеев; Иванова; Васильев; Петров; Сидорова; Ефремов} и Y = {понедельник; вторник; среда}.
Заштрихованные клетки таблицы образуют график рассматриваемого соответствия.
таблица 4.1
Ф.И.О. понедельник вторник Среда
Алексеев Иван Иванова Лена Васильев Дима Петров Саша Сидорова Катя Ефремов Олег 4.2 Отображения. Равномощные множества
4.2.1 Отображения и их виды
Частным случаем понятия соответствия между множествами является понятие отображения множеств.
Определение Отображением из Х в Y называют такое соответствие f между этими множествами, что образ любого хХ либо пуст, либо состоит из одного элемента.
1143005397500
На языке графов описанная ситуация означает: необязательно, чтобы от каждой точки множества X исходила стрелка, и необязательно, чтобы от каждой точки множества X исходила одна стрелка (рис 4.5).
рис.4.5
Частным случаем этого понятия является отображением множества Х в множество Y.
Определение Соответствие f между множествами X и Y, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y, называется отображением множества Х в множество Y.
Множество X называют множеством отправления отображения f, а множество Y - множеством его прибытия.
Если f- отображение множества X в множество Y, то пишут:
Х Y, Х Y, Х Y
или
f: Х Y, g: Х Y, h: Х Y.
Рассмотрим три важных вида отображений Х Y.
1. Если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента из Х, отображение называется сюръективным (сюръекцией) или отображением множества Х «на» множество Y (рис. 4.6).
Таким образом, отображение множества Х «на» множество Y является частным случаем отображения множества Х «в» множество Y.
2. Если каждый элемент множества Y является образом не более одного элемента из Х, отображение называется инъективным (инъекцией) или обратимым (рис. 4.7).
3. Если каждый элемент множества Y является образом точно одного элемента из Х, то отображение, которое является одновременно сюръективным и инъективным, называется биективным отображением (биекцией) или взаимно-однозначным соответствием, или обратимым отображением Х на Y (рис. 4.8). Обозначают его Х Y.
217170025527000-11430020447000422910014097000
рис. 4.6 рис. 4.7 рис. 4.8
С биективным отображением связано понятие обратного отображения.
Если ХY, т.е. f - биективное отображение Х на Y, то существует (так же биективное) отображение f -1:
YХ, называемое обратным по отношению к f и сопоставляющее с каждым элементом из Y точно один элемент из Х так, что если у - образ х в отображении f, то х - образ у в отображении f -1:
Нетрудно заметить, что если f -1- отображение, обратное f, то и f- отображение, обратное f -1.
Иными словами, при переходе к новому отображению области отправления и прибытия поменялись ролями — область отправления стала областью прибытия и, наоборот, область прибытия стала областью отправления. В парах (х; у), входящих в график отображения, компоненты тоже меняются местами — вместо (х; у) надо писать (у; х).
Чтобы из изображения f (рис.4.8) получить изображение обратной функции f -1 достаточно повернуть все стрелки в противоположную сторону.
Чтобы получить график отображения f -1, обратного отображению f, надо в графике соответствия f поменять местами компоненты в каждой паре.
В начальном обучении математике взаимно обратным отношениям уделяется много внимания. Уже в 1классе учащиеся должны понимать, что если 5>3, то 3<5, если отрезок АВ короче отрезка СD, то отрезок СD длиннее отрезок АВ.
Особую роль играет знание взаимосвязи между отношениями при решении текстовых задач. Например, учащийся правильно решит задачу «Стол стоит 15 р., это в 10 раз дешевле шкафа. Сколько стоят стол и шкаф вместе?» только при условии понимания того факта, что если стол дешевле шкафа в 10 раз, то шкаф дороже стола в 10 раз.
4.2.2 Взаимно однозначные отображения
Взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y называют еще взаимно однозначным соответствием между множествами Х и Y. В школьном курсе математики взаимно однозначные отображения называют обратимыми отображениями.
Взаимно однозначные отображения обладают рядом свойств.
Если f - взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y, то обратное ему соответствие f -1 между множествами Y и Х будет взаимно однозначным отображением множества Y на множество Х.
Например, если взаимно однозначное отображение множества Х - вершин треугольника АВС, на множество Y - его сторон, таково: «вершина х лежит против стороны у», то соответствие «сторона у лежит против вершины х» будет взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y.
Другими словами отношение между множествами «быть взаимно однозначно отображено на» симметрично.
Если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y и взаимно однозначное отображение Y на Z, то существует взаимно однозначное отображение Х на Z (рис. 4.9).
15297155842000
Иначе говоря, отношение между множествами «быть взаимно однозначно отображено на» транзитивно.рис. 4.9
3. Любое множество Х может быть взаимно однозначно отображено на себя, т.е. отношение «быть взаимно однозначно отображено на» рефлексивно.
4.2.3 Равномощные множества
Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет ввести еще одно отношение между множествами — отношение равномощности.
Определение Множества Х и Y считают равномощными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие.
Предложение «Множество Х равномощно множеству Y» записывают кратко: Х ~ Y.
Отношение равномощности множеств обладает рядом свойств.
1. Оно рефлексивно, т.е. каждое множество равномощно самому себе: Х ~ Х.
2. Оно симметрично, т.е. Х ~ Y Y ~ Х.
3. Оно транзитивно, т.е. Х ~ Y и Y ~ Z Х ~ Z.
Так как отношение равномощности множеств рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества.
Если множества конечны и между ними установлено взаимно однозначное соответствие, то говорят, что данные множества содержат поровну элементов, или что они равночисленны, или что во множестве Х столько же элементов, сколько их во множестве Y. Очевидно, понятие «число элементов», выступает как общее свойство, характеризующее класс попарно эквивалентных конечных множеств.
А чем же характеризуется класс попарно эквивалентных бесконечных множеств? Так возникла потребность в обобщении понятия «число элементов», чтобы это новое, более общее понятие служило характеристикой класса попарно эквивалентных множеств, в том случае, когда эти множества бесконечные. Таким обобщением явилось понятие «мощность множества», введенное основоположником теории множеств Георгом Кантором.
Например, равномощны множество сторон треугольника АВС и множество его углов.
Познакомимся с примерами равномощных бесконечных множеств. Возьмем два множества: множество всех натуральных чисел и множество Y всех четных натуральных чисел. Оба множества бесконечны, причем множество Y есть подмножество множества , т.е. Y. Установим между данными множествами соответствие так, как показано на рис. 4.10, т.е. каждому натуральному числу из множества поставим в соответствие четное число 2п из множества Y. Это соответствие взаимно однозначное, т.к. каждому натуральному числу х соответствует единственное четное число уY и наоборот, каждому четному числу уY соответствует единственное натуральному числу х. Значит, множество натуральных чисел и его подмножество четных натуральных чисел равномощны.
99377522923500
рис. 4.10
Доказано, что множество всех рациональных чисел и множество натуральных чисел тоже равномощны. Равномощно множество всех натуральных чисел и всех целых чисел.
Но не надо думать, что все бесконечные множества равномощны между собой. Например, не равномощны множество натуральных чисел и множество точек на прямой.
Бесконечное множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным.
Счетными являются: множество всех целых чисел, множество всех рациональных чисел, любое бесконечное подмножество каждого из этих множеств, бесконечные подмножества множество натуральных чисел.
Возникает вопрос: существуют ли несчетные множества?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую приводим без доказательства:
Теорема: Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.
Доказано, что множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости, равномощны множеству действительных чисел, заключенных между нулем и единицей. Следовательно, они не являются счетными.
Таким образом, множества R и имеют различные мощности (принадлежат различным классам эквивалентности). Мощность счетного множества считается наименьшей среди мощностей бесконечных множеств, а мощность множества R и всякого эквивалентного ему множества называется континуумом (от латинского слова Continuum - непрерывное).
4.3 Отношения на множестве и их свойства
4.3.1 Понятие отношения
Если множества X и Y совпадают, X = Y, то говорят не о соответствии, а об отношении между элементами множества X.
Слово «отношение» в русском языке имеет много значений. Приведем несколько примеров, взятых из «Толкового словаря» под редакцией профессора Д.Н. Ушакова. Невнимательное отношение к делу; я имею некоторое отношение к этому предприятию; отношения людей; общественные отношения; имя прилагательное выражает отношение к предмету и т.п. Во всех этих примерах говорится о связи между какими-либо объектами. Если мы вспомним определение соответствия, то это понятие также означает установление каких-то связей между объектами. Чем же отличается понятие отношения в математике от понятия соответствия? Это различие не очень существенно. Отношение есть соответствие, только не между элементами произвольных множеств, а между элементами одного и того же множества.
Таким образом, понятие соответствия является более общим, чем понятие отношения, а понятие отношения является частным случаем понятия соответствия.
Определение Соответствие, заданное между двумя равными множествами X = Y, называется бинарным отношением, заданным на множестве X (или просто отношением).
Определение Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х, называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.
Отношения обозначают прописными буквами латинского алфавита: P, Q, R, S и др. Следовательно, если R— отношение между элементами множества Х, то R ХХ.
Рассмотрим множество чисел А = {3, 4, 5, 6, 8}. Между числами этого множества существует отношение «больше»:
4 > 3, 5 > 3, 6 > 3, 8 > 3, 5 > 4, 6 > 4, 8 > 4, 6 > 5, 8 > 5, 8 > 6.
Можно рассмотреть для данных чисел и отношение «больше на 1»:
«4 больше 3 на 1», «5 больше 4 на 1», «6 больше 5 на 1».
Числа данного множества связаны также отношением «меньше в 2 раза»:
«3 меньше 6 в 2 раза», «4 меньше 8 в 2 раза». Можно указать и другие отношения между числами 3, 4, 5, 6 и 8.
Рассматривая отношения между числами этого множества, мы оперировали упорядоченными парами, образованными из чисел данного множества. Для отношения «больше» это было множество {(4,3), (5,3), (6,3), (8,3). (5,4), (6,4), (8,4), (6,5), (8,5). (8,6)}, для отношения «больше на 1» —{(4,3), (5,4), (6,5)}, а для отношения «меньше в 2 раза» — множество, содержащее две пары: {(3,6), (4,8)}. Очевидно, что каждое из рассмотренных отношений, определяется множеством пар чисел, образованных из элементов множества Х = {3, 4, 5, 6, 8} и является подмножеством, декартова произведения ХХ={(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,8), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,8), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,8), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,8), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,8)}.
Отношения на конечном множестве можно представлять наглядно, при помощи графов.
Построим граф отношения «больше» между элементами множества Х={2, 4, 6, 8, 12}. Для этого элементы данного множества изобразим точками и соединим стрелками те точки, которые изображают числа, находящиеся в отношении «больше». Поскольку 4>2, то проводим стрелку от 4 к 2; так как 6>4, то проводим стрелку от 6 к 4 и т.д., пока не переберем все пары чисел, связанных заданным отношением. В результате получаем граф отношения «больше» для элементов множества Х={2, 4, 6, 8, 12} (рис. 4.11).
На том же множестве рассмотрим отношение «кратно» и построим его граф. Аналогично предыдущему случаю изобразим элементы множества точками и соединим стрелками те, которые изображают числа, находящиеся в отношении «кратно»: 12 кратно 2, 12 кратно 4 и т.д. Так как любое число из множества Х кратно самому себе, то граф данного отношения будет иметь стрелки, начало, и конец которых совпадут (рис. 4.12). Такие стрелки на графе называют петлями.

рис. 4.11 рис. 4.12 рис.4.13
4.3.2 Способы задания отношений
По определению, отношение между элементами множества, есть всякое подмножество декартова произведения XX, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений,
по существу, такие же, как и способы задания множеств.
1- способ. Отношение на множестве можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
Формы записи при этом могут быть различными. Например, некоторое отношение на множестве Х={4, 5, 6, 7, 9} можно задать, записав множество пар:
{(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4), (9,5), (9,6), (9,7)}. То же отношение можно задать при помощи графа (рис. 4.13).
2- способ. Отношение R на множестве Х можно задать, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство формулируется в виде предложения с двумя переменными, хотя обозначения переменных иногда опускаются.
Например, среди отношений на множестве N натуральных чисел мы уже называли такие: «число х больше числа у», «число х — делитель числа у», «число х меньше числа у в 3 раза» и др. Чаще мы имели дело с краткой формой этих предложений: «больше», «быть делителем», «меньше в 3 раза».
В математике многие предложения с двумя переменными записывают, используя символы. Например, отношение «больше» для чисел может быть задано в виде неравенства х>у, а отношение «число х меньше числа у в 3 раза» — в виде равенства у=3х.
Отношения между прямыми плоскости задают как в краткой форме (отношения параллельности, перпендикулярности и др.), так и используя символы: х||у, ху.
Особые знаки используют для записи отношений между треугольниками: АВС=А1В1С1, АВСА1В1С1. Обобщением приведенных записей является запись хRу, которая означает, что элемент х находится в отношении R с элементом у.
В начальном курсе математики, как и в средней школе понятие отношения в общем виде не вводится, а изучают конкретные отношения между различными объектами, большое внимание уделяется изучению отношений между числами. Задают их по-разному: при помощи предложений с двумя переменными, имеющими краткую форму («больше», «больше в ... раз», «меньше на ...»), заполняют таблицы.
Со значительным числом отношений учащиеся начальных классов встречаются при решении текстовых задач. Например, чтобы решить задачу «Колхоз продал государству 364 т пшеницы, риса на 76 т меньше, чем пшеницы, а гречихи в 32 раза меньше, чем ржи. Сколько всего зерна продал колхоз государству?» учащийся должен хорошо понимать смысл отношений «меньше на 76» и «меньше в 32 раза».
Основные свойства отношений
Мы установили, что в математике изучают разнообразные отношения между двумя объектами. Чтобы изучить такое количество отношений необходимо их классифицировать. Для этого нужно выделить основные свойства отношений.
Пусть на множестве X задано некоторое отношение R.
1. Отношение R называется рефлексивным, если для любого х из множества X истинно xRx. Другими словами, отношение R на множестве X рефлексивно, если каждый элемент хX находится в отношении R с самим собой.
Примерами рефлексивных отношений являются отношения: равенства, не меньше, не больше, делимости натуральных чисел; параллельных прямых; включения и равенства множеств, «быть ровесником» между людьми.
Граф рефлексивного отношения характеризуется тем, что в каждой вершине имеется петля (рис. 4.15 а,б).
2. Отношение R называется антирефлексивным, если ни один элемент х из множества X не находится в отношении R с самим собой.
Примерами антирефлексивных отношений являются отношения: неравно, меньше, больше - между числами; предшествует, следует за - между точками прямой; перпендикулярно на множестве прямых плоскости; «быть отцом», «быть братом» между людьми.
Граф антирефлексивного отношения характеризуется тем, что ни в одной вершине графа нет петли (рис. 4.15 в,г).
Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «Точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны самим себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны. Граф отношения, не являющегося ни рефлексивным, ни антирефлексивным, в некоторых вершинах имеет петли, а в некоторых не имеет.
3. Отношение R называется симметричным, если для любых элементов х и у из множества X из xRy следует yRx.
Симметрично отношение параллельности на множестве прямых плоскости: если прямая х параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х.
Симметричность отношения отражается на графе (рис. 4.15 а,б,в) тем, что любые две различные вершины либо не соединены стрелками (не находятся в данном отношении), либо соединены двумя противоположно направленными стрелками.
4. Отношение R называется асимметричным, если ни для каких элементов х и у из множества X не может случиться, что одновременно и xRy, и yRx.
Примером асимметричного отношения является отношение «x<y», заданное на множестве действительных чисел, так как ни про какую пару чисел х и у нельзя сказать, что одновременно и х<у, и у<х. Если отношение асимметрично, то оно антирефлексивно.
Отношение R антисимметрично, если xRy и yRx одновременно выполняются в том и только в том случае, когда х = у. Антисимметричное отношение — объединение асимметричного отношения с отношением тождества.
Примером антисимметричного отношения является отношение «xy», заданное на множестве действительных чисел. Это отношение является рефлексивным и антисимметричным.
Граф антисимметричного и асимметричного (рис. 4.15 г) отношения отличается тем, что любые две его вершины связаны не более чем одной стрелкой.
6. Отношение R называется транзитивным, если для любых элементов х, у и z из множества X из того, что xRy и yRz, следует, что xRz.
Например, транзитивно отношение «Отрезок х длиннее отрезка у» во множестве отрезков: если отрезок х длиннее отрезка у и отрезок у длиннее отрезка z, то отрезок х длиннее отрезка z.
Граф транзитивного отношения вместе со стрелками, идущими от х к у и от у к z, должен содержать и стрелку, идущую от х к z.
7. Отношение R называется антитранзитивным, если для любых элементов х, у и z из множества X из того, что xRy и yRz, следует, что для x,у,z А.
5226050635000Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рис. 4.14, отношения параллельности, перпендикулярности, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 4.15а,б,в,г).
Рассмотрим графы отношений параллельности и равенства (рис. 4.15 а б).
рис.4.14
Они имеют петли, которые говорят о том, что, какой бы отрезок из множества мы ни взяли, о нем можно сказать, что он параллелен самому себе или что он равен самому себе. Про отношения параллельности и равенства говорят, что они обладают свойством рефлексивности или, просто, что они рефлексивны.
абвг
рис. 4.15
Справедливо и обратное: граф, каждая вершина которого имеет петлю, представляет собой граф некоторого рефлексивного отношения.
Рассмотрим граф отношения перпендикулярности и длиннее (рис. 4.15 в,г): нет ни одного отрезка во множестве, о котором можно было бы сказать, что он перпендикулярен самому себе. Отношения перпендикулярности и длиннее обладают свойством антирефлексивности или, просто, что они антирефлексивны.
Обратим внимание на графы отношений параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков. Их особенность в том, что если есть
одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эти стрелки говорят о том, что:
1) если первый отрезок параллелен второму отрезку, то второй отрезок параллелен первому;
2) если первый отрезок перпендикулярен второму отрезку, то и второй отрезок перпендикулярен первому;
3) если первый отрезок равен второму отрезку, то и второй отрезок равен первому.
Про отношения параллельности, перпендикулярности и равенства говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто, симметричны.
Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.
Рассмотрим граф отношения «длиннее» для отрезков (рис. 4.15 г). Его особенностью является, то, что если стрелка соединяет две вершины, то она только одна. Про отношение «длиннее» говорят, что оно обладает свойством асимметричности или, просто, асимметрично.
Граф антисимметричного (асимметричного) отношений обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединяются только одной стрелкой, является графом антисимметричного (асимметричного) отношения.
Не следует думать, что все отношения делятся на симметричные и антисимметричные. Встречаются отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
547370024765000Рассмотрим, например, отношение «быть братом» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Коля, Миша, Таня.
Тогда граф отношения «быть братом» будет таким, как на рисунке 4.16. Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
рис.4.16
Обратим внимание еще на одну особенность графов отношений параллельности, равенства и «длиннее» (эта особенность не сразу заметна): если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго — к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эта особенность графов отражает свойство данных отношений, называемое свойством транзитивности.
Выделенные свойства отношений позволяют сравнивать различные отношения с общих позиций — наличия у них тех или иных свойств. Так, рассмотренные нами отношения параллельности и равенства отрезков обладают одними и теми же свойствами: они рефлексивны, симметричны и транзитивны.
Отношение перпендикулярности отлично от них, поскольку оно симметрично, антирефлексивно, антитранзитивно. Иной характер у отношения «длиннее» — оно антирефлексивно, асимметрично и транзитивно.
4.4 Отношения эквивалентности. Разбиение множества на классы
4.4.1 Отношения эквивалентности
Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными. Они принадлежат важному классу эквивалентности, которые находят широкое применение в математике.
Определение Если отношение R во множестве X обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то его называют отношением эквивалентности.
Примерами отношений эквивалентности являются отношения: «быть однокурсником» (на множестве студентов некоторого института), «иметь один и тот же корень» (на множестве слов). Отношения эквивалентности часто встречаются в математике и ее приложениях. Вам знакомы отношения эквивалентности, которые вы изучали в школе: параллельность прямых, подобие фигур, равенство чисел и фигур.
В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например отношение «Выражения х и у имеют одинаковые числовые значения» во множестве числовых выражений. Выражения, принадлежащие одному и тому же классу эквивалентности, называют равными.
Понятие равенства дробей является отношением эквивалентности в множестве дробей. Изучая геометрический материал, младшие школьники сталкиваются с такими отношениями эквивалентности, как отношение конгруэнтности фигур (в начальном курсе математики говорят о равенстве фигур), отношение равновеликости фигур.
4.4.2 Разбиение множества на классы
Понятие отношения эквивалентности оказывается тесно связанным с понятием разбиения множества на классы, которое, в свою очередь, имеет практическое и методическое значение.
Рассмотрим разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества. Множество X всех студентов пединститута можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном и том же курсе. Если обучение длится четыре года, то получаем четыре подмножества: студентов первого курса, студентов второго курса, студентов третьего курса и студентов четвертого курса. Никакие два из этих множеств не имеют общих элементов, (студент не может сразу учиться и на втором, и на третьем курсе), а объединением этих множеств является множество X всех студентов. Говорят, что X разбито на четыре попарно непересекающихся подмножества Х1 Х2, Х3, Х4. То же множество X можно разбить на непересекающиеся подмножества и другими способами, например, на юношей и девушек, по возрасту и т. д.
Вообще, можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:
1. Все подмножества, образующие разбиение, непусты.
2. Любые два таких подмножества не пересекаются.
3. Объединение всех подмножеств есть данное множество.
Так, множество натуральных чисел можно разбить на три подмножества — множество простых чисел, множество составных чисел и множество, состоящее из единицы. Это же множество можно разбить и на два класса — класс четных и класс нечетных натуральных чисел.
Разбиение множества на попарно-непересекающиеся подмножества часто производят по некоторому свойству, которое может принимать различные значения. Например, можно производить разбиение на классы по цвету, объединяя в один класс предметы одного и того же цвета. При этом красные предметы попадут в один класс, зеленые — в другой, черные — в третий и т.д.
Можно сказать, что разбиение производится на основе отношения «х имеет тот же цвет, что и у». Точно так же разбиение студентов по курсам производится на основе отношения «х учится на том же курсе, что и у».
Но не всякое отношение R между элементами множества дает возможность разбить это множество им классы. Нельзя, например, разбить на попарно-непересекающиеся подмножества множество студентов некоторого института при помощи отношения «Студент х знаком со студентом у». Действительно, если х знаком с у, то х и у окажутся в одном подмножестве. Если у знаком с z, то z должен находиться в одном подмножество с у и, следовательно, с х. Но может случиться, что х незнаком z. Тогда окажется, что в одном подмножестве есть люди, которые друг с другом не знакомы, а этого не должно быть при разбиении множества по указанному отношению.
Возникает вопрос, какими должны быть свойства отношения, чтобы с его помощью можно было разбить множество на классы?
ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема Для того чтобы отношение R позволяло разбить множество X на классы, необходимо и достаточно, чтобы R было отношением эквивалентности.
Эту теорему мы принимаем без доказательства.
Если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задать отношение равенства (оно является отношением эквивалентности), то множество отрезков разобьется на классы равных отрезков. Множество треугольников отношением подобия разбивается на классы подобных треугольников.
Рассмотрим несколько примеров отношений эквивалентности.
1. Отношение «Выражения х и у имеют одинаковые числовые значения» на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности, поскольку оно
а) рефлексивно: значение выражения х совпадает со значением выражения х;
б) симметрично: если значение выражения х совпадает со значением выражения у, то и значение выражения у совпадает со значением выражения х;
в) транзитивно: если значение выражения х совпадает со значением выражения у, то значение выражения у совпадает со значением выражения z, то значение выражения х совпадает со значением выражения z.
Множество всех числовых выражений разбивается этим отношением на классы, в каждом из которых находятся выражения, значения которых попарно совпадают. Так, выражения 5+3, 23, 2+2+2+2 находятся в одном классе (их значения равны восьми), а выражения 7—3, 22, 16:4 — в другом (их значения равны четырем).
2. В множестве прямых на плоскости отношение параллельности является отношением эквивалентности. Прямые х и у, лежащие в одной плоскости, параллельны, если они либо не пересекаются, либо совпадают. Поэтому отношение параллельности
а) рефлексивно: х||х для любой прямой х;
б) симметрично: если х||у, то у||х;
в) транзитивно: если х||у и y||z, то х|| z.
Отношением параллельности множество всех прямых плоскости разбивается на классы, состоящие из параллельных друг другу прямых. Такие классы называют пучками параллельных прямых.
3. Во множестве геометрических фигур отношениями эквивалентности являются, например, такие отношения:
а) «Фигура х конгруэнтна фигуре у».
б) «Фигура х подобна фигуре у».
Отношение «Фигура х конгруэнтна фигуре у» разбивает множество всех геометрических фигур на классы эквивалентности, состоящие из попарно конгруэнтных фигур.
Разбиение множеств на непересекающиеся подмножества лежит в основе всевозможных классификаций. Понятие «класс» и его синонимы: «тип», «семейство», «род», «вид», «сорт» широко применяются во всех областях человеческой деятельности. Вы знакомы с классификацией книг в библиотеке, когда множество книг разбивается на непересекающиеся подмножества при помощи алфавитного каталога или по какому-нибудь другому признаку, например по отраслям знаний. Сортируются (классифицируются) по размерам или по весу клубни картофеля, фрукты, семена растений и т.д.
В начальном курсе математики явно не вводится понятие разбиения множества на непересекающиеся подмножества, но разбивать множества на классы приходится часто. Множество всех натуральных чисел разбиваем на подмножества четных и нечетных чисел; на однозначные, двузначные и т.д.
Множество всех углов разбиваем на три класса: острые, прямые, тупые. Множество всех многоугольников — на треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д.
Выполняется классификация растений, животных, предметов быта и т. п.
Чтобы избежать ошибок в классификации, надо при разбиении множества на классы обязательно соблюдать условия разбиения, которые мы выделили выше.
Так, нельзя разбить множество учащихся вашей группы на такие два класса: отличников и спортсменов, потому что эти множества пересекаются, если среди отличников есть спортсмены. Множество всех треугольников нельзя разбить на равнобедренные и прямоугольные треугольники, так как, во-первых, эти подмножества пересекаются и, во-вторых, объединение множества равнобедренных треугольников с множеством прямоугольных треугольников не совпадает с множеством всех треугольников.
4.5 Отношение порядка. Упорядоченные множества
Понятие отношения порядка
Еще один важный вид отношений — это отношение порядка. С упорядоченностью мы часто сталкиваемся в жизни: мы упорядочиваем фамилии учеников в классном журнале по алфавиту, на уроках физкультуры тот же класс упорядочивается по росту. Обратите внимание, что одно и то же множество упорядочивается совершенно по-разному. Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни, так и на занятиях по математике.
Мы говорим о порядке поступления на работу, о порядке слов в предложении; на уроках математики обсуждаем порядок выполнения действий, порядок записи решения уравнения, задачи и т. д.
Что же такое порядок?
Обратимся к нескольким примерам.
1) Чтобы установить порядок во множестве учащихся класса, достаточно выстроить их по росту. На практике эта процедура сводится к сравнению пар учащихся, т.е. на множестве учащихся рассматривается отношение «быть выше». Это отношение антирефлексивно, асимметрично и транзитивно.
2) Множество учащихся класса можно упорядочить и по возрасту, т.е. задав отношение «быть старше». Это отношение также антисимметрично и транзитивно.
3) Всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует», обладающее свойствами асимметричности и транзитивности.
Замеченные нами свойства отношений, устанавливающих некоторый порядок в множестве, и легли в основу определения отношения порядка.
Определение. Отношение на множестве называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично.
Строгие и нестрогие отношения порядка
Отношения порядка бывают строгие и нестрогие и не являющиеся ни строгими, ни нестрогими.
Определение. Отношение R на множестве X называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно, асимметрично и антирефлексивно.
Свойством транзитивности и асимметричности обладают многие отношения, например, отношение «больше» на множестве натуральных чисел или отношение «выше» на множестве людей, сравниваемых по росту. Об отношениях «следует за», «больше», «выше» говорят, что они являются отношениями строгого порядка.
Выясним особенности графа отношения строгого порядка. Для этого построим граф отношения «х<у» на множестве Х={3;1;5;2;4} (рис. 4.17). Мы видим, что граф данного отношения не имеет петель и любую пару чисел (х; у), такую, что х<у, соединяет только одна стрелка, идущая от х к у. Если из х идет стрелка в у, а из у в z, то из х идет стрелка и к z. Построенный граф позволяет расположить элементы множества X в таком порядке: число 1 (оно меньше всех остальных), затем число 2 и т.д. Получим множество Х={1;2;3;4;5}, про которое говорят, что оно упорядочено отношением «х<у».
Определение Отношение R на множестве X называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
К этому типу принадлежат, например, такие отношения: «не выше» (на множестве людей, сравниваемых по росту); «не больше» (на множестве действительных чисел); «быть делителем» (на множестве натуральных чисел).
Если на множестве Х={3;1; 5; 2; 4} рассмотреть отношение нестрогого порядка «ху», то граф этого отношения, в отличие от графа отношения «х<у» (рис. 4.17), в каждой вершине будет иметь петли (рис. 4.18).
Граф другого отношения нестрогого порядка «число х кратно числу у » на множестве Х={3;1; 5; 2; 4}, изображен на рис. 4.19.
4352925137795002171700115570001143009017000
рис. 4. 17рис. 4. 18рис. 4. 19
Отношения линейного порядка
Отношения порядка не всегда позволяют упорядочить множества так, чтобы точно знать, какой элемент идет за каким. Например, отношение «меньше по росту» не «различает» людей одинакового роста, и неясно, кого за кем из них ставить. Такие отношения порядка также называют отношениями частичного порядка, а множество с таким отношением порядка — частично-упорядоченным множеством. Также нельзя «по-настоящему» упорядочить множество натуральных чисел N отношением «а делится на b без остатка», так как, например, элементы 3 и 5 несравнимы. Поэтому вводят понятия: связанное отношение и отношение линейного порядка.
Определение Бинарное отношение R на множестве Х, называют связанным на , если для любых различных элементов х, у из множества Х либо хRу, либо уR х. В противном случае говорят о несвязанном на Х бинарном отношении.
Особенностью графа связанного бинарного отношения на конечном множестве является то, что любые две его вершины соединены ребром, соответственно несвязность проявляется на графе в том, что найдутся хотя бы две вершины, не соединенные ребром.
Определение Отношение порядка R на множестве Х называется отношением линейного порядка или линейным порядком, если оно связанно на Х, а множество Х в этом случае называется линейно упорядоченным с порядком R. В противном случае говорят о частичном порядке или частично упорядоченном множестве.
Для линейного порядка требуется ориентированность графа, замкнутость все его «треугольников», если такие имеются, и связанность всех его вершин ребрами.
Например, отношение «длиннее» на множестве отрезков, в котором нет одинаковых по длине, линейно. Также линейно отношение «не длиннее» на множестве (любом) отрезков.
Фамилии учеников класса можно линейно упорядочить с помощью так называемого лексикографического упорядочивания, если в классе нет однофамильцев. (Если однофамильцы есть, то можно к упорядочиванию «подключить» имя ученика, а если и имена совпадают, то отчество. Дальнейшие совпадения достаточно редки.) Лексикографическое отношение порядка определяется так: фамилия А «идет раньше» фамилии В, если в русском алфавите первая буква фамилии А идет раньше первой буквы фамилии В. Если эти буквы совпадают, то вторая буква фамилии А идет раньше второй буквы фамилии В и т.д. вплоть до имени и отчества людей, если это необходимо. Очевидно, что это отношение на множестве людей, в котором нет совпадающих по фамилии, имени и отчеству, является линейным.
Отношение «выше ростом» также может оказаться линейным на таком множестве М, где нет одинаковых по росту людей. Важно отметить, что одно и то же правило порядка на одном множестве может задавать отношение линейного порядка, а на другом — частичного порядка.
4.5.4 Упорядоченные множества
Отношение порядка, как и любое другое отношение, не может рассматриваться в отрыве от множества, между элементами которого установлено.
Определение Множество X, на котором задано отношение порядка R (строгого или нестрогого), называется упорядоченным множеством или говорят множество X упорядочено отношением порядка R.
Одно множество может оказаться упорядоченным (говорят так же полностью упорядоченным) некоторым отношением порядка, другое же неупорядоченным, или частично упорядоченным таким отношением.
Определение Если отношение порядка R (строгого или нестрогого) на множестве X —есть отношение линейного порядка, то множество X называется линейно упорядоченным множеством с порядком R. В противном случае говорят о частичном порядке или частично упорядоченным множеством.
Если множество X конечно и состоит из элементов, то линейное упорядочивание X сводится к нумерации его элементов числами 1,2, . . ., п.
Мы уже показали (п.4.5.2), что множество Х={3; 1; 5; 2; 4} может быть упорядочено отношением «x<y». Оно упорядочивает множество Х линейно. Граф этого отношения (линейного, строгого порядка) изображен на рис. 4.17.
Отношением «меньше» упорядочивается линейно и множество натуральных чисел. Когда говорят «натуральный ряд чисел», имеют в виду множество натуральных чисел , упорядоченное отношением «меньше», т.е. = {1,2,3,4…}.
Линейно упорядоченные множества обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Пусть а, b, с — элементы множества X, упорядоченного отношением R. Если известно, что aRb и bRc, то говорят, что элемент b лежит между
элементами а и с.
Например, если множество натуральных чисел упорядочено отношением «<», то из того, что 3<5 и 1<3, следует, что число 3 лежит между числами 5 и 1.
Определение Множество X, линейно упорядоченное отношением R, называется дискретным, если между любыми двумя его элементами лежит лишь конечное множество элементов.
Множества и Z, обладающие этим свойством, называются дискретными. Множества Q и R не являются дискретными.
Линейно упорядоченное множество называется плотным, если для любых двух различных элементов этого множества существует элемент множества, лежащий между ними.Так, множества Q и R, обладающие этим свойством, называются плотными.
Отношения строгого порядка могут упорядочивать множество по-разному. Например, отношение строгого порядка «х выше у», упорядочивает множество людей нелинейно.
Примером нелинейного, нестрогого отношения порядка является отношение «число х кратно числу у» на множестве Х={3; 1; 5; 2; 4}(рис. 4.19), а линейного нестрого отношения порядка служит отношение «ху» на множестве
Х={3;1; 5; 2; 4} (рис. 4.18).
С отношениями порядка учащиеся знакомятся в начальной школе. В I классе вводятся отношения «больше» и «меньше» для натуральных чисел. Затем появляются отношения «длиннее» и «короче» для отрезков. При помощи этих отношений устанавливается порядок во множестве чисел, во множестве отрезков и углов. При решении задач учащиеся встречаются и с такими отношениями порядка, как «быть выше (ниже)», «быть старше (младше)» в множестве людей, «дороже, чем (дешевле чем)» в множестве вещей и другими.
Но не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Вопросы для самоконтроля:
1. Определите понятие «соответствие между множествами».
2. Объясните смысл терминов: множество отправления и множество прибытия, граф и график, область определения и область значения соответствия.
3. Определите понятие отображение множеств.
4. Назовите основные виды отображений.
5. Какие множества называются эквивалентными, а какие равномощными?
6. Приведите примеры конечных и бесконечных равномощных множеств.
7. Определите понятие отношение на множестве.
8. Сформулируйте основные свойства отношений.
9. Назовите основные способы задания отношений.
10. Какие отношения называются эквивалентными?
11. Сформулируйте теорему о разбиении множества на классы.
12. Дайте определение отношению порядка (строгого и нестрогого).
13. Какие множества называются упорядоченными, а какие не упорядоченными? Какие множества называются линейно упорядоченными, а
частично упорядоченными?
14. Каковы особенности графа отношения строгого и нестрогого порядка? Отношения линейного и нелинейного порядка?
Литература:
1. Виленкин Н.Я., А.М. Пышкало, В.Б.Рождественская, Л.П. Стойлова. Математика. Учебное пособие для студентов пед. Институтов по специальности «Педагогика и методика начального обучения». М. «Просвещение», 1977, стр.67-88.
2. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов: - М.: «Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС», 1999.-Ч.1, с.123-130.
3.Пышкало А.М., Л.П. Стойлова, Н.П. Ирошников, Д.Н.Зельцер. Теоретические основы начального курса математики. Учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. Училищ, М., «Просвещение», 1974, с.42-90
4. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ»- М. Просвещение, 1988г. с 98-122.
5. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. (для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов.). Минск, «Вышэйшая школа», 1975, с.28-52
6. Столяр А.А., Н.М. Рогановский. Основы современной школьной математики. Ч. I. Язык. Множества. Отношения. Функции. Математические структуры. Минск, «Народная асвета», 1975, с.117-182.
Лекция № 5
Тема: Математические понятия и способы их определения
Цель:
- сформировать представления о математических понятиях, термине, объеме и содержании понятия;
- знать основные способы определения математических понятий, изучаемых в НКМ и требования, предъявляемые к ним;
- уметь определять идеальную математическую модель реальных предметов в процессе решения задач.
5.1 Математические понятия
5.2 Объем и содержание понятия
5.3 Определяемые и неопределяемые понятия
5.4Основные способы определения математических понятий, их структура
5.5 Требования к определению математических понятий
5.1 Математические понятия
Математика, как и другие науки, изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура». Отрезок, луч, прямая, угол, окружность, квадрат — геометрические фигуры. Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще любые математические объекты — это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
Изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и свойства понятий, возникших на основе первых. Например, понятие переменной является абстракцией конкретных переменных величин, т. е. абстракцией от абстракции.
В своем развитии математика прошла несколько этапов, создавая на каждом из них определенные способы познания и осмысления разнообразных форм и количественных отношений материального мира. В частности, был создан широко распространенный в настоящее время такой метод изучения действительности, как метод построения математических моделей.
Он заключается в приближенном описании с помощью математической символики какой-либо совокупности явлений внешнего мира. Изучая модели, математика изучает тем самым и саму реальную действительность. Так, знание свойств функции y = kx позволяет описывать особенности зависимостей между различными величинами: временем и расстоянием прямолинейного равномерного движения, количеством и стоимостью товара.
Вообще абстрактность математики позволяет применять ее в самых разных областях знания, поскольку она представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.
Всякий математический объект (понятие) обладает определенными свойствами (качествами, признаками, особенностями). Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие свойства квадрата.
Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Существенные свойства- свойства, которые являются его признаками, выделяющими его из множества других объектов, и без которых он не может существовать.
Несущественные свойства — это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Так, названные выше свойства квадрата являются существенными, а свойство «сторона AD квадрата ABCD горизонтальна» несущественное (если квадрат ABCD повернуть (рис.5.1), то сторона AD окажется расположенной по-другому). Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный объект достаточно знать его существенные свойства. В процессе отражения в мозгу человека этих свойств возникает форма мышления, называемая понятием.
Понятие - форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

рис.5.1
5.2 Объем и содержание понятия
Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств данного понятия.
Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Так для понятия «параллелограмм» содержание будет представлено свойствами:
Противоположные стороны равны;
Противоположные углы равны;
Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Объем понятия «параллелограмм» представлен объединением множеств следующих четырехугольников:
собственно параллелограммы;
ромбы;
прямоугольники;
квадраты.
Между объемом понятия и его содержанием существует связь (обратная зависимость): чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание, и наоборот. Так, например, если увеличить содержание понятия «параллелограмм» (диагонали взаимно перпендикулярны), то сразу уменьшится его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельность только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к вышеназванным четырехугольникам добавится трапеция).
Большая роль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символическому их выражению. Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области науки или техники, называется научным термином. Например, слово «ромб» математический термин. При этом необходимо, чтобы символика и термин выражали данное понятие однозначно. В качестве контрпримера можно привести слова, называемые омонимами. Одно из них- известный школьный термин «корень», который можно применять в различных смыслах (корень уравнения, корень растения, корень кубический из числа). В данном случае, слово играет отрицательную роль: понятие не выражается им однозначно.
С другой стороны, существуют различные термины, выражающие одно и то же понятие, причем совершенно однозначно (слова синонимы). Например, слово «квадрат» можно заменить термином «правильный четырехугольник», «ромб с прямым углом». В данном случае, роль слова положительна: оно уточняет понятие.
Начальный курс математики насыщен различными математическими понятиями. Так, уже в I классе учащиеся знакомятся с понятиями цифра, число, слагаемое, сумма, отрезок, длина отрезка и многими другими. Во II классе к ним добавляются понятия периметр многоугольника, в III — понятия доля, площадь фигуры, объем тела, в IV классе – класс, параллельные прямые, перпендикулярные прямые и т.п.
5.3 Определяемые и неопределяемые понятия
В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия (т.е. распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств.
Перечисление необходимых и достаточных свойств (признаков) понятия, сведенных в связное предложение (речевое или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Определения не доказываются.
Для некоторых понятий их определения и выражающие их термины выглядят вполне естественными (треугольник-многоугольник с тремя внутренними углами), для других необходимо пояснение.
Некоторые первоначальные математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятие множество, точка - неопределяемые понятия.
Аксиома (греческое слово axioma - авторитетное предложение «то, что приемлемо») – предложение, принимаемое без доказательства. Например, «Через две точки проходит единственная прямая».
Аксиомы и первоначальные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.
Нередко частью определения некоторого понятия или некоторой системы понятий являются постулаты.
Постулат ( от латинское слово pastulatum, обозначающего требование)- это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторые отношения между понятиями.
Например, отношение эквивалентности определяется тремя постулатами.
Для того, чтобы некоторое отношение , заданное на множестве А, было отношением эквивалентности, должны иметь место следующие свойства:
1. отношение должно быть рефлексивным;
2. отношение должно быть симметричным;
3. отношение должно быть транзитивным.
Аналогично понятие «параллельные прямые» определяется двумя постулатами.
5.4 Основные способы определения математических понятий, их структура
Способы определения понятия различны. Прежде всего, различают явные и неявные определения.
Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий. Например, прямоугольный треугольник - это треугольник с прямым углом. Если обозначить через а понятие «прямоугольный треугольник», а через b понятие «треугольник с прямым углом», то схема данного определения прямоугольного треугольника будет такова: «а есть b».
Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий. Примерами таких определений являются так называемые контекстуальные и остенсивные определения.
В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенное в учебнике «Математика» I класса. Здесь после записи 3 + а = 7 и перечня чисел 0, 1, 2, 3, 4 идет текст: « а неизвестное число, которое надо найти. Kакоe из этих чисел надо поставить вместо а, чтобы равенство было верным? Это число 4 ». Из этого текста следует, что уравнение – это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение — это, значит, найти такие значения буквы а, при которых уравнение превращается в верное равенство.
Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Поэтому остенсивные определения называют еще определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начальной школе понятия равенства и неравенства.
2 > 1, 1 < 2, 2∙7 > 2 - 6, 78 – 9 < 78, 37 + 6 > 37 - это неравенства
2 = 2, 1 = 1, 9 ∙ 3 = 27, 6 ∙ 4 = 4 ∙ 6, 17 - 5 = 8 + 4 - это равенства
В явных определениях, как уже было отмечено, отождествляются два понятия. Одно из них называют определяемым понятием, другое — определяющим. Через определяющее раскрывается содержание определяемого понятия.
Проанализируем структуру определения квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». Она такова: сначала указано определяемое понятие — «квадрат», а затем приведено определяющее, которое включает свойства: быть прямоугольником, иметь равные стороны. Свойство «быть прямоугольником» указывает, что все квадраты являются прямоугольниками, т.е. понятие «прямоугольник» является более общим, чем понятие «квадрат». Его называют родовым по отношению к определяемому понятию «квадрат».
Второе свойство — «иметь равные стороны» — это указание видового свойства, которое отличает квадрат от других видов прямоугольника. Такую же структуру имеют и другие определения школьного курса математики. Схематично структуру таких определений можно представить следующим образом:

Определение понятия по такой схеме называют определением через род и видовое отличие.
Рассмотрим определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие по отношению к треугольнику - фигура, а затем дан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую пару отрезком. Такое определение называют генетическими (от слова генезис, т.е. происхождение).
Примером генетического определения (способом, указывающим на происхождение понятия) служит и определение окружности.
Окружность-множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
Обратимся теперь к определению арифметической прогрессии: «Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом». Здесь определяемое понятие — «арифметическая прогрессия», родовое понятие — «числовая последовательность», а далее описывается способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго. Это определение можно записать в виде формулы ап = ап-1 + d, где п≥2.
Такое определение называют индуктивным (от слова «индукция», т.е. наведение на рассуждение от частного к общему) или рекуррентным (от слова «рекурсия», т.е. возвращение).
Натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств. Это определение дано через абстракцию.
В начальном курсе математики имеется небольшое число понятий, которым дают определения через род и видовое отличие. Так, например, определяют умножение: «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением». Но чаще при введении понятий в начальной школе используют остенсивные и контекстуальные определения. Иногда встречаются определения, сочетающие контекст и показ. Примером такого определения является определение прямоугольника, приведенное в учебнике «Математика» для II класса. Здесь нарисованы (показаны) четырехугольники и приведен текст: «У этих четырехугольников все углы прямые». Под рисунком написано: «Это прямоугольники».
5.5 Требования к определению математических понятий
Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как преобладающее большинство определений в школьном курсе математики - это определения через род и видовое отличие, то речь будет идти о правилах этих определений.
Правило 1 прежде всего, определяемое и определяющее понятия должны быть соразмерны. Это значит, что совокупности предметов, охватываемые ими, должны совпадать. Соразмерны, например, понятия прямоугольник и четырехугольник, в котором все углы прямые. Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые а и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающиеся прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые а и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не
удовлетворяют совпадающие прямые.
Правило 2 определения запрещает порочный круг: нельзя определять понятие через само себя или определять его через другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него. Возьмем такие понятия начальной математики, как «умножение» и «произведение», и дадим им следующие определения:
Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел. Произведением чисел называется результат их умножения. Видим, что умножение определяется через понятие произведения, а произведение — через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.
Правило 3 важным требованием к логически правильному определению понятия является следующее: в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия.
Рассмотрим, например, такое определение понятия «смежные углы»: «Смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°». Нетрудно увидеть, что под данное определение можно подвести не только углы, изображенные на рисунке 5.2 и действительно являющиеся смежными, но и углы, изображенные на рисунке 5.3. Почему так произошло? Дело в том, что в приведенном определении смежных углов указано лишь одно их свойство, а именно свойство составлять в сумме 180°, но его недостаточно для выделения смежных углов из всех других.

рис.5.2 рис.5.3
Правило 4 Еще одно требование к правильному определению понятия — отсутствие в нем избыточности. Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из других свойств, также включенных в определение понятия.
Рассмотрим определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые». Можно показать, что включенное в определение свойство «иметь противоположные равные стороны» вытекает из свойства «иметь прямые углы». Следовательно, данное определение прямоугольника избыточное и правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».
Следует сказать, что в любом определении понятия есть элемент произвола, что проявляется, во-первых, в выборе» термина (прямоугольник, в котором все стороны равны, мог бы называться и по-другому), а во-вторых, в выборе свойств, включаемых в определение. В принципе понятие квадрата можно определить так: «Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые» — или так: «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые». Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание этого понятия, в определение включаются только некоторые.
Если одному и тому же понятию даются, например, два разных определения, то они должны быть равносильными. Это означает, что из свойств, включенных в одно определение, должны вытекать свойства, положенные в основу другого определения, и наоборот.
Чем же руководствуются, когда из возможных определений некоторого понятия выбирают одно? Исходят из того, какое определение проще, естественнее или целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Если же какие-либо свойства оказываются включенными в определение, то другие свойства тех же объектов могут быть логически выведены из тех, что вошли в определение. Это важное положение используют при решении задач на распознавание.
Правило 5 Еще одним требованием к логически правильному определению понятия является следующее: необходимо, чтобы определяемый объект существовал. Рассмотрим, например, такое определение: «Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого все углы тупые». Нетрудно убедиться в том, что треугольник, у которого все углы тупые, не существует. Следовательно, данному определению реально ничего не соответствует, и поэтому оно не может считаться логически правильным.
Заметим, что в математике для ответа на вопрос, существует ли объект, удовлетворяющий данному определению, как правило, доказывают специальную теорему, подтверждающую возможность существования объекта, о котором говорится в определении. В геометрии существование объекта, удовлетворяющего определению, иногда обосновывают, построив его.
Вопросы для самоконтроля:
Что такое математическое понятие?
Как появились абстрактные и основные понятия?
Чем характеризуется понятие?
Какая существует связь между объемом и содержанием понятия?
Что значит, определить понятие?
Основные способы определения понятия, их структура.
Основные способы определения понятия в НКМ.
Требования, предъявляемые к определениям понятий.
Литература:
1. Оспанов Т.К., Ш.Курманалина, Ж.Кайынбаев, Б.Косанов, К.Ерешева. Математика: учебники для 1-4 классов общеобразовательных школ. - Алматы, «Атамұра», 1997-2004.
2. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ» - М. Просвещение, 1988г. с.3-14
Лекция № 6
Тема: Элементы математической логики
Цель:
сформировать представление об основных элементах математической логики; знать законы математической логики, структуру и способы доказательства теоремы; уметь выполнять операции над высказываниями и предикатами
5.1 О математической логике
5.2 Высказывания и операции над ними
5.3 Предикаты и операции над ними
5.4 Кванторы. Правила построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы
5.5 Законы математической логики
5.6 Отношения следствия и равносильности между предложениями
5.7 Необходимые и достаточные условия
5.8 Теорема. Виды теорем
5.9 Способы доказательства теоремы
5.10 Правильные и неправильные рассуждения
5.1 О математической логике
Всякая математическая теория представляет собой множество предложений. Над предложениями производят различные «операции», в результате которых снова получаются предложения. Из одних предложений «выводятся» другие, являющиеся «логическими следствиями» первых.
Эти вопросы входят в предмет формальной логики, изучающей формы (структуры) человеческих рассуждений без учета их конкретного содержания.
Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг. до н.э.), разработавший впервые теорию логического вывода (дедукции). Ему принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от их конкретного содержания. Например, рассуждения:
«Квадрат — ромб, ромб — параллелограмм, следовательно, квадрат — параллелограмм»; «Натуральное число — целое, целое число — рациональное, следовательно, натуральное число — рациональное»; «Дуб — дерево, дерево — растение, следовательно, дуб — растение», столь различные по содержанию рассуждения имеют одну и ту же форму, структуру: «А есть В, В есть С, следовательно, А есть С».
Логика Аристотеля дополнялась, изменялась и совершенствовалась в течение многих веков, однако значительного прогресса эта наука достигла лишь в XIX в., когда в ней стали применять математические методы и математический язык, в результате чего и возникла современная формальная логика — математическая логика.
Основоположником математической логики считают английского математика Джорджа Буля (1815-1864). В дальнейшем она получила развитие в трудах многих математиков и логиков, в том числе и советских (И. И. Жегалкина, В. И. Гливенко, А. Н. Колмогорова, П. С. Новикова, А. А. Маркова, А. И. Мальцева, Н. А. Шанина, С. А. Яновской и их многочисленных учеников), и широкое применение как внутри, так и вне математики.
Программа нашего курса включает лишь некоторые простейшие начальные понятия математической логики и соответствующий язык, которые найдут применение в других разделах курса и в соответствующей форме в начальном обучении математике.
5.2 Высказывания и операции над ними
5.2.1 Высказывания
Познавая окружающий мир, человек, устанавливает различные взаимосвязи между объектами, между объектами и их свойствами. В языке эти связи выражаются с помощью предложений, которые образуются из понятий. Под предложением мы будем понимать языковое выражение или соединение слов, имеющее самостоятельный смысл. Например: «Число 12 делится на 3».
Определение Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называют высказыванием.
Например, предложение «Число 4 четное» есть истинное высказывание, а предложение «2 + 4 = 32» - ложное высказывание. Такие высказывания можно встретить и на уроках математики в начальных классах:
12 – 5 > 3; 2 · 6 < 7; 37 – 19 = 56; 600 : 30 = 20
Легко проверить, что среди перечисленных высказываний первое, четвертое являются истинными, а второе и третье ложными.
Вообще каждому высказыванию приписывают одно из двух значений: И (истина), если оно истинно, и Л (ложь), если оно ложно. Значения И и Л называют значениями истинности высказывания.
Уже в первом классе учащиеся встречаются с высказываниями, в основном, с истинными. Они знакомятся с такими высказываниями:
2 > 1; 1 < 2; 3 > 2; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2.
Позже появляются упражнения, в которых требуется установить, истинны или ложны данные равенства. Например, «Проверьте, правильно ли выполнены действия»: 517 + 468 = 985, 804 – 235 = 579.
В другом упражнении требуется определить, верны ли записи, т.е. нужно установить, истинны или ложны данные предложения:
9145 - 7583 = 1544 + 1234; 2944 + 289 > 2056 + 481; 5009 - 324 < 4395.
Высказывания бывают элементарные (простые) и составные (сложные).
Высказывание, которое нельзя расчленить на другие высказывания, называют элементарным. Если же высказывание допускает расчленение на другие высказывания, то его называют составным. Например, высказывание: С: «5 > 2» элементарное, а высказывание D: «5 > 2 и 5 — нечетное число» составное, так как состоит из двух высказываний: одно «5 > 2», а другое «5 — нечетное число».
Составные высказывания образуются из элементарных_при помощи различных союзов и словосочетаний. Так, рассмотренное составное высказывание D
образовано из элементарных высказываний при помощи союза «и».
А высказывание «данный четырехугольник — ромб или квадрат» образовано из высказываний «данный четырехугольник — ромб», «данный четырехугольник — квадрат» при помощи союза «или».
Составные высказывания можно получить, используя слова «если..., то...», «тогда и только тогда».
Например: «Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный», «четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали делятся точкой пересечения пополам».
В грамматике выражения «и», «или», «если…, то...», «тогда и только тогда» и им подобные называют связками, союзами. В логике их называют связками между предложениями, поскольку такие союзы объединяют два высказывания в одно составное высказывание.
Рассмотрим еще одно выражение, употребляемое в русском языке,— выражение «неверно, что...». Оно употребляется с целью отрицания: «Неверно, что мы поедем летом путешествовать». Это предложение является отрицанием предложения: «Мы поедем летом путешествовать». Поместив в начале его слова: «неверно, что...», мы получаем новое предложение. И хотя выражение «неверно, что...» и не связывает двух каких-либо предложений в одно, в логике считают, что это выражение есть связка.
Итак, из любых элементарных высказываний при помощи связок получают различные составные высказывания, причем их смысловая характеристика не рассматривается. Допускаются, например, такие высказывания: «Земля больше Луны и киты живут в воде», «Сегодня я пойду в театр, или Волга впадает в Черное море» и т.д. В теории высказываний изучается лишь вопрос об истинности или ложности составного высказывания в зависимости от истинности или ложности элементарных высказываний, входящих в него.
5.2.2 Отрицание высказываний
Из всякого высказывания А можно получить новое высказывание, отрицая его, т.е. утверждая, что высказывание А не выполняется. Отрицание высказывания А обозначают (А с черточкой) и читают: «не А» или «неверно, что А». Например, если А - высказывание «Число 12 простое», то есть высказывание «Число 12 не является простым». Можно построить отрицание того же высказывания иначе «Неверно, что число 12 простое».
Отрицание высказывания можно получить, если к сказуемому из высказывания добавить частицу «не». Если же высказывание А уже содержит частицу «не», то для образования высказывания ее надо отбросить.
Определение Отрицанием высказывания А называется высказывание , которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.
Операция, с помощью которой из высказывания А получается высказывание
называется отрицанием и само высказывание называется отрицанием высказывания А.
Связь между А и можно изобразить с помощью таблицы, в которой буква «И» означает «истина», а буква «Л» - «ложь». Таблицы такого вида называют таблицами истинности.
Таблица 6.1
А
И Л
Л И
Пусть А - некоторое высказывание. Его отрицание тоже является высказыванием, и, следовательно, можно рассмотреть отрицание высказывания , высказывание . Оно называется двойным высказыванием А. Двойное высказывание А есть само высказывание А, т.е. отрицая какое-либо высказывание дважды, получаем исходное высказывание.
5.2.3 Конъюнкция высказываний
Если два элементарных высказывания соединены союзом «и», то получим сложное высказывание вида «А и В». Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если же хотя бы одно из них ложно, то и высказывание «А и В» тоже ложна.
Например, высказывание «Число 2 простое и четное» истинно, так как оба составляющих его высказывания «Число 2 простое» и «Число 2 четное» истинны. Высказывание «Диагонали равнобочной трапеции равны и делятся точкой пересечения пополам» ложно, так как одно из составляющих высказываний: «Делятся точкой пересечения пополам» ложно.
Таким образом, исходя из обычного смыла союза «и», приходим к определению логической операции – конъюнкции (от латинского слова conjunctio – союз, связь).
Определение Конъюнкцией высказываний А, В называется высказывание, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.
Конъюнкцию обозначают символом АВ (знак заменяет союз «и») и читают: «А и В». (В литературе встречается и знак & для обозначения конъюнкции). Определение конъюнкции двух высказываний распространяется на любое конечное число высказываний.
Из определения следует, что таблица истинности для АВ такова:
Таблица 6.2
А В АВ
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л
5.2.4 Дизъюнкция высказываний
Рассмотрим следующие высказывания:
1. «Летом мы поедем в горы или отправимся на море».
2. «Уравнение 5 х2 + 1 = 0 имеет решение в множестве действительных чисел или не имеет его».
3. «К празднику я сошью платье или костюм». Приведенные высказывания составные, все они имеют форму «А или В».
Высказывание «А или В» называют дизъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова disjunctio — разобщение, различие).
Определение Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.
Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают символом АВ (т.е. знак заменяет союз «или») и читают эту запись: «А или В».
Определение дизъюнкции двух высказываний распространяется на любое конечное число высказываний.
Из определения дизъюнкции следует, что таблица истинности для АВ имеет вид:
Таблица 6.3
А В АВ
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л
В математике имеются высказывания вида: «7 3». Истинно оно или ложно? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним, что представляет собой данное высказывание. Запись 7 3 мы читаем: «Семь больше или равно 3». Следовательно, высказывание «7 3» есть дизъюнкция истинного высказывания «7 > 3» и ложного «7 = 3». Поскольку одно из высказываний истинно, то истинна и дизъюнкция «73».
Высказывание «5 5» тоже истинно, так как это высказывание представляет собой дизъюнкцию истинного высказывания «5= 5» и ложного высказывания «5<5».
Высказывание «10 12» ложно, потому что оно есть дизъюнкция двух ложных высказываний: «10 > 12» и «10 = 12».
С помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции из отдельных высказываний А, В, С можно строить различные составные высказывания.
5.2.5 Импликация высказываний
Как известно, составные высказывания можно получать из элементарных при помощи слов «если..., то..». Например, «.Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен», «Если число 44 кратно 8, то оно кратно 4».
Обозначим через А и В элементарные высказывания, из которых состоят
данные составные высказывания, тогда хорошо видно, что все они имеют одинаковую форму: «если А, то В».
Высказывание «если А, то В» называется импликацией высказываний А, В (от латинского слова implicatio — тесно связываю).
Определение Импликацией АВ называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно.
Импликацию «если А, то В» обозначают символом: АВ и читают: «если А, то В» или «А имплицирует В», или «А влечет В». Высказывание А называют условием импликации, а высказывание В — ее заключением.
Обычное употребление импликации несколько отличается от употребления ее в математической логике. В обыденной речи мы обычно подразумеваем, что между условием и заключением импликации есть какая-то смысловая или логическая связь. Примером такой смысловой, содержательной импликации могут служить два первых высказывания из рассмотренных в начале пункта.
Но существуют импликации, которым трудно придать какой-либо содержательный смысл. В логике условились, что истинность или ложность импликации должна зависеть только от истинности или ложности ее условия и заключения.
Считают, что импликация АВ истинна во всех случаях, кроме случая, когда А истинно, а В ложно. Следовательно, таблица истинности высказывания АВ такова:
Таблица 6.4
А В АВ
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И
Принятое соглашение об истинности и ложности импликации удобно во многих случаях и широко используется в математике.
Найдем значение истинности высказывания «Если я куплю билеты, то пойду в театр». Оно будет ложным только в том случае, если я куплю билет, а в театр не пойду. Во всех других случаях данная импликация истинна.
Рассмотрим Импликацию «Если число 44 кратно 8, то оно кратно 4». Высказывание А: «Число 44 кратно 8» является ее условием, а высказывание В: «Число 44 кратно 4» — ее заключение. Так как условие А данной импликации ложно, а заключение В истинно, то импликация «Если число 44 кратно 8, то оно кратно 4» — истинное высказывание.
Импликация «Если -3 < -1, то 9 < 8» ложна, поскольку ее условие -3 < -1 истинно, а заключение 9 < 8 ложно.
Высказывание «Если 2 – 2 = 5, то 62 = 12» истинно, так как представляет собой импликацию, условие и заключение которой — ложные высказывания.
Используя знаки конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации, также можно составлять различные составные высказывания.
5.2.6 Эквиваленция высказываний
Пусть имеется импликация двух высказываний АВ. Переставив местами ее условие и заключение, получим импликацию ВА. Ее называют импликацией, обратной импликации АВ. Например, если дана импликация «Если вам больше 16 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова: «Если вы имеете паспорт, то вам больше 16 лет».
Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций АВ и ВА, т.е. сложное высказывание (АВ) (ВА), которое называют эквиваленцией высказываний А и В.
Определение Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.
Эквиваленцию «А, если и только если В» обозначают символом: АВ (знак заменяет слова «если и только если»).
Составим таблицу истинности для этого высказывания:
Таблица 6.5
А В АВ
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
Например, если высказывание А: «Число 792 кратно 9», а высказывание В: «Сумма цифр числа 792 кратна 9», то эквиваленция данных высказываний А и В прозвучит следующим образом: «Число 792 кратно 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа кратна 9». Эта эквиваленция истинна, так как истинны оба высказывания, из которых она состоит.
Эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» ложна, потому что ложно высказывание «2 = 3».
5.3 Предикаты и операции над ними
5.3.1 Предикаты
Заметим, что не всякое повествовательное предложение является высказыванием. Например, предложения х < 5, х + у = 7, х+1=7 не являются высказываниями, так как мы не можем сказать, истинно или ложно каждое из этих предложений, пока неизвестно значение переменных, входящих в предложение.
Однако можно заметить следующее: если в неравенство х < 5 вместо х подставлять различные натуральные числа, то мы будем получать высказывания о натуральных числах — иногда истинные, иногда ложные. Так, если х = 6, то 6 < 5 - ложное высказывание, а если х = 2, то 2 < 5— истинное высказывание. Видим, что все натуральные числа, при подстановке которых неравенство х < 5 является истинным высказыванием, принадлежат множеству {1, 2, 3, 4}.
Уравнение х + 1 = 7 обратится в высказывание при любом натуральном значении х, но только при х = 6 это высказывание будет истинным.
Предложение «Число х делится без остатка на 5» также обращается в высказывание при любом натуральном значении х. Если вместо х подставлять числа 5, 10, 15, 20, 25, 30 и т. д., то это высказывание будет истинным; при значениях х, не кратных числу 5,— ложным.
Предложение «х > у» содержит две переменные. Оно обратится, в высказывание при подстановке вместо переменных пар натуральных чисел. Например, если х = 6, у = 4, то получим истинное высказывание 6 > 4; если х = 3, у=5, то — ложное 3 > 5.
Определение Предложение, содержащее одну или несколько переменных и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.
По числу входящих в предикат переменных различают одноместные, двухместные, трехместные и т. д. предикаты._ Предложения «Число х делится без остатка на 5», «х < 10» — одноместные предикаты, а предложение «х > у» — двухместный предикат.
С каждым из этих предикатов мы связывали два множества:
1) Множество всех натуральных чисел N. При подстановке чисел из N данные предложения обращались в высказывания (истинные или ложные).
2) Множество таких натуральных чисел, при подстановке которых мы получали истинные высказывания. Например, для предиката х < 5 таким множеством является множество {1, 2, 3, 4}.
Первое множество называют множеством определения предиката, второе — множеством его истинности.
Вообще, если дан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:
1. Множество (область) определения X, состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание.
2. Множество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание, причем Т Х.
Например, областью определения X предиката «Число х делится без остатка на 5» является множество всех натуральных чисел, т.е. X = N, а множество истинности Т есть множество всех натуральных чисел, кратных 5, т.е. Т = {5, 10, 15, ..., 5п ...}, пN.
Условимся одноместные предикаты обозначать так: А(х), хХ, где Х-множество определения данного предиката. Читают эту запись так: на множестве X задан предикат А от х.
Если вместо х подставить один из элементов аХ, то получится высказывание, которое обозначают: А(а).
Например, если А(х), xN,— предикат «х кратно 5», то А(7) — ложное высказывание «7 кратно 5», а А(60) — истинное высказывание «60 кратно 3».
Двухместный предикат будем обозначать А(х,у), x,уХ.
В учебниках начальных классов по математике мы не встречаем термина «предикат», но постоянно имеем дело с утверждениями, названными в логике предикатами. В учебниках математики для начальных классов можно встретить задачи вида: «Из ряда чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выпишите те значения буквы а, при которых верны записи:
а) а + 18 > 23; б) а + 18 = 23; в) а + 18 <23 ».
Сама формулировка задачи подчеркивает, что здесь нас в первую очередь интересует то общее, что свойственно всем данным предложениям (записям), а именно то, что они содержат переменную и при одних значениях а они могут быть верными (на языке логики — истинными высказываниями), а при других значениях а неверными (ложными). По сути дела в данном случае мы пользуемся понятием предиката, заданного на множестве Х={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} и отыскиваем множество истинности каждого из них.
В начальной школе мы говорим, что запись а + 18 > 23 верна при а = 6 и а = 7, т. е. множество истинности предиката а + 18 > 23 есть множество {6, 7}.
Запись а + 18 = 23 верна лишь при а = 5 иначе говоря, множество истинности этого предиката есть одноэлементное множество {5}.
Запись а + 18 < 23 верна при а = 0, 1, 2, 3, 4, что на языке множеств и логики означает следующее: множество истинности предиката а + 18 < 23 таково: {0,1,2,3,4}.
5.3.2 Отрицание предикатов
Предикаты, как и высказывания, бывают элементарные и составные. Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок.
Пусть на множестве X задан предикат А(х). Его отрицанием является предикат , областью определения которого является то же множество X и который истинен для тех и только тех х из множества X, для которых предикат А (х) ложен.
Например, рассмотрим на множестве Х={1, 2, 3, ..., 10} предикат А (х): «Число х больше 6». Множество истинности Т этого предиката состоит из чисел 7, 8, 9 и 10 , т. е. Т={7, 8, 9, 10}. Отрицанием данного предиката является предикат : «Число х не больше числа 6», хХ.

Х
Т
Множество истинности его состоит из числа 6 и из всех тех чисел множества X, которые меньше числа 6. Эти числа образуют множество, являющееся дополнением к множеству Т в множестве X. Следовательно, множество истинности предиката имеет вид: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Если Т — множество истинности предиката А(х), заданного на множестве X, то множеством истинности предиката будет множество , являющееся дополнением к множеству Т в множестве X (на рисунке 6.1 множество заштриховано).
Рис.6.1

5.3.3 Конъюнкция предикатов
Пусть на множестве X заданы два предиката А(х) и В(х). Тогда их конъюнкцией является предикат А(х) В(х), который истинен для тех и только тех элементов х из множества X, для которых оба предиката А(х) и В(х)) истинны.
Так, если на множестве Х={1, 2, 3, …, 11, 12} заданы предикаты: А(х): «Число х меньше 7» и В (х): «Число х простое», то конъюнкцией этих предикатов является предикат А(х) В(х): «Число х меньше 7 и простое», хХ.
Х
ТТ2
ТТ1
Т1∩Т2
Множеством истинности предиката А(х) является множество Т1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а множеством истинности предиката В(х) — множество Т2 = {2, 3, 5, 7, 11}. Предикат «Число х меньше 7 и простое» обращается в истинное высказывание при х = 2, х = 3, х = 5. Значит, множество истинности его есть множество {2, 3, 5}, представляющее собой пересечение множеств Т1 и Т2.
Вообще, если Т1— множество истинности предиката А (х), а Т2 - множество истинности предиката В(х), то множеством истинности предиката А(х) В(х), будет множество Т1∩Т2 (рис.6.2).
Рис.6.2

5.3.4 Дизъюнкция предикатов
Предикат А(х) В(х) на множестве X называется дизъюнкцией предикатов А(х), В(х). Он истинен только для тех элементов х из множества X, для которых истинен хотя бы один из предикатов А(х), В(х).
Рис.6.3
Х
Т2
Т1
Пусть, например, X — множество учащихся некоторого класса. На этом множестве заданы предикаты А(х): «Учащийся х — спортсмен» и В(х): «Учащийся х — темноволосый». Дизъюнкцией этих предикатов является предикат А(х) В(х): «Учащийся х-спортсмен или темноволосый». Множеством истинности предиката А(х) является множество Т1 всех тех учащихся данного класса, которые занимаются спортом, а множество истинности Т2 предиката В(х) состоит из всех темноволосых учащихся этого класса. В множество истинности дизъюнкции. А(х) В(х) войдут те учащиеся, которые занимаются спортом или имеют темные волосы, т. е. учащиеся, принадлежащие объединению множеств Т1 и Т2. Множество истинности предиката А(х) В(х) есть объединение множеств Т1 и Т2 , т. е. множество Т1Т2 (рис. 6.3).
5.3.5 Импликация предикатов
Пусть на множеств X заданы два предиката А(х) и В(х). Предикат А(х) В(х), xX называют импликацией данных предикатов. Он обращается в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества X, при которых предикат А(х) истинен, а предикат В(х) является ложным высказыванием. При всех других значениях х из множества Х предикат А(х) В(х) истинен.
Рассмотрим примеры импликации предикатов.
Пример1 На множестве Х = {1, 2, 3.....10} зададим предикат А(х): «Число х
кратно 3» и предикат В(х): «Число х четно». Тогда предикат А(х) В(х) имеет смысл: «Если число х кратно 3, то оно четно». Найдем множество истинности этого предиката. Обозначим через Т1, множество истинности предиката А(х), а через Т2 - множество истинности предиката В(х). Нетрудно убедиться в том, что Т1 = {3, 6, 9}, Т2 = {2, 4, 6, 8, 10}. Изобразим множества X, Т1, и Т2 при помощи диаграмм Эйлера-Венна (рис. 6.4).
Рис.6.4
2413097980500Пользуясь определением импликации, выясняем, что предикат «Если число х кратно 3, то оно четно» обращается в ложное высказывание при х = 3 или х = 9. При всех других значениях х из множества X данная импликация истинна. Таким образом, множество Т3 = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10} является множеством истинности импликации «Если число х кратно 3, то оно четно», определенной на множестве X. На рисунке 6.4 множество Т3 заштриховано. Видим, что множество Т3 состоит из элементов множества Т2 и элементов дополнения к множеству Т1, т.е. T3 =T2. Вообще, множество истинности предиката А(х)В(х) является объединением множества истинности предиката В(х) с дополнением к множеству истинности предиката А(х).
Пример 2 На множестве Х = {1, 2, 3..... 10, 11, 12} рассмотрим предикат А(х): «Число х кратно 6» и предикат В(х): «Число х четно». Тогда импликация А(х)В(х) такова: «Если число х кратно 6, то оно четно».
Множеством истинности предиката А(х) является множество Т1 = {6, 12}, а множеством истинности предиката В(х) - множество Т2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Замечаем, что в данном случае Т1 Т2, т.е. во всех случаях, когда истинен предикат А(х), то истинен и предикат В(х).
Подставляя значения х из множества X в предикат «Если число х кратно 6, то оно четно», убеждаемся в том, что множество истинности Т3 этого предиката совпадает с его областью определения, т.е. Т3 = Х. Другими словами, предикат «Если число х кратно 6, то оно четно» обращается в истинное высказывание при всех значениях х из множества X.
Вообще, что предикат А(х) => В(х), заданный на множестве Х, может быть истинен при всех х из множества X тогда и только тогда, когда множество истинности Т1 предиката А(х) является подмножеством множества истинности Т2 предиката В(х), т.е. Т1 Т2.
Если импликация А(х) => В(х) обращается в истинное высказывание при всех значениях х из области ее определения X, то говорят, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х). Поэтому импликацию «Если число х кратно 6, то оно четно» можно прочитать так: «Из того, что число х кратно 6, следует, что х — число четное». Импликацию «Если число х кратно 3, то оно четно», определенную на множестве Х={1, 2, 3, ..., 10}, в таком виде сформулировать нельзя, поскольку множество {3, 6, 9} не является подмножеством множества {2, 4, 6, 8, 10}.
В школьном курсе математики чаще всего рассматривают импликации, истинные при всех х из области их определения. Например, теорема «Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный» представляет собой импликацию, в которой предикат «Треугольник равнобедренный» логически следует из предиката «В треугольнике углы при основании равны».
В начальной школе рассматриваются различные импликации, определенные на множестве натуральных чисел:
«Если а > в, то в < а»; «Если а – в = с, то а = с + в»; «Если а + в = с, то а =с– в»…
5.4 Кванторы. Правила построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы
5.4.1 Кванторы
Пусть на множестве всех натуральных чисел определен предикат «х — составное число». Подставляя в него значения х из множества натуральных чисел, мы получаем истинные или ложные высказывания.
Кроме этого пути превращения предиката в высказывание, имеются и другие. Так, из данного выше предиката и слова «все» можно построить такое высказывание: «Все числа составные». Это высказывание ложное, поскольку можно назвать натуральные числа, не являющиеся составными. Если вместо слова «все» поставить слово «существуют», то получим новое высказывание: «Существуют составные числа». Это высказывание истинно.
Для записи таких высказываний используют специальные знаки и , которые называют кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и обозначает «сколько», т.е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении. Различают квантор общности и квантор существования.
Символ употребляют вместо таких слов, как «все», «каждый», «любой», «всякий», и называют квантором общности.
Символ применяют вместо слов: «существует», «какой-нибудь», «хотя бы один», «найдется» и называют квантором существования.
Таким образом, если перед одноместной высказывательной формой поставить какой-либо квантор (т.е. слово «любой», «всякий», «существует» и т.д.), то получаем высказывание. Значит, получить из одноместной высказывательной формы высказывание можно не только подставляя в нее конкретные значения переменной, но и поставив перед высказывательной формой квантор (общности или существования).
Формы высказывания с квантором имеют многие математические предложения, например:
Все квадраты являются прямоугольниками;
Некоторые четные числа делятся на 4.
Часто в высказываниях квантор опускается: например, переместительный закон сложения чисел записывается в виде равенства а + в = в + а, т.е. переместительный закон сложения есть высказывание с квантором общности.
Кванторы общности и существования применяют и к двухместным предикатам, и к трехместным и т. д.
Как установить значение истинности высказываний с квантором?
Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно привести контрпример.
Рассмотрим высказывания:
Сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
Любой прямоугольник является квадратом.
Чтобы установить истинность первого высказывания обозначим последовательные натуральные числа через х, х + 1, х + 2 и докажем, что при любом х сумма х + (х + 1) + (х + 2) делится на 3.
Выражение х + (х + 1) + (х + 2) х + (х + 1) + (х + 2) можно преобразовать к виду
х + (х + 1) + (х + 2) = 3(х + 1). Так как 3 делится на 3, то и произведение 3(х + 1) делится на 3. Следовательно, и сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
Второе высказывание - ложно. Чтобы убедится в этом, достаточно нарисовать прямоугольник, не являющийся квадратом. Чтобы опровергнуть данное высказывание привели контрпример.
Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.
Рассмотрим высказывания:
1. Существуют натуральные числа, кратные 3.
2. Существуют прямоугольные равносторонние треугольники.
Первое высказывание истинное. Чтобы обосновать этот вывод, достаточно привести пример. 9 — число натуральное и длится на 3.
Второе высказывание ложное. Действительно, в прямоугольном треугольнике один угол обязательно содержит 90°, а в равностороннем треугольнике величина всех углов 60°. Значит, среди прямоугольных треугольников равносторонних нет.
Таким образом, чтобы обосновать вывод во втором случае, нам пришлось провести доказательство.
В начальном курсе математики высказывания с кванторами встречаются часто. По существу, все высказывания общего характера являются высказываниями с квантором общности. Такими являются, например, высказывания:
a + b = b + a 0 + a = a a · b = b · a
0 · а = 0 1 · а = а а : 1 = а.
Действительно, для любых натуральных чисел b и а имеет место переместительное свойство сложения и умножения: для любого натурального числа а справедливы равенства: 0 + а = а, 0 · а = 0.
5.4.2 Правила построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы
Рассмотрим высказывание: «Все натуральные числа делятся 3». В том, что это ложное высказывание, легко убедиться, приведя контрпример. Так, натуральное число 17 не делится 3.
Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что все натуральные числа делятся на 3». Это предложение истинное, и по смыслу оно совпадает с предложением «Существуют натуральные числа, которые не делятся на 3». Таким образом, отрицание высказывания «Все натуральные :числа делятся на 3» можно построить двумя способами:
1) поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;
2) заменив квантор общности на квантор существования, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.
Заметим, что предложение «Все натуральные числа не делятся на 3» не является отрицанием высказывания «Все натуральные числа делятся на 3», поскольку оно ложно так же, как и данное высказывание.
Возьмем теперь предложение с квантором существования: «Некоторые нечетные числа делятся на 4». Это ложное высказывание: все нечетные числа не делятся на 2 и, следовательно, не делятся на 4.
Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что некоторые нечетные числа делятся на 4». Это предложение истинное и по смыслу совпадает с таким: «Все нечетные числа не делятся на 4».
Таким образом, отрицание высказывания «Некоторые нечетные числа делятся на 4» можно построить двумя способами:
1) поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;
2) заменив квантор существования на квантор общности, предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.
При построении отрицаний высказываний мы воспользовались правилом, которое принимаем без доказательства.
Отрицание высказывания с квантором (общности или существования) может быть построено двумя способами:
1) перед данным высказыванием ставятся слова «неверно, что»;
2) квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после квантора, заменяется его отрицанием.
Заметим, что сформулированное правило является достаточным для правильного построения отрицания высказываний с квантором. Отрицание данного высказывания может быть построено и в другой форме. Важно только соблюдение требования: если данное высказывание ложно, то его отрицание должно быть истинным, и наоборот.
5. 5 Законы логики высказываний
5.5.1 Равносильные формулы
Определение Две формулы логики высказываний, определяющие одну и ту же функцию, называются равносильными.
Равносильность формул мы обозначим знаком ≡.
Отношение равносильности формул логики высказываний (так же как отношение тождественности алгебраических выражений) является:
а) рефлексивным, т. е. ≡ для любой формулы ;
б) симметричным, т. е. если 1 ≡ 2,. то 2 ≡ 1 для любых формул 1 и 2;
в) транзитивным, т. е. если 1 ≡ 2 и 2 ≡ 3 то 1 ≡ 3, для любых формул 1, 2 и 3.
Таким образом, отношение равносильности является отношением типа эквивалентности.
Эти свойства позволяют заменить любую формулу равносильной ей, если нас интересует не структура формулы, а определяемая ею функция, и лежат в основе преобразования формул с целью их упрощения или приведения к определенной, стандартной форме.
Так же как при преобразовании алгебраических выражений используются свойства арифметических операций, при преобразовании формул логики высказываний используются свойства логических операций.
5.5.2 Законы логики высказываний
Приведем перечень наиболее важных равносильностей формул, выражающих свойства логических операций (законы логики высказываний), непосредственно усматриваемых из определений этих операций или легко устанавливаемых с помощью таблиц истинности.
1. ≡ р (закон двойного отрицания).
2. pq ≡ qp (коммутативность конъюнкции).
3. рq ≡ qp (коммутативность дизъюнкции).
4. p(qr) ≡ (p q)r (ассоциативность конъюнкции).
5. р(qr) ≡ (pq)r (ассоциативность дизъюнкции).
6. р(qr) ≡ (pq)(pr) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции).
7. p(qr) ≡ (pq)(pr) (дистрибутивность, дизъюнкции относительно конъюнкции).
8. р≡ И (закон исключенного третьего).
9. р≡ Л (закон противоречия).
10. .
5.6 Отношения следования и равносильности между предложениями
Любое рассуждение не обходится без слов «следовательно», «из данного предложения следует», «отсюда вытекает». Какой смысл вкладывается в эти слова? Возьмем два предложения: предложение А — «х кратно 4» и предложение В — «х кратно 2». Они связаны между собой: любое число, кратное 4, будет кратно 2, или иначе: «из того, что число кратно 4, следует, что оно кратно 2».
Говорят, что из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, истинно и предложение В.
Предложение «Из А следует В» можно записать, используя символ =>, таким образом: А=>В. Знак «=>» — это знак отношения следования между предложениями.
Запись А=>В читают по-разному: а) из А следует В; б) В следует из А; в) если А, то В; г) есть А, следовательно, есть В; д) всякое А есть В.
Например, предложение «Из того, что число х кратно 4, следует, что оно кратно 2» можно сформулировать еще и так: а) всякое число, которое делится на 4, делится и на 2; б) если число делится на 4, то оно делится и на 2; в) число х делится на 4. Следовательно, оно делится и на 2.
Пусть даны предложения: А — «Треугольник равнобедренный» и В — «Углы при основании треугольника равны». Выясним, как они связаны между собой.
В курсе геометрии доказано, что если треугольник равнобедренный, то углы в нем при основании равны (т. е. можно утверждать, что А=>В), и обратно: если углы при основании треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный (т. е. В=>А).
Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения 4 и В равносильны.
Согласно этому определению предложения «Треугольник равнобедренный» и «Углы при основании треугольника равны» равносильны.
Предложение «А равносильно В» записывают, используя знак : АВ. Запись АВ читают по-разному: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда, когда В; в) А, если и только, если В.
Пример. Даны предложения: А — «Углы X и Y вертикальные», В — «Углы X и Y равны». Выясним, в каком отношении находятся данные предложения.
В геометрии доказано, что если углы вертикальные, то они равны, т. е. А=>В, а вот следования В=>А нет: из того, что углы равны, не следует, что они вертикальные. Значит, данные предложения не равносильны, они находятся только в отношении следования, причем из А следует В.
5.7 Необходимые и достаточные условия
Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.
Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В — необходимое условие для А, а А — достаточное для В.
Другими словами, предложение В называется необходимым условием для А, если оно логически следует из А. Предложение А называется достаточным условием для В, если В из него следует.
А=>В
В – необходимое условие для А
А - достаточное условие для В
Если предложения А и В равносильны, то говорят, что А — необходимое и достаточное условие для В, и наоборот.
Пример 1. Ранее мы установили, что из предложения А – «X и У вертикальные» следует предложение В - «Углы X и У равны». Поэтому согласно данному выше определению можно сказать, что равенство углов — необходимое условие для того, чтобы углы были вертикальными, а вертикальность углов есть достаточное условие для их равенства. В связи с этим предложение «Если углы вертикальные, то они равны» можно сформулировать иначе, использовав слова «необходимо» и «достаточно»:
1) Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.
2) Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.
Пример 2. Пусть А — предложение «Запись числа х оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8», а В — предложение «Число х делится на 2». Как известно, из того, что запись числа х оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8 следует, что это число делится на 2. Справедливо и обратное утверждение. Значит, данные предложения А и В равносильны и каждое из них является необходимым и достаточным условием для другого. Поэтому можно сказать: для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы запись этого числа оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Получили известный признак делимости чисел на 2.
Пример 3. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.
Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник — ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:
1) Из того, что четырехугольник — ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
2) Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Если четырехугольник — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
4) Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.
В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы — соответственно слова «нужно» и «можно».
Приведем пример. Задача. В первой коробке б карандашей, во второй - на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?
Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: Можно ли сразу узнать, сколько всего карандашей (т. е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?
Учащийся отвечает:
— Нельзя. Нужно еще знать, сколько карандашей во второй коробке (т. е. необходимо это знать). Учитель далее спрашивает:
— Можно ли узнать, сколько карандашей во второй коробке (т. е. достаточно ли данных в задаче, чтобы ответить на этот вопрос)?
— Можно,— отвечает учащийся.
— Что для этого нужно сделать? — спрашивает учитель и т. д.
Правильное употребление учащимся слов «нужно» и «можно» — залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.
5.8 Теорема. Виды теорем
Ранее мы отмечали, что существенные свойства объекта образуют содержание понятия об этом объекте. Часть этих свойств включается в определение понятия. Чтобы иметь достаточно полное представление об объекте, изучают и другие его свойства.
Свойства основных (первоначальных) понятий раскрываются в аксиомах - предложениях, принимаемых без доказательства. Например, свойства основных понятий геометрии «точка», «прямая», «плоскость» включены в аксиомы (в переводе с греческого означает «достойное признание»):
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Мы назвали лишь некоторые аксиомы, раскрывающие свойства данных понятий.
Вообще система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает, по сути дела, их определения. Эти определения называются аксиоматическими.
Свойства понятий, не являющиеся основными и не включенные в определения, как правило, доказываются, т. е. выводятся как следствия из определения, аксиом и ранее доказанных свойств.
Доказываемые свойства понятий чаще всего называют теоремами, иногда следствиями или признаками. В алгебре — формулами, тождествами, правилами. Несмотря на разные названия, устроены эти предложения одинаково. Поэтому будем называть их все теоремами (от греческого слова teorema – рассматриваю, обдумываю).
Определение 1. Теорема — это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В. Истинность этого высказывания устанавливается путем доказательства.
Определение 2. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.
Так как теорема есть высказывание вида А=>В, то ее словесная формулировка может иметь различную форму. Однако, в каком бы виде ни была сформулирована
теорема, в ней всегда выделяется условие А (что дано) и заключение В (что надо доказать).
Например, в параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
Условие теоремы: А – четырехугольник - параллелограмм, диагонали пересекаются;
Заключение теоремы: В – точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.
Чтобы легче выделить условие и заключение теоремы, ее часто формулируют в виде импликации, применяя логический союз: «если…, то».
Так теорему о диагоналях параллелограмма можно сформулировать следующим образом: «Если четырехугольник – параллелограмм и диагонали пересекаются, то в точке пересечения они делятся пополам».
Известно, что имея некоторую теорему А => В, назовем ее прямой теоремой можно образовать новые теоремы:
Обратную: В=>А;
Противоположную: ;
Обратную противоположной: .
Теоремы А=>В и В=>А называются обратными друг другу, а теоремы А=>В и называются противоположными друг другу. Теоремы А=>В и называют обратно - противоположными (или контрапозитивными ).
Проиллюстрируем эти виды теорем на следующем примере.
1.Если четырехугольник – параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам (А=>В).
2. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм (В=>А).
3. Если четырехугольник не параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, не делятся пополам ().
4. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм ().
Если окажутся верными и данная теорема и ей обратная, то можно их объединить в одну с помощью слов «тогда и только тогда, когда» или «необходимо и достаточно».
В данной иллюстрации все четыре теоремы истинны, в чем можно легко убедиться, проведя их доказательство.
Однако так бывает не всегда. Рассмотрим серию теорем.
Если углы вертикальные, то они равны (А=>В). Прямая теорема истинна.
2. Если углы равны, то они вертикальные (В=>А). Обратная теорема ложна.
3. Если углы не вертикальны, то они не равны» (). Противоположная теорема ложна.
4. Если углы не равны, то они не вертикальные (). Теорема обратная противоположной, истинна.
Последний пример показывает, что:
а) хотя прямая теорема истинна, обратная ей теорема ложна (например, прямые углы равны, но они не являются вертикальными);
б) верна не только прямая теорема, но и теорема, обратная противоположной;
в) неверна не только обратная теорема, но и противоположная ей теорема.
Обнаруженные свойства не случайны. Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь, именно:
а) (p q) и () – одновременно истинны или ложны;
б) (q p) и () – одновременно истинны или ложны.
Каждое из этих свойств показывает, что имеют место следующие законы логики высказываний (эти равносильности выражают закон контрапозиции):
1) (p q) ()
(q p) ().
Взаимосвязь теорем значительно облегчает практику их изучения. Рассматривая свойства математических объектов, которые выражаются теоремами, нет необходимости изучать все четыре вида теорем; достаточно установить истинность или ложность одной какой-нибудь логический неравносильной пары теорем (прямой и обратной или прямой и противоположной), так как истинность или ложность одной такой пары влечет за собой истинность или ложность остальных двух теорем. Вот почему в любом курсе математики обычно встречаются лишь прямая и обратная теоремы, а остальные теоремы встречаются редко.
5.9 Способы доказательства теоремы
5.9.1 Дедуктивные рассуждения
Доказать теорему А => В — это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А, будет выполняться и свойство В.
Доказательство в математике обладает рядом особенностей. В частности, оно проводится по правилам логики без каких-либо ссылок на наглядность и опыт.
В основе доказательства лежит рассуждение — логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое (по отношению к исходным) знание.
В качестве примера рассмотрим рассуждение первоклассника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что 7 при счете называют раньше, чем 8».
Выясним, на какие, факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.
Таких фактов два:
1. Если число а при счете называют раньше числа b, то a < b (для любых натуральных чисел а и b).
2. 7 при счете называют раньше, чем 8.
Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности, подчеркивающий, что предложение имеет место для любых натуральных чисел а и b его называют общей посылкой.
Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8, отражает частный случай, его называют частной посылкой.
Из двух посылок и выведен новый факт (7 < 8), его называют заключением.
Вообще в любом рассуждении есть посылки и есть заключение. Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.
Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.
Дедукция (от латинского слова deductio - выведение) есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение.
Сущность дедукции состоит в том, что данный частный случай подводится под общее положение.
Правильность дедуктивного умозаключения зависит от справедливости обеих посылок. Если обе посылки верны и правильно применено правило вывода, то заключение бесспорно.
Дедуктивные умозаключения могут быть представлены следующими видами:
Умозаключение от более общего положения к менее общему положению.
Умозаключение от общего положения к общему положению.
Умозаключение от единичного к общему.
Приведем примеры:
а) Общее суждение: НОД (а,в) =1, если а и в – взаимно простые числа;
частное суждение: НОД (14,15) =1
новое частное суждение: числа 14 и 15 взаимно просты;
б) Все четные числа делятся на 2. Все нечетные числа не делятся на 2. Ни одно четное число не является одновременно четным числом;
в) Число 2 – простое число. Число 2 – натуральное число. Некоторые натуральные числа являются простыми.
Другими словами, рассуждение дедуктивно, если с его помощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключение. В противном случае рассуждение считается недедуктивным.
Каковы же те условия, при которых рассуждение будет дедуктивным?
Обратимся к примерам.
Пример 1. Дано рассуждение, в котором:
общая посылка: «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2»;
частная посылка: «Число 12 кратно 4»;
заключение: «Число 12 кратно 2».
В этом рассуждении и посылки, и заключение истинны. Можно предположить, что оно дедуктивное.
Пример 2. Дано рассуждение, в котором:
общая посылка: «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2»;
частная посылка: «Число 126 кратно 2»;
заключение: «Число 126 кратно 4».
В данном рассуждении посылки истинны, а заключение ложно — число 126 на 4 не делится. Значит, это рассуждение не является дедуктивным, и, следовательно, истинность посылок не единственное условие, обеспечивающее дедуктивность рассуждения.
Что же еще важно для получения истинного заключения?
Сравним проведенные рассуждения. Для этого представим их в символической форме. Если обозначить через А предложение «Натуральное число х кратно 4», а через В — предложение «Натуральное число кратно 2», то общая посылка в обоих рассуждениях будет иметь вид А=>В. Вторая посылка в примере 1 частная, она получается, если в предложение А вместо х подставить 12. Обозначим ее А(12). Тогда заключение в первом рассуждении можно обозначить В(12). Для другого примера: вторая посылка имеет вид В(126), а заключение А(126).
В соответствии с введенными обозначениями данные рассуждения можно представить в таком виде:
Пример 1
I общая посылка: А=>В
II частная посылка: А (12)
Заключение: В (12)
Пример 2
I общая посылка: А=>В
II частная посылка: В (126)
Заключение: А (126)
В первом примере рассуждение проводилось по схеме (А => В и А(12)) => В (12), а во втором: (А=>В и В(126)) => А (126). Как видим, схемы рассуждений различны.
Схема, которую использовали в первом случае, привела к истинному заключению, а вторая схема рассуждения — к ложному.
Рассмотренные примеры позволяют утверждать, что истинность посылок не всегда гарантирует истинность заключения. Необходимо еще рассуждать по таким схемам (правилам), которые обеспечивают такое заключение.
5.9.2 Прямой способ доказательства
Основным способом математических доказательств является дедуктивный вывод. При этом математическое доказательство представляет собой такую цепочку дедуктивных рассуждений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих рассуждений.
Доказательство истинности утверждения 7 < 8 состояло из одного рассуждения, содержащего один шаг.
Рассмотрим примеры доказательств, состоящих из двух и более шагов рассуждений.
Пример 1. Докажем, что каждая диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
Доказательство:
1. В любом параллелограмме противоположные стороны равны; ABCD — параллелограмм (рис. 6.5), следовательно, AB = CD, BC = AD. Рассуждение проведено согласно правилу заключения, значит, полученный вывод истинен.
2. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны: AB = CD, BC = AD, сторона АС общая, следовательно, треугольники ABC и ACD равны.
И в этом случае рассуждение велось по правилу заключения, значит, вывод истинен. Теорема доказана.
Заметим, что доказательство теоремы состояло из двух шагов рассуждений, проведенных в полной логической форме с указанием всех посылок. Однако такие доказательства громоздки, и поэтому обычно их ведут в свернутой, сокращенной форме, опуская отдельные посылки в схемах рассуждений.
Например, проведенное нами доказательство в свернутой форме может быть таким: в треугольниках ABC и ACD стороны АВ и CD, AD и ВС равны как противоположные стороны параллелограмма ABCD, сторона АС у них общая, следовательно, треугольники ABC и ACD равные.
Пример 2. Докажем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
А
В
С
D
Доказательство. Проведем его сначала в свернутой форме. Рассмотрим треугольники АОВ и AOD (рис. 6.6).
D
А
В
С


рис.6.5 рис.6.6
В них: AB = AD — стороны ромба, BO = OD, так как в точке пересечения диагонали ромба делятся пополам; АО — общая сторона. Следовательно, АОВ = AOD.
Из равенства этих треугольников имеем, что АОB = AOD, но эти углы смежные. Поэтому углы АОВ и AOD прямые, и, следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Выполним логический анализ доказательства, т. е. выделим цепочку рассуждений и установим используемое в каждом звене правило вывода.
1. В ромбе все стороны равны; ABCD — ромб, следовательно, AB = AD (правило заключения).
2. В ромбе диагонали делятся в точке пересечения пополам; ABCD — ромб, следовательно, BO = OD (правило заключения).
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны; AB = AD, BO = OD, сторона АО общая, следовательно, треугольники АОВ и AOD равны (правило заключения).
4. Если треугольники равны, то их соответственные углы равны; АОВ = =AOD, следовательно, ВОА = AOD (правило заключения).
5. Если смежные углы равны, то они прямые; углы АОВ и AOD смежные и равные, следовательно, они прямые (правило заключения).
6. Если прямые при пересечении образуют прямые углы, то они перпендикулярны; углы АОВ и AOD прямые, следовательно, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны (правило заключения).
Таким образом, доказательство данного предложения представляет собой цепочку дедуктивных рассуждений, проводимых в каждом случае по правилу заключения, которое обеспечивает истинность выводов. Заключение каждого из рассуждений, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих рассуждений.
По способу ведения доказательства подразделяются на прямые и косвенные. Все рассмотренные ранее доказательства были прямыми: в них, основываясь на каком-либо истинном предложении, строилась цепочка дедуктивных рассуждений, приводившая к истинному заключению.
К прямым доказательствам относится и полная индукция. Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой общественно - исторической и производственной практики людей и обязана своим происхождением наблюдению и опыту. Как разновидность умозаключения индукция упомянута впервые в трудах древнегреческого философа Сократа (469-399 гг. до н.э.).
Термин «индукция» (латинское induction – наведение, побуждение) имеет три основных значения:
Это один из видов умозаключений, при котором из двух или нескольких частных суждений получают новое общее суждение (вывод);
Это метод исследования, при котором, желая изучить некоторое свойство объектов, изучают отдельные объекты, устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов;
Это форма изложения материала в процессе обучения, когда от менее общих положений приходят к общим положениям (заключениям, выводам).
Различают два основных вида индуктивных умозаключений: полную и неполную индукцию.
Полной индукцией называется умозаключение (вывод), основанное на рассмотрении всех частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.
Если число этих случаев конечно, и все они рассмотрены, то вывод, сделанный посредством полной индукции, можно считать обоснованным. Таким образом, заключение, обоснованное на полной индукции, является вполне достоверным, поэтому полная индукция употребляется и как метод строго научного доказательства. Однако ею пользуются редко из-за ее громоздкости при большом числе частных случаев и редкой возможности применения, когда число частных бесконечно.
Рассмотрим высказывание:
Любое число 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является решением неравенства х+2 > х.
Чтобы убедиться в этом рассмотрим случаи:
При х = 0 имеем 0 + 2> 0, т.е. истинное числовое неравенство.
При х = 1 имеем 1 + 2> 1, т.е. истинное числовое неравенство.
При х = 2 имеем 2 + 2> 2, т.е. истинное числовое неравенство.
………………………………………………………………………
При х = 9 имеем 9 + 2> 9, т.е. истинное числовое неравенство.
Действительно любое число из совокупностей 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является решением неравенства х+2 > х, т.е.высказывание «Любое число 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является решением неравенства х+2 > х» - истинное высказывание. Мы установили
это, рассмотрев все частные и возможные случаи. Использованный нами способ доказательства называется полной индукцией.
5.9.3 Косвенный способ доказательства
Примером косвенного доказательства является доказательство способом от противного.
Рассмотрим пример такого доказательства. Докажем, что если две различные прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой.
Доказательство. Допустим противное, т. е. что прямые а и b не параллельны между собой. Тогда они пересекутся в некоторой точке Р, не принадлежащей прямой с. Так как по условию а параллельна с и b параллельна с, то приходим к тому, что через точку Р вне прямой с можно провести две различные прямые, параллельные прямой с. Это высказывание противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, наше предположение неверно. Но тогда истинна данная теорема.
Суть доказательства теоремы А => В способом от противного заключается в следующем. Допускают, что заключение теоремы В ложно, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив это предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), выводят из них следствия до тех пор, пока не получится предложение, противоречащее одной из посылок. Заключая процесс рассуждения, говорят, что полученное противоречие доказывает теорему.
Еще одной формой косвенного доказательства является доказательство, основанное на законе контрапозиции. Суть его в том, что вместо теоремы А => В доказывают равносильную ей теорему вида . Если эта теорема оказывается истинной, то истинна и исходная теорема.
Докажем, что если дробь несократима, то и дробь тоже несократима.
Доказательство. Допустим, что - сократимая дробь. Тогда ее числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, например т, т. е. a = mq, b = mp.
Значит, = = , т.е дробь сократима.
Таким образом, доказана истинность предложения: «Если дробь сократима, то будет сократима и дробь ». Это предложение представляет собой теорему, обратную противоположной. Значит, по закону контрапозиции будет истинна и исходная теорема.
5.10 Правильные и неправильные рассуждения
5.10.1 Правильные рассуждения
Считают, что в основе каждого дедуктивного рассуждения лежит определенное правило вывода. Мы рассмотрим три таких основных правила, приняв их без доказательства.
1. Правило заключения: (А=>В и А(а)) =>В (а), где А=>В — общая посылка, А (а) — частная посылка, В (а) — заключение.
2. Правило отрицания: (А=>В и ) =
3. Правило силлогизма: (А=>В и (В=>С) =>(А=>С).
Применение этих правил гарантирует, что рассуждение будет дедуктивным, т. е. позволяет из истинных посылок выводить истинное заключение.
Покажем, как используются данные правила для проверки правильности рассуждения.
Задача. Являются ли следующие рассуждения дедуктивными:
1) Все числа, запись которых оканчивается нулем, делятся на 5; число не делится на 5, следовательно, его запись не оканчивается нулем.
2) Если натуральное число кратно 8, то оно кратно 4; если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2; следовательно, если число кратно 8, то оно кратно 2.
Решение:
1) Определим схему приведенного рассуждения. Сначала сформулируем общую посылку в виде условного предложения: «Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5». Затем обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчивается нулем», а буквой В предложение «Число делится на 5». Тогда общая_посылка примет вид А=>В, частная — это В, а заключение — , т. е. имеем рассуждение по схеме: (А =>В и ) => .
Это правило отрицания, гарантирующее истинность заключения. Следовательно, данное рассуждение дедуктивное.
2) Если обозначить через А предложение «Натуральное число кратно 8», через В предложение «Натуральное число кратно 4», через С предложение «Натуральное число кратно 2», то схема данного рассуждения примет вид:
(А=>В и В=>С)=>(А=>С).
Такая схема — это правило силлогизма — гарантирует при истинности посылок истинность заключения. Значит, данное рассуждение дедуктивное.
5.10.2 Неправильные рассуждения
Рассмотрим следующее высказывание:
Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5; число не оканчивается нулем, следовательно, оно не делится на 5.
Обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчивается нулем», буквой В предложение «Число делится на 5». Тогда схема данного рассуждения будет иметь вид (А=>В и )=>. Она приводит к ложному выводу: например, число 15 не оканчивается нулем, но оно делится на 5. Вообще эта схема рассуждения не гарантирует истинности заключения — она может привести как к истинному, так и к ложному заключению.
Рассуждение по схеме, приводящей в одном случае к истинному заключению, а в другом — к ложному, считают недедуктивным. Следовательно, данное рассуждение недедуктивное. Целесообразно запомнить две схемы недедуктивных рассуждений: (А=>В и В) =>А; 2) (А=>В и )=>.
Эти схемы не гарантируют истинности заключения при истинности посылок.
Заметим, что полное дедуктивное рассуждение по приведенным схемам требует указания двух посылок. Однако в процессе суждений эти схемы иногда сокращают, опуская, например, общую посылку.
В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, а также невыполнение условий применимости теорем и формул, применение ошибочного чертежа приводят к неверному выводу, ложному заключению. И стали умышленно придумывать неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения получили названия софизмов. Разбор софизмов не только формирует умение правильно рассуждать, но и помогает усваивать многие математические факты.
Рассмотрим пример софизма. Докажем, что 5 = 1.
Для этого из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим 5 – 3 = 2, 1 – 3 = -2.
Возведем числа 2 и -2 в квадрат. Результатом этого явятся равные числа: 22 = 4,
(-2)2= 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Итак, 5=1. Ясно, что заключение в проведенном рассуждении ложно. Но где допущена ошибка?
Проанализируем проведенное рассуждение. Оно состоит из трех шагов, причем воспроизведенных в сокращенном виде. Мы же восстановим обе посылки каждого шага.
1-й шаг (вычитание из 5 и 1 целого числа 3).
Общая посылка: «Разность любых целых чисел существует».
Частная посылка: «Числа 5, 1 и 3 целые».
Заключение: «Разность 5 - 3, 1 - 3 существует, и 5 - 3 = 2, 1 – 3 = -2».
Так как рассуждение велось по правилу заключения, то при истинных посылках мы получили истинное заключение. Поэтому ошибок на этом шаге нет.
2-й шаг (возведение чисел 2 и -2 в квадрат).
Общая посылка: «Квадраты любых целых чисел всегда существуют и являются неотрицательными числами».
Частная посылка: «Числа 2 и -2 целые».
Заключение: «Квадраты чисел 2 и -2 существуют, причем 22 = 4, (-2)2 = 4».
Рассуждение также велось по правилу заключения, получили истинный вывод. Поэтому ошибок на этом шаге не допущено.
3-й шаг (заключение о равенстве чисел 5 и 1).
Общая посылка: «Если числа равны, то равны и их квадраты».
Частная посылка: «Квадраты чисел равны (4 = 4)».
Заключение: «Равны и сами числа 5 – 3 = 1 - 3, или 5 = 1». На этом этапе рассуждение велось по схеме (А=>В и В) =>А, а она не гарантирует истинности заключения. В результате и было получено ложное заключение.
К недедуктивным рассуждениям относится неполная индукция. С точки зрения логики неполной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких суждений, относящихся к рассматриваемому понятию.
Неполная индукция представляет собой такое рассуждение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.
Например. Если в выражение п2 + п + 41 вместо п подставлять числа 1, 2, 3, 4 и т. д., то можно заметить, что при п=1 значение выражения равно простому числу 43, при п = 2 значение выражения равно простому числу 47, при п = 3 значение выражения равно простому числу 53 и т. д.
Опираясь на полученные результаты, можно заключить, что при любом натуральном п значение выражения п2 + п + 41 есть простое число.
Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5, 95 делится на 5. Учитывая это, заключаем, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5.
В рассмотренных рассуждениях мы на основании ряда частных случаев сделали общий вывод. Такие рассуждения называют неполной индукцией.
Выводы, полученные при неполной индукции, могут быть как истинными, так и ложными. Так, вывод о том, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5, истинен. А утверждение «При любом натуральном п значение выражения п2 + п + 41 есть простое число» ложно. Действительно, если п = 41, получаем 412 + 41 +41 = 412 + 2·41 = 41 · (41 + 2) = 41 · 43, т. е. значение выражения «п2 + п + 41» оказывается составным числом.
К выводам, полученным при помощи неполной индукции, надо относиться критически. Эти выводы носят характер предположения, гипотезы, которую следует либо доказать (дедуктивным способом), либо опровергнуть. Таким образом, в процессе познания дедуктивные и индуктивные рассуждения оказываются взаимосвязанными.
Несмотря на то, что индуктивные рассуждения не всегда приводят к правильным выводам, роль их в изучении математики и других предметов велика. В ходе индуктивных рассуждений формируется умение видеть общее в конкретных, частных случаях, высказывать догадки.
В начальной школе неполный индуктивный вывод применяется часто. Как правило, все общие закономерности здесь выводятся индуктивным путем. Так обосновываются переместительные законы сложения и умножения, равенства
0 + а = а, 1 · а = а, а : 1 = а, 0 · а = 0 и другие закономерности.
Другим важным типом умозаключений является так называемое традуктивное умозаключение (от латинского слова traductio – перемещение) при котором из двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же степени общности.
Например, пусть а, в, с – некоторые действительные числа,
а > в (первое суждение),
в > с (второе суждение).
а > с (новое суждение).
Важным видом традуктивного умозаключения является аналогия (от греческого слова analogia - соответствие, сходство).
При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого-либо объекта, переносится на другой, менее изученный в каком-либо смысле объект.
Аналогия широко используется в начальных классах. Основой для переноса служат разносторонние знания признаков сходства и различия этих объектов.
Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки, предположения. Кроме того, аналогия способствует развитию математической интуиции, она является важным источником ассоциаций, способствующих глубокому усвоению предмета.
Однако нельзя забывать о том, что получаемые по аналогии выводы могут оказаться как истинными, так и ложными. Выводы, полученные по аналогии, должны доказываться дедуктивным способом.
Учитель должен знать о тех типичных ошибках, которые порождает аналогия.
Очень распространена ошибка, приводимая психологом Н.А. Менчинской: учащийся при решении примера 96 : 16 допускает ошибку, в основе которой лежит ошибочное умозаключение по аналогии 96 : 16 = 10?, потому что 90 : 10 = 9 и 6 : 6 = 1; 9 + 1 = 10. В приведенном примере мы имеем перенесение в операцию деления приемов, употреблявшихся при сложении и вычитании чисел. Это ошибочное умозаключение возникло из привычного оперирования в отдельности десятками и единицами при сложении и вычитании чисел и делении их на однозначное число.
Вопросы для самоконтроля:
Что называется высказыванием?
Определите операции над высказываниями.
Что называется предикатом?
Определите операции над предикатами.
Сформулируйте правила установления истинности высказываний с квантором.
Сформулируйте правила отрицания высказываний, содержащих квантор.
Какова структура теоремы?
Назовите основные виды теорем.
Назовите основные способы доказательства теорем.
Приведите примеры правильных и неправильных рассуждений.
Литература:
1. Пышкало А. М, Стойлова Л. П., Ирошников Н. П., Зельдер Д. Н. Теоретические основы начального курса математики Учеб, пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ (специальность № 2001), М,, «Просвещение», 1974, с. 99-138.
2. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. (для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов). Минск, «Вышэйшая школа», 1975, с.73-127
3. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ»- М. Просвещение, 1988г. с.15-42.
Лекция № 7
Тема: Целые неотрицательные числа
Цель:
сформировать представление о теоретико-множественном и аксиоматическом способе построения множества целых неотрицательных чисел; знать определения и законы арифметических действий и свойства множества N0; уметь рационально выполнять и обосновывать вычисления с целыми неотрицательными числами.
7.1 Натуральные числа
7.2 Теоретико-множественное истолкование множества целых неотрицательных чисел
7.3 Теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств
7.4 Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел. 7.5 Вычитание целых неотрицательных чисел
7.6 Деление целых неотрицательных чисел
7.1 Натуральные числа
7.1.1 Возникновение понятия натурального числа
Числа 1, 2, 3, 4, ... называются натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных понятий математики. Возникло оно, как и вся наука математика, из потребностей практической деятельности людей. Складывалось оно постепенно в процессе решения все усложняющихся задач сначала практического, а затем и теоретического характера. Причиной, которая привела человека к созданию натуральных чисел, является необходимость сравнивать различные конечные множества между собой. Уже в глубокой древности надо было сравнивать между собой конечные множества, чтобы узнать, поровну ли в них элементов, например, хватит ли оружия на всех охотников, рыб на всех членов племени и т. д.
В своем развитии понятие натурального числа прошло несколько этапов. В глубокой древности, чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспринимал численность множества предметов без их счета. Так, например, Геродот, греческий историк, живший в V в. до н. э., рассказывал, что персидский царь Дарий, оставив во время похода греков для охраны моста, построенного им через Дунай, сказал: «Возьмите этот ремень и, начиная с того дня, как я пойду на скифов, развязывайте на нем каждый день по одному узлу. Когда минует число дней, означенное узлами, и я не вернусь, плывите обратно на родину».
Если удавалось непосредственно установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, то эти множества считались состоящими из одинакового количества элементов. Если же соответствие устанавливалось между одним множеством и собственным подмножеством второго множества, то считали, что в первом множестве меньше элементов, чем во втором.
Такой метод обладал тем недостатком, что сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. Например, с его помощью нельзя было узнать, в каком из двух, удаленных друг от друга стад больше овец, или сравнить численность стада сейчас с его численностью год тому назад. Трудно было, и зафиксировать результат сравнения двух множеств.
В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел — для сравнения множеств стали применять множества-посредники, состоявшие из пальцев, камешков, раковин.
Чтобы сравнить, например, два стада, брали множество раковин, находящееся во взаимно однозначном соответствии с первым стадом. Это множество раковин можно было перенести к месту, где находилось второе стадо, и там сравнить его с этим стадом. Разумеется, эта операция уже требовала зачатков абстрактного мышления (например, вывода, что если в первом стаде столько же овец, сколько раковин, а во втором меньше овец, чем раковин, то в первом стаде больше овец, чем во втором). Одно и то же множество-посредник можно было сравнивать и с множеством скота в стаде, и с множеством убитых зверей, и с множеством мешков пшеницы, и с множеством дней. Поэтому названия множеств-посредников стали применять для выражения численности сравниваемых с ними множеств, т.е. как имена числительные. Например, вместо того чтобы сказать «пять яблок», говорили «рука яблок» — на руке пять пальцев, а счет велся по, пальцам. Отметим, что в русском языке есть древнее слово «пясть», означающее пять косточек, соединяющих запястье с пальцами. А чтобы сказать «двадцать стрел», говорили «человек стрел» — счет велся и по пальцам рук, и по пальцам ног, а их общее число равно двадцати.
Первоначально применяли различные названия числительных в зависимости от того, какое множество-посредник применялось для сравнения множеств, а также от того, какие множества сравнивались друг с другом (например, одни названия числительных применяли для одушевленных предметов, а другие — для неодушевленных). Но постепенно все эти названия стали заменяться общим названием данного множества-посредника.
Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе.
На этом этапе при счете, например, яблок перечислялись уже не одно яблоко, два яблока, а проговаривали слова «один», «два», «три». Это был важнейший этап в развитии понятия числа. Вот как об этом говорил крупнейший математик современности Н. Н. Лузин: «Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук».
Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятия нуля. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел.
После того как понятие натурального числа сформировалось, числа стали самостоятельными объектами, и появилась возможность изучать их как математические объекты. Так появилась теоретическая наука о числах и действиях над ними, которую назвали «арифметикой» (от греческого слова arithmos, что означает «число», следовательно, арифметика – это наука о числе).
Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с XIII века — европейские ученые.
Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (около 480 - 524 гг.).
Одной из важных проблем этого этапа развития математики было изучение очень больших чисел. Например, в древних памятниках индийской письменности упоминаются числа, для записи которых нужна единица с более чем пятьюдесятью нулями. Громадные числа встречаются и в древнегреческих трактатах по математике. Размышляя над такими числами, ученые поняли, что натуральный ряд чисел бесконечен, что к каждому натуральному числу можно прибавить единицу и получить большее число.
В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, носящим название «теория чисел».
7.1.2 Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
Как известно, натуральными числами называются числа, которые употребляются при счете предметов.
А что представляет собой процесс счета? Как мы, например, должны вести счет элементов множества A = {k, l, m, r}? Указывая на каждый элемент этого множества, мы говорим: «первый», «второй», «третий», «четвертый». И на этом процесс счета заканчивается, так как использованы все элементы множества А.
Ведя счет, мы соблюдаем ряд правил: первым при счете может быть указан любой элемент множества А, но ни один элемент не должен быть пропущен и сосчитан дважды.
Сосчитав элементы множества А, мы говорим, что в множестве А четыре элемента, т.е. получаем количественную характеристику этого множества.
Количественное числительное выражает численность множества предметов и отвечает на вопрос: сколько предметов содержит данное множество?
Порядковое числительнoe указывает, какое место при счёте занимает тот или иной предмет и отвечает на вопрос: которым будет по счёту данный элемент?
Чтобы получить ответ на данный вопрос, мы использовали порядковые натуральные числа «первый», «второй», «третий», «четвертый».
Другими словами, мы использовали множество {1, 2, 3, 4}, которое называют отрезком натурального ряда.
Определение. Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Например, отрезок N4 есть множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4. Из определения вытекает, что отрезок Na натурального ряда состоит из всех таких натуральных чисел х, что х а. Кроме того, любой отрезок Na при а > 1 содержит 1.
Введенное определение отрезка натурального ряда позволяет уточнить понятие счета элементов множества. Но прежде заметим, что в процессе счета элементов множества A = {k, l, m, r} каждому элементу этого множества было поставлено единственное число из отрезка N4, т.е. было установлено взаимно однозначное соответствие между множеством А и отрезком N4 натурального ряда.
Определение. Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда Nа.
Число а называют числом элементов в множестве А и пишут: п(А) = а. Это число а единственное и является количественным натуральным числом.
Таким образом, при счете элементы конечного множества А не только расставляются в определенном порядке (при этом используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый», «второй», «третий»), но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество А (при этом используются количественные натуральные числа, выражаемые числительными «один», «два», «три» и т. д.), т. е. надо различать количественные и порядковые числительные:
1) Количественные числительные: один, два, три, ...
2) Порядковые числительные: первый, второй, третий ...
Анализ сущности счета показывает — для того чтобы считать, необходимо заранее иметь достаточный запас чисел, причем числа должны обладать рядом свойств: располагаться в определенном порядке, должно существовать первое число.
Тесная связь порядкового и количественного числа нашла отражение и в начальном обучении математике. С этими сторонами числа учащиеся знакомятся в первом классе при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств.
7.1.3 Отношение порядка в множестве натуральных чисел
Возьмем два конечных множества А и В. Обозначим через а натуральное число, соответствующее множеству А, а через b — натуральное число, соответствующее множеству В. Множества А и В могут быть связаны одним и только одним из соотношений: либо они равномощны, т. е. А ~ В, либо они неравномощны, и тогда или А равномощно собственному подмножеству множества В, или А содержит собственное подмножество, равномощное множеству В.
Если множества А и В равномощны, и следовательно, принадлежат одному классу эквивалентности, то числа а и b называют равными и записывают: а = b.
Так, определенное отношение равенства натуральных чисел обладает следующими свойствами:
1. Рефлексивности: а = а. В самом деле, если число а соответствует множеству А, то а = а, так как А ~ А.
2. Симметричности: если а = b, то b = а. Действительно, пусть натуральному числу а соответствует множество А, а числу b множество В и известно, что а = b. Тогда А ~ В, но отношение равномощности множеств симметрично. Значит, В ~ А, а поэтому b = а.
3. Транзитивности: если а = b, а b = с, то а = с. Это свойство легко доказать, используя транзитивность отношения равномощности множеств.
Пусть множества А и В неравномощны и известно, что множество А равномощно собственному подмножеству множества В. В этом случае говорят, что число а меньше числа b, и пишут: a < b. В этом случае также говорят, что b больше а, и пишут: b > а.
Отношение а < b определяет в множестве натуральных чисел строгий порядок, так как оно обладает свойствами:
1. Нет ни одного натурального числа а, чтобы имело место неравенство а < а. Действительно, нет такого конечного множества А, чтобы оно было равномощно собственному подмножеству.
2. Если а < b, то неверно, что b < а. Это следует из того, что если множество А равномощно собственному подмножеству множества В, то множество В не может быть равномощно собственному подмножеству множества А.
3. Если а < b, а b < с, то а < с, т. е. отношение а < b транзитивно.
Строгий порядок, устанавливаемый в множестве натуральных чисел отношением a < b, является линейным, так как для любых различных чисел а и b имеем либо a < b, либо b > а.
Итак, каковы бы ни были конечные множества А и В, числа а и b, им соответствующие, всегда связаны одним и только одним из соотношений:
либо а = b, либо а < b, либо а > b.
7.1.4 Свойства множества натуральных чисел
Множество натуральных чисел обладает рядом свойств. Как было установлено выше, множество N всех натуральных чисел является линейно упорядоченным множеством.
Если все натуральные числа записать так, чтобы из любых двух чисел а и b сначала шло меньшее, получим натуральный ряд: один, два, три, четыре и т. д. При помощи символов натуральный ряд чисел записывают так: 1, 2, 3, 4.... Среди натуральных чисел имеется наименьшее число — единица.
Множество N натуральных чисел бесконечно, так как оно содержит собственное подмножество, равномощное всему множеству N. В качестве такого подмножества можно взять, например, множество всех нечетных натуральных чисел.
Рассмотрим еще одно свойство множества натуральных чисел.
Если взять два натуральных числа 5 и 6, то нельзя назвать ни одного натурального числа, которое было бы больше, чем число 5, и меньше, чем число 6. Тогда говорят, что множество натуральных чисел дискретно, а числа 5 и 6 называют соседними.
Уже при изучении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число натурального ряда. При этом используются понятия «следует», «предшествует», прибавление и вычитание 1, т.е. создаются условия для того, чтобы учащиеся увидели свойства чисел натурального ряда: любое число может быть получено прибавлением 1 к тому числу, которое встречается при счете перед ним; любое число на 1 больше, чем ему предшествующее.
7.2 Теоретико-множественное истолкование множества целых неотрицательных чисел
7.2.1 Определение нуля. Множество целых неотрицательных чисел
Мы выяснили, что каждому конечному множеству соответствует единственное натуральное число. Но, кроме конечных множеств, нам известны множества, не содержащие ни одного элемента. Среди натуральных чисел нет такого числа, которое соответствовало бы пустому множеству. Поэтому возникла необходимость введения нового числа, которое соответствовало бы пустому множеству.
Обобщая понятие равномощности множеств, считают, что все пустые множества равномощны между собой и что они образуют отдельный класс — класс пустых множеств. Этот класс и есть нуль.
Объединив множество N с множеством {0}, получаем новое множество — множество N0 целых неотрицательных чисел, т. е. N0 = N{0}.
Отношения «равно», «больше», «меньше» в множестве N0 определяются так же, как и в множестве N всех натуральных чисел.
Так как пустое множество является подмножеством любого конечного множества, то число «нуль» меньше любого натурального числа. Поэтому, присоединяя число «нуль» к натуральному ряду чисел, его записывают перед единицей: 0, 1, 2, 3.....
7.2.2 Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля
В предыдущем пункте было установлено, что счет служит как для упорядочивания элементов конечного множества, так и для определения их количества и что порядковое число ведет к количественному.
Смысл количественного числа можно истолковать иначе, с теоретико-множественных позиций, используя понятие равномощности множеств.
Возьмем какое-либо конечное множество А и отберем в один класс все равномощные ему множества. Так, если А — множество вершин треугольника, то в
один класс с ним попадут, например, такие множества: множество сторон треугольника, множество букв в слове «мир» и т.д.
Взяв какое-нибудь другое конечное множество В, неравномощное А, отберем все множества, равномощные В. В результате получим новый класс конечных множеств. Если продолжить этот процесс, то, в силу того, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности, все конечные множества окажутся распределенными по классам эквивалентности, причем любые два множества одного класса будут равномощными, а любые два множества различных классов — неравномощными.
Что же общего у всех множеств одного и того же класса? Они имеют одинаковую мощность. Это общее свойство всех множеств одного класса эквивалентности и считают натуральным числом. Например, общее свойство множеств, равномощных множеству вершин треугольника, есть натуральное число «три», а общее свойство множеств, равномощных множеству сторон прямоугольника, есть натуральное число «четыре».
Таким образом, с теоретико-множественных позиций количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Каждому классу соответствует одно и только одно натуральное число, каждому натуральному числу — один и только один класс равномощных конечных множеств.
Как известно, каждый класс эквивалентности однозначно определяется заданием любого принадлежащего ему элемента — представителя этого класса. Значит, и каждый класс равномощных множеств можно задать, указав его представителя. Например, класс множеств, равномощных множеству вершин треугольника и определяющий натуральное число «три» можно задать, указав множество A = {k, l, т}. Следовательно, множество А определяет натуральное число «три».
Вообще каждому конечному множеству А соответствует одно и только одно натуральное число а = п(А), но каждому натуральному числу а соответствуют различные равномощные множества одного класса эквивалентности. Поэтому числу «пять» будет соответствовать и множество сторон пятиугольника, и множество его вершин, и множество букв в слове «танец».
Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование — оно ставится в соответствие пустому множеству: 0 = п(0).
В начальном курсе математики количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Поэтому, когда учащиеся изучают число «один», на странице учебника приводятся изображения одного предмета: одно ведро, одна девочка, один стол.
Когда изучают число «три», приводятся изображения различных совокупностей, содержащих три элемента: три кубика, три камешка, три палочки.
Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве определяется путем счета.
Таким образом, количественное и порядковое натуральное число выступает в начальном обучении в тесной взаимосвязи, в единстве.
7.2.3 Отношение порядка на множестве целых неотрицательных чисел
Докажем, что множество целых неотрицательных чисел может быть упорядочено при помощи отношения «меньше». Для этого покажем, что это отношение транзитивно и антисимметрично, причем будем исходить из определения отношения «меньше» через сумму.
Теорема. Если a < b и b < с, то а < с.
Доказательство. Так как a < b и b < с, то по определению отношения «меньше» найдутся такие натуральные числа х и у, что b = а + х и с = b + у. Но тогда с = (а + х) + у, и на основании сочетательного закона сложения получаем c = a + (x + y). Поскольку х + у — целое неотрицательное число, то согласно определению отношения «меньше» а < с.
Теорема. Если a < b, то неверно, что b < а.
Доказательство. Убедимся в том, что ни для одного целого неотрицательного числа а не выполняется неравенство а < а. Если бы имели а < а, то нашлось бы такое натуральное число с, что а = а + с, но это невозможно в силу единственности суммы. Предположим теперь, что оба неравенства а < b и b < а выполняются. Тогда по свойству транзитивности отношения «меньше» будем иметь а < а, что невозможно.
Так как отношение «меньше» для целых неотрицательных чисел транзитивно и антисимметрично, то оно является отношением порядка, а множество целых неотрицательных чисел — упорядоченным множеством.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекает, что для любых целых неотрицательных чисел а и b может выполняться лишь одно из отношений:
a < b, a = b, b > a
Располагая элементы этого множества так, чтобы из любых двух чисел сначала шло меньшее, получим ряд целых неотрицательных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, ... . Этот ряд бесконечен.
7.3 Теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств
7.3.1Сложение целых неотрицательных чисел
Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Петя нашел 4 гриба, а Нина — 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4 + 3 = 7. Но как объяснить, почему использовано сложение, а не другое действие?
Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый гриб, который нашел Петя, кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом (рис. 7.1). Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить (присоединить) грибы Нины, т. е. объединить два множества грибов (рис. 7.2), и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. Видим, что сложение целых неотрицательных чисел оказывается тесно связанным с операцией объединения множеств.

рис. 7.1рис. 7.2
Рассмотрим еще одну задачу. Найдем число элементов в объединении множеств А = {а, b, с, d}и В = {с, х, у}. Нетрудно установить, что п(А) = 4, п(В) = 3, АВ = {а, b, с, d, с, х, у}, но п(АВ) ≠ 4 + 3. Почему так?
Дело в том, что множества А и В в этой задаче пересекаются, и, значит, число элементов в их объединении не совпадает с суммой п(А) + п(В).
Поэтому сумму целых неотрицательных чисел определяют через объединение непересекающихся множеств.
Определение. Суммой целых неотрицательных чисел а и b называют число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b:
а + b= n(АВ),
где п(А) = а, п(В) = b и А∩В =

Пример. Объясним, пользуясь данным определением, что 5 +2 = 7. 5 — это число элементов некоторого множества А, 2 — число элементов некоторого множества В, причем их пересечение должно быть пусто. Возьмем, например, множества А = {х, у, z, t, р}, В = {а, b}. Объединим их: АВ = {x, у, z, t, р, a, b}. Путем пересчета устанавливаем, что n(АВ) = 7. Следовательно, 5 + 2 = 7.
В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос: а не зависит ли сумма чисел 5 и 2 от выбора непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = 5, п(В) = 2? Иными словами, если взять другие непересекающиеся множества А1 и В1, но удовлетворяющие условию п(А1) = 5 и п(В1) = 2, то не изменится ли сумма 5 + 2? По всей видимости, нет.
Вообще сумма а + b не зависит от выбора непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b. Это утверждение примем без доказательства.
Кроме того, сумма целых неотрицательных чисел всегда существует и единственна. Другими словами, какие бы два целых неотрицательных числа а и b мы ни взяли, всегда можно найти их сумму — целое неотрицательное число с, оно будет единственным для данных чисел а и b. Существование и единственность суммы вытекают из существования и единственности объединения двух множеств.
Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.
Выше нами было дано определение суммы двух слагаемых. А как определить сумму нескольких слагаемых?
Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма п слагаемых.
Тогда сумма, состоящая из п + 1 слагаемого, т. е. сумма а1 + а2 + ... + ап + ап+1, равна (а1 + а2 + ... + ап)+ ап+1.
Например, чтобы найти сумму 2 + 7 + 15 + 19 согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования:
2 + 7 + 15 + 19 = (2 + 7 + 15) + 19 = ((2 + 7) + 15) + 19 = (9 + 15) + 19 = 24+ 19 = 43.
В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используются). Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых арифметических задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована в начале пункта.
7.3.2 Законы сложения
Изложенный в предыдущем пункте подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.
Докажем переместительный закон, т. е. докажем, что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство а + b = b + а.
Пусть а — число элементов в множестве A, b — число элементов в множестве В и А∩В = . Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + b = n(АВ) Но множество АВ равно множеству ВА согласно переместительному свойству объединения множеств, и, значит, n(АВ) = п(ВА). По определению суммы п(ВА) = b + а, поэтому a + b = b + a для любых целых неотрицательных чисел а и b.
Теперь докажем сочетательный закон, т. е. докажем, что для любых целых неотрицательных чисел а, b, с выполняется равенство (а + b)+ с = а + (b + с).
Пусть а = п(А), b = п(В), с = п(С), причем А∩В = , В∩С = . Тогда по определению суммы двух чисел можно записать:
(а + b) + c = n(АВ) + n(C) = n ((АВ)С).
Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то ((АВ)С) = n(А(ВС)), то по определению суммы двух чисел имеем n(А(ВС)) = п(А) + п(ВС) = a + (b + c). Следовательно, (а + b) + с = а + (b + с) для любых целых неотрицательных чисел а, b и с.
Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.
И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон означает, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный — что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка). Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Вычислим, используя законы сложения, значение выражения
109 + 36 + 191 + 64 + 27.
На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191,тогда 109 + 36 + 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.
Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках:
109 + 191 + 36 + 64 + 27 = (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.
Применив сочетательный закон, заключим в скобки сумму чисел 300 и 100: 300 +100 + 27 = (300 + 100) + 27.
Произведем вычисления:
(300 + 100) + 27 = 400 + 27 = 427.
С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.
Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется:
он является основой приема прибавления числа по частям:
3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 = 4 + 1 = 5.
для того чтобы прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным.
Прибавим сумму 2 + 1 к числу 4 различными способами:
1) 4 + (2 + 1) = 4 + 3 = 7
(вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий);
2) 4 + (2 + 1) = 6 + 1= 7
(применено сочетательное свойство сложения);
3) 4 + (2 + 1) = 5 + 2 = 7
(сначала, на основании переместительного закона, переставили местами слагаемые 1 и 2: 4 + (2 + 1) = 4 + (1 + 2), затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2 и, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7).
7.3.3 Отношения «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел
Выясним, на какой теоретической основе происходит сравнение чисел.
Пусть даны два целых неотрицательных числа а и b. С теоретико-множественной точки зрения они представляют собой число элементов конечных множеств А и В: а = п (А), b = п (В). Если эти множества равномощны, то им соответствует одно и то же число, т. е. а = b. Приходим к определению:
Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами:
а = b А~ В, где п (А), = а, п (В) = b

Если множества А и В неравномощны, то числа, определяемые ими, различны.
В том случае, если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и п (А) = а, п (В) = b, говорят, что число а меньше числа b, и пишут: а<b. В этой же ситуации говорят, что b больше а, и пишут: b > а.
а < bА~ В1, где В1 В и В1 ≠ В, В1 ≠

А
В
В1
А В1
Из приведенных определений отношений «равно» и «меньше» исходят в начальной школе, когда объясняют, что 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3, 3 < 4. Например, при введении записи 3 = 3 рассматривают два равномощных множества квадратов и кругов (рис. 7.3). При изучении отношении 3 < 4 проводятся рассуждения: возьмем три розовых кружка и 4 синих и каждый розовый наложим на синий, видим, что синий кружок остался незакрытым, значит, розовых кружков меньше, чем синих, поэтому можно записать: 3 < 4.

рис. 7.3рис.7.4
Oтметим, что если числа а и b определяются соответственно множествами А и В (кружков, квадратов, палочек) и a < b, то выделение в множестве В собственного подмножества, равномощного множеству А, на практике происходит самыми различными способами: наложением, приложением, путем образования пар. Это возможно, так как отношение а < b (так же как и отношение а = b) не зависит от выбора множество А и В, таких, что п(A) = а, п(В) = b, важно только, чтобы А было равномощно собственному множества В(в случае равенства чисел А равномощно В).
Изложенный подход к определению отношения «меньше» имеет ограниченное применение, он может быть использован для сравнения чисел в пределах 20, поскольку связан с непосредственным сравнением двух групп предметов.
Как же еще можно сравнить целые неотрицательные числа? Пусть а < b в смысле данного выше определения. Тогда п(A) = а, п(В) = b и А ~ В1, где В1 - собственное подмножество множества В (рис. 7.4). Так как В1 В, то В можно представить в виде объединения множества В1 и его дополнения В\В1.
Обозначим это дополнение В'1 (т. е. В\В1 = В'1. Тогда В = В1В'1. и, следовательно, п(В) = п(В1В'1).
Поскольку множества В1 и В'1 не пересекаются, то по определению суммы п(В) = п(В1) + п(В'1). Но по условию В1 ~ А, значит п(В1) = п(A). Если число элементов в множестве В'1 обозначить через с, то равенство можно записать в виде b= a + c, т. е. из того, что а < b, следует, что b = а + с. Нетрудно убедиться и в справедливости обратного утверждения. Пришли к другому определению отношения «меньше»:
Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Как, пользуясь этим определением, объяснить, что 3 < 7? 3 < 7, поскольку существует такое целое неотрицательное число 4, что 3 + 4 = 7.
Этот способ определения отношения «меньше» через сложение также используется в начальном курсе математики. Об этом говорит наличие пар записей 5 + 1 = 6, 6 > 5; 7 + 1 = 8, 7 < 8.
Рассмотрим еще один способ сравнения чисел. Пусть а < b. Тогда про любое натуральное число х можно сказать, что если ха, то х < b. Это, значит, что при а < b отрезок натурального ряда Na является собственным подмножеством отрезка Nb. Справедливо и обратное утверждение.
Таким образом, получаем еще одно определение отношения «меньше»:
Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда Na является собственным подмножеством отрезка этого ряда Nb:
а < b Na Nb и Na ≠ Nb.

Например, справедливость неравенства 3 < 7 с этих позиций можно объяснить тем, что {1, 2, 3}{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Данная трактовка понятия «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду. Этот способ сравнения чисел также используется в начальном обучении математике: число, которое при счете встречается раньше, всегда меньше числа, которое идет позднее.
7.3.4 Вычитание целых неотрицательных чисел
Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники:
«Около школы посадили 8 деревьев — берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8 - 3 = 5. Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком (рис. 7.5)

рис.7.5
Среди посаженных деревьев 3 березы — на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т. е. 5.
Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнения подмножества.
Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что п(A) = а, п(В) = b и ВА:
а - b = п(A\В), где а = п(A), b = п(В), В А

Пример. Объясним, используя данное определение, что 7 - 4 = 3. 7 — это число элементом некоторого множества А, 4 — число элементов множества В, которое является подмножеством множества A.
Возьмем, например, множества А= {х, у, z, t, p, r, s}, В = {х, у, z, t}. Найдем дополнение множества В до множества А: A\В = {p, r, s}. Получаем, что п(A\В) = 3. Следовательно, 7 - 4 = 3.
Очевидно, в качестве таких множеств А и В, что п(А) = 7, п(В) = 4 и В А, можно было выбирать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность а - b не зависит от выбора множеств А и В, удовлетворяющих условиям:
п(А) = а, п(В) = b и В А.
Но всегда ли существует разность целых неотрицательных чисел?
Из того, что В А, следует, что п(В) п(А). Значит, разность а - b целых неотрицательных чисел а и b, таких, что а = п(А), b = п(В) и В А, существует только тогда, когда b а.
Действие, при помощи которого находят разность а - b, называется вычитанием, а — уменьшаемым, число b — вычитаемым.
Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обращаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между действиями вычитания и сложения.
А
А\В
В
Пусть даны целые неотрицательные числа а и b, такие, что а = п(А), b = п(В) и В А, и пусть разность этих чисел - есть число элементов дополнения множества В до множества А, т. е. а – b = п(А\В). На кругах Эйлера множества А, В, А\В изображаются так, как на рисунке 7.6.
рис.7.6
Рис.7.6
Известно, что A = B(A\B), откуда п(А) = п(B(A\B)). Так как В∩(А\В)=, то имеем п(А) = п(B(A\B))= n(B) + n(A\B) = b+(a - b). Следовательно, получаем, что а = b + (a - b), т.е. разность (a - b) есть такое число, сумма которого и числа b, равна числу а. Установленный факт дает возможность по-другому дать определение разности.
Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа b равна а.
Мы показали, что из определения разности целых неотрицательных чисел как числа элементов дополнения одного множества до другого вытекает ее определение через сумму. Можно доказать и обратное утверждение.
а - b = c a =b + c
Таким образом,
Говорят, что действие вычитания является обратным сложению.
Докажем, исходя из второго определения разности, следующие теоремы:
Теорема. Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b а.
Доказательство. Если а = b, то а - b = 0, и, следовательно, разность а - b существует.
Если b < а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что a = b + c. Тогда по определению разности с = a - b, т.е. разность а - b существует.
Если разность a - b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а = b + c. Если с = 0, то а = b; если с > 0, то b <а по определению «меньше». Итак, b а.
Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел а и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существуют два значения разности a – b: a – b =с1 и a – b = с2. Тогда по определению разности имеем а = b + c1 и а = b + c2. Отсюда следует b + c1 = b + c2. и, значит, c1 = c2.
В начальном курсе математики первоначально вычитание целых неотрицательных чисел рассматривается на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества — дополнения выделенного подмножества. При этом теоретико-множественная терминология и символика не используются. Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла вычитания является решение простых задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована в начале пункта.
Связь вычитания со сложением устанавливается при изучении темы «Как найти неизвестное слагаемое». Определение понятия вычитания как действия, обратного сложению, в явном виде не дается, но подчеркивается, что «вычитание связано со сложением: вычесть из числа 40 число 16 — значит найти такое число, которое при сложении его с числом 16 дает в сумме 40. Это число 24. Значит,
40 – 16 = 24.
7.3.5 Отношения «больше на» и «меньше на»
При решении задач и в практической деятельности часто требуется не только установить, что число а меньше (или больше) числа b, но и узнать, на сколько число а меньше ( больше) числа b. Каков смысл отношений «меньше на» и «больше на»?
Пусть а и b — целые неотрицательные числа, такие, что а = п(А), b = п(В) и установлено, что a < b. Это значит, что в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и множество В\В1 не пусто.
Пусть n(В\В1) = c (с≠0). Тогда в множестве В элементов столько же, сколько в множестве А, да еще с элементов. В этом случае говорят, что число а меньше числа b на с или что число b больше числа а на с.
Так как c = n(В\В1), где В1 В, то с = b- a. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
Рассмотрим, например, задачу: «У школы посадили 4 дуба и 9 лип. На сколько больше посадили лип?»
Согласно сформулированному правилу ответ на вопрос находится при помощи вычитания: 9 – 4 = 5 (лип). Однако возникает недоразумение: можно ли из 9 лип вычитать 4 дуба? Дело в том, что в данном случае из 9 лип вычитают 4 липы. Чтобы убедиться в этом, изобразим дубы кружками, а липы квадратиками (рис.7.7).
Z1
D
Z

рис. 7.7
Чтобы ответить на вопрос задачи, выделим в множестве лип подмножество Z1, равномощное множеству дубов (на рисунке это множество показано фигурной скобкой). Тогда остальные липы образуют дополнение множества Z1 до множества Z и их число равно разности 9 и 4.
Отношения «больше на» и «меньше на» встречаются и в задачах другого вида.
Рассмотрим, например, такую задачу: «У школы посадили 4 дуба, а лип на 5 больше. Сколько лип посадили?»
В задаче речь идет о двух множествах деревьев: множестве дубов и множестве лип. Обозначим их D и Z. Известно, что n(D) = 4, а число элементов в множестве Z надо найти, зная, что в нем на 5 элементов больше, чем в D. Последнее означает, что п(Z) - п(D) = 5, откуда п(Z) = 5 + п(D) = 5 + 4 = 9. Можно дать более подробное пояснение, воспользовавшись рисунком 7.7.
Так как в множестве Z на 5 элементов больше, чем в множестве D, то это значит, что в множестве Z столько же элементов, сколько в D, да еще 5 элементов. Другими словами, множество Z можно рассматривать как объединение двух множеств Z1 и Z2, таких, что Z1 ~ D и п(Z2) = 5. Поскольку множества Z1 и Z2 не имеют общих элементов, то п(Z) =n(Z1Z2) = n(Z1) + n(Z2) = 4 + 5 = 9.
Обратимся теперь к задаче: «У школы посадили 9 лип, а дубов на 3 меньше. Сколько посадили дубов?»
В ней так же, как и в предыдущей, речь идет о двух множествах: множестве лип (Z) и множестве дубов (D), но известно, что п(Z) = 9, а число элементов в множестве D надо найти, зная, что и нем на 3 элемента меньше, чем в Z. Последнее означает, что n(Z) - n(D) = 3, откуда n(D) = n(Z) - 3 = 9 - 3 = 6.
Используя рисунок 7.8, решение этой задачи можно выполнить так: поскольку дубов на 3 меньше, чем лип, то лип на 3 больше, чем дубов, поэтому, удалив из множества Z подмножество, состоящее из трех элементов, получим множество, равномощное множеству D. n (D) = 9 - 3 = 6.
D
Z

рис.7.8
Естественно, что в начальной школе при решении приведенных в пункте задач объяснение будет выглядеть иначе, но суть его от этого не изменится.
Заметим, что предложение «5 больше 2 на 3» нельзя записать кратко, используя знак «>», поскольку для записи отношения «больше на» (так же как и для отношения «меньше на») нет специального знака. Знак «>» служит для обозначения отношении «больше», а знак «<» — отношения «меньше».
7.3.6 Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Запишем это правило, используя символы:
Если а, b, с — целые неотрицательные числа, то:
а) при а с имеем, что (а + b) - с = (а - с) + b;
б) при b с имеем, что (а + b) - с = а +( с + b);
в) при а с и b с можно использовать любую из данных формул.
Пусть а с, тогда разность а - с существует. Обозначим ее через р: а - с = р. Отсюда а = р + с. Подставим сумму р + с вместо а в выражение (а + b) - с и преобразуем его (а + b) - с = (р + с + b) – с = р + b + с – с = р + b.
Но буквой р обозначена разность а - с, значит, имеем (а + b) - с = (а – с) + b, что и требовалось доказать.
Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = b, п(С) = с и А∩В=, C A. Тогда (а + b) - с есть число элементов множества (AB)\C, а число (а – с) + b,
есть число элементов множества (А\С)В.
На кругах Эйлера множество (AB)\C изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке 7.9.
A
B
C
Легко убедиться в том, что множество (А\С)В изобразится точно такой же областью.
Значит, (AB)\C=(А\С)В для данных множеств А,В, С. Следовательно,
п ((AB)\C) п((А\С)В) и (а + b) -с = (а – с) + b.
рис.7.9
Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».
Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. если а, b, с — целые неотрицательные числа, то при а b + с имеем a- (b + c) = (a - b) - c.
Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.
Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:
5 - 2 = 5 - (1 + 1) = (5 - 1) - 1 = 4 - 1 = 3.
Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:
I способ
1. 20 + 8 = 28
2. 28 - 6 = 22
II способ
1. 20 - 6= 14
2. 14 + 8 = 22
III способ
1. 8 - 6 = 2
2. 20 + 2 = 22
7.3.7 Умножение
Понятие произведения целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.
Определение. Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число а·b, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) а · b = при b > 1;
2) а · 1 = а при b = 1;
3) а · 0 = 0 при b = 0.
Теоретико-множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, А2, ... , Аb имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит а·b элементов. Следовательно, произведение а·b — это число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов.
Равенства а · 1 = а и а · 0 = 0 принимаются по условию.
Действие, при помощи которого находят произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, называют множителями.
Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.
С данным определением учащиеся знакомятся в начальных классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.
Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?»
Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4·6 = 24 (пуговицы).
Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.
Пусть даны два множества: А = {х, у, z} и В = {п, t, r, s}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А В равно 3 + 3 + 3 + 3 = 12. С другой стороны, п(А) = 3, п(В) = 4 и 3 · 4 = 12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению п(А) п(В).
Вообще если А и В — конечные множества, то п(А В) = п(А) п(В).
Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где п(А) = а, п (В) = b: а · b = п(А В), где п(А) = а, п(В) = b
И в первом, и во втором случае нами определено произведение двух чисел. А как определить произведение нескольких множителей?
Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение п множителей. Тогда произведение, состоящее из п + 1 множителя, т.е. произведение а1 · а2 · ...· ап · ап+1, равно (а1 · а2 · ...· ап) · ап+1.
Например, чтобы найти произведение 2 · 7 · 5 · 9 согласно этому определению, надо выполнить последовательно следующие преобразования: 2 · 7 · 5 · 9 = (2 · 7 · 5) · 9 = ((2 · 7) · 5) · 9 = (14 · 5) · 9 = 70 · 9 = 630.
7.3. 8 Законы умножения
Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.
1. Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и b справедливо равенство a · b = b · а.
Пусть а = п(А), b = п(В). Тогда по определению произведения а · b = п(А В). Но множества А В и В А равномощны: каждой паре (а, b) из множества А В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В А, и наоборот. Значит, п(А В ) = п(В А), и поэтому а · b = п(А В) = п(В А) = b · а.
2. Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел а, b, с справедливо равенство (a ·b) · с = а · (b · с).
Пусть а = п(А), b = п(В), с = п(С) . Тогда по определению произведения (a · b) · с = п((А В) С), а a·(b · с) · с = п(А (В С)).Множества (А В) С и А(В С) различны: первое состоит из пар вида ((a, b), с), а второе — из пар вида (a,(b, с)), где аА, bВ, cC. Но множества (А В) С и А (В С) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п((А В) С) = п(А (В С)), и, значит, (a · b) · с = a · (b · с).
3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, b, с справедливо равенство (а + b)·с = ас+bс.
Этот закон выводится из равенства (А В) С = (А С) (В С) (*).
Пусть а = п(А), b = п(В), с = п(С) и А ∩ В= . Тогда по определению произведения имеем (а +b)·с = п(А В) С. Откуда на основании равенства (*) получаем п(А В) С) = п((А С) (В С)), и далее по определению суммы и произведения п((А С) (В С)) = п(А С) + п(В С) = а с + b с.
4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел а, b и с и a b справедливо равенство (а - b) · с = а·с - b·с.
Этот закон выводится из равенства (А \ В) С = (А С) \ (В С) и доказывается аналогично предыдущему.
Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а + b) · с и (а - b) · с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид а с – b с или а с + b с.
Выясним, как используются законы умножения при вычислениях. Найдем, например, значение выражения 125 · 15 · 6 · 8. Для этого переставим местами множители 15 и 6 — это можно сделать на основании переместительного закона умножения, получим 125 · 6 · 15 · 8. Затем выделим в этом произведении группы по 2 множителя — это разрешает сделать сочетательный закон умножения: (125 · 6) · (15 · 8). Потом произведем умножение чисел в скобках: 750 · 120. Чтобы найти это произведение, представим 750 в виде суммы двух слагаемых 700 и 50:
(700 + 50)·120.
Умножим каждое слагаемое на 120 - это можно сделать согласно распределительному закону умножения относительно, сложения: 700 · 120 + 50 · 120 = 84 000 + 6000 = 90 000.
Значение выражения 125 · 15 · 6 · 8 можно найти иначе: 125 · 15 · 6 · 8 = 125 · (15 · 6) · 8 = 125 · 90 · 8= 125 · 8 · 90 = (125 · 8) · 90 = 1000 · 90 = 90 000.
При выполнении преобразований в этом случае были использованы:
сочетательный закон умножения — на его основе была выделена группа множителей 15 · 6, а затем 125 · 8;
переместительный закон умножения — на его основе были переставлены множители 90 и 8.
В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей значение произведения не меняется» — и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3 · (5 · 2) и сравнить полученные результаты.
Приводятся случаи:
1) 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30;
2) 3 · (5 · 2) = (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30;
3) 3 · (5 · 2) = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Первый из них основан на правиле порядка действий, второй — на сочетательном законе умножения, третий — на переместительном и сочетательном законах умножения.
Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в начальной школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.
7.3.9 Деление целых неотрицательных чисел
Рассмотрим задачу, которую решают младшие школьники, приступая к изучению действия деления: «8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?»
Ответ на вопрос задачи находится при помощи деления: 8 : 2 = 4.
Проанализируем решение этой задачи. В задаче рассматривается множество, в котором 8 элементов. Оно разбивается на подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, т. е. на равномощные подмножества (рис. 7.10). Кроме того, они попарно не пересекаются. В задаче спрашивается, сколько таких подмножеств получилось.
Таким образом, число 4, полученное в ответе,— это число двухэлементных подмножеств, на которые разбито множество из 8 элементов.
Обратимся теперь к другой задаче: «12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?»
Она также решается делением: 12 : 3 = 4 (карандаша). Но число 4 здесь выступает в другом смысле — как число элементов в каждом из трех равномощных непересекающихся подмножеств, на которые разбито множество, содержащее 12 элементов (рис. 7.11).
1 уч.
2 уч.
3 уч.
2 2 2 2
п(А) = 8

рис. 7.10 рис. 7.11
В общем виде частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b определяется следующим образом:
Определение. Пусть а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.
Если b — число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества.
Если b — число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении.
Действие, при помощи которого находят частное а : b, называется делением, число а — делимым, b — делителем.
Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия деления, мы обращаемся к умножению. Почему? Очевидно, потому, что действия деления и умножения взаимосвязаны. Но какова эта связь?
Пусть а = п(А) и множество А разбито на b попарно непересекающихся равномощных подмножества А1, А2, ... , Аb. Тогда с = а : b есть число элементов в каждом таком подмножестве, т. е. с = а : b = п (А1) = п (А2) = ... = п(Аь).
Так как по условию А = А1 А2 ... Аb, то п(А) = п(А1 А2 ... Аb). Но подмножества А1, А2, ... , Аb попарно не пересекаются, значит, по определению суммы п(А1 А2 ... Аb) = n(A1) + n (A2)+… + n(Ab) = .
Согласно определению произведения сумма b слагаемых, каждое из которых равно с, есть произведение с · b.
Таким образом, установлено, что а = с · b, т. е. частным чисел а и b является такое число с, произведение которого и числа b равно а. К такому же выводу мы придем, если частное с = а :·b будет числом подмножеств в разбиении множества А.
Таким образом, получаем второе определение частного:
Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа·b называется такое целое неотрицательное число с = а :·b, произведение которого и числа·b равно а.
Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое: а : b = с а = с · b.
Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению. Всегда ли существует частное натуральных чисел а и b? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а. и b, необходимо, чтобы b а.
Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т. е. существует такое натуральное число с, что а = с · b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1 с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b . с·b. Поскольку с·b = а, то b а. Теорема доказана.
Чему равно частное а = 0 и натурального числа b? По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с · b = 0. Так как·b ≠ 0, то равенство с · b = 0 будет выполняться при с = 0. Следовательно, 0 : b = 0, если b N.
Теорема. Если частное натуральных чисел а и·b существует, то оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности.
Рассмотрим теперь вопрос о невозможности деления целого неотрицательного числа на нуль.
Пусть даны числа а ≠ 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел а и b существует. Тогда по определению частного существует такое целое неотрицательное число с, что а = с · 0, отсюда а = 0. Пришли к противоречию с условием. Следовательно, частное чисел а ≠ 0 и b = 0 не существует.
Если а = 0 и b = 0, то из предложения, что частное таких чисел а и b существует, следует равенство 0 = с · 0, истинное при любых значениях с, т. е. частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.
В начальном курсе математики первоначальные представления о делении формируются на основе практических упражнений, связанных с разбиением множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, но без введения соответствующей терминологии и символики. Главным средством раскрытия этого понятия деления является решение простых задач. Суть решения двух таких задач рассмотрена в начале пункта.
Определение деления как действия, обратного умножению, в явном виде не дается. Взаимосвязь деления и умножения устанавливается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя», где, по существу, происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке.
7.3.10 Отношения «больше в» и «меньше в»
Часто при решении задач и в практической деятельности возникает вопрос: «Во сколько раз одно число больше или меньше другого?» Первое знакомство с отношениями «больше в» и «меньше в» происходит в начальной школе. Уточним смысл этих отношений.
А
В
А1 А2 А3
Пусть дано множество А, в котором 6 элементов, и множество В, содержащее 2 элемента. Выделим в множестве А подмножества,равномощные множеству В(рис.7.12). Их оказывается 3. В этом случае говорят, что число 6 больше числа 2 в 3 раза, а число 2 меньше числа 6 рис. 7.12 в 3 раза.
Вообще если даны числа а и b, такие, что а = п(А), b = п(В), а > b, и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз, а число b меньше числа а в с раз.
Но что представляет собой это число с? С теоретико-множественной точки зрения — это частное чисел а и b. Отсюда получаем правило:
Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, необходимо большее число разделить на меньшее.
Рассмотрим, например, задачу: «Посадили 3 дуба и 12 берез. Во сколько раз меньше посадили дубов, чем берез?»
Согласно сформулированному правилу ответ на вопрос находится при помощи деления: 12 : 3 = 4 (раза). Смысл произведенной операции хорошо иллюстрирует рисунок 7.13.

рис. 7.13
Отношения «больше в» и «меньше в» встречаются и в задачах другого вида.
Задача. У Нины 6 тетрадей, а у Коли в 2 раза меньше. Сколько тетрадей у Коли?
А В
В задаче речь идет о двух множествах: множестве А тетрадей у Нины и множестве В тетрадей у Коли. Известно, что п(А) = 6. Требуется найти п(В), зная, что это число в 2 раза меньше числа 6. Исходя из этого условия множество А можно представить состоящим из двух равномощных подмножеств (рис. 7.14), и тогда в множестве В будет столько элементов, сколько в каждом подмножестве множества А, число которых находится делением: 6 : 2 = 3. Значит, п(В) = 3, т. е. у Коли 3 тетради.
рис. 7.14
Задача. У Нины 3 тетради, а у Коли в 4 раза больше. Сколько тетрадей у Коли?
В этой задаче, так же как и в предыдущей рассматриваются два множества: множество А тетрадей у Нины и множество В тетрадей у Коли. Известно, что п(А)=3. Требуется найти п (В), зная, что это число элементов в множестве В в 4 раза больше числа элементов в множестве А. Это значит, что множество В состоит из четырех непересекающихся подмножеств В1 В2, В3 и В4, равномощных множеству А (рис. 7.15), и, следовательно, п (В1) = п (В2) = п (В3) = п (В4) = п (А). Но тогда число элементов в множестве В можно найти сложением п(В) = п(В1 В2 В3 В4) = п(В1) + п (В2) + п (В3) + п (В4) = 3 + 3 + 3 + 3. Заменив сложение умножением, получаем 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 4 = 12. Значит, у Коли 12 тетрадей.
Заметим, что предложение «а больше b в с раз» нельзя записывать кратко, используя знак «>», поскольку для записи отношения «больше в» (так как и для отношения «меньше в») нет специального знака.
А
В
В1 В2 В3 В4

рис. 7.15
7.3.11 Правила деления суммы на число и числа на произведение
Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел. Выбор этих правил определен содержанием начального курса математики.
Правило деления суммы на число. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма a + b делится на с; частное, получаемое при делении суммы а +b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т. е.
(а + b) : с = а : с + b : с.
Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число т = а : с, что а = с · т. Аналогично существует такое натуральное число п=b:с, что b = с · п. Тогда а + b = с · т + с · п = c·(m + n). Отсюда следует, что а + b делится на с и частное, получаемое при делении а + b на число с, равно m + n, т. е. а : с + b : с. Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.
Пусть а = п (А), b = п (В), причем А ∩ В =. Если каждое из множеств А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение (рис. 7.16).
При этом если в каждом подмножестве разбиения множества А содержится а : с элементов, то в каждом подмножестве множества В содержится b : с элементов, то в каждом подмножестве множества А В содержится а : с + b : с элементов. Это и значит, что (а + b) : с = а : с + b : с.
6 : 2 = 3
4 : 2 = 2
10 : 2 = 5

рис. 7.16
Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел b и с, достаточно разделить число а на b (с) и полученное частное разделить на с(b): а : (b · с) = (а : b) : с = (а : с) : b.
Доказательство. Положим (а : b) : с = х. Тогда по определению частного а:b=с·х, отсюда аналогично а = (b·с) · х. На основании сочетательного закона умножения а = (b·с) · х. Полученное равенство означает, что а : (b · с) = х. Таким образом, а : (b · с) = (а : b) : с.
Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е. а · (b : с) = (а · b) : с.
Доказательство этого правила аналогично предыдущему. Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.
Например, чтобы найти значение выражения (720 + 600) : 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:
(720 + 600) : 24 = 720 : 24 + 600 : 24 = 30 + 25 = 55.
Значение выражения 1440 : (12 · 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15: 1440: (12 · 15) = (1440: 12):15=120:15=8.
Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекается иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.
7.3.12 Деление с остатком
Число 37 не делится на 8. Но существуют числа 4 и 5, такие, что 37 = 8·4+5. Говорят, что деление числа 37 на 8 выполнено с остатком, при этом найдено неполное частное 4 и остаток 5.
Определение. Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральнее число b — это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a = bq + r и 0 r < b.
Обратим внимание на особенности остатка, которые вытекают из данного определения. Остаток есть натуральное число, меньшее делителя b, поэтому при делении целых неотрицательных чисел на b может получиться всего b различных остатков: 0, 1, 2, 3, ..., b - 1.
Например, при делении с остатком целых неотрицательных чисел на 5 возможны остатки: 0, 1, 2, 3, 4.
Если a < b, то при делении а на b с остатком неполное частное q = 0, а остаток r= а, т. е. а = 0 · b + а.
Всегда ли можно выполнить деление а на b с остатком? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую мы примем без доказательства.
Теорема. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что a = bq + r причем 0 r < b. Пара целых неотрицательных чисел (q, r), обладающая этим свойством, единственная.
Выясним, каков теоретико-множественный смысл деления с остатком.
Пусть а = п (А) и множество А разбито на множества А1, А2, ... , Аq, X так, что множества А1, А2, ... , Аq равномощны и содержат по b элементов, а множество X содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А1, А2, ... , Аq, например п(Х)=r. Тогда a = b q + r, где 0 r < b. Таким образом, неполное частное q — это число равномощных подмножеств (в каждом из которых b элементов) в разбиении множества А, а остаток r— это число элементов в множестве X.
В начальной школе знакомство с делением с остатком происходит при рассмотрении ситуации, в которой из 9 детей образуются 4 пары и 1 человек остается без пары, т. е., по сути дела, знакомство с неполным частным и остатком происходит на теоретико-множественной основе. Используется такая запись деления с остатком: 9 : 2 = 4 (ост. 1).
Подчеркивается, что если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя.
Важность деления с остатком в том, что оно лежит в основе алгоритма деления многозначных чисел.
7.4 Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел
7.4.1 Понятие об аксиоматическом методе в математике
Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, описывающее какую-нибудь структуру (множество предметов с введенными в нем отношениями, в том числе, возможно, и операциями) или какой-нибудь род структур (отвлекаясь от конкретной природы предметов и смысла отношений между ними, несущественных для математики).
Так, например, арифметика натуральных чисел — множество предложений, описывающее структуру натурального ряда с введенными в нем отношением «непосредственного следования» и операциями сложения и умножения; евклидова геометрия — множество предложений, описывающее структуру евклидова пространства; теория групп — множество предложений, описывающее род структур, каждая из которых называется группой; теория булевых алгебр — множество предложений, описывающее род структур, каждая из которых называется булевой алгеброй, и т. д.
Метод логической организации множества предложений, составляющего теорию, называемый аксиоматическим, впервые был применен в древнегреческой геометрии. В настоящее время он достиг высокого уровня развития и широко применяется в математике.
Аксиоматический метод построения теории состоит в следующем.
1. Выделяются некоторые исходные (неопределяемые через другие) понятия. Все остальные понятия этой теории определяются через ранее определенные, в конечном итоге — через исходные.
2. Выделяются некоторые исходные предложения — аксиомы (служащие неявными определениями исходных понятий). Все остальные предложения теории — теоремы логически выводятся (доказываются) из уже доказанных ранее, в конечном итоге из аксиом.
Аксиоматический метод в математике прошел три стадии развития.
Первая стадия связана с первыми попытками аксиоматического построения геометрии, завершившимися появлением знаменитых «Начал» Евклида, в течение почти двух тысяч лет считавшихся образцом логической строгости.
Ни в «Началах» Евклида, ни в какой-либо другой работе, написанной до второй половины XIX в., не приводилось точного описания того, что следует понимать под логическим доказательством, а сами доказательства представляли собой пеструю смесь логических умозаключений с интуитивными догадками и ссылками на геометрическую наглядность. Полное исключение интуиции и ссылок на наглядность было невозможным и потому, что принятая Евклидом система исходных предложений как база для строго логического развертывания всей геометрической теории оказалась недостаточной.
И только на пороге XX в. (в 1899 г.) немецким математиком Д. Гильбертом была разработана полная система аксиом евклидовой геометрии.
Роль аксиоматического метода в математике особенно возросла после того, как в первой половине XIX в. великим русским математиком Н. И. Лобачевским и несколько позже венгерским математиком Я. Больяй была построена первая неевклидова геометрия, т. е. показана возможность построения геометрической теории, опирающейся на систему аксиом, отличную от той, на базе которой строится евклидова геометрия.
С этого времени началась вторая стадия развития аксиоматического метода. Появилось много теорий, уже не только геометрических, но и алгебраических, построенных аксиоматически.
Итальянский математик и логик Джузеппе Пеано предпринял в 1889 г. попытку аксиоматизировать арифметику. Впоследствии эта идея получила дальнейшее развитие в работах Д. Гильберта и его учеников.
С этим же периодом связано устранение недостатков, присущих аксиоматическому методу древнегреческих ученых.
Аксиоматическая система евклидовой геометрии, построенная Гильбертом в «Основаниях геометрии», отличается от системы, описанной в «Началах» Евклида, не только достаточностью (полнотой), но и совершенно новым подходом к аксиоматическому построению теории.
До Гильберта геометрическая теория строилась как описание некоторой конкретной системы объектов, аксиомы понимались как очевидные предложения об этих объектах, а задача аксиоматизации сводилась к логическому выводу (дедукции) всех предложений теории из исходных (аксиом), при этом само понятие логического вывода не имело точно описания и считалось лишь интуитивно ясным. Такую аксиоматическую теорию сейчас называют содержательной.
С работами Гильберта связан переход от содержательной к формальной аксиоматической теории.
Геометрия в «Основаниях геометрии» Гильберта строится, как полуформальная теория, т. е. собственно геометрический материал формализован (Гильберт отвлекается от природы точек, прямых и плоскостей, рассматривая их как три различные системы вещей неопределенной природы, и от смысла отношений между ними), но логика, применяемая для развертывания теории, остается интуитивной, неуточненной, неформализованной.
Третья стадия развития аксиоматического метода, начало которой также связано с Гильбертом и его школой, привела к понятию формальной системы или формализованной аксиоматической теории, включающей наряду с собственной системой аксиом и систему логических аксиом и правил вывода, определяющих логические средства этой теории. Таким образом, дальнейшее развитие аксиоматического метода связано с распространением формализации и аксиоматизации на логику, средствами которой строится аксиоматическая теория.
Это направление развития было вызвано потребностью решения ряда логических проблем, связанных с аксиоматическим методом, — проблем противоречивости, полноты, независимости.
Важнейшей из этих проблем является проблема непротиворечивости.
Теория непротиворечива, если среди ее теорем (логических следствий из аксиом) нет двух предложений типа А и не А, противоречащих друг другу.
Противоречивая теория беспредметна, для нее нельзя найти никакой модели никакой предметной области, структура которой описывалась бы этой теорией. Вот почему система аксиом считается пригодной в качестве базы для построения теории, если она непротиворечива, т. е. из нее невыводимы никакие два предложения, из которых одно — отрицание другого (т. е. типа А и не А).
Система аксиом считается полной (категоричной), если любые две ее модели (системы объектов, в которых выполняются все аксиомы) изоморфны.
Имеются и другие толкования полноты системы аксиом. В связи с построением аксиоматической теории возникает также вопрос о независимости аксиом. Аксиома называется независимой, если она не является логическим следствием из остальных аксиом системы. Вся система аксиом называется независимой (минимальной, т. е. не содержащей лишних аксиом), если каждая аксиома системы независима. Независимость, так же как и полнота, имеет меньшее значение, чем непротиворечивость. Иногда, в частности в учебной литературе, преднамеренно строят теорию на зависимой (избыточной) системе аксиом, чтобы облегчить ее развертывание. Решением названных и других логических проблем, связанных с аксиоматическим методом, занимается метаматематика — научная область, предметом которой является сама математика, методы построения математических теорий.
7.4.2 Аксиомы Пеано
Аксиоматическое построение арифметики натуральных чисел обычно связывают с именем Пеано, хотя аксиоматическая характеристика натурального ряда немного ранее была дана (в 1888 г.) Дедекиндом.
Сформулируем аксиомы Пеано для расширенного нулем натурального ряда, т.е. для множества No = {0, 1, 2, 3, ...} неотрицательных целых чисел, которые мы и назовем натуральными.
I. Нуль - натуральное число.
II. Нуль непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.
III. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.
IV. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число.
V. Аксиома полной индукции.
Современная аксиоматика натуральных чисел представляет собой несущественное изменение системы аксиом, предложенных в 1891 году итальянским математиком и логиком Пеано.
При аксиоматическом построении натуральных чисел вводится одно основное определение и четыре аксиомы:
Определение. Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a, b существует отношение « b следует за а» (число, следующее за а, будем обозначать а'), удовлетворяющее следующим аксиомам:
Существует число 1, не следующее ни за каким числом, т. е. а' ≠ 1 для любого числа а'.
Для любого числа а существует следующее число а' и притом только одно, т. е. из a = b следует a' = b'.
Любое число следует не более чем за одним числом, т. е. из a'=b' следует a = b.
(Аксиома индукции). Любое множество М натуральных чисел, обладающее свойствами:
а) 1М,
б) если число аМ, то следующее число a'М,
содержит все натуральные числа, т. е. совпадает с N.
Аксиомы I—IV характеризуют структуру множества No только с точки зрения отношения непосредственного следования. Опираясь на них можно определить арифметические действия и построить арифметику натуральных чисел.
7.4.3 Принцип математической индукции
Особую роль в построении аксиоматической теории натуральных чисел и вообще в математике играет аксиома индукции (IV), служащая формальной основой метода доказательства, известного под названием метода математической индукции. В таком применении аксиому индукции называют также принципом математической индукции и формулируют обычно так: «если некоторое предложение Р:
1) верно для 0 и
2) из того, что оно верно для произвольного натурального числа х, следует, что оно верно и для числа х', непосредственно следующего за х, то предложение Р верно для всех натуральных чисел».
Поясним роль аксиомы индукции в доказательстве методом математической индукции.
Известное из школьного курса доказательство по индукции состоит в следующем:
необходимо доказать, что некоторое предложение Р, в формулировке которого участвует натуральное число п, верно для любого натурального числа.
Обычно доказывают, что:
1) Р верно для п = 1, т. е. Р (1) истинно, и
2) Р верно для п' в предположении, что оно верно для п, т. е. истинно Р(п)Р(п').
После этого теорему считают доказанной для любого натурального числа. Однако это обычно обосновывают так: Р верно для 1, а значит и для 1', т. е. для 2; так как Р верно для 2, оно верно и для 2', т. е. для 3, и т. д.
Но что означает здесь «и т. д.»? Очевидно, что, рассуждая так, мы не можем перебрать все натуральные числа, так как их бесконечно много.
Выражение «и т. д.» свидетельствует о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов.
Роль аксиомы индукции состоит именно в том, что она позволяет заменить это бесконечное индуктивное рассуждение конечным, по существу дедуктивным рассуждением.
Получается следующая схема доказательства методом математической индукции с использованием аксиомы индукции.
1. Р(0) (или Р(1)) истинно (устанавливается проверкой).
2. (х) [Р(х) = Р(х')] истинно (доказывается истинность Р для х' в предположении, что оно истинно для х).
3. Р(0) (х)[Р (х) Р (х')] истинно (это следует из 1 и 2 по правилу введения конъюнкции).
4. Р(0) (х)[Р(х) Р(х')] (у) Р(у) истинно (аксиома индукции).
5. (у) Р(у) истинно (это следует из 3 и 4 по правилу заключения).
7.4.4 Аксиоматические определения сложения и умножения неотрицательных целых чисел
Определение. Сложением целых неотрицательных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре целых неотрицательных чисел (х, у), сопоставляет одно и только одно число целое неотрицательное число х+у, обладающее следующими свойствами:
1. (х) [x + 0 = x].
Сумма любого натурального числа и нуля равна самому этому натуральному числу.
2. (х, у) [х + у' = (х + у)'.
Сумма любого числа х с числом у', непосредственно следующим за любым числом у, равна числу (х + у)', непосредственно следующему за суммой х + у.
Числа х и у называются слагаемыми, а число х + у - суммой.
Определение. Умножением целых неотрицательных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре целых неотрицательных чисел (х, у), сопоставляет одно и только одно число целое неотрицательное число х·у, обладающее следующими свойствами:
1. (х) [x ·0 = 0].
Произведение любого натурального числа и нуля равно нулю.
2. (х, у) [х · (у') = (х · у) +х].
Произведение любого числа х и числа у', непосредственно следующим за любым числом у, равно сумме произведения чисел х и у и числа х.
Приведенные аксиоматические определения сложения и умножения сами по себе еще не доказывают существования и единственности суммы и произведения любых двух чисел из No.
7.4.5 Выполнимость и однозначность сложения и умножения в No
Установим выполнимость и однозначность сложения и умножения в No.
Теорема1. Сложение целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.
Доказательство.
а) Сначала докажем, что не существует более одного соответствия, обладающего свойствами 1 и 2.
Допустим от противного, что существует два таких соответствия, и пусть одно из них при данном числе а сопоставляет с каждым числом b сумму a + b = xb, а другое — сумму a + b = yb.
Докажем, что (bN0)[xb - уb]. Пусть М — множество тех чисел b, для которых xb = уb. Докажем, что M = N0.
1) По свойству 1: x0 = а и уо = а, т. е. xb = уb.Следовательно, 0М.
2) Из того, что bМ, т. е. xb = уb, по аксиоме II следует, что (xb)' = (yb)'. Но по свойству 2 (xb)' = xb' и (yb)' = yb'. Следовательно, хb' = уb', т. е. b'М.
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) следует, что M = N0-
Единственность сложения доказана для любого b при произвольно заданном а, т. е. для любых а и b из N0.
б) Теперь докажем, что при данном а существует (и согласно доказанному в «а» только одно) соответствие, сопоставляющее с каждым b число а + b, удовлетворяющее свойствам 1 и 2, т. е. такое, что а + 0 = а и (b)[a + b' = (a+b)'] (при произвольно заданном а).
Пусть М — множество тех чисел а, для которых такое соответствие существует (и согласно «а» единственно).
1) При а = 0 положим (b)[a + b = b]. Это соответствие удовлетворяет свойствам 1 и 2.
Действительно, а + 0 = а, т. е. удовлетворяет свойству 1, и a + b=b(a+b)'=b', следовательно, a + b'= (a+b)', т. е. выполняется свойство 2. Таким образом, 0М.
2) Если аМ, то число а + b определено и обладает свойствами:
а + 0 = а (по свойству 1 ) и a + b' = (a+b)'(по свойству 2).
Для а' любому числу b сопоставим число а' + b = (a+b)'.
Докажем, что это число также обладает свойствами 1 и 2.
Действительно, а' + 0 = (a+0)'= а', т. е. удовлетворяет свойству 1.
а' + b' = (a+b')' = ((a+b)')' = (а' +b)', т. е. удовлетворяет свойству 2.
Следовательно, аМ а'М и, так как а — произвольно заданное число, то
(х)[хМ х'М]. Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) следует, что M = No.
Таким образом доказано существование и единственность соответствия, сопоставляющего каждой паре (х, у) число (х + у)No., удовлетворяющее свойствам сложения (1 и 2), т. е. сложение является алгебраической операцией в множестве No.
Теорема 2. Умножение целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.
Эта теорема доказывается так же, как и теорема 1.
7.4.6 Свойства сложения и умножения в No
Из школьного курса математики известен ряд свойств сложения и умножения неотрицательных целых чисел, выводимых из данных аксиом. Сформулируем эти теоремы: для любых х, у, z из No
1. 0 + х = х.
2. х + у = у + х (коммутативность сложения).
3. х = у х + z = у + z.
4. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность сложения).
5. 0 · х = 0.
6. х · 1 = х.
7. х = у х · z = у · z.
8. х · у = у · х (коммутативность умножения).
9. (х · у) · z = х · (у · z) (ассоциативность умножения).
10. х · (у + z) = (х · у) + (х · z) (дистрибутивность умножения относительно сложения).
Приведем в качестве примеров доказательства первых четырех теорем.
1. Пусть Р(х) обозначает 0 + х = х. Нам нужно доказать, что (x)P(x).
1) В силу свойства 1: 0 + 0 = 0, т. е. Р(0) истинно.
2) Докажем теперь, что Р(х) = Р(х').
Предположим, что 0 + х = х. Тогда по аксиоме II (0 + х)' = х'. С другой стороны, по свойству 2 (0 + х)' = 0 + х'. Следовательно, 0 + х' = х', т. е. мы доказали, что (0 + х = х) => (0 + х' = х').
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) получаем, что (х)[0 + х = х].
2. Докажем эту теорему индукцией по у. Пусть Р(у) обозначает х + у = у + х.
1) х + 0 = х (по свойству 1); х = 0 + х (по теореме 1).
Следовательно, х + 0 = 0 + х, т. е. Р(0) истинно.
2) Докажем теперь, что Р(у) Р(у'). Допустим, что Р(у) истинно, т. е. х+у=у+х. Отсюда по аксиоме II (х + у)'= (у + х)'. Но (х + у)' = х + у' по свойству 2 , а (у + х)' - у' + х. Следовательно, х + у' = у' + х, т. е. мы доказали, что (х + у = у + х) (х + у' = у' + х).
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) получаем, что (у)Р(у), и так как доказательство проведено для произвольно заданного х, то мы получили
( х, у)[х + у = у + х].
3. Доказательство проведем индукцией по z. Пусть Р(z) обозначает предложение х = у = x + z = y + z.
1) Докажем, что Р(0) истинно, т. е. х = у х + 0 = у + 0. Согласно свойству 1,
х + 0 = х и у + 0 = у.
Следовательно, из того, что х = у, следует, что х + 0 = у+0, т. е. х = у х + 0 = у + 0 истинно.
2) Теперь докажем, что Р(z) Р(z') истинно, т. е. что из х = у => х+z =у+z следует х = у => х+z' = у + z'.
Из х = у => х + z = у + z следует, что x + z = y + z.
Отсюда по аксиоме II получим, что (х + z)' = (у + z)'.
Но согласно свойству 2, (х + z)' = х + z' и (у + z)' = у + z'.
Следовательно, х = у х + z' = у + z'.
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) предложение Р(z) верно для любого z.
Так доказательство проведено для произвольно заданных х и у, то мы доказали, что (х, у, z)[х = у х + z = у + z].
4. Пусть Р(z) обозначает формулу (х + у) + z = х + (у + z).
1) Докажем, что Р(0) верно.
В силу свойства 1 (х + у) + 0 = х + у и у + 0 = у. Тогда х + (у + 0) = х + у. Следовательно, (х + у) + 0 = х + (у + 0), т. е Р(0) истинно.
2) Докажем, что Р(z) Р(z') истинно, т. е., предполагая истинным предложение (х + у) + z = х + (у+z), докажем, что и предложение (х + у) +z'=х+(у+z') истинно. По свойству (2) (х + у) + z' = ((х+ у) + z)', (1)
А в силу нашего предположения ((х + у) +z)' = (х + (у + z))', (2)
Из предложений (1) и (2) следует, что (х + у) + z' = (х + (у +z))'. (3)
В силу свойства (2) (х + (у + z') = х + (у + z)' (4) и х + (у + z)' = (х + (у + z))' (5)
Из предложений (4) и (5) следует, что х + (у + z') = (х + (у + z))' (6)
Из предложений (3) и (6) (х + у) + z' = (х + (у + z'), т. е. Р(z').
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) предложение Р(z) верно для любого z.
Так как доказательство проведено для произвольно заданных х и у, мы доказали, что (х, у, z) [(х + у)+z = х + (у + z)].
7.4.7 Свойства порядковой структуры (N0 ,<)
Введем в множестве No отношение < (меньше).
Определение. Мы будем говорить и обозначим это через а < b, что число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует число k,≠0, такое, что a+k=b.
a < b (k ≠ 0)[a + k = b].
Если а меньше b (a < b), мы будем также говорить, что b больше а, и обозначим это b > а.
Дизъюнкцию a < b а = b обозначают кратко а b. Аналогично дизъюнкцию a > b a = b обозначают а b.
Из определения непосредственно следует теорема.
Теорема 1. (х) [х < х'].
Доказательство. Действительно, х < х', так как х + 1 = х'.
Следствия.
1. 0 < 1 < 2 < 3 < ...
2. 0 — наименьшее число в No.
3. 1 — наименьшее число в N.
Множество No.упорядочено отношением «меньше» (или «больше»), т. е. имеет место следующая теорема.
Теорема 2. а) Для любых х, у из No. имеет место точно одно из трех соотношений: х = у, х < у, у < х, т. е. (х, у) [либо х = у, либо х < у, либо у < х].
б) (х, у, z) [х < у у < z х < z].
Доказательство.
а) Прежде всего, установим, что имеет место не более чем одно из соотношений х = у, х < у, у < х.
Пусть, например, имеют место одновременно х = у и х < у. Тогда
(k ≠ 0) х + k = у]
и х = у х < у x = x + k,
а следовательно, k = 0, что противоречит условию (k ≠ 0).
Аналогично к противоречию приводит допущение, что одновременно х у и у<х.
Если имели бы место одновременно х < у и у < х, то было бы справедливо x+k=y (k ≠ 0) и у + l = х (l ≠ 0), или (y + l) + k = y, или y + (l + k) = y, и так как
l≠ 0 k ≠ 0 l + k ≠ 0, мы пришли бы к противоречию (со свойством 1).
Докажем теперь, что хотя бы одно из соотношений х = у, х < у, у < х всегда (для любых х и у из No) имеет место.
Пусть выбрано число х и М — множество тех у из No, для каждого из которых при данном х имеет место хотя бы одно из этих соотношений.
1) Если х = 0, то для у = 0 имеем х = у; если х ≠ 0, то теореме 1 для у = 0 имеем у < х. Таким образом, 0М.
2) Пусть уМ. Тогда или х = у и, следовательно, у' = х + 1, т. е. х < у', или х <у, т. е. x + k = y, а следовательно, (x + k)' = y', или, согласно свойству 2, х + k' = y', и в этом случае х < у'; или у < х, т. е. y + k = x, и если k = 1, то у' = х, если же k ≠ 1, то k= m' и x = y + m' = y + (m + l) = y + (1 +m) = (y + 1) +m = у' + m, т. е. у' < х.
Вo всеx случаях у' М. По аксиоме индукции (IV) М = No и утверждение «а» доказано.
б) Докажем, что из х < у и у < z следует х < z:
х < у (k ≠ 0) х + k = у];
х < z (l ≠ 0) х + l = z];
х + k = у у + l = z (х + k) + l= z
(х + k) + l = х +(k + l) = z и k + l ≠ 0.
Следовательно, х < z. Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь порядка с операциями сложения и умножения.
Теорема 3 (свойства монотонности сложения и умножения).
а) (х, у, z) [х < у х + z < у + z].
б) (х, у) [(z ≠ 0) [х < у х z < у z].
Доказательство.
а) пусть х < у. Тогда x + k = y (k ≠ 0)
и у + z = (х + k) + z = х + (k+ z) = х + (z + k) = (x + z) + k.
Следовательно, х + z < у + z.
б) Аналогично у z = (х + k) z = (х z) +(k z)
и k ≠ 0 z ≠ 0 k z ≠ 0.
Следовательно, х z < у z.
Теорема имеет место и для отношения > (больше).
Структура (No, <) обладает свойством дискретности. Это означает, что для каждого числа х из Мо существует в этом множестве «соседнее» число у такое, что х<у и нет других чисел «между ними», т. е. таких, которые были бы больше х, но меньше у. Иными словами, имеет место следующая теорема.
Теорема 4. (х) (у) [х < у () (х < z z < у]
или (х) (у) [х < у (z) (z х у z]
Доказательство. Действительно, для каждого х таким «соседом» является число у = х'. Докажем это, т. е. что (х) () [х < z z < х'].
Допустим от противного, что (z)[х < z z < х']. Тогда
х < z (k ≠ 0) х + k = z].
По следствию 1 из теоремы 1 имеем k 1 и по теоремам 3 и 3 (7.4.6) x+k x+1, т. е. z х'.
По теореме 2 z х' исключает z < x'. Теорема доказана.
Исходя из теоремы 1, мы установили, что в No имеется наименьшее число — 0 (в N—1). Из этой же теоремы следует, что в No (или в N) нет наибольшего числа.
Теорема 5. () (х) [х у].
Доказательство. Допустим, что (у) (х) [х у], и пусть у = а обладает таким свойством, т. е. (x)[x a].
Если же взять х = а' = а+1, то, согласно теореме 1, получим х > у, что, согласно теореме 2, исключает x a.
Теорема 5 является признаком бесконечности множества No, так как во всяком конечном упорядоченном множестве имеются как наименьший, так и наибольший элементы. (Это доказывается в общей теории упорядоченных множеств).
7.5 Вычитание целых неотрицательных чисел
7.5.1 Вычитание
Определение. Вычитанием из числа b числа а называется операция отыскания такого числа с, что b = a + с.
Число b называется уменьшаемым, а – вычитаемым, с – разностью. Разность с обозначается через b - а.
Таким образом, по определению с = b – а b = a + с.
Из определения непосредственно усматривается связь вычитания со сложением: разность – одно из слагаемых операции сложения, где сумма равна уменьшаемому, а другое слагаемое – вычитаемому.
Эта связь является основой для рассмотрения вычитания как операции, операции, обратной сложению.
Теорема (условие выполнимости и однозначности вычитания). Разность b - а существует и единственна тогда и только тогда, когда a b (или b а ).
(a, b ) ( с) (с = b - а) a b ].
Доказательство.
Докажем, что:
1) ( с) (с = b - а)] a b;
2. a b ( с) (с = b - а)];
3..
1) по определению с = b - а b = a + с.
Если с = 0, то a = b (по свойству 1), если же с > 0, то a < b по определению отношения «меньше». Но так, как с 0, то a b.
2) Если a = b, то b = а +0 и по определению вычитания 0= b – а, т. е.
( с) (с = b - а)].
Если a < b, то по определению отношения «меньше» (с) b = а + с], а следовательно, (с) (с = b - а)].
3) Допустим от противного, что
.
Тогда по определению вычитания b = a + с1 и b = a + с2 и, следовательно, a + с1 = a + с2. Отсюда следует, что с1 = с2 (в противном случае, т.е. если с1≠с2 , то по свойству монотонности сложения получим, что a + с1 ≠ a + с2 ).
Мы получили противоречие (с1 ≠ с2 и с1 = с2), доказывающее единственность разности. Теорема доказана.
7.5.2 Свойства вычитания
Перечислим некоторые свойства разности.
Теорема 1. b – a b.
Доказательство. Это свойство следует непосредственно из определений разности и отношения «меньше». Так как (b - a) + a = b, то b – a b (b – a < b, если а > 0, и b - а = b, если а = 0).
Теорема 2. (a - b) c = a c – b c.
Доказательство. Действительно, (a - b)c + bc = ((a - b) + b)c (по дистрибутивности умножения относительно сложения). Но по определению разности ((a - b) + b)c = ас, следовательно, (a - b)c + bc = ac, а поэтому
(a - b)c = ac - bc (по определению разности).
Теорема 3. a - b = с – d a + d = b+ с.
Доказательство. Докажем, что
1) а –b = с - d => a + d = b + c;
2) a + d = b + c a – b = c - d.
1) a - b = c – d (c - d) + b = a;
(с - d) + b = a ((с - d) + b) + d = a +d;
(с - d) + b + d = ((с - d + d) + b) = с +b = b + с.
Следовательно, a - b = c – d a + d = b + c.
2) a + d = b + с ((a – b) + b) + d = ((с – d) + d)+ b;
((a – b) + b) + d = ((с – d) + d) + b ((a – b) + d) + b = ((с – d + d)+ d;
((a – b + d) + b= ((с – d) + d) + b ((a – b + d = (с – d) + d;
(a – b) + d = (с – d) + d) a -b = с – d.
Следовательно, a + d = b + c a - b = c - d.
Из определения разности и доказанных свойств следуют:
a) (a – b) + (с – d) = (a+c) - (b+d);
б) (a - b) - (с - d) = (a + d)- (b + с);
в) (a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc).
7.6 Деление целых неотрицательных чисел
7.6.1 Деление
Определение. Деление числа а на число b - это операция отыскания такого числа с,что а = b. Число а называется делимым, b – делителем, с – частным. Применяется запись а : b или .
Равенство 0 с = 0 справедливо при любом значении с, т. е. выражению 0 : 0 можно придать любое численное значение. Поэтому выражение 0:0 не имеет смысла.
Если а 0, то 0 с = а невозможно ни при каком с, т. е. выражению а : 0 нельзя придать никакое численное значение. Поэтому деление на нуль невозможно.
Пусть b — натуральное число. Рассмотрим ряд произведений числа b на все неотрицательные целые числа:
b 0 = 0, b 1 = b, b 2, b 3, ..., b п,...
Если b = 1, то ряд чисел, кратных b, совпадает с множеством всех неотрицательных чисел. Если b > 1, то существуют числа, не являющиеся кратными числу b. Например, всякое число а, удовлетворяющее условию bk<a<b(k+l),где kN.
Для такого а равенство a = bn при пN невозможно, т. е. невозможно деление а на b. Наоборот, если а = bn, то по определению деления а : b = п.
Сформулируем вывод: деление неотрицательного целого числа а на натуральное число b возможно тогда и только тогда, когда а кратно b. Деление на нуль невозможно.
Заметим, что нуль кратен любому натуральному числу, т. е. деление нуля на любое натуральное число возможно и в частном получается нуль.
Теорема (Условие выполнимости и однозначности деления). Если деление возможно, то частное единственно.
Доказательство. Предположим противное, т. е. (а : b = с) (а : b = d) (с d).
Для определенности положим c < d. Это можно сделать, так как множество целых неотрицательных чисел линейно упорядочено. Так как b > 0, то bc < bd. Но bс= а и bd = а по определению операции деления. Следовательно, а < а, что невозможно. Полученное противоречие отвергает предположение, что c d. Теорема доказана.
7.6.2 Свойства деления
1. В множестве целых неотрицательных чисел операция деления не определена, ибо она не всегда выполнима. Например, если b > 1, то (b + 1) не делится на b. Это можно усмотреть из неравенства b < b + 1 < 2b, т. е. b + 1 не является кратным b.
2. Деление неассоциативно. Например, (8 : 4) : 2 = 1, но 8 : (4 : 2) = 4.
3. (а < b) (а b) => (а = 0), т. е. если меньшее неотрицательное число делится на большее, то меньшее равно нулю.
Если предположить, что а 0, то 0 < а < b, т. е. а не содержится среди кратных числу b.
4. Деление некоммутативно. Более того, если а b, то b а в единственном случае, когда а = b.
Если а < b, то по свойству 3 а = 0, т. е. . Если а > b, то из b а следовало бы b = 0, что невозможно. Остается предположить, что а = b.
В этом случае а : b = b : a = 1.
5. (а : b)b = a, т. е. если число а разделить на b, а затем умножить на b, то в результате получится число а.
Пусть а : b = х, т. е. а = bх. Тогда (а : b)b = xb = a.
6. (c>0)[ac = bc a = b], т. е. если обе части равенства кратны натуральному числу с, то их можно сократить (т. е. разделить) на с.
По определению деления ас : с = а и bс : c = b. Из ас = bс и из теоремы о единственности частного вытекает а = b.
7. (c > 0)[a : b = ac : bс], т. е. частное не меняется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Пусть ас : bс = х, т. е. ac = xbс. Тогда по свойству 6 a = xb, т. е. а : b = х.
8. а : bd= (a : b) : d, т. е. деление на произведение можно осуществить последовательным делением на отдельные множители.
Пусть (a : b) : d = x. Тогда а : b = dx и a = bdx по определению деления. Из этого же определения следует а : bd = x.
9. (b : c)a = ab : с, т. е., чтобы умножить частное на число а (или а на частное), достаточно умножить делимое на число а и затем разделить на делитель.
7.6.3 Деление с остатком
Мы уже знаем, что деление в множестве целых неотрицательных чисел не всегда выполнимо, поэтому введем более общую операцию деления, так называемое деление с остатком. Чтобы 30 : 4, представим число 30 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является кратным 4 и выбрано наибольшим из возможных, т.е. 30 = 28 + 2 = 47 + 2. В этом случае говорят, что 30 при делении на 4 дает в частном 7 и в остатке 2. Иногда это записывают так: 30 : 4 = 7 (остаток 2).
При делении на 5 тот же метод дает 30 = 30 + 0 = 5 6 + 0, т. е., 30 : 5=6(ост. 0).
Если не учитывать остаток, равный нулю, то деление в обычном смысле можно считать частным случаем деления с остатком. Но следует учесть, что это различные операции, ибо при обычном делении каждой паре чисел (делимому и делителю) ставится в соответствие одно число (частное), а при делении с остатком каждой паре чисел (делимому и делителю) ставится в соответствие пара (частное и остаток).
Определение. Операция деления с остатком неотрицательного целого числа а на натуральное число b есть отыскание таких частного q и остатка r, что a = bq + r и r < b.
Докажем выполнимость деления с остатком на любое натуральное число и однозначность этой операции.
Теорема (о делении с остатком). Для любой пары (a, b)N0 существует, и притом единственная, пара (q, r)N0 0, такая, что a = bq + r, где r < b.
Доказательство. Если а = 0, то 0 = b 0 + 0, т. е. этому случаю удовлетворяет пара (0, 0) и единственность ее очевидна. Поэтому далее будем считать, что а > 0. Возьмем множество М тех кратных числу b, которые больше а, т. е.
M = {bn(nN)(bn > a)}.
Заметим, что п > 0, ибо а > 0. Это подмножество множества натуральных чисел по принципу наименьшего числа должно содержать наименьшее число. Пусть это будет bk, т. е. a < bk и bk при этом выбрано наименьшим.
Так как kN, то (k - 1)No, т. е. b (k - 1)— неотрицательное целое кратное числа b. Из монотонности умножения вытекает b(k - 1) < bk. Поэтому b(k - 1) не принадлежит множеству М. Следовательно, b(k - 1) a.
Обозначим k -1 = q и a - bq = r, причем rNo, так как a bq. Докажем, что r<b. Если предположить r b, то получаем a – bq b, т. e. a bq + b = b(q + 1).
Заметим, что вынесение за скобки возможно, так как по условию b > 0. Но q+1=k, т. е. a bk, а это противоречит выбору bk. Полученное противоречие дает r<b. Итак, a = bq + r, где r < b.
Докажем единственность пары (q, r). Пусть существует еще одна пара (q1, r1) с тем же свойством, т. е. а = bq1 + r1 и r1 < b. Тогда bq + r = bq1 + r1. Учитывая линейную упорядоченность множества No, для определенности положим r1 r. Тогда bq - bq1 = r1 - r и (r1 – r)No. Так как b > 0, то b(q – q1) = r1 - r, т. е. (r1 - r) b. Но (r1 – r) < b, ибо r1 < b. Тогда из свойства 3 (7.6.2) следует r1 – r = 0, т. е. r1 = r. Но q - q1= (r1 – r) : b, т. е. q - q1 = 0, q1 = q. Теорема доказана.
Отметим интересный случай деления с остатком. Если а < b, то а : b =0 (ост. а).
Вопросы для самоконтроля:
Объясните теоретико-множественный смысл понятия нуль и натуральное число.
Объясните теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств.
Сформулируйте различные определения понятия произведения целых неотрицательных чисел.
Сформулируйте различные определения понятия частного целого неотрицательного и натурального числа.
Сформулируйте аксиомы Пеано для расширенного нулем натурального ряда.
Сформулируйте определения арифметических действий с целыми неотрицательными числами и их свойства.
Литература:
1. Пышкало А. М, Стойлова Л. П., Ирошников Н. П., Зельдер Д. Н. Теоретические основы начального курса математики. Учеб, пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ (специальность № 2001), М., «Просвещение», 1974, с. 92-98, 175-268.
2. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. (Для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов). Минск, «Вышэйшая школа», 1975, с.184-212
3. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ» - М. Просвещение, 1988г. с.123-157.
Лекция № 8
Тема: Системы счисления
Цель:
сформировать представление о позиционных и непозиционных системах счисления; знать теоретические основы действий с многозначными числами в десятичной системе счисления и правила перехода из одной системы счисления к другой; уметь выполнять арифметические действия в позиционных системах счисления, отличных от десятичной.
8.1 Понятие системы счисления
8.2 Десятичная система счисления
8.3 Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
8.4 Непозиционные системы счисления
8.1 Понятие системы счисления
Мы уже познакомились с различными подходами к определению понятия целого неотрицательного числа (теоретико-множественный подход, аксиоматический подход). Хорошо известно, что эти строгие математические определения понятия целого неотрицательного числа были созданы относительно недавно (конец XIX в. — начало XX в.), в отличие от самого понятия целого неотрицательного числа, которое начало формироваться, как считают историки, на границе позднего палеолита и неолита (~ 10 тыс. лет тому назад).
Появление такого абстрактного понятия, как натуральное число (прежде всего чисел «один» и «два»), было вызвано практической деятельностью человека. Очевидно, что процесс этот очень продолжительный и его временные рамки четко определить не представляется возможным. Однако можно считать, что процесс создания понятия завершается с введением в обиход специального термина для обозначения данного понятия. Появление соответствующего термина служит венцом процесса возникновения понятия натурального числа. Более того, для того чтобы можно было вести разговор (в широком смысле) на языке чисел, необходимо, как и в обычном языке, иметь некоторый алфавит, т. е. некоторую систему знаков (цифр), с помощью которой мы могли бы обозначать любые числа. В том языке чисел, которым пользуются сейчас практически во всем мире, алфавитом служат десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Этот язык называется десятичной системой счисления.
Системой счисления (нумерации) в математике называют язык для наименования и записи чисел и выполнения операций над ними.
Возвращаясь к десятичной системе счисления, следует отметить, что этой системой люди пользовались не везде и не во все времена, с появлением письменности у различных народов появились и иные системы счисления. Так, и по настоящее время всем хорошо известен способ записи чисел с помощью римских цифр.
При записи натуральных чисел в какой-либо системе счисления (например, в десятичной или римской) обращает на себя внимание тот факт, что для записи некоторых чисел используются специальные символы (например, 0, 1, ..., 9, I, V, X).
Такие числа мы будем называть узловыми. Остальные числа получаются из узловых в результате выполнения каких-либо действий над ними:
например, IХ = Х - I; 25 = 210 + 5.
Очевидно, что самым простым и естественным выбором узлового числа был выбор числа «один». Узловое число «один» можно было легко обозначить камешком, ракушкой, зарубкой на палке, узлом на веревке и т.п., а впоследствии при появлении письменности и специальным знаком (цифрой), например, черточкой. Остальные числа получались повторением нужного количества раз числа «один».
В процессе общественного развития человеку приходилось иметь дело с все большими натуральными числами, и здесь начинает работать второй принцип. Нецелесообразно и практически неудобно получать обозначение достаточно больших натуральных чисел, набирая нужное количество знаков чисел «один». Самый простой и естественный выход из этого положения — это ввести новый знак (цифру) для обозначения нового узлового числа, т. е. новый знак для обозначения некоторой группы единиц. Так как счет в те времена во многом велся с помощью пальцев, то самым естественным выбором новых узловых чисел был выбор чисел «пять», «десять», «двадцать». Естественно, что по каким-то историческим причинам мог возникать и другой выбор новых узловых чисел. Итак, введение обозначения для новых узловых чисел позволило упростить запись, но не сняло с повестки дня указанную проблему, так как необходимость записывать все большие и большие числа опять приводит к громоздкой записи. Чтобы преодолеть эту проблему, естественно просматриваются два подхода.
Первый состоит в том, чтобы ввести свои обозначения для некоторого количества узловых чисел в определенных границах, которые определяются частотой применения натуральных чисел в повседневной практике.
Второй путь, более сложный, но более привлекательный — найти способ достаточно экономно записывать любое натуральное число с помощью ограниченного (не очень большого) количества знаков.
Первый подход приводит к созданию так называемых непозиционных систем счисления, а второй — к созданию позиционных систем счисления.
8.2 Десятичная система счисления
8.2.1 Запись чисел в десятичной системе счисления
В позиционной системе счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Общепринятой (для ручных вычислений и вычислений с помощью механических или электромеханических счетных машин) является десятичная позиционная система, берущая свое начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, заимствована арабами и уже через арабские страны пришла в Европу.
В этой системе для записи любого числа используется лишь десять знаков (цифр) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, множество которых составляет алфавит этого языка. Всякая конечная последовательность цифр алфавита — слово этого языка — обозначает число, являясь условной, краткой записью более сложного выражения, составленного по определенному правилу, отражающему позиционный принцип, при котором значение каждой цифры определяется как ею самой, так и занимаемым ею местом (позицией). Например, последовательность «3785» обозначает число, полученное как результат выполнения всех операций в выражении
31000 + 7100 + 810 + 5 или 3103 + 7102 + 810 + 5,
т е. является краткой записью суммы произведений последовательных степеней числа 10 (основания системы счисления) на числа, каждое из которых меньше 10. Эти числа обозначаются цифрами, из которых образуется краткая (условная) запись числа в виде слова «3785» (в результате опускания знаков + и и последовательных степеней числа 10).
Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде х = ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0, где коэффициенты ап, ап-1, …, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ап 0.
Сумму ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0 принято записывать кратко: апan-1...a1a0.
Числа 1, 10, 102, 103, ..., 10п называют при таком представлении разрядными единицами соответственно первого, второго, .... n-гo разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда, т. е. отношение соседних разрядов равно 10 — основанию системы счисления.
Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки, сотни. Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс — класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Затем идет третий класс — класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого, девятого, т. е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов. Последующие три разряда также образуют новый класс и т. д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т. д. создает удобства для записи и прочтения чисел.
В десятичной системе счисления все числа можно не только представить и виде ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0, где ап, an-1,..., a1 ,a0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ап 0, но и всем им дать название, имя. Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и прибавления еще немногих слов образуются наименования последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 110 + а0) образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова «десять» («дцать»):
одиннадцать — один на десять;
двенадцать — два на десять и т. д.
Может быть, естественнее было говорить «два и десять», но наши предки предпочитали говорить «два на десять», это и сохранилось в нашей речи. Слово «двадцать» обозначает два десятка.
Названия чисел третьего десятка (это числа вида 210 + а0) получаются путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т. д. Продолжая счет далее, мы получим названия чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков).
Названия чисел, больших ста (т. е. чисел вида 1 102 + 110 + а0), составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующего десятков. Таким путем получаются наименования: сто один, сто два, ... , сто двадцать и т. д. Отсчитав новую сотню, мы будем иметь две сотни, которые кратко называются двести. Для получения чисел, больших двухсот, мы снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем будем отсчитывать последующие сотни и после каждой новой сотки будем получать особое название: триста, четыреста, пятьсот и т. д. до тех пор, пока не отсчитаем десять сотен, которые носят особое название «тысяча».
Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т. д.), получим две тысячи, три тысячи и т. д. Когда же мы отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое название «миллион». Далее считаем миллионами до тех пор, пока дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число — тысяча миллионов — имеет особое название «миллиард». Миллион миллионов называется биллионом. В вычислениях миллион принято записывать в виде 106, миллиард - 109, биллион — 1012. По аналогии можно получить записи еще больших чисел.
Таким образом, для того, чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) получаются из этих основных.
Десятичная запись натурального числа дает еще один способ сравнения чисел.
Если числа х и у — натуральные числа, запись которых выполнена в десятичной системе счисления, т. е.
х = ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0,
y = bm 10m + bm-110m-1 + ... + b110 + b0,
то число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:
1) п < т (число разрядов в записи числа х меньше, чем в записи числа у);
2) п = т, но an < bm;
3) п = т, ап = bт , ..., ak = bk, но ak-1 < bk-1.
(Это утверждение мы примем без доказательства).
Пользуясь им, сравним числа.
а) 3456 < 12 349, потому что в записи числа 3456 цифр меньше, чем в записи числа 12 349;
б) 3456 < 4579, так как при одинаковом количестве цифр в записи чисел цифра старшего разряда в числе 3456 меньше цифры того же разряда в числе 4579;
в) 3456 < 3476, так как при одинаковом количестве цифр в записи чисел и одинаковых цифрах, обозначающих тысячи и сотни, цифра десятков в числе 3456 меньше цифры того же разряда в числе 3476.
Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальных классах по концентрам в темах, носящих название «Нумерация». Говоря о нумерации, здесь обращаются только к способам наименования и записи чисел. Поэтому термины «нумерация» и «система счисления» не тождественны — изучение систем счисления предполагает еще и рассмотрение действий над многозначными числами.
В начальном курсе математики (и в курсе математики средних классов) десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы так называемых разрядных слагаемых. Например, сумма 5000 + 400 + 50 + 7 представляет собой десятичную запись числа 5457. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: пять тысяч четыреста пятьдесят семь.
8.2.2 Сложение многозначных чисел в десятичной системе счисления
Выясним, как на практике выполняется сложение натуральных чисел.
Если числа а и b однозначные, то, чтобы найти сумму, достаточно сосчитать число элементов в объединении множеств А и В, таких что п(А) = а, п(В) = b и АВ= . Но чтобы всякий раз, выполняя сложение таких чисел, не обращаться к множествам и счету, все суммы, которые получаются при сложении двух однозначных чисел, запоминают. Все такие суммы записывают в особую таблицу, которая называется таблицей сложения однозначных чисел.
Если числа а и b многозначные, то смысл действия сложения сохраняется, но технически найти сумму путем пересчета элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b, невозможно.
Как известно, многозначные числа складывают «столбиком». Но каковы теоретические положения, которые лежат в основе этого правила?
Рассмотрим сумму 273 + 3526. Представим слагаемые в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 273 + 3526 = (2102 + 710 + 3) + (3103 + 5 102 + 210 + 6). Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки — с десятками и т. д., и заключим их в скобки. Все это можно сделать на основании соответствующих законов сложения. Действительно, сочетательный закон разрешает записать выражение без скобок: 2102 + 710 + 3 + 3103 + 5 102 + 210 + 6. На основании переместительного закона поменяем местами слагаемые: 3103 + 2102 + 5 102 + 710 + 210 + 3 + 6. Согласно сочетательному закону произведем группировку:
3103 + (2102 + 5 102) + (710 + 210) + (3 + 6).
Вынесем за скобки в первой группе число 102, а во второй — 10. Это можно сделать в соответствии с распределительным законом умножения относительно сложения: 3103 + 102(2 + 5) + 10(7+ 2) + (3 + 6). Видим, что сложение данных чисел 273 и 3526 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 3103+7102 + 910 + 9.
Полученное выражение есть десятичная запись числа 3799.
Итак, правило сложения чисел «столбиком» основывается на:
способе записи чисел в десятичной системе счисления;
переместительном и сочетательном законах сложения;
распределительном законе умножения относительно сложения;
таблице сложения однозначных чисел.
Покажем, что и в том случае, когда сумма однозначных чисел становится равной или больше 10, в основе правила сложения лежат те же теоретические факты. Рассмотрим, например, сумму 248 + 936.
Представим слагаемые в виде сумм степеней десяти с коэффициентами:
(2102 + 410 + 8) + (9102 + 310 + 6).
Воспользуемся законами сложения, распределительным законом умножения относительно сложения и преобразуем данное выражение к такому виду:
(2 + 9) 102 + (4 + 3) 10 + (8 + 6).
Видим, что и в этом случае сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 2 + 9, 8 + 6 превышают число 10, и поэтому полученное выражение не является десятичной записью какого-то числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 10 + 4: (2 + 9)102 + (4 + 3) 10 + (10 + 4).
Теперь, воспользовавшись законами сложения и умножения, приведем полученное выражение к виду (2 + 9)102 + (4 + 3+1)10 + 4.
Суть последнего преобразования ясна: десяток, который получился при сложении единиц, мы прибавили к десяткам данных чисел. И, наконец, представив сумму 2 + 9 в виде 110+1, получаем:
(110+1)102 + 810 + 4, откуда 1103 + 1102 + 810 + 4.
Полученное выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 248 +936 = 1184.
В общем виде алгоритм сложения многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируется так:
1. Записываем второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Складываем цифры разряда единиц. Если сумма меньше десяти, ее записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если сумма цифр единиц больше или равна 10, то представляем ее в виде 10 с0, где с0 — однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и прибавляем 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходим к разряду десятков.
4. Повторяем те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс заканчиваем, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов.
В начальном курсе математики правило сложения многозначных чисел формулируется при изучении письменного сложения трехзначных чисел.
Этому правилу и записи сложения «столбиком» предшествует объяснение конкретного случая:
246 + 123 = (200 + 40 + 6) + (100 + 20 + 3) = (200+100)+(40+20)+(6+3)=300+60+9=369.
Обоснуем каждый шаг выполняемых преобразований.
Сначала числа 246 и 123 представляются в виде суммы разрядных слагаемых (т. е. используется, по существу, способ записи чисел в десятичной системе счисления). Следующий этап — к сотням прибавляются сотни, к десяткам — десятки, к единицам — единицы, что возможно, если говорить школьным языком, на основании правила прибавления суммы к сумме, которое является следствием переместительного и сочетательного законов сложения. Затем находятся суммы в скобках. Поскольку слагаемые являются так называемыми круглыми числами, т. е. оканчиваются нулем, или однозначными и числами, как в последней скобке, то их сложение происходит с опорой на таблицу сложения однозначных чисел. Выражение 300 + 60 + 9 есть сумма разрядных слагаемых (т. е. является десятичной записью числа), поэтому его можно записать в виде 369.
Таким образом, сложение данных чисел 246 и 123 свелось к поразрядному сложению единиц, десятков и сотен, что удобно делать «столбиком»:
246
123
369
8.2.3 Вычитание многозначных чисел в десятичной системе счисления
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что а = b - с, и происходит с опорой на таблицу сложения однозначных чисел.
Если числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной.
Как известно, многозначные числа вычитают «столбиком». Выясним, каковы теоретические основы этого алгоритма.
Рассмотрим разность 769 - 547. Представим данные числа в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 769 - 547 = (7102 + 610 + 9) - (5102 + 410 + 7). Чтобы вычесть из числа 7102 + 610 + 9 сумму 5102 + 410 + 7, достаточно вычесть из нее каждое слагаемое одно за другим, поэтому можно записать: (7102 + 6+ + 9)-5102 - 410 - 7.
Будем теперь вычитать из суммы 7102 + 610 + 9 числа 510 , 410, 7. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого. Поэтому число 5102 вычтем из слагаемого 7102, число 410 — из слагаемого 610, а число 7 — из слагаемого 9:
(7102 - 5102) + (610 - 410) + (9 - 7).
На основании распределительного свойства умножения относительно вычитания выносим за скобки 102 и 10:
(7 - 5)102 + (6 - 4)10 + (9 - 7).
Видим, что вычитание данных чисел 769 и 547 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Разности 7- 5, 6 - 4, 9 - 7 находим по таблице сложения: 2102 + 210 + 2.
Полученное выражение есть десятичная запись числа 222. Следовательно,
769 - 547 = 222.
Правило вычитания «столбиком» основывается на:
способе записи чисел в десятичной системе счисления;
правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
распределительном законе умножения относительно вычитания;
таблице сложения однозначных чисел.
Покажем, что и в том случае, когда в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньшее числа в том же, разряде вычитаемого, в основе правила вычитания лежат те же теоретические факты. Рассмотрим, например, разность 540 - 126.
Представим данные числа в виде сумм степеней 10 с коэффициентами:
(5102 + 410 + 0) - (1102 + 210 + 6).
Так как из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание, так же как и в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 540 один десяток и представим его в виде 10 единиц:
(5102 + 310 + 10) - (1102 + 210 + 6).
Если теперь воспользуемся правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, то придем к выражению
(5102 - 1102) + (310 - 210) + (10 - 6).
Применим распределительный закон умножения относительно вычитания и, воспользовавшись таблицей сложения, получим:
(5 - 1)102 + (3 - 2)10 + (10 - 6) = 4102 + 110 + 4 = 414.
В общем виде алгоритм вычитания многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируется так. Пусть заданы числа
х = ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0,
y = bk 10k + bk-110k-1 + ... + b110 + b0,
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, т. е. a0 < b0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифры десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + a0 число b0 и записываем результат в разряде единиц разности, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого и цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т. д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую, отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц — на 10, вычитаем b0 из 10 + а0, записываем результат и разряде единиц разности и переходим к следующему разряду.
5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.
6. Процесс вычитания заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
В начальном курсе математики правило вычитания многозначных чисел формулируется при изучении письменного вычитания трехзначных чисел. Этому правилу и записи вычитания «столбиком» предшествует объяснение конкретного случая:
485 - 231 = (400+80+5) - (200+30+1) = (400-200) + (80-30) + (5-1) = 200 + 50 + 4 = 254.
Обоснуем каждый шаг выполняемых преобразований.
Сначала числа 485 и 231 представляются в виде сумм разрядных слагаемых (т.е. используется представление числа в десятичной системе счисления). Затем из сотен первого числа вычитаются сотни второго, из десятков — десятки, из единиц — единицы, что возможно на основании правил вычитания из числа суммы и числа из суммы. Действительно:
а) на основании правила вычитания из числа суммы:
(400 + 80 + 5) – 200 – 3 - 1;
б) на основании правила вычитания числа из суммы:
(400 - 200) + (80 - 30) + (5 - 1).
Разности в скобках находятся с опорой на таблицу сложения однозначных чисел.
Выражение 200 + 50 + 4 есть сумма разрядных слагаемых, поэтому его можно записать в виде 254.
Таким образом, вычитание из числа 485 числа 231 свелось к поразрядному вычитанию единиц, десятков и сотен, что удобно делать, записав данные числа «столбиком»: 485
231
254
8.2.4 Умножение многозначных чисел в десятичной системе счисления
Если числа а и b однозначные, то, чтобы найти их произведение, достаточно сосчитать число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких что п(А) = а, п(B) = b. Нo чтобы всякий раз, выполняя умножение таких чисел, не обращаться к множествам и счету, все произведения, которые получаются при умножении двух однозначных чисел, запоминают.
Такие произведения записывают в особую таблицу, которая называется таблицей умножения однозначных чисел.
Если числа а и b многозначные, то, как известно, их умножают «столбиком». Выясним, каковы теоретические основы этого умножения.
Умножим, например, число 426 на 123.
426
123
1278
852
426__
52398
Видим, что для получения результата нам пришлось число 426 умножить на 3, 2, 1, т. е. умножать многозначное число на однозначное; но, умножив на 2, мы результат записали по-особому, поместив единицы числа 852 под десятками числа 1278,— это потому, что мы, по сути дела, умножали на 2 десятка; третье слагаемое 426 — это результат умножения на 1 сотню. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
умножать многозначное число на однозначное;
умножать многозначное число на степень 10;
складывать многозначные числа.
Поскольку сложение многозначных чисел нами изучено, выясним, каковы теоретические основы умножения многозначного числа на однозначное и на степень десяти.
Рассмотрим процесс умножения числа 426 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления число 426 можно представить в виде:
4102 + 210 + 6, и тогда 4263 = (4102 + 210 + 6)3.
На основании распределительного закона умножения относительно сложения преобразуем последнюю запись, раскрыв скобки: (4102)3 + (210)3 + 63.
Переместительный и сочетательный законы умножения позволяют слагаемые в этой сумме записать так: (43)102 + (23)10 + (63).
Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12102 + 610 +18.
Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел.
Но полученное выражение не является десятичной записью числа — коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Поэтому представим 12 в виде 10 + 2, а число 18 в виде 10 + 8: (10 + 2)102 + 610 + (10 + 8).
Раскроем скобки: 103 + 2102 + 610 +10 + 8.
Воспользуемся сочетательным законом сложения и распределительным законом умножения относительно сложения: 1103 + 2102 + (6+ 1)10 + 8. Сумма 6+1 есть сумма однозначных чисел и легко находится по таблице сложения:
1103 + 2102 + 710 + 8.
Полученное выражение есть десятичная запись числа 1278. Таким образом, 4263 = 1278.
Алгоритм умножения числа x = anan-1… а1а0 на однозначное число у можно сформулировать так:
1. Записываем второе число под первым.
2. Умножаем цифры разряда единиц на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифры единиц на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q + c0, где с0 — однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 — перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифру разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в п. 2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Действительно, если
x = ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0, то
x 10k = (ап10п + an-110п-1 + ... + a110 + a0)10k.
Применив распределительный закон умножения относительно сложения и другие законы умножения, получаем: ап10п+k + an-110п+k-1 + ... + a110k+1 + a010k.
Это выражение является десятичной записью числа anan-1… а1а0 так как ап10п+k + an-110п+k-1 + ... + a110k+1 + a010k =
ап10п+k + an-110п+k-1 + ... + a110k + a010k + 010k-1 + … + 0.
Например, 534103 = (5102 + 310 + 4)103 = 5105 + 3104 + 4103 = 534 000.
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся к примеру, с которого начинали, т. е. к произведению 426123. Представим число 123 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами: 123 = 1102 + 210 + 3 — и запишем произведение 426(1102 + 210 + 3). Оно согласно распределительному закону умножения относительно сложения равно 426(1102) + 426(210) + 4263. Откуда на основании сочетательного закона умножения получаем: (4261)102 + (4262)10 + 4263.
Таким образом, умножение многозначного числа на многозначное свелось к умножению многозначного числа на однозначное.
Алгоритм умножения числа x = anan-1… а1а0 на число y = bkbk-1…b1b0 можно сформулировать так:
1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.
2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение xbo под числом у.
3. Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение xb1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению xb1 на 10.
4. Продолжаем процесс вычисления произведений до вычисления xbk.
5. Полученные k + 1 произведение складываем.
В начальном курсе математики обучение умножению состоит из нескольких этапов, включающих таблицу умножения однозначных чисел; умножение двузначных чисел, оканчивающихся нулем; умножение многозначных чисел на однозначное, двузначное и трехзначное число.
Изучение алгоритма умножения «столбиком» начинается с умножения трехзначного числа на однозначное. Ему предшествует объяснение:
4263 = (400 + 20 + 6)3 = 4003 + 203 + 63 = 1200 + 60 + 18 = 1278.
Оно говорит о том, что умножение трехзначных чисел на однозначные основывается на:
записи числа в десятичной системе счисления (в школе это связывается с представлением числа в виде суммы разрядных слагаемых);
распределительном законе умножения относительно сложения (в школьной терминологии — правила умножения суммы на число);
умножении круглых чисел на однозначное, т. е. таблице умножения однозначных чисел;
сложении многозначных чисел.
Затем на конкретных примерах показывается, что умножение многозначного числа на многозначное сводится к умножению многозначного числа на однозначное и сложению многозначных чисел. Например, 4638 = 46(30 + 8) = 4630 + 468.
8.2.5 Деление многозначных чисел в десятичной системе счисления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком. Вспомним определение: разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число b — это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a = bq + r, причем 0 r < b, а число q называют неполным частным.
При делении однозначных чисел и двузначных (не превышающих 89) на однозначное используется таблица умножения однозначных чисел.
Пусть, например, надо разделить 54 на 9. Ищем в 9-м столбце (9-й строке) число 54. Оно находится и 6-й строке (6-м столбце). Значит, 54:9 = 6.
Разделим теперь 51 на 9. В 9-м столбце нет числа 51. Поэтому возьмем в этом столбце ближайшее к нему меньшее число 45. Так как 45 находится в 5-й строке, то неполное частное равно 5.Чтобы найти остаток, вычтем из 51 число 45 : 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 95 + 6, или в школьной символике 51:9 = 5 (ост. 6).
Выясним теперь, как осуществляется деление многозначного числа на однозначное. Пусть требуется разделить 238 на 4. Это значит надо найти такие неполное частное q и остаток r, что 238 = 4q + r, 0 r < 4.
Заметим, что требование к неполному частному q чисел 238 и 4 можно записать в таком виде: 4q 238 < 4(q + 1).
Выясним сначала, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как произведение числа 4 на однозначное число плюс остаток не равно 238. Если число q двузначное, т. е. если 10 <q < 100, то тогда число 238 заключено между числами 40 и 400, что верно. Значит, частное чисел 238 и 4 — число двузначное.
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делимое 4 на 20, 30, 40 и т. д. Поскольку 450 = 200, 460 = 240 и 200 < 238 < 240, то неполное частное заключено между числами 50 и 60, т. е. q = 50 + qo. Но тогда о числе 238 можно сказать, что 4(50 + qo) 238 < 4(50 + qo + 1), откуда
200 + 4qo 238 < 200 + 4(qo+1) и 4qo 38 <4 (qo+1).
Число qo(цифру единиц частного), удовлетворяющее данному неравенству, можно найти, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что qo = 9, и, следовательно, неполное частное q = 50 + 9 = 59. Остаток находится вычитанием: 238 - 459 = 2.
Итак, при делении числа 238 на 4 получается неполное частное 59 и остаток 2: 238 = 459 + 2.
Описанный процесс деления лежит в основе так называемого деления уголком:
238 4
20 59
38
36
2
Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 5658 на 46. Выполнить это деление — значит, найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 5658 = 46q + r, 0 r < 46. Отсюда имеем, что 46q 5658 < 46 (q+1).
Установим число цифр в частном q. Очевидно, частное q заключено между числами 100 и 1000 (т. е. оно трехзначное), так как 4600 < 5658 < 46 000.
Чтобы найти цифру сотен частного, умножим последовательно делимое 46 на 100, 200, 300 и т. д. Поскольку 46100 = 4600, а 46200 = 9200 и 4600 < 5658 < 9200, то неполное частное заключено между числами 100 и 200, т. е. q = 100 + q1, где q1 — двузначное число. Но тогда будут справедливы неравенства 46(100 + q1) 5658<46(100 + q1+ l).
Раскрыв скобки и вычтя число 4600, придем к неравенству 46q1 1058 < 46(q1+ l).
Число q1 двузначное. Потому, чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делимое 46 на 10, 20, 30 и т. д. Так как 4620 = 920, а 4630 = 1380 и 920 < 1058 < 1380, то 20 < q <30 и число q1 можно представить в виде q1 = 20 +q0. Но тогда о числе 1058 можно сказать, что
46(20 + q0) 1058 < 46(20 + q0+1), т. е.
4620 + 46q0 < 1058 <4620 + 46(q0 + 1),
46q0 138 < 46(q0 + 1).
Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, находим перебором, последовательно умножая 46 на 1, 2, 3, ..., 9. Получаем, что 463=138, т. е. имеем случай, когда остаток равен нулю. Значит, 5658:46 = 123.
Приведенные выше рассуждения лежат в основе деления уголком:
5658 | 46
46 123
105
92
138
138
Для полноты представления о делении многозначных чисел рассмотрим тот случай, когда в частном появляются нули. Разделим, например, 7549 на 37, т. е. найдем такие числа q и r, что 7549 = 37q + r, 0 r < 37 и 37 q 7549 < 37(q + 1).
Частное q чисел 7549 и 37 заключено между числами 100 и 1000 (т. е. оно трехзначное), поскольку 3300 < 7549 < 37 000.
Умножением числа 37 на 100, 200 и т. д. устанавливаем, что 372007549<37300. Значит, q = 200 + q1,где q1 — двузначное число и 37(200+q1)7549<37(200 + q1+ 1). После преобразований приходим к неравенству
37q1 149 < 37(q1 + l).
Так как число q1 двузначное, то цифру десятков в его записи находят, умножая 37 на 10, 20, 30 и т. д. Но в нашем случае оказывается, что ни одно из этих чисел неравенству не удовлетворяет. Это значит, что цифра десятков в числе q1 равна 0, т.е. q1 = 0 + q0. Неполное частное q имеет вид:
q = 200 + 0 + q0, где q0— число единиц и q0 = q1.
Из последнего неравенства находим, что q1 = 4. Значит, искомое частное есть число 200 + 0 + 4 = 204, а остаток равен 1, так как 7549 — 37204 = 1.
Приведенные вычисления записывают в виде деления уголком:
7549 |_37
74 204
_ 149
148
1
Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.
I. Если а = b, то частное q = 1, остаток r = 0.
II. Если а > b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а < 10b.
III. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком, и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:
1) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b, или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовали число d1, большее или равное b Перебором находим частное q1 чисел d1 и b,
последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b).
2) Умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был записан под младшим разрядом выделенного числа d1.
3) Проводим черту под b1 и находим разность r1 = d1 – bq1.
4) Записываем разность r1 под числом bq1, приписываем, справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.
5) Если полученное число d2 больше или равно b, то относительно его поступаем согласно п. I или II. Частное q2 записываем после q1.
6) Если полученное число d2 меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получилось первoe число d3, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 такое же количество нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно п. I или II. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d3<b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записываем последним разрядом к частному, а остаток r = d3.
Так как выполнение деления связано со многими математическими умениями, и в частности умением умножать и вычитать многозначные числа, овладение ими в начальных классах идет постепенно. Сначала учащиеся осваивают табличное деление и деление чисел, оканчивающихся нулем, затем деление двузначного числа на однозначное и двузначное (с опорой на правила деления суммы на число и таблицу умножения), далее рассматривают деление с остатком и, наконец, переходят к делению многозначного числа на однозначное, двузначное и трехзначное.
8.3 Позиционные системы счисления с основанием, отличным от десяти
8.3.1 Запись чисел в позиционных системах счисления, отличных от десятичной
В предыдущих пунктах мы изучали особенности системы счисления, основанием которой является число 10.
Как известно, в истории человечества существовали и другие позиционные системы счисления. И различия между ними состоят не только в том, что в этих системах использовались различные символы для обозначения чисел, но и в том, что эти системы имели разные основания. Например, вавилонская система счисления была шестидесятеричной. Известны и другие позиционные системы счисления: двенадцатеричная, которую мы используем в настоящее время, ведя счет предметов дюжинами и разделяя сутки на 2 половины, по 12 часов каждая, а год на 12 месяцев; двадцатеричная, которой пользовались индейцы племени майя.
Вообще, основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число р, большее или равное 2. Если р = 2, то система называется двоичной, если р = 3— троичной, если р = 8 — восьмеричной, если р = 10— десятичной (иногда говорят десятеричной но аналогии с другими системами) и т. д.
Как написать число в системе с основанием р?
В десятичной системе для записи чисел используется 10 знаков (символов): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Очевидно, в двоичной системе это можно сделать с помощью двух знаков, например 0, 1; в троичной надо 3 знака, ими могут быть 0, 1 и 2; в восьмеричной — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Вообще для записи чисел в системе счисления с основанием р необходимо р символов: 0, 1, 2, ..., р - 1. Заметим, что для записи чисел в системе счисления с основанием р мы предлагаем те же символы, которые
используются в десятичной системе счисления, хотя можно использовать и другие знаки — важно, чтобы их количество равнялось р.
Запись числа в системе счисления с основанием р называют также р – ичным числом. Говоря «десятичное», «пятеричное», «восьмеричное», «двоичное» число, мы имеем в виду запись числа соответственно в десятичной, пятеричной, восьмеричной, двоичной системе счисления.
Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде x = anpn + an-1p n-l +... + а1р+ао, где an, an-1,..., а1, ао, принимают значения 0, 1, 2, 3, ..., р - 1 и ап 0.
Тот факт, что любое натуральное число х можно записать в таком виде единственным образом, мы примем без доказательства.
Вместо представления числа х в виде x = anpn + an-1p n-l +... + а1р + ао, принято писать короче: x = an an-1 ...а1ао.
Например, в троичной системе, т. е. при р = 3, сумма 233 + 132+ 03 + 1 представляет собой запись некоторого числа х, которое можно записать короче:
х = 21013.
Заметим, что данное число следует читать так: «Два, один, нуль, один в троичной системе счисления». Индекс (3) указывает, что эта запись числа в троичной системе счисления. При десятичном числе индекс обычно опускается.
Наиболее экономной, в плане использования различных знаков для записи чисел является двоичная система счисления — в ней для этих целей нужно всего два знака 0 и 1. В этой системе краткая запись числа представляет собой конечную последовательность из нулей и единиц.
Например: 10112 = 123 + 022 + 110 + 1, 100012 = 124 + 023 + 022 + 02 + 1.
С помощью этих двух цифр, используемых при записи любого числа в двоичной системе счисления, можно охарактеризовать два устойчивых состояния радиоэлектронных элементов. Например, электронная лампа может, пропускать ток или не пропускать. Это свойство радиоэлектронных элементов и является причиной того, что именно двоичная система счисления оказалась наиболее удобной для вычислительных машин. Другой причиной использования этой системы является простота выполнения на машине арифметических действий над числами, записанными в двоичной системе.
Сравнение чисел, записанных в системе счисления с основанием р (р 10), выполняется так же, как и в десятичной системе.
Так, 21013 < 21023, поскольку при одинаковом количестве разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов цифра младшего разряда первого числа меньше цифры такого же разряда второго числа.
8.3.2 Переход от одной системы счисления к любой другой
В связи с использованием ЭВМ, выполняющих вычисления в двоичной и других системах, возникает задача перехода от записи числа в десятичной системе к записи в другой и наоборот: ведь, математик, использующий ЭВМ для решения той или иной задачи, ведет вычисления в десятичной системе счисления.
1. Переход от записи числа в системе с основанием р к записи в десятичной системе.
Пусть число х записано в системе счисления с основанием р: x = an an-1 ...а1ао.
Его можно записать в виде многочлена x = anpn + an-1p n-l +... + а1р + ао, где an, an-1,..., а1, ао представлены десятичными записями. Выполнив действия над этими числами по правилам, принятым в десятичной системе, получим десятичную запись числа х. Например, чтобы найти десятичную запись числа 3468, представим его в виде суммы 382 + 48 + 6 и найдем ее значение: 382 + 48 + 6 = 230.
Следовательно, 3468 =23010 .
2. Переход от записи числа в десятичной системе к записи в системе с основанием р.
Пусть число х записано в десятичной системе. Представить его в системе с.основанием р — это значит найти такие значения an, an-1,..., а1, ао, что
x = anpn + an-1p n-l +... + а1р + ао, причем 1 а < р, 0 an-1 < p, ..., 0 a0 < p.
Обратим внимание на одну закономерность.
Число x = anpn + an-1p n-l +... + а1р + ао можно записать в виде
x = р(anp-1 + an-1p n-2+... + а1) + ао.
Так как 0 a0 < p, то последнее представление числа х можно рассматривать как запись деления с остатком числа х на р, где а0 — остаток, anp-1 + an-1p n-2+... + а1 — неполное частное. Точно так же можно найти, что а1 — это остаток, который получается при делении полученного частного на р, Эта закономерность и лежит в основе процесса перехода от десятичной записи числа к записи в системе с основанием р. Делим с остатком число х на р по правилам деления в десятичной системе. Остаток, который получается при делении, есть последняя цифра в записи числа х в системе с основанием р.
Полученное частное снова делим с остатком на р. Новый остаток есть предпоследняя цифра в записи числа х в системе с основанием р. Продолжая процесс деления, найдем все цифры в записи числа х в системе с основанием p.
Найдем, например, запись числа 89 в троичной системе счисления, т. е. представим число 89 в виде an3n + an-13 n-l +... + а13 + ао , где an, an-1,...,а1,ао принимают значения 0, 1, 2.
Разделим 89 на 3: 89 = 293 + 2. В результате деления найдено, что ао = 2, но коэффициент перед числом 3 больше 2, поэтому делим 29 на 3: 29 = 93 + 2, т. е.
89 = (93 + 2)3 + 2 = 932 + 23 + 2.
При этом делении мы нашли, что а1 = 2, но коэффициент при степени 32 больше 2, и поэтому делим 9 на 3: 9 = 33 + 0, т. е.
89 = (33 + 0)32 + 23 + 2 = 333 + 032 + 2-3 + 2.
На этом этапе мы установили, что а2 = 0, но коэффициент при степени 33 больше 2, поэтому делим 3 на 3: 3 = 13 + 0, т. е.
89 = (13 + 0)33 + 032 + 23 + 2 = 134 + 033 + 032 + 23 + 2.
Выполняя последнее деление, мы не только нашли а3 = 0, но и установили цифру старшего разряда а4 = 1. Поэтому процесс деления- окончен.
Многочлен 134 + 033 + 032 + 23 + 2 есть запись числа 100223. Значит, 8910=100223.
Описанный процесс можно вести, выполняя деление уголком:
89 3
6 29 3
29 27 9 3
27 2 9 3 3
2 0 3 1
0 8910 = 100223
Записывая результат такого деления, надо помнить, что цифра старшего разряда — это последнее частное в цепочке последовательных делений.
В начальном курсе математики не рассматривают позиционные системы счисления, отличные от десятичной. Но учителю начальных классов знания об этих системах должны помочь лучше освоить особенности десятичной системы. Выполняя действия с числами в системе, отличной от десятичной, мы оказываемся в положении младшего школьника, овладевающего новой для него десятичной системой счисления.
8.3.3 Арифметические действия в позиционных системах счисления, отличных от десятичной
Действия над числами в системах счисления с основанием р (р 0) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Прежде всего для сложения и умножения однозначных чисел составляются соответствующие таблицы. Они используются как при вычитании и делении однозначных чисел, так и при действиях с многозначными числами.
Сложение. Сложение в любой системе счисления начинается с составления таблицы сложения.
Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней — это 0, 1, 2. Число 3 записывается 103. Число 410 имеет вид 113, так как 410 = 13 + 1 = 113. Аналогичным образом находим запись и других чисел в троичной системе. Таблицу сложения удобно представить в таком виде, где на пересечении строки и столбца стоит сумма.
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 10
2 2 10 11
Правила сложения многозначных чисел в любой системе счисления может быть сформулировано так:
Слагаемые записываются одно под другим, единицы одного и того же разряда должны быть в одном столбце:
а) 101001(2) б) 45342(8)
11110(2) 15022(8)
Сложение начинается с единиц низшего разряда. Сумма единиц одного и того же разряда находится по таблице сложения.
Если сумма единиц одного и того же разряда меньше основания системы, т.е. число однозначное, то его записывают под чертой (под слагаемыми):
а) 101001(2) б) 45342(8)
11110(2) 15022(8)
…111(2) ..364(8)
Если сумма единиц одного и того же разряда является двузначным, то первая цифра двузначного числа (обозначает число единиц того же разряда, что и слагаемые) записывается под чертой (под соответствующим слагаемым):
а) 101001(2) б) 45342(8)
11110(2) 15022(8)
0111(2) .2364(8)
Левая цифра двузначного числа всегда 1. Ее запоминают. Затем прибавляют к сумме единиц следующего более высокого разряда:
а) 101001(2) б) 45342(8)
11110(2) 15022(8)
1000111(2) 62364(8)
Складывая единиц одного и того же разряда, надо помнить о системе счисления, в которой выполняются действия, так как, например, 5(8) +7(8) =14(8) ,
а не 12(8), как хочется по привычке записать.
Вычитание. Разность однозначных чисел, разность двузначного и однозначного чисел находится по таблице сложения.
Правила вычитания многозначных чисел во всех системах счисления такое же, как в десятичной.
а) 101001(2) б) 45342(8)
11110(2) 15022(8)
1011(2) 30320(8)
Выполняя вычитание однозначного числа из двузначного, надо помнить о системе счисления, в которой выполняются действия. Разность однозначных чисел или разность двузначного числа и однозначного находится по таблице сложения.
Умножение. Умножение чисел в любой системе счисления начинается с составления таблицы умножения. Приведем пример таблицы умножения в троичной системе счисления:
0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел. Найдем, например, произведение 12222:
122
22
1021
1021
12001
Отметим, что сложение полученных неполных произведений выполняется в троичной системе счисления.
Эта же таблица является и таблицей деления чисел, записанных в троичной системе счисления.
Правила умножения (деления) многозначных чисел во всех системах счисления такое же, как в десятичной.
При обращении единицы одного разряда в единицы другого надо учитывать основание системе счисления, в которой записаны числа. Приведем примеры умножения и деления чисел в различных системах счисления:
7062(8) 1101001(2)101(2) 2651(8) 25(8)
13(8) 101 10101(2) 25 105(8)
25226 110 151
7062 101 151
116046(8) 101 0
101
0
8.4 Непозиционные системы счисления
Система счисления называется непозиционной, если каждая цифра этой системы всегда обозначает одно и то же число независимо от места (позиции) этой цифры в записи числа.
Сегодня непозиционные системы счисления — вопрос далекой истории. Известным примером такой системы является римская система, которая примемся для нумерации элементов множества, состоящего из небольшого числа элементов (глав книги, классов школы). Римские знаки иногда употребляют для передачи порядковых натуральных чисел: I — первый, II — второй, III — третий, ..., X — десятый. В этой системе для записи чисел (их называют узловыми числами)
используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда обозначает число 1, буква V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С - сто, D — пятьсот, М —
тысячу Цифры С и М произошли от сокращённой записи латинских слов центум (centum) и милле (mille), означающих сто и тысячу.
Все другие числа получаются из узловых при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания.
Число, записанное римскими цифрами, равно сумме чисел, изображенных отдельными буквами. По этой причине непозиционные системы часто называют также аддитивными (От лат. additio — сложение).
Например, LXVIII = L + X + V + I + I + I.
Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа.
Например, вместо того, чтобы число сорок обозначить ХХХХ, стали писать XL, число девять — VIIII стали писать IX, четыре — IV.
Числа четырех-, пяти- и шестизначные записываются с помощью буквы m (от слова mille — тысяча), слева от которой записываются тысячи, а справа — сотни, десятки, единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII означает число 133 842, MCMXVII — 1917.
Римская нумерация менее удобна, чем современная десятичная. Отсутствие принципа поместного значения цифр вызывает необходимость громоздкой и мало наглядной записи сколько-нибудь больших чисел.
Вопросы для самоконтроля:
Определите понятия «система счисления», «нумерация», позиционные и непозиционные системы счисления.
Сформулируйте правило сравнения натуральных чисел в десятичной системе счисления.
Сформулируйте теоретические основы алгоритма сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел в десятичной системе счисления.
Сформулируйте правила перехода из одной системы счисления к другой.
Объясните правила выполнения арифметических действий в позиционных системах счисления, отличных от десятичной. Приведите примеры.
Как записать число в р-ичной системе счисления? Приведите примеры.
Литература:
1. Пышкало А. М, Стойлова Л. П., Ирошников Н. П., Зельдер Д. Н. Теоретические основы начального курса математики. Учеб, пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ (специальность № 2001), М., «Просвещение», 1974, с. 270-291.
2. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. (Для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов). Минск, «Вышэйшая школа», 1975, с.215-233
3. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся педагогических училищ по специальности «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ» - М. Просвещение, 1988г. с.166-197.
9.Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел
Понятие об аксиоматическом методе в математике
Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, описывающее какую-нибудь структуру (множество предметов с введенными в нем отношениями, в том числе, возможно, и операциями) или какой-нибудь род структур (отвлекаясь от конкретной природы предметов и смысла отношений между ними, несущественных для математики).
Так, например, арифметика натуральных чисел — множество предложений, описывающее структуру натурального ряда с введенными в нем отношением «непосредственного следования» и операциями сложения и умножения; евклидова геометрия — множество предложений, описывающее структуру евклидова пространства; теория групп — множество предложений, описывающее род структур, каждая из которых называется группой; теория булевых алгебр — множество предложений, описывающее род структур, каждая из которых называется булевой алгеброй, и т. д.
Метод логической организации множества предложений, составляющего теорию, называемый аксиоматическим, впервые был применен в древнегреческой геометрии. В настоящее время он достиг высокого уровня развития и широко применяется в математике.
Аксиоматический метод построения теории состоит в следующем.
1. Выделяются некоторые исходные (неопределяемые через другие) понятия. Все остальные понятия этой теории определяются через ранее определенные, в конечном итоге — через исходные.
2. Выделяются некоторые исходные предложения — аксиомы (служащие неявными определениями исходных понятий). Все остальные предложения теории — теоремы логически выводятся (доказываются) из уже доказанных ранее, в конечном итоге из аксиом.
Аксиоматический метод в математике прошел три стадии развития.
Первая стадия связана с первыми попытками аксиоматического построения геометрии, завершившимися появлением знаменитых «Начал» Евклида, в течение почти двух тысяч лет считавшихся образцом логической строгости.
Ни в «Началах» Евклида, ни в какой-либо другой работе, написанной до второй половины XIX в., не приводилось точного описания того, что следует понимать под логическим доказательством, а сами доказательства представляли собой пеструю смесь логических умозаключений с интуитивными догадками и ссылками на геометрическую наглядность. Полное исключение интуиции и ссылок на наглядность было невозможным и потому, что принятая Евклидом система исходных предложений как база для строго логического развертывания всей геометрической теории оказалась недостаточной.
И только на пороге XX в. (в 1899 г.) немецким математиком Д. Гильбертом была разработана полная система аксиом евклидовой геометрии.
Роль аксиоматического метода в математике особенно возросла после того, как в первой половине XIX в. великим русским математиком Н. И. Лобачевским и несколько позже венгерским математиком Я. Больяй была построена первая неевклидова геометрия, т. е. показана возможность построения геометрической теории, опирающейся на систему аксиом, отличную от той, на базе которой строится евклидова геометрия.
С этого времени началась вторая стадия развития аксиоматического метода. Появилось много теорий, уже не только геометрических, но и алгебраических, построенных аксиоматически.
Итальянский математик и логик Джузеппе Пеано предпринял в 1889 г. попытку аксиоматизировать арифметику. Впоследствии эта идея получила дальнейшее развитие в работах Д. Гильберта и его учеников.
С этим же периодом связано устранение недостатков, присущих аксиоматическому методу древнегреческих ученых.
Аксиоматическая система евклидовой геометрии, построенная Гильбертом в «Основаниях геометрии», отличается от системы, описанной в «Началах» Евклида, не только достаточностью (полнотой), но и совершенно новым подходом к аксиоматическому построению теории.
До Гильберта геометрическая теория строилась как описание некоторой конкретной системы объектов, аксиомы понимались как очевидные предложения об этих объектах, а задача аксиоматизации сводилась к логическому выводу (дедукции) всех предложений теории из исходных (аксиом), при этом само понятие логического вывода не имело точно описания и считалось лишь интуитивно ясным. Такую аксиоматическую теорию сейчас называют содержательной.
С работами Гильберта связан переход от содержательной к формальной аксиоматической теории.
Геометрия в «Основаниях геометрии» Гильберта строится, как полуформальная теория, т. е. собственно геометрический материал формализован (Гильберт отвлекается от природы точек, прямых и плоскостей, рассматривая их как три различные системы вещей неопределенной природы, и от смысла отношений между ними), но логика, применяемая для развертывания теории, остается интуитивной, неуточненной, неформализованной.
Третья стадия развития аксиоматического метода, начало которой также связано с Гильбертом и его школой, привела к понятию формальной системы или формализованной аксиоматической теории, включающей наряду с собственной системой аксиом и систему логических аксиом и правил вывода, определяющих логические средства этой теории. Таким образом, дальнейшее развитие аксиоматического метода связано с распространением формализации и аксиоматизации на логику, средствами которой строится аксиоматическая теория.
Это направление развития было вызвано потребностью решения ряда логических проблем, связанных с аксиоматическим методом, — проблем противоречивости, полноты, независимости.
Важнейшей из этих проблем является проблема непротиворечивости.
Теория непротиворечива, если среди ее теорем (логических следствий из аксиом) нет двух предложений типа А и не А, противоречащих друг другу.
Противоречивая теория беспредметна, для нее нельзя найти никакой модели никакой предметной области, структура которой описывалась бы этой теорией. Вот почему система аксиом считается пригодной в качестве базы для построения теории, если она непротиворечива, т. е. из нее невыводимы никакие два предложения, из которых одно — отрицание другого (т. е. типа А и не А).
Система аксиом считается полной (категоричной), если любые две ее модели (системы объектов, в которых выполняются все аксиомы) изоморфны.
Имеются и другие толкования полноты системы аксиом. В связи с построением аксиоматической теории возникает также вопрос о независимости аксиом. Аксиома называется независимой, если она не является логическим следствием из остальных аксиом системы. Вся система аксиом называется независимой (минимальной, т. е. не содержащей лишних аксиом), если каждая аксиома системы независима. Независимость, так же как и полнота, имеет меньшее значение, чем непротиворечивость. Иногда, в частности в учебной литературе, преднамеренно строят теорию на зависимой (избыточной) системе аксиом, чтобы облегчить ее развертывание. Решением названных и других логических проблем, связанных с аксиоматическим методом, занимается метаматематика — научная область, предметом которой является сама математика, методы построения математических теорий.
Аксиомы Пеано
Аксиоматическое построение арифметики натуральных чисел обычно связывают с именем Пеано, хотя аксиоматическая характеристика натурального ряда немного ранее была дана (в 1888 г.) Дедекиндом.
Сформулируем аксиомы Пеано для расширенного нулем натурального ряда, т.е. для множества No = {0, 1, 2, 3, ...} неотрицательных целых чисел, которые мы и назовем натуральными.
I. Нуль - натуральное число.
II. Нуль непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.
III. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.
IV. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число.
V. Аксиома полной индукции.
Современная аксиоматика натуральных чисел представляет собой несущественное изменение системы аксиом, предложенных в 1891 году итальянским математиком и логиком Пеано.
При аксиоматическом построении натуральных чисел вводится одно основное определение и четыре аксиомы:
Определение. Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a, b существует отношение « b следует за а» (число, следующее за а, будем обозначать а'), удовлетворяющее следующим аксиомам:
Существует число 1, не следующее ни за каким числом, т. е. а' ≠ 1 для любого числа а'.
Для любого числа а существует следующее число а' и притом только одно, т. е. из a = b следует a' = b'.
Любое число следует не более чем за одним числом, т. е. из a'=b' следует a = b.
(Аксиома индукции). Любое множество М натуральных чисел, обладающее свойствами:
а) 1М,
б) если число аМ, то следующее число a'М,
содержит все натуральные числа, т. е. совпадает с N.
Аксиомы I—IV характеризуют структуру множества No только с точки зрения отношения непосредственного следования. Опираясь на них можно определить арифметические действия и построить арифметику натуральных чисел.
Принцип математической индукции
Особую роль в построении аксиоматической теории натуральных чисел и вообще в математике играет аксиома индукции (IV), служащая формальной основой метода доказательства, известного под названием метода математической индукции. В таком применении аксиому индукции называют также принципом математической индукции и формулируют обычно так: «если некоторое предложение Р:
1) верно для 0 и
2) из того, что оно верно для произвольного натурального числа х, следует, что оно верно и для числа х', непосредственно следующего за х, то предложение Р верно для всех натуральных чисел».
Поясним роль аксиомы индукции в доказательстве методом математической индукции.
Известное из школьного курса доказательство по индукции состоит в следующем:
необходимо доказать, что некоторое предложение Р, в формулировке которого участвует натуральное число п, верно для любого натурального числа.
Обычно доказывают, что:
1) Р верно для п = 1, т. е. Р (1) истинно, и
2) Р верно для п' в предположении, что оно верно для п, т. е. истинно Р(п)Р(п').
После этого теорему считают доказанной для любого натурального числа. Однако это обычно обосновывают так: Р верно для 1, а значит и для 1', т. е. для 2; так как Р верно для 2, оно верно и для 2', т. е. для 3, и т. д.
Но что означает здесь «и т. д.»? Очевидно, что, рассуждая так, мы не можем перебрать все натуральные числа, так как их бесконечно много.
Выражение «и т. д.» свидетельствует о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов.
Роль аксиомы индукции состоит именно в том, что она позволяет заменить это бесконечное индуктивное рассуждение конечным, по существу дедуктивным рассуждением.
Получается следующая схема доказательства методом математической индукции с использованием аксиомы индукции.
1. Р(0) (или Р(1)) истинно (устанавливается проверкой).
2. (х) [Р(х) = Р(х')] истинно (доказывается истинность Р для х' в предположении, что оно истинно для х).
3. Р(0) (х)[Р (х) Р (х')] истинно (это следует из 1 и 2 по правилу введения конъюнкции).
4. Р(0) (х)[Р(х) Р(х')] (у) Р(у) истинно (аксиома индукции).
5. (у) Р(у) истинно (это следует из 3 и 4 по правилу заключения).
Аксиоматические определения сложения и умножения неотрицательных целых чисел
Определение. Сложением целых неотрицательных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре целых неотрицательных чисел (х, у), сопоставляет одно и только одно число целое неотрицательное число х+у, обладающее следующими свойствами:
1. (х) [x + 0 = x].
Сумма любого натурального числа и нуля равна самому этому натуральному числу.
2. (х, у) [х + у' = (х + у)'.
Сумма любого числа х с числом у', непосредственно следующим за любым числом у, равна числу (х + у)', непосредственно следующему за суммой х + у.
Числа х и у называются слагаемыми, а число х + у - суммой.
Определение. Умножением целых неотрицательных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре целых неотрицательных чисел (х, у), сопоставляет одно и только одно число целое неотрицательное число х·у, обладающее следующими свойствами:
1. (х) [x ·0 = 0].
Произведение любого натурального числа и нуля равно нулю.
2. (х, у) [х · (у') = (х · у) +х].
Произведение любого числа х и числа у', непосредственно следующим за любым числом у, равно сумме произведения чисел х и у и числа х.
Приведенные аксиоматические определения сложения и умножения сами по себе еще не доказывают существования и единственности суммы и произведения любых двух чисел из No.
Выполнимость и однозначность сложения и умножения в No
Установим выполнимость и однозначность сложения и умножения в No.
Теорема1. Сложение целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.
Доказательство.
а) Сначала докажем, что не существует более одного соответствия, обладающего свойствами 1 и 2.
Допустим от противного, что существует два таких соответствия, и пусть одно из них при данном числе а сопоставляет с каждым числом b сумму a + b = xb, а другое — сумму a + b = yb.
Докажем, что (bN0)[xb - уb]. Пусть М — множество тех чисел b, для которых xb = уb. Докажем, что M = N0.
1) По свойству 1: x0 = а и уо = а, т. е. xb = уb.Следовательно, 0М.
2) Из того, что bМ, т. е. xb = уb, по аксиоме II следует, что (xb)' = (yb)'. Но по свойству 2 (xb)' = xb' и (yb)' = yb'. Следовательно, хb' = уb', т. е. b'М.
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) следует, что M = N0-
Единственность сложения доказана для любого b при произвольно заданном а, т. е. для любых а и b из N0.
б) Теперь докажем, что при данном а существует (и согласно доказанному в «а» только одно) соответствие, сопоставляющее с каждым b число а + b, удовлетворяющее свойствам 1 и 2, т. е. такое, что а + 0 = а и (b)[a + b' = (a+b)'] (при произвольно заданном а).
Пусть М — множество тех чисел а, для которых такое соответствие существует (и согласно «а» единственно).
1) При а = 0 положим (b)[a + b = b]. Это соответствие удовлетворяет свойствам 1 и 2.
Действительно, а + 0 = а, т. е. удовлетворяет свойству 1, и a + b=b(a+b)'=b', следовательно, a + b'= (a+b)', т. е. выполняется свойство 2. Таким образом, 0М.
2) Если аМ, то число а + b определено и обладает свойствами:
а + 0 = а (по свойству 1 ) и a + b' = (a+b)'(по свойству 2).
Для а' любому числу b сопоставим число а' + b = (a+b)'.
Докажем, что это число также обладает свойствами 1 и 2.
Действительно, а' + 0 = (a+0)'= а', т. е. удовлетворяет свойству 1.
а' + b' = (a+b')' = ((a+b)')' = (а' +b)', т. е. удовлетворяет свойству 2.
Следовательно, аМ а'М и, так как а — произвольно заданное число, то
(х)[хМ х'М]. Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) следует, что M = No.
Таким образом доказано существование и единственность соответствия, сопоставляющего каждой паре (х, у) число (х + у)No., удовлетворяющее свойствам сложения (1 и 2), т. е. сложение является алгебраической операцией в множестве No.
Теорема 2. Умножение целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.
Эта теорема доказывается так же, как и теорема 1.
Свойства сложения и умножения в No
Из школьного курса математики известен ряд свойств сложения и умножения неотрицательных целых чисел, выводимых из данных аксиом. Сформулируем эти теоремы: для любых х, у, z из No
1. 0 + х = х.
2. х + у = у + х (коммутативность сложения).
3. х = у х + z = у + z.
4. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность сложения).
5. 0 · х = 0.
6. х · 1 = х.
7. х = у х · z = у · z.
8. х · у = у · х (коммутативность умножения).
9. (х · у) · z = х · (у · z) (ассоциативность умножения).
10. х · (у + z) = (х · у) + (х · z) (дистрибутивность умножения относительно сложения).
Приведем в качестве примеров доказательства первых четырех теорем.
1. Пусть Р(х) обозначает 0 + х = х. Нам нужно доказать, что (x)P(x).
1) В силу свойства 1: 0 + 0 = 0, т. е. Р(0) истинно.
2) Докажем теперь, что Р(х) = Р(х').
Предположим, что 0 + х = х. Тогда по аксиоме II (0 + х)' = х'. С другой стороны, по свойству 2 (0 + х)' = 0 + х'. Следовательно, 0 + х' = х', т. е. мы доказали, что (0 + х = х) => (0 + х' = х').
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) получаем, что (х)[0 + х = х].
2. Докажем эту теорему индукцией по у. Пусть Р(у) обозначает х + у = у + х.
1) х + 0 = х (по свойству 1); х = 0 + х (по теореме 1).
Следовательно, х + 0 = 0 + х, т. е. Р(0) истинно.
2) Докажем теперь, что Р(у) Р(у'). Допустим, что Р(у) истинно, т. е. х+у=у+х. Отсюда по аксиоме II (х + у)'= (у + х)'. Но (х + у)' = х + у' по свойству 2 , а (у + х)' - у' + х. Следовательно, х + у' = у' + х, т. е. мы доказали, что
(х + у = у + х) (х + у' = у' + х).
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) получаем, что (у)Р(у), и так как доказательство проведено для произвольно заданного х, то мы получили
( х, у)[х + у = у + х].
3. Доказательство проведем индукцией по z. Пусть Р(z) обозначает предложение х = у = x + z = y + z.
1) Докажем, что Р(0) истинно, т. е. х = у х + 0 = у + 0. Согласно свойству 1,
х + 0 = х и у + 0 = у.
Следовательно, из того, что х = у, следует, что х + 0 = у+0, т. е. х = у х + 0 = у + 0 истинно.
2) Теперь докажем, что Р(z) Р(z') истинно, т. е. что из х = у => х+z =у+z следует х = у => х+z' = у + z'.
Из х = у => х + z = у + z следует, что x + z = y + z.
Отсюда по аксиоме II получим, что (х + z)' = (у + z)'.
Но согласно свойству 2, (х + z)' = х + z' и (у + z)' = у + z'.
Следовательно, х = у х + z' = у + z'.
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) предложение Р(z) верно для любого z.
Так доказательство проведено для произвольно заданных х и у, то мы доказали, что (х, у, z)[х = у х + z = у + z].
4. Пусть Р(z) обозначает формулу (х + у) + z = х + (у + z).
1) Докажем, что Р(0) верно.
В силу свойства 1 (х + у) + 0 = х + у и у + 0 = у. Тогда х + (у + 0) = х + у. Следовательно, (х + у) + 0 = х + (у + 0), т. е Р(0) истинно.
2) Докажем, что Р(z) Р(z') истинно, т. е., предполагая истинным предложение (х + у) + z = х + (у+z), докажем, что и предложение (х + у) +z'=х+(у+z') истинно. По свойству (2) (х + у) + z' = ((х+ у) + z)', (1)
А в силу нашего предположения ((х + у) +z)' = (х + (у + z))', (2)
Из предложений (1) и (2) следует, что (х + у) + z' = (х + (у +z))'. (3)
В силу свойства (2) (х + (у + z') = х + (у + z)' (4) и х + (у + z)' = (х + (у + z))' (5)
Из предложений (4) и (5) следует, что х + (у + z') = (х + (у + z))' (6)
Из предложений (3) и (6) (х + у) + z' = (х + (у + z'), т. е. Р(z').
Из 1 и 2 по аксиоме индукции (IV) предложение Р(z) верно для любого z.
Так как доказательство проведено для произвольно заданных х и у, мы доказали, что (х, у, z) [(х + у)+z = х + (у + z)].
Свойства порядковой структуры (N0 ,<)
Введем в множестве No отношение < (меньше).
Определение. Мы будем говорить и обозначим это через а < b, что число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует число k,≠0, такое, что a+k=b.
a < b (k ≠ 0)[a + k = b].
Если а меньше b (a < b), мы будем также говорить, что b больше а, и обозначим это b > а.
Дизъюнкцию a < b а = b обозначают кратко а b. Аналогично дизъюнкцию a > b a = b обозначают а b.
Из определения непосредственно следует теорема.
Теорема 1. (х) [х < х'].
Доказательство. Действительно, х < х', так как х + 1 = х'.
Следствия.
1. 0 < 1 < 2 < 3 < ...
2. 0 — наименьшее число в No.
3. 1 — наименьшее число в N.
Множество No.упорядочено отношением «меньше» (или «больше»), т. е. имеет место следующая теорема.
Теорема 2. а) Для любых х, у из No. имеет место точно одно из трех соотношений: х = у, х < у, у < х, т. е. (х, у) [либо х = у, либо х < у, либо у < х].
б) (х, у, z) [х < у у < z х < z].
Доказательство.
а) Прежде всего, установим, что имеет место не более чем одно из соотношений х = у, х < у, у < х.
Пусть, например, имеют место одновременно х = у и х < у. Тогда
(k ≠ 0) х + k = у]
и х = у х < у x = x + k,
а следовательно, k = 0, что противоречит условию (k ≠ 0).
Аналогично к противоречию приводит допущение, что одновременно х у и у<х.
Если имели бы место одновременно х < у и у < х, то было бы справедливо x+k=y (k ≠ 0) и у + l = х (l ≠ 0), или (y + l) + k = y, или y + (l + k) = y, и так как
l≠ 0 k ≠ 0 l + k ≠ 0, мы пришли бы к противоречию (со свойством 1).
Докажем теперь, что хотя бы одно из соотношений х = у, х < у, у < х всегда (для любых х и у из No) имеет место.
Пусть выбрано число х и М — множество тех у из No, для каждого из которых при данном х имеет место хотя бы одно из этих соотношений.
1) Если х = 0, то для у = 0 имеем х = у; если х ≠ 0, то теореме 1 для у = 0 имеем у < х. Таким образом, 0М.
2) Пусть уМ. Тогда или х = у и, следовательно, у' = х + 1, т. е. х < у', или х <у, т. е. x + k = y, а следовательно, (x + k)' = y', или, согласно свойству 2, х + k' = y', и в этом случае х < у'; или у < х, т. е. y + k = x, и если k = 1, то у' = х, если же k ≠ 1, то k= m' и x = y + m' = y + (m + l) = y + (1 +m) = (y + 1) +m = у' + m, т. е. у' < х.
Вo всеx случаях у' М. По аксиоме индукции (IV) М = No и утверждение «а» доказано.
б) Докажем, что из х < у и у < z следует х < z:
х < у (k ≠ 0) х + k = у];
х < z (l ≠ 0) х + l = z];
х + k = у у + l = z (х + k) + l= z
(х + k) + l = х +(k + l) = z и k + l ≠ 0.
Следовательно, х < z. Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь порядка с операциями сложения и умножения.
Теорема 3 (свойства монотонности сложения и умножения).
а) (х, у, z) [х < у х + z < у + z].
б) (х, у) [(z ≠ 0) [х < у х z < у z].
Доказательство.
а) пусть х < у. Тогда x + k = y (k ≠ 0)
и у + z = (х + k) + z = х + (k+ z) = х + (z + k) = (x + z) + k.
Следовательно, х + z < у + z.
б) Аналогично у z = (х + k) z = (х z) +(k z)
и k ≠ 0 z ≠ 0 k z ≠ 0.
Следовательно, х z < у z.
Теорема имеет место и для отношения > (больше).
Структура (No, <) обладает свойством дискретности. Это означает, что для каждого числа х из Мо существует в этом множестве «соседнее» число у такое, что х<у и нет других чисел «между ними», т. е. таких, которые были бы больше х, но меньше у. Иными словами, имеет место следующая теорема.
Теорема 4. (х) (у) [х < у () (х < z z < у]
или (х) (у) [х < у (z) (z х у z]
Доказательство. Действительно, для каждого х таким «соседом» является число у = х'. Докажем это, т. е. что (х) () [х < z z < х'].
Допустим от противного, что (z)[х < z z < х']. Тогда
х < z (k ≠ 0) х + k = z].
По следствию 1 из теоремы 1 имеем k 1 и по теоремам 3 и 3 (7.4.6) x+k x+1, т. е. z х'.
По теореме 2 z х' исключает z < x'. Теорема доказана.
Исходя из теоремы 1, мы установили, что в No имеется наименьшее число — 0 (в N—1). Из этой же теоремы следует, что в No (или в N) нет наибольшего числа.
Теорема 5. () (х) [х у].
Доказательство. Допустим, что (у) (х) [х у], и пусть у = а обладает таким свойством, т. е. (x)[x a].
Если же взять х = а' = а+1, то, согласно теореме 1, получим х > у, что, согласно теореме 2, исключает x a.
Теорема 5 является признаком бесконечности множества No, так как во всяком конечном упорядоченном множестве имеются как наименьший, так и наибольший элементы. (Это доказывается в общей теории упорядоченных множеств).
Вычитание целых неотрицательных чисел
Вычитание
Определение. Вычитанием из числа b числа а называется операция отыскания такого числа с, что b = a + с.
Число b называется уменьшаемым, а – вычитаемым, с – разностью. Разность с обозначается через b - а.
Таким образом, по определению с = b – а b = a + с.
Из определения непосредственно усматривается связь вычитания со сложением: разность – одно из слагаемых операции сложения, где сумма равна уменьшаемому, а другое слагаемое – вычитаемому.
Эта связь является основой для рассмотрения вычитания как операции, операции, обратной сложению.
Теорема (условие выполнимости и однозначности вычитания). Разность b - а существует и единственна тогда и только тогда, когда a b (или b а ).
(a, b ) ( с) (с = b - а) a b ].
Доказательство.
Докажем, что:
1) ( с) (с = b - а)] a b;
2. a b ( с) (с = b - а)];
3..
1) по определению с = b - а b = a + с.
Если с = 0, то a = b (по свойству 1), если же с > 0, то a < b по определению отношения «меньше». Но так, как с 0, то a b.
2) Если a = b, то b = а +0 и по определению вычитания 0= b – а, т. е.
( с) (с = b - а)].
Если a < b, то по определению отношения «меньше» (с) b = а + с], а следовательно, (с) (с = b - а)].
3) Допустим от противного, что
.
Тогда по определению вычитания b = a + с1 и b = a + с2 и, следовательно,
a + с1 = a + с2. Отсюда следует, что с1 = с2 (в противном случае, т.е. если с1≠с2 , то по свойству монотонности сложения получим, что a + с1 ≠ a + с2 ).
Мы получили противоречие (с1 ≠ с2 и с1 = с2), доказывающее единственность разности. Теорема доказана.
Свойства вычитания
Перечислим некоторые свойства разности.
Теорема 1. b – a b.
Доказательство. Это свойство следует непосредственно из определений разности и отношения «меньше». Так как (b - a) + a = b, то b – a b (b – a < b, если а > 0, и b - а = b, если а = 0).
Теорема 2. (a - b) c = a c – b c.
Доказательство. Действительно, (a - b)c + bc = ((a - b) + b)c (по дистрибутивности умножения относительно сложения). Но по определению разности ((a - b) + b)c = ас, следовательно, (a - b)c + bc = ac, а поэтому
(a - b)c = ac - bc (по определению разности).
Теорема 3. a - b = с – d a + d = b+ с.
Доказательство. Докажем, что
1) а –b = с - d => a + d = b + c;
2) a + d = b + c a – b = c - d.
1) a - b = c – d (c - d) + b = a;
(с - d) + b = a ((с - d) + b) + d = a +d;
(с - d) + b + d = ((с - d + d) + b) = с +b = b + с.
Следовательно, a - b = c – d a + d = b + c.
2) a + d = b + с ((a – b) + b) + d = ((с – d) + d)+ b;
((a – b) + b) + d = ((с – d) + d) + b ((a – b) + d) + b = ((с – d + d)+ d;
((a – b + d) + b= ((с – d) + d) + b ((a – b + d = (с – d) + d;
(a – b) + d = (с – d) + d) a -b = с – d.
Следовательно, a + d = b + c a - b = c - d.
Из определения разности и доказанных свойств следуют:
a) (a – b) + (с – d) = (a+c) - (b+d);
б) (a - b) - (с - d) = (a + d)- (b + с);
в) (a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc).
Деление целых неотрицательных чисел
Деление
Определение. Деление числа а на число b - это операция отыскания такого числа с,что а = b. Число а называется делимым, b – делителем, с – частным. Применяется запись а : b или .
Равенство 0 с = 0 справедливо при любом значении с, т. е. выражению 0 : 0 можно придать любое численное значение. Поэтому выражение 0:0 не имеет смысла.
Если а 0, то 0 с = а невозможно ни при каком с, т. е. выражению а : 0 нельзя придать никакое численное значение. Поэтому деление на нуль невозможно.
Пусть b — натуральное число. Рассмотрим ряд произведений числа b на все неотрицательные целые числа:
b 0 = 0, b 1 = b, b 2, b 3, ..., b п,...
Если b = 1, то ряд чисел, кратных b, совпадает с множеством всех неотрицательных чисел. Если b > 1, то существуют числа, не являющиеся кратными числу b. Например, всякое число а, удовлетворяющее условию bk<a<b(k+l),где kN.
Для такого а равенство a = bn при пN невозможно, т. е. невозможно деление а на b. Наоборот, если а = bn, то по определению деления а : b = п.
Сформулируем вывод: деление неотрицательного целого числа а на натуральное число b возможно тогда и только тогда, когда а кратно b. Деление на нуль невозможно.
Заметим, что нуль кратен любому натуральному числу, т. е. деление нуля на любое натуральное число возможно и в частном получается нуль.
Теорема (Условие выполнимости и однозначности деления). Если деление возможно, то частное единственно.
Доказательство. Предположим противное, т. е. (а : b = с) (а : b = d) (с d).
Для определенности положим c < d. Это можно сделать, так как множество целых неотрицательных чисел линейно упорядочено. Так как b > 0, то bc < bd. Но bс= а и bd = а по определению операции деления. Следовательно, а < а, что невозможно. Полученное противоречие отвергает предположение, что c d. Теорема доказана.
Свойства деления
1. В множестве целых неотрицательных чисел операция деления не определена, ибо она не всегда выполнима. Например, если b > 1, то (b + 1) не делится на b. Это можно усмотреть из неравенства b < b + 1 < 2b, т. е. b + 1 не является кратным b.
2. Деление неассоциативно. Например, (8 : 4) : 2 = 1, но 8 : (4 : 2) = 4.
3. (а < b) (а b) => (а = 0), т. е. если меньшее неотрицательное число делится на большее, то меньшее равно нулю.
Если предположить, что а 0, то 0 < а < b, т. е. а не содержится среди кратных числу b.
4. Деление некоммутативно. Более того, если а b, то b а в единственном случае, когда а = b.
Если а < b, то по свойству 3 а = 0, т. е. . Если а > b, то из b а следовало бы b = 0, что невозможно. Остается предположить, что а = b.
В этом случае а : b = b : a = 1.
5. (а : b)b = a, т. е. если число а разделить на b, а затем умножить на b, то в результате получится число а.
Пусть а : b = х, т. е. а = bх. Тогда (а : b)b = xb = a.
6. (c>0)[ac = bc a = b], т. е. если обе части равенства кратны натуральному числу с, то их можно сократить (т. е. разделить) на с.
По определению деления ас : с = а и bс : c = b. Из ас = bс и из теоремы о единственности частного вытекает а = b.
7. (c > 0)[a : b = ac : bс], т. е. частное не меняется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Пусть ас : bс = х, т. е. ac = xbс. Тогда по свойству 6 a = xb, т. е. а : b = х.
8. а : bd= (a : b) : d, т. е. деление на произведение можно осуществить последовательным делением на отдельные множители.
Пусть (a : b) : d = x. Тогда а : b = dx и a = bdx по определению деления. Из этого же определения следует а : bd = x.
9. (b : c)a = ab : с, т. е., чтобы умножить частное на число а (или а на частное), достаточно умножить делимое на число а и затем разделить на делитель.
Деление с остатком
Мы уже знаем, что деление в множестве целых неотрицательных чисел не всегда выполнимо, поэтому введем более общую операцию деления, так называемое деление с остатком. Чтобы 30 : 4, представим число 30 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является кратным 4 и выбрано наибольшим из возможных, т.е. 30 = 28 + 2 = 47 + 2. В этом случае говорят, что 30 при делении на 4 дает в частном 7 и в остатке 2. Иногда это записывают так: 30 : 4 = 7 (остаток 2).
При делении на 5 тот же метод дает 30 = 30 + 0 = 5 6 + 0, т. е., 30 : 5=6(ост. 0).
Если не учитывать остаток, равный нулю, то деление в обычном смысле можно считать частным случаем деления с остатком. Но следует учесть, что это различные операции, ибо при обычном делении каждой паре чисел (делимому и делителю) ставится в соответствие одно число (частное), а при делении с остатком каждой паре чисел (делимому и делителю) ставится в соответствие пара (частное и остаток).
Определение. Операция деления с остатком неотрицательного целого числа а на натуральное число b есть отыскание таких частного q и остатка r, что a = bq + r и r < b.
Докажем выполнимость деления с остатком на любое натуральное число и однозначность этой операции.
Теорема (о делении с остатком). Для любой пары (a, b)N0 существует, и притом единственная, пара (q, r)N0 0, такая, что a = bq + r, где r < b.
Доказательство. Если а = 0, то 0 = b 0 + 0, т. е. этому случаю удовлетворяет пара (0, 0) и единственность ее очевидна. Поэтому далее будем считать, что а > 0. Возьмем множество М тех кратных числу b, которые больше а, т. е.
M = {bn(nN)(bn > a)}.
Заметим, что п > 0, ибо а > 0. Это подмножество множества натуральных чисел по принципу наименьшего числа должно содержать наименьшее число. Пусть это будет bk, т. е. a < bk и bk при этом выбрано наименьшим.
Так как kN, то (k - 1)No, т. е. b (k - 1)— неотрицательное целое кратное числа b. Из монотонности умножения вытекает b(k - 1) < bk. Поэтому b(k - 1) не принадлежит множеству М. Следовательно, b(k - 1) a.
Обозначим k -1 = q и a - bq = r, причем rNo, так как a bq. Докажем, что r<b. Если предположить r b, то получаем a – bq b, т. e. a bq + b = b(q + 1).
Заметим, что вынесение за скобки возможно, так как по условию b > 0. Но q+1=k, т. е. a bk, а это противоречит выбору bk. Полученное противоречие дает r<b. Итак, a = bq + r, где r < b.
Докажем единственность пары (q, r). Пусть существует еще одна пара (q1, r1) с тем же свойством, т. е. а = bq1 + r1 и r1 < b. Тогда bq + r = bq1 + r1. Учитывая линейную упорядоченность множества No, для определенности положим r1 r. Тогда bq - bq1 = r1 - r и (r1 – r)No. Так как b > 0, то b(q – q1) = r1 - r, т. е. (r1 - r) b. Но (r1 – r) < b, ибо r1 < b. Тогда из свойства 3 (7.6.2) следует r1 – r = 0, т. е. r1 = r. Но q - q1= (r1 – r) : b, т. е. q - q1 = 0, q1 = q. Теорема доказана.
Отметим интересный случай деления с остатком. Если а < b, то а : b =0 (ост. а).
Вопросы для самоконтроля
Объясните теоретико-множественный смысл понятия нуль и натуральное число.
Объясните теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств.
Сформулируйте различные определения понятия произведения целых неотрицательных чисел.
Сформулируйте различные определения понятия частного целого неотрицательного и натурального числа.
Сформулируйте аксиомы Пеано для расширенного нулем натурального ряда.
Сформулируйте определения арифметических действий с целыми неотрицательными числами и их свойства.
Лекция №12. Делимость целых неотрицательных чисел
Отношение делимости, свойства делимости
Признаки делимости
Простые и составные числа
Наибольший общий делитель и наибольшее общее кратное чисел, их основные свойства
Алгоритмы нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
Отношение делимости, свойства делимости
Понятие отношения делимости
Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел, называется теорией чисел. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел,- это делимость.
Как известно, деление выполняется не всегда. Например, не существует такое целое неотрицательное число, которое было бы частным чисел 3 и 7. Поэтому математики с давних пор пытались найти такие правила, которые позволяли бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел. Чтобы рассмотреть эти признаки, необходимо уточнить понятие отношения делимости (для краткости вместо слов «целое неотрицательное число» будем говорить «число»).
Говорят, что число а делится на число b, если существует такое число с, что а= bс. В этом случае пишут аb. Например, 54 делится на 6, так, как 54 = 6·9, 27321, так как 273 = 21·13.
Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а или же b делит а. Термин «делитель данного числа» следует отличать от термина «делитель», обозначающего то число, на которое делят.
Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают. Запись аb есть запись отношения делимости, она не означает действия, которое надо произвести над числами а и b, то есть нельзя писать аb = с. Так как делитель данного числа не превышает этого числа, то множество его делителей конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
Свойства отношения делимости
Отношение делимости обладает рядом свойств. Докажем некоторые из них, при этом будем считать известными определения и законы арифметических действий над целыми неотрицательными числами.
1.Число 0 делится на любое число, (bΖ0) 0b.
В самом деле, для bΖ0 имеем: 0 = b0. Так как 0Ζ0, то по определению делимости 0b.
2. Ни одно отличное от нуля число не делится на 0: (аΖ0) .
В самом деле, пусть а ≠ 0. Так как 0b = 0 для всех bΖ0, то равенство а = 0·b не может выполняться ни для какого значения b.Значит, а не делится на 0.
3. Любое число делится на 1: (аΖ0) а 1.
В самом деле, для аΖ0 имеем а = 1·а, это означает, что а делится на 1.
1. Свойство рефлексивности
Отношение делимости рефлексивно, то есть любое число делится на себя, (аΖ0) а а.
В самом деле, для аΖ0, имеем а = а1. Так как 1Ζ0, то это означает, что (аΖ0) а а.
2.Свойство антисимметричности
Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и b из того, что аb, следует, что, т.е. (а, bΖ0) (аb bа) => (а = b).
Предположим, что bа. Но чтобы b делилось на а, необходимо, чтобы b ≥ а. По условию аb, значит, а ≥ b. Неравенства b ≥ а и а ≥ b истинны только в том случае, когда а = b. Пришли к противоречию с условием. Следовательно, наше предположение неверное, т.е. отношение делимости антисимметрично.
3. Свойство транзитивности
Отношение делимости транзитивно, т.е. из того, что аb и bс, следует, что ас: (а, b, сΖ0) (аb вс) => (ас).
Так как аb, то такое целое неотрицательное число q, что а = bq , а так как bс, то такое целое неотрицательное число t, что b = сt. Подставим в первое равенство вместо b произведение сt. Получим а = (ct)q, откуда =(ct)q=с·(t·q)=ср. Поскольку р - целое неотрицательное число, то равенство а = ср означает, что ас.
Таким образом, являясь рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, отношение делимости есть отношение частичного упорядочения в множестве целых неотрицательных чисел
Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел
Часто в практике возникает вопрос: как, не производя вычислений, определить, делится (сумма, разность, произведение) на данное число или нет? Ответ на него предполагает знание следующих теорем.
Теорема о делимости суммы. Если числа а и b делятся на с, то и их сумма делится на с: (а, b, сΖ0) (аbbс) => (а + b)с).
Доказательство: Пусть числа а и b делятся на с.
Докажем, что тогда число а + b тоже делится на с. Так как ас, то такое целое неотрицательное число q, что а = сq. Так как bс, то такое целое неотрицательное число р, что b = ср. Подставим в сумму а + b вместо а произведение сq и вместо b произведение ср. Получим а + b = сq + ср. Вынесем за скобки общий множитель с и получившееся в скобках целое неотрицательное число q + р обозначим буквой t. Получим а + b = сq + ср = с(q + р) = сt. Нам удалось сумму а + b представить в виде произведения числа с и некоторого целого неотрицательного числа t. А это значит, что а + b делится на с.
Мы провели доказательство теоремы для случая двух слагаемых. Аналогично можно доказать её для суммы, состоящей из п слагаемых.
Пример. Не производя вычислений, можно сказать, что сумма 114+348+908 делится на 2, так как на 2 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема о делимости разности. Если числа а и b делятся на с, причем а≥ b, то и их разность а - b делится на с.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о делимости суммы.
Теорема о делимости произведения. Если число а делится на число с, то и все числа вида ах (xΖ0) делятся на с.
Доказательство. Его мы проведём для произведения состоящего из двух целых неотрицательных множителей а и b. Пусть один из них, например, а, делится на с. Так как ас, то такое целое неотрицательное число q, что а = сq. Умножим обе части этого равенства на b: аb = (cq)b, откуда а·b = с(qb), но qb - целое неотрицательное число, следовательно, аbс.
Аналогично проводится доказательство для произведения в котором п множителей.
Например, произведение 24·976·305 разделится на 12, т.к. на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим ещё две теоремы, связанные с делимостью произведения и суммы, которое часто используются в решении задач на делимость.
4. Теорема. Если в произведении а·b множитель а делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число п, то произведение а·b делится на произведение т·п.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о делимости произведения.
Например, произведение 24·36 разделится на 108 = 12·9, поскольку 2412, а 369.
5.Теорема. Если в сумме одно слагаемое не делится на число т, а все остальные слагаемые делятся на число т, то вся сумма на число т не делится. Доказательство. Пусть S = а1 + а2 + … + ап + с и известно, что а1т, а2т,… ап т, но . Докажем, что тогда . Предположим противное, т.е. пусть Sт. Преобразуем сумму S к виду с = S - (а1 + а2 + … + ап) т. к. Sт по предположению, (а1+а2+…+ап)т на основании теоремы о делимости суммы, то согласно теореме о делимости разности Sт. Пришли к противоречию с тем, что дано. Таким образом, .
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, т.к. 342, 3762, 1024 2, но .
Рассмотренные теоремы являются основой решения задач, связанных с делимостью чисел.
Признаки делимости
Общее понятие признака делимости
Признак делимости — это предложение, позволяющее ответить на вопрос, делится или нет некоторое число на данный делитель, не производя самого деления.
Это не значит, что, применяя признак делимости, вообще не надо делить. Например, применяя хорошо известный школьникам признак делимости на 3, приходится делить на 3 сумму цифр числа, т. е. меньшее число. Если сумма цифр все еще большое число, то находят сумму цифр этого числа и т. д., пока не удастся выполнить деление, используя знание таблицы умножения.
Например, 123 456 789 делится на 3,
если на 3 делится 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3, если делится на 3 сумма 4 + 5 = 9. Если не знать, что 93, то признак делимости тут не поможет.
Теперь мы можем дать другое разъяснение понятия признака делимости.
Признак делимости — это предложение, сводящее вопрос о делимости данного натурального числа к вопросу о делимости меньшего натурального числа.
Только что упомянутый признак делимости неприменим к числу, записанному в римской системе счисления, т. е. признаки делимости чисел, зависят от системы счисления. Но свойства делимости от системы счисления не зависят. Поэтому некоторые свойства делимости можно понимать как особые признаки делимости, не зависящие от системы счисления. Например, свойства, рассмотренные в пункте 9.1.3.
Признаки делимости чисел на 2 и на 5
Рассмотрим признаки делимости в десятичной системе счисления, только иногда отвлекаясь для рассмотрения аналогичных признаков в других позиционных системах.
Признак делимости чисел на 2. Для того, чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления:
х = ап10п + … + а1 10 + а0 (1), где ап, ап-1, …, а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ап ≠ 0 и а0 принимают значения 0, 2, 4, 6, 8. Докажем, что х2.
Число 10 делится на 2 и поэтому каждое из чисел 10, 102, …,10п делится на 2,и, значит, (ап 10п + … + а110)2. По условию а0 тоже делится на 2 и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно теореме о делимости суммы и само число делится на 2.
Докажем, обратное: число х делится на 2 в том и только в том случае, когда его десятичная запись кончается одной из цифр 0, 2, 4 , 6, 8.
Запишем равенство (1) в таком виде а0 = х - (ап10п + ап -110п-1 + … + а110), по теореме о делимости разности а02, т. к. х2 и (ап10п + ап-110п-1 + … + а110)2. Чтобы однозначное число х0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.Такие числа называются четными, а остальные - нечетными.
Признак делимости чисел на 5. Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.
Признаки делимости на 2 и 5 одинаковы не случайно. 2 и 5 — это делители 10, основания счисления. Точно такой же признак делимости в 12-ричной системе счисления был бы сформулирован для делителей 2, 3, 4, 6.
Например, в двенадцатеричной системе счисления число делится на 3 в том и только в том случае, когда его последняя цифра равна 0, 3, 6, 9. Это вытекает из того, что 123.
Приведем признак делимости в других позиционных системах счисления. Пусть основание системы счисления равно р.
Признак. Если р делится на а и число х имеет в системе счисления с основанием р запись х = хп рп + … + х1р + х0, то х делится на а в том и только в том случае, когда х0 делится на а. Если ра, то все числа вида р2, …, рп делятся на а, а тогда и сумма хп рп + … + х1 р делится на а.
Признаки делимости чисел на 4, на 25, на 8 и на 125
Признак делимости чисел на 4. Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т. е. х = ап10п + … + а110 + а0 (1), где ап, ап-1, …, а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ап ≠ 0 и (ап + ап-1 + … + а0)9. Докажем, что х9. Преобразуем сумму
х = ап10п + … + а110 + а0, где ап, ап-1, …, а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и две последние цифры образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х4.
Так как 1004, то (ап10п + … + а2102)4, по условию а110 + а0 (это запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно теореме о делимости суммы и само число х делится на 4.
Докажем обратное, т. е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4. Запишем равенство (1) в таком виде: а110 + а0 = х - (ап10п + … + а2102).Так как х4 и (ап10п + … + а2102)4, то по теореме о делимости разности (а110 + а0)4. Выражение а110 + а0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Например, 76 8324, т. к. 324, а , т. к. .
Признак делимости чисел на 25. Для того чтобы число х делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х (то есть его десятичная запись оканчивается либо на 00, либо на 25, либо на 50, либо 75).
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 4.
Например, 74 82525, т. к. 2525; , т. к. .
Признаки делимости чисел на 8 и на 125. Для того чтобы число х делилось на 8 (125), необходимо и достаточно, чтобы на 8 (125) делилось трехзначное число, образованное тремя последними цифрами десятичной записи х.
Доказательство это признака аналогично доказательству признака делимости на 4 и 25.
Например, 93 6488, т. к. 6488; , т. к. .
Признаки делимости чисел на 9 и на 3
Признак делимости чисел на 9. Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.
Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10п – 1 делятся на 9. Действительно, 10п – 1 = (9·10п – 1 + 10п -1) –1 = (9 10п – 1 + 910п -2 + 10п – 2) - 1=
= (9·10п –1+ 9·10п -2 +… + 10) - 1= 9·10п – 1+ 9·10п -2 +…+ 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число (10п – 1)9. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т. е. х = ап10п + … + а110 + а0, где ап, ап-1,… ,а1, а0 принимают значение от 0 до 9 и (ап + ап-1 + … + а1 + а0)9.
Докажем, что х9. Преобразуем ап10п + … + а110 + а0 прибавив и вычтя из нее (ап + ап-1 … + а1 + а0) и записав результат в таком виде:
х = (ап10п – ап) + (ап-110п-1 – ап-1) + …+ (а110 - а1) + (а0 - а0) + (ап + ап-1 + … + а1+а0)= = ап(10п – 1) + ап-1 (10п-1 – 1) + …+ а1 (10 - 1) + (ап + ап-1 + … + а1 + а0). В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:
ап(10п – 1)9, т. к. (10п – 1)9, ап-1 (10п-1 – 1)9 ,т. к (10п-1 – 1)9.
а1 (10 - 1)9 ,т. к. (10 - 1)9, (ап + ап-1 + … + а1 + а0)9 по условию. Следовательно, х9.
Докажем обратное, т. е. если число х9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9. Запишем равенство (1) в таком виде:
(ап + ап-1 + … +а1 + а0) = х – (ап(10п – 1) + ап-1 (10п-1 – 1) + … + а1 (10-1)), т. к. х9 и (ап(10п – 1) + ап-1 (10п-1 – 1) + … + а1 (10-1)) 9, то по теореме о делимости разности (ап + ап-1 + … + а1 + а0) 9. Выражение (ап + ап-1 + … + а1 + а0), есть сумма цифр десятичной записи числа х.
Признак делимости чисел на 3. Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.
Доказательство это признака аналогично доказательству признака делимости на 9.
Например, число 65 1243, т. к. 6 + 5 + 1 + 2 + 3 = 18, а 183; 65 1249, т. к. 189.
Признаки делимости на 3 и 9 одинаковы не случайно: 3 и 9 — это делители числа 10 - 1, т. е. числа на единицу меньше, чем основание счисления. Такой же признаки делимости имеют место, например, в 7-ричной системе счисления для делителей числа 7 – 1 = 6, т. е. для 2, 3, 6. Сформулируем его в общем виде.
Пусть р - основание позиционной системы счисления и (р – 1)а. Число х тогда и только тогда делится на а, когда сумма его цифр в р –ной записи делится на а.
Из алгебраической формулы рп – 1 = (р - 1)(рп-1 + р п-2 + … +1) вытекает, что для п число рп - 1 делится на р - 1. Число х = хп рп + … + х1р + х0 можно записать в виде х = [хп(рп - 1) + … +х1(р - 1)] + (хп + … + х1 + х0). Первая сумма всегда делится на р - 1, поэтому число х делится на р - 1 в том и только в том случае, когда сумма цифр его р-ичной записи делится на р - 1.
Например, число 7 21487, т. к. сумма цифр этого числа равна
7 + 2 + 1 + 4 = 168 = 1410, а 147.
Признаки делимости чисел на 11, 7, 13
Для того чтобы узнать делится ли число на 7, 11, 13 используются следующие признаки делимости, которые мы введем без доказательства.
Признак делимости чисел на 11. Чтобы узнать делится ли на 11 натуральное число а надо сложить отдельно цифры его десятичной записи, стоящие на четных местах, и цифры стоящие на нечетных местах и из большей суммы вычесть меньшую. Если полученная разность делится на 11, то и число а делится на 11.
Например. Чтобы узнать делится ли на 11 число 237 849 568, составляем сумму 2 + 7 + 4 + 5 + 8 = 26 и 3 + 8 + 9 + 6 = 26. Так как 26 – 26 = 0 делится на 11, то и данное число делится на 11.
11- это делитель 10 + 1, т. е. числа, на единицу большего основания счисления. Такой же признак делимости на 3 в двоичной системе счисления, на 13 – в 12-ричной системе счисления и т.д.
Сформулируем общий вывод.
Пусть р - основание позиционной системы счисления и (р + 1) а. Число х тогда и только тогда делится на а, когда Число х тогда и только тогда делится на а, когда в р –ной записи х разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на а.
Признаки делимости чисел на 7 и на 13. Чтобы узнать делится ли натуральное число на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 2 или 1 цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 (или на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).
Например, проверим, делиться ли число 459 348 965 866 на 7 и на 13.
Для этого образуем выражение 459 – 348 + 965 – 866 = 210, т. к. 2107, то и 459 348 965 8667. Поскольку , то и .
Простые и составные числа
Четыре класса неотрицательных чисел
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Определение 1. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Например, число 17 простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 17.
Определение 2. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Например, число 4 составное, у него три делителя: 1, 2, 4.
Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет всего один делитель - само это число.
Число 0 имеет бесконечно много делителей. Его так же не относят ни к простым, ни к составным.
Таким образом, по числу различных натуральных делителей все множество Ζ0 неотрицательных чисел разбивается на четыре класса:
1. класс, содержащий лишь число 0 (число нуль имеет бесконечно много натуральных делителей);
2. класс, содержащий лишь число 1(число 1 имеет только один натуральный делитель);
3. класс простых чисел (простые числа имеют точно по 2 натуральных делителя);
4. класс составных чисел (составные числа имеют не менее трех различных натуральных делителей).
Свойства простых чисел
Рассмотрим некоторые их свойства:
1. Если простое число р делится на некоторое натуральное число п, отличное от 1, то оно совпадает с п.
В самом деле, если бы р не равнялось п, то оно имело бы три делителя: 1, п и р, а тогда оно не было бы простым.
2. Если р и q – различные простые числа, то р не делится на q. Так как p – простое число, то оно может делиться лишь на 1 и на p. Но q по условию отлично от p, а так как q – простое, то оно отлично от 1. Значит, q не является делителем числа p.
Пример 1: числа 17 и 3 – простые, и поэтому 17 не делится на 3.
3. Если натуральное число а не делится на простое число p, то а и p взаимно просты.
В самом деле, возьмём наибольший общий делитель d чисел a и p. Тогда p делится на d. Но простое число p имеет лишь два делителя: 1 и p. Поэтому либо d =p, либо d = 1. Если бы d равнялось p, то а делилось бы на p вопреки условию. Значит, остаётся лишь случай d = 1, а в этом случае а и p взаимно просты.
4. Если произведение двух натуральных чисел а и b делится на простое число p, то хотя бы одно из них делится на p.
В самом деле, предположим, что а не делится на р. Тогда по утверждению 3 числа а и р взаимно просты. Но по утверждению 4 если аb делится на р, и а и р взаимно просты, то b делится на р.
Пример 2: имеем 1 725 = 25·69. Число 1 725 делится на 3, так как 1+7+2+5=15, но 25 не делится на 3, значит, 69 делится на 3.
5. Если натуральное число больше 1, то оно имеет хотя бы один простой делитель.
Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что утверждение не верно, то натуральные числа, которые больше 1, но не имеют ни одного простого делителя. Тогда множество А таких чисел содержало бы наименьшее число. Обозначим это число через а. Поскольку все числа в А больше 1, то и а > 1, а тогда оно может быть либо простым, либо составным. Но простым а не может быть, так как аА, а не одно из чисел этого множества не имеет простых делителей. Не может быть оно и составным. В само деле, если бы а было составным числом, а имело бы натуральный делитель b, отличный от 1 и от а. Тогда этот делитель был бы меньше а и потому b не принадлежит А. Значит, у b есть простой делитель р, а тогда и а делилось бы на простое число р, что противоречит предположению. Значит наше предположение не верно, чисел, больших 1, но не имеющих простых делителей, не существует.
6. Наименьший простой делитель составного числа а не превосходит .
Так как а – составное число, а р – его наименьший простой делитель, а = рb. При этом р b, так как иначе простой делитель числа b был бы меньше, чем р, а тогда а имело бы простые делители, меньше, чем р. Умножим обе части неравенства р b на р. Мы получим, что р2 рb = а, поэтому р2 а, то есть р .
Из этого утверждения следует, что если число а не делится ни на одно простое число, не превосходящее , то у него совсем нет простых делителей, меньших этого числа, то есть число простое.
Пример 3. Докажем, что 137 – простое. Для этого извлечём из него квадратный корень: 11 < < 12, поэтому если 137 не делится на простые числа, меньшие 12, то оно является простым. Но множество простых чисел, меньших 12, состоит из чисел 2, 3, 5, 7, 11. Ни на одно из них 137 не делится. Значит, 137 – простое число.
Бесконечность множества простых чисел
Теорема о бесконечности множества простых чисел впервые встречается в девятой книге «Начал» Евклида, поэтому она называется теоремой Евклида, хотя вполне вероятно, что этот факт был известен и до него.
Теорема Евклида. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Доказательство проведем способом «от противного».
Пусть простых чисел конечное множество и р1, р2, ..., рп - все простые числа. Тогда число S = р1р2...рп + 1 является составным, так как оно больше любого простого числа. По теореме 5(из п. 9.3.2) S должно делиться хотя бы на одно простое число pi. Но и р1р2...рпpi, т. е. теореме 5 (п. 9.1.3) - противоречие, отвергающее предположение. Теорема доказана.
Из теоремы Евклида следует, что после данного простого числа, хотя бы и очень большого, обязательно найдется еще большее простое число. Чем далее отходить от начала натурального ряда, тем простые числа встречаются реже и между двумя соседними простыми числами может быть сколь угодно много составных.
Таблица простых чисел. Решето Эратосфена
Математиками составлены обширные таблицы, в которых указаны простые числа. Например, Д.Н. Лемер составил таблицы простых чисел вплоть до 10 006 721.
Древнегреческий математик и астроном Эратосфен, живший в Александрии в III веке до н.э., придумал более простой способ решения этой задачи, основанный на вычёркивании чисел по определённому правилу. Так как древние греки писали на восковых табличках и не вычёркивали, а выкалывали числа, то после применения этого метода Эратосфена табличка становилась похожей на решето. Отсюда и название способа – «решето Эратосфена». Метод Эратосфена заключается в следующем. Сначала выписывают все натуральные числа от 2 до n. Например, если n = 40, то получается такая таблица:
2, 3, , 5, , 7, ,,, 11, , 13, , , , 17, , 19, , , , 23, , , , , , 29,, 31,, , , , , 37, , , . Зачёркивая каждое второе число из следующих за числом 2, мы отсеиваем все числа, кратные числу 2 (кроме самого числа 2). Первым оставшимся числом после 2 является 3. Вычёркиваем все числа кратные 3, кроме самого числа 3. На следующем шагу вычёркиваем кратные 5.
Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не доберёмся до простого числа, которое больше . Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми. Наименьший простой делитель любого числа меньше 40 не превосходит , то есть должен быть меньше 7. Значит, среди оставшихся чисел нет составных. Итак, простыми меньше 40, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
Метод Эратосфена позволяет отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного натурального числа n. Но он не даёт ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел. Ответ на этот вопрос дал великий греческий математик Евклид, также живший в Александрии в III веке до н.э. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно. Известны очень большие простые числа, например 24423 - 1.
Очень сложным оказался вопрос о том, как часто простые числа встречаются в натуральном ряду и как распределены среди натуральных чисел. Изучение таблиц простых чисел показывает, что в натуральном ряду есть участки, где простые числа расположены гуще. Есть даже числа, которые находятся совсем близко друг от друга, как, например, 2 и 3, 3 и 5, 191 и 193, 2711 и 2713. Такие пары чисел называют близнецами (это простые числа, разность между которыми равна 2).
До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число пар-близнецов. Но есть и сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в котором нет ни одного простого числа.
Некоторый ответ на вопрос, сколь скоро после данного простого числа можно ожидать следующее, дает так называемый постулат Бертрана: начиная с п = 4 между числами п и 2п - 2 существует по крайней мере одно простое число. Это предположение высказал, но не смог доказать Бертран (а доказал его П.Л. Чебышев). В древней Греции называли число совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число).
Например, 6 = 1 + 2 + 3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248. Указанные три числа – первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, чётны.
Ещё древнегреческий математик Евклид в III веке до н.э. указывал, что чётные совершенные числа могут быть получены в виде 2р-1(2р-1) в том случае, если число (2р-1) – простое.
Простые числа вида (2р-1) стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М.Мерсенна (1588-1648г.), много занимавшегося совершенными числами.
Л.Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все чётные совершенные числа. Известно довольно много чётных совершенных чисел, но неизвестно ни одного нечётного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до 1050. Также неизвестно, конечно ли множество количество совершенных чисел.
Разложение составного числа на простые множители
Следующая теорема называется основной теоремой арифметики.
Теорема. Составное натуральное число единственным образом с точностью до порядка следования разлагается в произведение простых чисел.
Доказательство. Применим к натуральному числу а теорему 5 из п. 9.3.2, которая утверждает, что у числа а есть простой делитель р1, т. е. а = р1q. Затем ту же теорему применим к числу q, т. е. q = p2r, где р2 - тоже простое число. Получаем a=p1p2r. Продолжая этот процесс далее, через конечное число шагов получим а=р1р2...рk, где все pi — простые числа. Докажем, что это разложение единственно.
Для этого применим метод математической индукции, опираясь на принцип наименьшего натурального числа. Предположим, что существуют натуральные числа, разлагающиеся в произведение простых чисел хотя бы двумя различными способами. Тогда среди таких чисел существует наименьшее, пусть это будет число а, т. е. а = р1р2...рk = q1q2...qn, где все p все р и все q — простые числа, k>1, n>1.
Заметим, что k = 1 или п = 1 невозможно, ибо в этом случае число а было бы простым, а единственность разложения простого числа на простые множители очевидна. Тогда q1q2...qn p1 и найдется такое qi = р1, ибо qi - простое число и делится только на себя и на единицу, но p1 > 1. Используя свойство 6 (7.6.2), можем сократить равенство на число р1. Получим: р2 ... рk = q1q2 ... qi-1qi+1 … qn = .
Но число < а, ибо p1 > 1. Поэтому по предположению индукции для числа теорема верна и каждое р, начиная с р2, равно некоторому q, а также число множителей в обеих частях равенства совпадает. Получили k - l= n - l, откуда k = n.
Так как еще ранее было показано, что р1 = qi, то оба разложения числа а если и отличаются друг от друга, то только порядком следования множителей, т. е. для числа а теорема верна. Получили противоречие с предположением, следовательно, теорема верна для всех натуральных чисел.
Основная теорема арифметики позволяет представлять натуральное число в виде произведения степеней различных простых чисел и использовать единственность этого разложения.
В школе часто пользуются разложением натуральных чисел в произведение простых множителей.
Например, запись 110 = 2511 говорит о том, что число 110 разложено на простые множители 2, 5, 11. Разложить на простые множители можно всякое составное число, при чём при любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2511 или произведение 5211 есть по существу одно и то же разложение числа 110 на простые множители. Обычно простые множители, входящие в разложение натурального числа а, пишут в порядке возрастания. При этом среди таких множителей могут встречаться повторяющиеся, тогда произведение повторяющихся множителей записывают с помощью обозначения степени.
Разложение числа а = , где р1 < р2 < … < рk - различные простые числа, называется каноническим разложением или каноническим видом числа а.
Например, 24 = 23 3, 30 = 2 3 5, 2 100 = 22 3 52 7.
Каждое натуральное число большее 1, имеет единственное каноническое разложение на множители (в каноническом разложении нельзя даже переставлять множители, так как тогда простые числа не будут идти в порядке возрастания). Не теряя общности, можно считать, что в разложение а = , входят все простые числа от а до рk, если какое-нибудь простое число не входит в это разложение, его пишут с нулевым показателем.
Например: 726 = 23112 = 235070112. Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и другие.
Разложим число 720 на простые множители. Число 720 делится на 2, значит 2 есть один из простых множителей в разложении числа 720. Разделим 720 на 2. Число 2 пишем справа от знака равенства, а частное 360 – под числом 720. Число 360 делим на 2, получаем 180. Делим 180 на 2, получим 90. Потом делим 90 на 2, получим 45. Делим 45 на 3, получим 15. Делим 15 на 3, получим 5. Число 5 – простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители завершено. Произведение одинаковых множителей заменим степенью.
720 = 2·2·2·2·3·3·5 = 24·32·5.
360
180
90
45
15
5
1
720=24·32·5 это и есть каноническое разложение числа 720.
Наибольший общий делитель и наибольшее общее кратное чисел, их основные свойства
Наибольшее общее кратное
Если число а делится на число b, то говорят, что а кратно b. Так как число 0 делится на все числа, то оно кратно любому числу.
Все свойства отношения делимости можно сформулировать как свойства кратных. Отношение «кратно» рефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Возьмем два натуральных числа а и b.
Определение. Число m называется общим кратным этих чисел, если оно кратно и а, и b.
Одним из общих кратных чисел а и b является их произведение аb - оно делится и на а, и на b.
Множество общих кратных чисел а и b является пересечением множества кратных чисел а с множеством чисел кратных b.
Пример. А-множество кратных числа 4, В-множество кратных числа 6, таковы А = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36…}, В = {6; 12; 18; 24; 30; 36…}, АВ={12;24; 36…}. Все числа этого множества и только они кратны и 4, и 6.
Все числа из АВ - кратны числу 12-наименьшему из чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел. Его обозначают НОК(а, b) или, К(а, b).
Например, К(4, 6) = 12.
Наибольший общий делитель
Обратным к отношению «число а кратно числу b» является отношение «число b - делитель числа а». Любое число является делителем числа 0. Поэтому мы будем рассматривать делители натуральных чисел. Если b является делителем а, то пишут b|а.
Например, 3| 24, т. к. 243.
Каждому свойству отношения делимости соответствует свойство делителей. Например, транзитивность отношения делимости означает, что если а - делитель b, а b - делитель с, то а - делитель с. Каждое число является делителем самого себя, а число 1-делитель любого числа. Если числа а и b делятся на число с, то с называют общим делителем этих чисел. Чтобы найти общие делители чисел а и b, надо найти пересечение множества делителей числа а и множества делителей числа b.
Пример. Найти общие делители чисел 24 и 60. А - множество делителей числа 24, В - множество делителей числа 60, таковы:
А = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}, В ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}, пересечение этих множеств АВ = {1; 2; 3; 4; 6; 12} – общие делители чисел 24 и 60. Пусть натуральное число а делится на b. Тогда все делители натурального числа а не превосходят а, и поэтому множество делителей а состоит из конечного числа элементов. Конечным является и множество общих делителей натуральных чисел а и b. Поэтому в нем имеется наибольшее число. Это число называют наибольшим общим делителем чисел а и b и обозначают НОД(а, b) или Д(а, b).
Определение. НОД(а, b) называют наибольшее число, на которое делятся а и b.
Например, наибольшим из чисел 1; 2; 3; 4; 6; 12 является 12, значит
D(24, 60) = 12.
Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b. Если у этих чисел нет других общих делителей, то D(а, b) = 1. Такие два числа называют взаимно простыми.
Определение. Числа а и b называют взаимно простыми, если НОД(а, b) = 1.
Например, числа 12, 35 не имеют общих делителей, отличных от 1. Эти числа взаимно просты.
Свойства наибольшего общего делителя и наибольшего общего кратного
Назовем некоторые свойства наибольшего общего делителя, приняв их без доказательства.
1. Наибольший общий делитель натуральных чисел а и b всегда существует и является единственным.
2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т. е. если а < b, то D(а, b) ≤ а.
3. Наибольший общий делитель натуральных чисел а и b делится на любой общий делитель этих чисел.
Например, общими делителями чисел 12 и 8 являются 1, 2, 4. Число 4—наибольший общий делитель чисел 12 и 8. Видим, что он делится и на 1, и на 2.
Назовем некоторые свойства наименьшего общего кратного двух чисел, приняв их без доказательства.
1. Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и b всегда существует и является единственным.
2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т. е. если а > b, то К (а, b) ≥ а.
3. Любое общее кратное двух натуральных чисел а и b делится на наименьшее общее кратное этих чисел.
Например, общие кратные чисел 12 и 8 делятся на их наименьшее общее кратное 24: 4824, 7224 и т. д.
Взаимосвязь НОД и НОК чисел а и b
Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны. Мы знаем, что НОК(12, 8) = 24, а НОД(12, 8) = 4. Умножим наименьшее общее кратное чисел 12 и 8 на их наибольший общий делитель:
К(12, 8)D(12, 8) = 244 = 96.
Найдем теперь произведение данных чисел: 128 = 96.
Случайно ли совпадение рассматриваемых произведений?
Оказывается, для любых натуральных чисел а и b справедливо утверждение: произведение их наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя равно произведению чисел а и b, т. е. имеет место равенство
К(а, b) D(а, b) = а b.
Это равенство позволяет, зная наибольший общий делитель чисел а и b, находить их наименьшее общее кратное:
К(а, b) =
В частности, если числа а и b таковы, что их наибольший общий делитель равен 1, то наименьшее общее кратное таких чисел равно произведению аb.
Например, если а = 17, b = 5, то другого общего делителя, кроме 1, они не имеют, а значит, D(17, 5) = 1, тогда К(17, 5) = 175 = 85.
Признаки делимости на составные числа
Признаки делимости, доказанные ранее, позволяют устанавливать делимость чисел на 2, 3, 4, 5, 9 и 25. А как узнать, не производя деления, делится ли число на 6? на 12? на 30? Можно предположить, например, что число будет делиться на 6, если оно делится на 2 и на 3, но это предложение нуждается в доказательстве.
Признак делимости на 6. Для того чтобы число х делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.
Доказательство. Пусть число х делится на 6. Тогда из того, что х6 и 62, следует, что х2, а из того, что х6 и 63, следует, что х3. Мы показали, что для того, чтобы число делилось на 6, необходимо чтобы оно делилось на 2 и на 3.
Докажем достаточность этого условия. Так как х2 и х3, то х - общее кратное чисел 2 и 3. Но любое общее кратное чисел делится на их наименьшее общее кратное, значит хК(2, 3). Поскольку D(2, 3) = 1, то К(2, 3) = 6. Следовательно, х6.
Так же доказываются признаки делимости на 12, 15, 18. Список признаков делимости на составные числа можно продолжить. Их обобщением является следующая теорема:
Теорема. Для того чтобы натуральное число делилось на составное число п = bс, где числа b и с таковы, что D(b, с) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и на с.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству признака делимости на 6.
Заметим, что данную теорему можно применять многократно. Например:
Признак делимости на 60. Для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 15.
Но, в свою очередь, число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5. Поэтому признак делимости на 60 может быть сформулирован иначе:
Для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.
Задача. Установить, делятся ли числа 1 548 и 942 на 18.
Решение. Сформулируем сначала признак делимости на 18:
Для того чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9.
Почему выбраны числа 2 и 9? Во-первых, 2 9 = 18, а во-вторых, D(2, 9) = 1, т.е. числа 2 и 9 удовлетворяют теореме о делимости на составное число.
Представление 18 в виде произведения 3 6 не годится, потому что D(3, 6) = 3.
Пользуясь признаком делимости на 2 и на 9, устанавливаем, что 1 548 2 и 1548 9. Следовательно, 1 548 18.
Число 9422, но оно не делится на 9. Следовательно, число 942 на 18 не делится.
Алгоритмы нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
Нахождение наименьшего общего кратного нескольких чисел способом разложения на простые множители
Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел:
1. Представляем каждое данное число в каноническом виде;
2. Образуем произведение из всех простых множителей, находящихся в разложениях данных чисел, причем каждый берем с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;
3. Находим значение этого произведения — оно и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример1. Найдем наименьшее общее кратное данных чисел 60, 252 и 264.
1. Представим каждое число в каноническом виде:
60 = 2325 = 22 3 5, 252 = 22337 = 22 3 2 7, 264 = 222311 = 23 3 11.
30 126 132
10 63 66
5 21 33
1 7 11
1 1
2. Образуем произведение из всех простых множителей, находящихся в разложениях данных чисел, причем каждый из них возьмем с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел:
К(60, 252, 264) = 23 32 5 7 11 = 27 720.
3. Находим значение этого произведения - 27 720 - оно и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел способом разложения на простые множители
Чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел:
1. Представляем каждое данное число в каноническом виде;
2. Образуем произведение общих для всех данных чисел простых множителей, причем каждый из них возьмем с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;
3. Находим значение этого произведения — оно и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
Пример 2. Найдем наименьшее общий делитель данных чисел 60, 252, 264.
1. Представляем каждое данное число в каноническом виде:
60 = 22 3 5, 252 = 22 3 2 7, 264 = 23 3 11.
2. Образуем произведение общих для всех данных разложений простых множителей, причем каждый из них берем с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел:
D(60, 252, 264) = 223 = 12.
3. Находим значение этого произведения – 12 - оно и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
Пример 3. Найдем наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 48 и 245.
1. Представим каждое число в каноническом виде:
48 = 22223 = 24 3, 245 = 577 = 572.
24 49
12 7
6 1
3
1
Так как разложения данных чисел не содержат общих простых множителей, то
D(48, 245) = 1, а К(48, 245) = 48 245 = 10 760.
Теоремы, облегчающие вычисление НОД и НОК
Следующая теорема позволяет при отыскании НОД и НОК нескольких чисел производить это последовательно, заменяя некоторую пару чисел их НОД или НОК.
Теорема 1. НОД(а1, а2, а3, .... ап) = НОД(НОД(а1,п2), а3,..., ап) и
НОК(а1,а2,а3, .... ап) = НОК(НОК(а1,п2), а3,..., ап).
Доказательство. Оба соотношения доказываются одинаково. Докажем, например, первое. Если некоторая степень простого числа из канонических разложений чисел а1, а2, а3, .... ап является наименьшей из всех встречающихся степеней числа pi, то войдет в каноническое разложение НОД(а1, а2, а3, .... ап), независимо от того, в каком порядке мы сравнивали между собой различные степени простого числа pi. Более подробно: если входило в каноническое разложение а1 или а2, то войдет в каноническое разложение НОД(а1, а2) и поэтому войдет в каноническое разложение НОД(НОД (а1,п2), а3,..., ап). Если же канонические разложения чисел а1 и а2 содержат pi в большей степени, то входит в каноническое разложение некоторого аj при j > 2, т. е. опять войдет в каноническое разложение НОД(НОД (а1,п2), а3,..., ап). Так как простое число pi было взято произвольно, то канонические разложения. НОД(а1, а2, а3, .... ап) и НОД(НОД(а1,п2), а3,..., ап) совпадают, т. е. эти числа равны по основной теореме арифметики.
Теорема 2. Пусть т — некоторое натуральное число. Тогда
НОД(та1, та2,..., тап) = тНОД(а1, а2, а3, .... ап)
и
НОК(та1, та2,..., тап) = тНОК(а1, а2, а3, .... ап),
т. е. общий множитель можно выносить за знак НОД и за знак НОК.
Доказательство. Запишем канонические разложения чисел т = ,
НОД(а1, а2, а3, .... ап) = , НОК(а1, а2, а3, .... ап) = , где по, есть наименьшая, а —наибольшая среди степеней простого числа pi, встречающихся в канонических разложениях чисел а1, а2, а3, .... ап. Тогда будет наименьшая, a — наибольшая среди степеней простого числа pi в разложениях чисел ma1, ma2, ..., тап. Так как простое число рi было взято произвольно, то каноническое разложение тНОД(а1, а2, а3, .... ап) совпадает с разложением НОД(ma1,та2, ... , тап), т. е. эти числа равны. Аналогично тНОК(а1, а2, а3, .... ап) = НОК(ma1,та2, ... , тап).
Следствия.
Пусть т есть некоторый общий делитель чисел b1, b2, …, bn. Тогда
НОД=
и
НОК=
т. е. если данные числа разделить на т, то их НОД и НОК также разделятся на т.
Доказательство. Обе части равенства из теоремы 2 разделим на т, получим
НОД(а1, а2, а3, .... ап) = ;
НОК(а1, а2, а3, .... ап) = .
Положим теперь mai = bi и ai = и получим требуемое.
d = НОД(а1, а2, а3, .... ап) НОД.
Для доказательства этого равенства слева направо применяется следствие 1. Для доказательства справа налево — теорема 2.
Теоремы этого параграфа позволяют облегчить вычисление НОД и НОК с помощью алгоритма Евклида, к изложению которого мы переходим.
9.5.4 Алгоритм Евклида и его применение
Отыскание наибольшего общего делителя двух натуральных чисел по их каноническому разложению требует предварительного разложения этих чисел на простые множители. Это несложно сделать, если числа невелики, но для многозначных чисел найти их каноническое разложение трудно.
Существует способ, который позволяет с меньшими трудностями находить наибольший общий делитель данных чисел.
Но прежде рассмотрим важное свойство общих делителей двух чисел.
Теорема. Пусть a = bq + r, где a, b, q, r — целые неотрицательные числа. Тогда множество общих делителей чисел а и b и множество общих делителей чисел b и r совпадают. В частности, D(a, b) = D(b, r).
Доказательство. Пусть M ={dN (ad)(bd)}, т. е. М - множество общих делителей чисел а и b. Пусть также S = {dN (bd)(rd)}. Если пМ, то (a-q)n по свойству 1(9.1.3), т. е. rп. Так как bп и rп, то пS. Так как п—произвольный элемент множества М, то доказано, что MS. Пусть теперь kS, т. е. bk и rk. Тогда по свойству 1(9.1.3.) (bq + r)k, т. е. ak. Поэтому kМ, следовательно, SM.
Два встречных включения дают равенство множеств: M = S. Ясно, что наибольшее число в множестве M = S есть одновременно НОД (а, b) и НОД (b, r). Теорема доказана.
Доказанная теорема дает возможность при отыскании НОД какой-либо пары (а, b) заменить ее меньшей парой, для которой НОД находится проще.
Если к числам а и b применить теорему о делении с остатком и записать a=bq+ r, где 0 r < b, то отыскание НОД (а, b) сведется к отысканию НОД (b, r). Пару (b, r) удобнее рассматривать, чем (а, b), ибо r < b < a. Применив еще раз теорему о делении с остатком, получаем b = rt + s, где 0 s < r, т.е. НОД(а,b)=НОД(b,r)=НОД(r, s). Теперь в nape (r, s) уже оба числа меньше, чем в паре (а, b).
Рассмотрим пример. Требуется найти НОД (48, 45).
Применим теорему о делении с остатком: 48 = 451 + 3, затем еще раз: 45 = 315 + 0, т. е. НОД (48, 45) = НОД (45, 3) = НОД(3, 0) = 3. Такой процесс последовательного деления с остатком называется алгоритмом Евклида. Запишем подробно алгоритм Евклида для чисел а > b > 0.
а = bq1 + r1 где 0 r1 < b. Если r1 = 0, то НОД (a, b) = b и процесс прекращаем. Поэтому предполагаем, что r1 > 0, т. е. на r1 можно делить;
b = r1q2 + r2, где r2 r1, и пусть r2 > 0. Продолжая далее, получим: r1 = r2q3 + r3, где 0 < r3 < r2, и т. д.
rk-2 = rk-1qk + rk, где rk < rk-_1. Мы получили цепочку убывающих неотрицательных чисел: b > r1 > r2 > ... rk-2 > rk-1 > rk. Самая длинная такая цепочка может содержать b + 1 член, и тогда последним ее членом будет нуль. Например, 3>2>1>0. Пусть rk — последний не равный нулю член цепочки, т, е. rk+1 = 0. Тогда rk-1 = rk qk+1 + 0. Это последнее равенство в алгоритме Евклида.
Идя сверху вниз и применяя теорему о свойствах общих делителей двух чисел к каждому равенству в алгоритме Евклида, получаем цепочку равенств:
НОД (a, b) = НОД (b, r1) = НОД(r1, r2)=НОД (rk-1, rk )= НОД (rk, 0 ) = rk . Этим мы доказали теорему.
В общем виде алгоритм Евклида можно сформулировать так: Пусть а и b — натуральные числа и а > b. Если разделить с остатком число а на число b, затем разделить с остатком число b на полученный остаток, а затем разделить с остатком первый остаток на второй остаток и т. д., то последний, отличный от нуля остаток, есть наибольший общий делитель чисел а и b.
Этот способ нахождения наибольшего общего делителя основан на делении с остатком. Он впервые был описан древнегреческим математиком Евклидом (III в. до н. э.) и поэтому носит название алгоритма Евклида.
Пример 4. Найдем D(2585, 7975).
Мы имеем 7975 = 3 2585 + 220. Теперь 2585 разделим на 220, 2585 = 11220 + 165 далее разделим 220 на 165, 220 = 165 + 55 делим 165 на 55, 165 = 3 55 деление выполнено без остатка, значит, наименьший, отличный от нуля остаток равен 55, т.е. D(2585, 7975) = 55.
Применяя алгоритм Евклида к числам, удобнее всего вести запись в виде многократного деления углом. После каждого деления с остатком новое делимое будем записывать левее уже полученного остатка.
_7975│
3
_2585│
11
_220│
1
_ 165│
3
0
D(2585, 7975) = 55.
При вычислении НОД нескольких чисел алгоритм Евклида приходится применять несколько раз, используя теорему 1 (9.5.3). Вычислим, например, НОД(728, 455, 117).
728 455117 91
455 1 91 1
455 273 91 26
273 1 78 3
273182 26 13
182 1 26 2
182 91 0
182 2
0
Итак, НОД (728, 455, 117) = НОД (91, 117) = 13.
Для вычисления НОК двух чисел с помощью алгоритма Евклида обычно применяют равенство НОК (a, b) =.
Например, НОК (2585, 7975) = .
Ранее с помощью алгоритма Евклида мы вычислили НОД(2585, 7975) = 55, следовательно, НОК (2585, 7975) = = 374 825.
Как и в случае НОД, отыскание НОК нескольких чисел производится с помощью последовательных замен пар чисел на их НОК, т. е. с помощью теоремы 1 (9.5.5).
Вычислим, например, НОК (132, 143, 156, 289). Найдем с помощью алгоритма Евклида НОД (132, 143).
143 1321716 156
132 1 156 11
132 11156
11 12 156
22 0
22
0
НОД(132, 143) = 11.
Поэтому НОК (132, 143) = = 12143 = 1716.
Подставляем: НОК(132, 143, 156, 289) = НОК(1716, 156, 289). Опять применяем алгоритм Евклида к следующей паре чисел. Мы видим, что 1716156.
Поэтому НОК (1716, 156) = 1716.
Получаем: НОК(132, 143, 156, 289) = НОК(1716, 289).
Опять применяем алгоритм Евклида.
1716 289
1445 5
289 271
271
271 18
18 15
91
90
18 1
18 18
0
НОД(1716, 289) = 1, т. е. числа 1716 и 289 взаимно простые.
Найдем НОК(132, 143, 156, 289) = 1716 289 = 495 924.
Иногда применение формулы К(а, b) = и теоремы 2 (9.5.3) позволяет несколько сократить вычисления. Например, НОК (30, 40, 50) = 10НОК (3, 4, 5). Но 3, 4, 5 попарно взаимно просты, т. е. их НОК есть их произведение. Получаем: НОК(30, 40, 50) = 10345 = 600.
Как видно, алгоритм Евклида представляет собой общий метод, позволяющий в конечное число шагов определить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное любых двух или более натуральных чисел.
Вопросы для самоконтроля
Определите отношение делимости на множестве целых неотрицательных чисел и сформулируйте его свойства.
Сформулируйте теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.
Сформулируйте признаки делимости в позиционных системах счисления.
Определите понятия «простое число» и «составное число».
Определите понятия НОК и НОД.
Сформулируйте признаки делимости на составное число.
Сформулируйте основную теорему арифметики.
Обоснуйте алгоритмы нахождения НОК и НОД.
Лекция №13. Расширение понятия числа. Положительные рациональные числа
Расширение понятия числа
Положительные рациональные числа
Действия над рациональными числами
Упорядоченность множества положительных рациональных чисел
Расширение понятия числа
Из курса математики основной школы известно, что, кроме чисел натуральных и нуля, существуют другие числа: дробные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Взаимосвязь между различными множествами чисел можно представить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис.1).
-11430021526500Исходным множеством в процессе расширения понятия числа является множество N натуральных чисел. Возникнув в глубокой древности, понятие натурального числа на протяжении многих веков подвергалось расширению и обобщению. Потребность более точно измерять величины привела к понятию дробных положительных чисел. С практикой решения уравнений и теоретическими исследованиями связано возникновение понятия отрицательного числа. Нуль, который вначале обозначал отсутствие числа, после введения отрицательных чисел стал полноправным числом в множестве X целых чисел, а также в
Рис.1 множестве иррациональных чисел.
В V веке до н.э. в школе Пифагора было установлено, что положительных рациональных чисел недостаточно для точного измерения длин отрезков. Позднее в связи с решением этой проблемы появились числа иррациональные, а в XVI веке с введением десятичных дробей был сделан шаг к числам действительным. Строгое определение действительного числа, обоснование свойств множества действительных чисел были даны в XIX веке.
Понятие действительного числа не последнее в ряду чисел. Процесс расширения понятия числа можно продолжить, и он продолжается — этого требует развитие физики, математики и других наук (есть мнимые числа, комплексные).
Первое знакомство учащихся с дробными числами происходит в начальных классах, в 3 классе. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средних классах школы. В связи с этим учителю начальных классов должны знать определение дроби и рационального числа, правила выполнения действий над рациональными числами, законы этих действий, а также уметь видеть взаимосвязи множеств Q и R чисел с множеством натуральных чисел. Это важно для осуществления преемственности изучения математики в начальных и средних классах школы.
Положительные рациональные числа
Появление дробей связано с измерением величин. Выясним, как, например, могут появиться дроби при измерении длины отрезка.
Возьмем отрезок а. Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е (рис.2). При измерении оказалось, что длина отрезка а больше Зе, но меньше 4е. Поэтому длину отрезка нельзя выразить натуральным числом (при единице длины е). Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е, то длина отрезка а окажется равной 14е, т.е. отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. В такой ситуации длину отрезка записывают в виде е, а символ называют дробью. Определение дроби:
пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причем отрезок е является суммой п отрезков, равных е1. Если отрезок а состоит из т отрезков, равных е1 ,то его длина может быть представлена в виде е. Символ называют дробью, в нем т и п — натуральные числа. Читают этот символ «эм энных».

Рис.2
Если вернемся к рисунку 2, где выбранный отрезок е1 есть четвертая часть отрезка е, то увидим, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е, можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 28 таких долей и его длина будет равна е. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна е. Если продолжить этот процесс, то получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей ,,… Вообще, если длина отрезка а выражается дробью , то она может быть выражена любой дробью , где k — натуральное число.
Равные дроби. Признак равенства дробей
Определение равных дробей: Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями.
Если дроби и равны, то пишут =; Например, дроби =;
Признак равенства дробей: Для того чтобы дроби и были равны необходимо и достаточно, чтобы тq = пр.
1. Покажем, что если =, то тq = пр.
Т.к. = для любого натурального q, а = для пN, то из
равенства дробей == из которого следует равенство тq = пр.
2. Покажем, что если тq = пр, то =;
Если разделить обе части истинного равенства тq = пр на натуральное число пq, то получим = , но =, а =, следовательно =;
Пример1. Определим, равны ли дроби и . Для этого сравним произведения 1727 и 19 23; 1727 = 459, 19 23 = 437. Так как 459 ≠437, то ≠.
Основное свойство дроби
Из рассмотренных выше фактов вытекает основное свойство дроби:
если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.
Сокращение дробей — это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь.
В результате сокращения дроби, как правило получиться равная ей несократимая дробь.
Пример2. Сократим дробь . Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на их наибольший общий делитель Д (48, 80)= 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, получим =- несократимая.
Приведение дробей к общему знаменателю — это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел п и q, наименьшим общим знаменателем- их наименьшее общее кратное К(п,q).
Пример 3. Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби и.
Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3 5 35 = 57. Тогда
К (15, 35)=3 5 7= 105, поскольку 105=15 7 = 35 3, то
= =; ==;
Правильные и неправильные дроби
Различают правильные и неправильные дроби. Дробь — называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Пусть - неправильная дробь, тогда т≥ п, если т кратно п, то дробь — является записью натурального числа.
Например, дробь =5. Если число т не кратно п, то разделим т на п с остатком: m= nq+ r, r n. Подставим nq+ r вместо т в дробь и применим правило (1): ==+=q+, r n, то -правильная дробь.
Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби.
Пример 4. = =+=3+=3
Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо 3 + пишут 3 и называют такую запись смешанным числом.
Справедливо и обратное утверждение: всякое смешанное число можно записать в виде неправильной дроби.
ример 5. 3=3+=+ ==, т.е. 3==.
Понятие положительного рационального числа
Длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому равные дроби считают различными записями одного и того же числа, а само число называют положительным рациональным числом Q+.
Определение: положительное рациональное число — это множество равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому множеству, есть запись (представление) этого числа.
Например, множество { ,,,, ...} есть некоторое положительное рациональное число, а дроби ,, и т.д. различные записи этого числа. Увидев запись , должны говорить, что - это дробь или что имеем положительное рациональное число, записанное в виде дроби .
Среди всех записей некоторого положительного рационального числа выделяют несократимую дробь, т. е. дробь, в которой числитель и знаменатель таковы, что их наибольший общий делитель равен 1.
Пример 6, среди дробей , , ,..., определяющих рациональное число,
- несократимая дробь.
Вообще, для любого положительного рационального числа существует одна и только одна несократимая дробь, являющаяся записью этого числа.
Необходимость выразить длину отрезка единственным числом привела к появлению положительных рациональных чисел.
Рассмотрим теперь обратную задачу; покажем, что для любого положительного рационального числа, представленного дробью , существует отрезок, длина которого выражается этим числом, при выбранной единице длины.
Пример7. Построим отрезок, длина которого выражается числом ; Для этого: 1) выбираем единицу длины е;
2) делим отрезок е на 4 равные части;
3) откладываем на луче О х 13 отрезков, каждый из которых равен четвертой доле отрезка е.
В результате получаем отрезок ОА, длина которого выражается числом (рис.3).

рис.3
Множество положительных рациональных чисел обозначают Q+. Покажем, что все натуральные числа содержатся в этом множестве, т. е. что N Q+.
Пусть длина отрезка а при единице длины е выражается натуральным числом т, например, на рисунке 4 оно представлено числом 4.
Разобьем отрезок е на п равных частей. Тогда т п доля отрезка е будет укладываться в отрезке а тп раз, т. е. длина отрезка а
будет выражаться дробями вида (на нашем рисунке будет ).

Рис.4
Но множество этих дробей есть положительное рациональное число. Следовательно, длина отрезка а, с одной стороны, выражается натуральным числом т, а с другой — положительным рациональным числом ; но это одно и то же число, поэтому целесообразно, считать,
что дроби вида являются записями натурального числа т. Итак, любое натуральное число т можно представить в виде дроби , следовательно, N Q+.
Пример8.Представим натуральное число 7 в виде дробей:
,,,,…
325247015049500Итак, все натуральные числа содержатся в множестве положительных рациональных чисел (рис.5). Числа которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных чисел, называют дробными числами.
Рис.5
.13.3 .Действия над рациональными числами
Сложение и его свойства
Пусть отрезки а и в таковы, что с=а+в и при выбранной единице длины е а=е, в= е (рис.6). Тогда с= а+в= е+ е=6е1+7е1=13е1=е, т.е. длина отрезка с выражается числом , которое есть сумма чисел и.
Определение: Если положительные рациональные числа а и в представлены дробями и , то суммой чисел а и в называется число, представленное дробью : +=(1)

Рис.6
Определение: Если положительные рациональные числа а и в представлены дробями с разными знаменателями, то их приводят к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают по правилу (1). Например, +=+= =.
Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:
а+в = в+а для любых а, вQ+. ;
(а+в)+с= а+(в+с) для любых а, в, сQ+.
Доказательство: Пусть числа а и в представлены дробями с одинаковыми знаменателями: а=, в=, тогда по определению суммы имеем
а+в=+=, в числителе т, рN, для которых имеет место переместительный закон, т. е. =, тогда получим: =+ =в+а.
что и требовалось доказать, а+в= в+а.
Аналогично доказывается и сочетательный закон сложения.
Вычитание
Определение. Разностью положительных рациональных чисел а и в называется такое положительное рациональное число с, что а = в+с.
Пусть а =, в=, а-в = . Найдем х. По определению разности = += , т.о. т=р+х , но п,р,хN и запись означает х=т-р. Получим правило:
-= (2)
Умножение и его свойства
На рисунке 7 приведены отрезки а,е,е1, а=е, е= е1

Рис.7
Надо найти значение длины данного отрезка а при единице длины е1., так как 3а=11е, а 5е = 6е1., то умножив первое равенство на 5, а второе на 11, получим
5 3а = = 11 5е и 11 5е =611 е1., откуда 53а = 6 11 е1 или 15а=66 е1, это
Означает а= е1, т.е. длина отрезка выражается дробью = .
Определение. Если положительные рациональные числа представлены дробями и , то их произведение есть число, представленное дробью : =(3)
Умножение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному, сочетательному и распределительному относительно сложения законам.
Доказываются они аналогично тому, как были доказаны законы сложения.
Деление
Определение. Частным двух положительных рациональных чисел а и в называется такое число с, что а = вс.
Покажем, что число с= частное чисел а =, в =. По определению частного а = в с = =;
таким образом, частное двух положительных рациональных чисел находят по формуле = (4)
Знак черты в записи дроби рассматривают как знак действия деления.
.13. 4. Упорядоченность множества положительных рациональных чисел
Определение. Пусть а и в — положительные рациональные числа. Тогда а меньше в, если существует такое положительное рациональнее число с, что а + с = в. В этом же случае говорят, что в больше а (в > а).
Данное определение позволяет сформулировать необходимое и достаточное условия существования разности в множестве положительных рациональных чисел. Для того чтобы разность положительных рациональных чисел а и в существовала, необходимо и достаточно, чтобы в<а.
Доказательство этого условия аналогично доказательству теоремы о существовании разности в множестве натуральных чисел.
Из определения отношения «меньше» можно вывести практические приемы установления этого отношения.
1. Если а=, в=, то а<в тогда и только тогда, когда т< р.
Например, если а=, в=,то а<в, так как 3<9.
2.Если а=, в =, то а<в тогда и только тогда, когда тq < пр.
Например, если а =, в =, то в<а, поскольку 713 = 91;
811=88 и 713> 8 11.
Покажем, что отношение «меньше» транзитивно и антисимметрично, т. е. является отношением порядка на множестве положительных рациональных чисел, а само множество является упорядоченным множеством. Заметим, что отношение порядка в множестве положительных рациональных чисел обладает свойствами, которые отличают его от отношения порядка в множестве натуральных чисел. Как известно, в множестве N есть наименьшее число — единица и множество N дискретно — между натуральными числами нет других натуральных чисел.
В множестве положительных рациональных чисел:
1) нет наименьшего числа;
2)между любыми двумя различными положительными рациональными числами заключено бесконечно много чисел множества Q+.
Докажем, что в множестве Q+ нет наименьшего числа. Предположим, что число наименьшее в множестве Q+. Образуем число , но <
(тп< тп+ т), т.е. нашлось такое положительное рациональное число, которое меньше . Следовательно, наше предположение неверно, в множестве положительных рациональных чисел наименьшего числа нет.
Второе свойство проиллюстрируем на примере. Возьмем два рациональных числа и . Существует ли такое рациональное число, которое больше и меньше? Существует. Для этого достаточно найти среднее арифметическое данных чисел (+):2= ,таким образом, < < . Есть ли еще число, которое находилось бы между и ? Есть. Чтобы его найти, достаточно найти среднее арифметическое чисел и. (+):2= :2=, < < < . Описанный процесс можно продолжать: между любыми двумя различными числами из Q+ заключено бесконечно много чисел того же множества. Это свойство множества Q+называют свойством плотности.
Лекция №14.Десятичные дроби
Десятичная дробь и ее изображение
Действия над десятичными дробями
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Бесконечные десятичные периодические дроби
Преобразование десятичной периодической дроби в обыкновенную
.14.1.Десятичная дробь и ее изображение
Мы уже знаем, что появление дробей связано с переходом к новым единицам измерения, причем знаменатель дроби показывает, на сколько долей делится исходная единица измерения. В настоящее время почти во всех странах мира действует метрическая система единиц, в которой новые единицы получаются или уменьшением, или увеличением их в 10, 100,1000 и т.д. раз.
Например, 1км=1000м=1000000мм, 1т=1000кг=1000 000г и т.д.
Поэтому для практики важны дроби, знаменатели которых являются степенями числа 10,т.е. дроби вида , где т и п- натуральные числа.Такие дроби называют десятичными. Десятичную дробь изображают обычно без знаменателя. Для этого пишут числитель десятичной дроби и отделяют в нем запятой с правой стороны столько цифр, сколько нулей в знаменателе. При этом иногда приходится приписывать нули.
Пример1.=2,5; =0,13; =0,007.
Цифры дроби, стоящие справа от запятой, называют десятичными знаками. Десятичная дробь не изменяет своей величины от приписывания нулей справа или слева от нее. Десятичная дробь увеличивается в 10 раз от перенесения запятой вправо на один десятичный знак и, уменьшается в 10 раз от перенесения запятой влево на один десятичный знак.
С понятием десятичной дроби тесно связано понятие процента.
Определение. Процентом называют дробь . Ее обозначают 1%, а р% обозначает дробь ;
Проценты и промили (т.е. записи вида р%0=) были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли прирост капитала из расчета на 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (pro centum- на сто). В настоящее время понятие процента широко применяется в области экономики, при составлении отчетности и т.д.
.14.2 Действия над десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей
Для того, чтобы сложить две десятичные дроби, нужно:
1.Уравнять в этих дробях число десятичных знаков после запятой, приписывая справа, в случае необходимости, к одной из этих дробей несколько нулей;
2.Отбросить в получившихся дробях запятые и сложить полученные натуральные числа;
3.В сумме отделить запятой столько же знаков, сколько отделено в каждом из слагаемых.
Пример 1. 2,54+3,7126=2,5400+3,7126=6,2526.
Так же выводятся правила вычитания десятичных дробей.
Сравнение десятичных дробей
Чтобы сравнить десятичные дроби, надо:
Уравнять в них число десятичных знаков после запятой;
Отбросить запятые и сравнить получившиеся натуральные числа.
Пример 2. 4,62517>4,623, т.к. 4,623=4,62300, а 4,62517>4,62300.
Произведение десятичных дробей
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, нужно:
1. Отбросить в записи этих дробей запятые;
2. Найти произведение полученных натуральных чисел;
3.В произведении отделить запятой столько последних цифр, сколько их отделено в первом и втором множителях вместе.
Пример 3. а) 2,25· 1,12=2,5200=2,52;
в)1,35· 0,03=0,0405.
Деление десятичной дроби на целое число
Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, сперва делим целую часть делимого на это число. Получим целую часть частного (она может равняться нулю). Затем, не обращая внимания на запятую, присоединяем к остатку первую цифру дробной части делимого и полученное число делим на делитель. Найдем число десятых долей частного. К новому остатку присоединяем следующую цифру дробной части делимого, а если ее нет, то приписываем справа нуль. Разделив это число на делитель, найдем число сотых долей частного. Продолжая этот процесс, придем к точному частному или к приближенному с точностью до 0,1, до 0,01 и т. д. Последнее получится тогда, когда процесс деления длится долго или может длиться неограниченно и мы его прерываем на некотором месте.
Пример 4: а) _2,25│ в)_ 11,3│
0,45 3,76…
_25 _23

0 _20

2
Число 3,76 есть приближенное частное, с точностью до 0,01 с недостатком.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, отбрасываем в делителе запятую, а в делимом переносим ее вправо на столько десятичных знаков, сколько их было в дробной части делителя, после чего производим деление дроби на целое число. Если в дробной части делимого знаков меньше, чем, в дробной части делителя, то приписываем к делимому с правой стороны нули.
Пример5.72,9:0,09=810.
.14.3 Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Возьмем дробь и выполним следующие преобразования:
==4· 10+ 3++
сумма 4· 10+ 3- запись целого числа 43, а сумма +- есть запись дробной части числа . Эту дробную часть принято записывать без знаменателя, отделяя от целой части числа запятой: =43,62.
Возникает вопрос любую ли дробь вида ( п, тN ) можно записать в виде десятичной дроби? Возьмем дроби и .==0,32. Но для нельзя найти равную ей дробь со знаменателем, представляющим степень 10. Почему? На этот вопрос ответит следующая теорема (ее мы примем без доказательства):
Для того чтобы несократимая дробь — была равна десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 или 5.
Так, дробь , 80=24 ·5 можно записать в виде десятичной дроби: == =0,2375
=— нельзя записать в виде десятичной дроби, в разложении ее знаменателя есть число 3: 15=3··5.
.14. 4 Бесконечные десятичные периодические дроби
Возьмем дробь , так как знаменатель равен 7, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной. При этом имеется в виду конечная десятичная дробь. Значит, процесс деления числа 6 на 7 должен быть бесконечным. Кроме того, = 0,857142857142857142… группа цифр повторяется. Такая последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая период в своей записи, называется периодической. Период принято записывать один раз в круглых скобках:
=0,(857142).
Различают чисто периодические дроби - в них период начинается сразу после запятой, и смешанно периодические дроби - в них между запятой и периодом, есть другие десятичные знаки.
Например: а) 3,(12)- чисто периодическая дробь,
б)2,3 (5)- смешанно периодическая дробь.
Но всегда ли, в случае, когда знаменатель несократимой дроби, имеет в своем разложении простой множитель отличный от 2 и 5, дробь представляется бесконечной десятичной дробью? Ответ на этот вопрос дает следующая
теорема: Если дробь несократима и в разложении знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, то дробь представляется бесконечной десятичной периодической дробью.
Доказательство. Так как в разложении знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, то процесс деления т на п бесконечен. Кроме того, при делении т на п получаются остатки, меньшие п, т. е. числа 1,2, ... , п-1, поскольку множество различных остатков конечно, то, начиная с некоторого шага, какой-то остаток повторится, т.е.появится бесконечная десятичная дробь. Отсюда следует, что любое положительное рациональное число представимо либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной десятичной периодической дробью.
Этот вывод может быть более коротким, если условиться считать конечную десятичную дробь бесконечной с периодом, равным 0.
Например,7,82=7,82(0).
14.6. Преобразование десятичной периодической дроби в обыкновенную
Любая положительная бесконечная десятичная периодическая дробь выражает некоторое положительное рациональное число.
Пусть дана дробь 0,(28), т.е. 0,282828…. Обозначим соответсвующее ей рациональное число через а =0,2828….
Умножим обе части этого равенства на 100 и получим:
100а=28,2828… или
100а=28+0,2828…=28+а.
Решив, уравнение 100а = 28 + а, получаем, а=.
Эта дробь несократима.
Вообще: чисто периодическая бесконечная десятичная дробь равна такой обыкновенной дроби, числитель которой равен периоду, а знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде дроби.
Преобразование смешанной периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть дана смешанно периодическая дробь 0,8(61), т.е. 0,86161... . Обозначим соответствующее ей рациональное число через а=0,86161... Умножив обе части этого равенства на 10, получим 10а = 8,6161...— чисто периодическую дробь. Дальнейшие преобразования проводятся аналогично первому.
Положим х=8,6161…. Умножим обе части этого равенства на 100: 100х = 861,6161..., или 100х = 861+0,6161... .
Прибавим к обеим частям по 8: 100х + 8 = 861+8,6161..., получим, уравнение 100х + 8 = 861 +х, откуда
х = , подставим 10а = , а =.
Вообще, смешанно периодическая дробь с нулем в целой части равна такой обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами, стоящими до начала второго периода, и числом, записанным цифрами, стоящими до начала первого периода, а знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде, и такого числи нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода.
Лекция №15. Действительные числа
Понятие положительного иррационального числа
Положительные действительные числа
Приближенные значения действительного числа
Действия над положительными действительными числами
Отрицательные числа
Действия над действительными числами
.15.1 Понятие положительного иррационального числа
Действия над положительными рациональными числами удобно производить, если они представлены десятичными дробями. Поэтому целесообразно и результаты измерения величин, в частности длин отрезков, представлять в виде десятичной дроби. Как это можно сделать?
Пусть а — отрезок, длину которого надо измерить, отрезок е – единица длины. И пусть отрезок а состоит из п отрезков, равных е, и отрезка а1, который короче отрезка е (рис.1) , т.е. пе< а< (п+1) е. Числа n и n +1 есть приближенные значения длины отрезка а при единице длины е с недостатком и с избытком с точностью до единицы

Рис.1
Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е1-десятичную часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке а1. При этом возможны два случая:
1) Отрезок е1 уложился в отрезке а1 точно п1 раз. Тогда длина отрезка а выражается конечной десятичной дробь: а = (п +) е = п, п1 е1.
Например, а = 3,4 е.
2) Отрезок а1 оказывается состоящим из п1 отрезков, равных е1, и отрезка а2, который короче е1, тогда п,п1е<а<п,п1'е,где п,п1 и п,п1'—приближенные значения длины отрезка а с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.
Но это не дает ответа на вопрос: чему в точности равна длина этого отрезка? Дело в том, что не всегда возможно ответить на вопрос, ограничиваясь лишь рациональными числами. Существуют отрезки, несоизмеримые с единичным отрезком, т.е. отрезки, длину которых нельзя выразить, пользуясь лишь рациональными числами. Следовательно, существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной десятичной периодической дробью (т. е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Покажем, что если за единицу длины взять сторону квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена рациональным числом.
Предположим противное, т. е. что длина диагонали а квадрата со стороной е (рис.2) выражается несократимой дробью ;

Рис.2
По теореме Пифагора 12+12=, из него следует, что р2= 2q2, значит р2 — четное число, а тогда и число р- четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, р=2р1. Заменив в равенстве р2 = 2q2 число р = 2 р1, получаем 4=2q2, т.е. 2 = q2, отсюда следует, что q2- четно, а, следовательно, q- четное число. Получили, что числа р и q четны, а потому дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению об ее несократимости. Значит, если за единицу длины выбрать сторону квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить положительным рациональным числом, т.е. выразить его в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Итак, при десятичном измерении длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные непериодические дроби, они являются записью новых чисел — положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные десятичные непериодические дроби — это и есть иррациональные числа.
Мы пришли к понятию иррационального числа через процесс десятичного измерения длин отрезков. Но их можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел.
Так, ,- это иррациональные числа. Иррациональными являются также lq5, sin31°, числа π = 3,14... и е = 2,7828... .
Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом I+.
15.2 Положительные действительные числа
Понятие положительного действительного числа
Объединение множества положительных рациональных чисел Q+ и множества положительных иррациональных чисел I+ называют - множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R + .
45339083502500Таким образом, Q+ I+= R+ . При помощи кругов Эйлера данные множества изображены на рисунке 3.
Рис. 3
Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью — периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).
Приближенные значения действительного числа
Как известно, действия над положительными рациональными числами сводятся, по существу, к действиям над натуральными числами. А как выполнять действия над действительными числами, представленными бесконечными десятичными дробями? Нельзя ли действия над ними свести к действиям над рациональными числами? Можно, но для этого надо ввести понятие приближенного значения действительного числа по недостатку и по избытку.
Приближенное значение числа х по недостатку с точностью до получится, если оставить целую часть числа и первые k цифр после запятой, а все остальные цифры отбросить.
Его обозначают хk, т.е. если х =п,п1…пk…, то хk,= п,п1…пk .
Приближенное значение числа х по избытку с точностью до получится, если в записи п,п1…пk последнюю цифру увеличить на 1.
Его обозначают хkI = п,п1…пk + .
Для любого действительного числа х справедливо неравенство хk≤ х< хkI.
Пример 1, десятичным приближением числа = 1,73205…по недостатку с точностью до 0,001 является число 1,732, а по избытку — число 1,733.
Видим, что десятичные приближения действительного числа являются конечными десятичными дробями. На этом и основываются, определяя действия над положительными действительными числами.
.15.3 Действие над положительными действительными числами
Сложение и вычитание положительных действительных чисел
Пусть даны действительные числа а и в, аk и вk — их приближенные значения по недостатку, аk' и в'k — приближенные значения по избытку.
Определение. Суммой положительных действительных чисел а и в называется такое число а+в, которое удовлетворяет следующему неравенству:
аk +вk ≤ а +в < аk'+ в'k .
Пример 2, найдем сумму и с точностью до 0,001. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,0001:
1,4142<< 1,4143, 1,7320 << 1,7321,
тогда 3,1462 ≤ + < 3,1464,
а тогда + = 3,146... , с точностью до 0,001.
Вычитание положительных действительных чисел определяются как действия, обратные сложению. Чтобы найти разность чисел а и в представим разность а – в в виде суммы а + (-в). Сначала найдем выражение -в. Затем применим правило сложения положительных действительных чисел.
Пример 3, найдем разность и с точностью до 0,001, для этого представим разность - в виде суммы + (-). Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,0001:
1,7320 << 1,7321 и найдем -.
Так как 1,4142<< 1,4143, то -1,4143 < -< -1,4142,
тогда 0,3177 ≤ -< 0,3179,
а значит, -= 0,317 с точностью до 0,001.
Умножение и деление положительных действительных чисел
Определение. Произведением положительных действительных чисел а и в называется число ав, которое удовлетворяет следующим условиям:
аk вk ≤ а в < аk' в'k .
Пример 4, найдем произведение и с точностью до 0,1. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,01:
1,41<< 1,42; 1,73 << 1,74,
тогда 2,4393 ≤·< 2,4708,
а значит, ·= 2,4... , с точностью до 0,1.
Деление положительных действительных чисел определяются как действия, обратные умножению. Чтобы найти частное чисел а и в представим частное в виде произведения а·. Сначала найдем выражение . Затем применим правило умножения положительных действительных чисел.
Пример 5, найдем частное и с точностью до 0,1, для этого представим частное в виде произведения ·.Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,01:
1,73 << 1,74 и найдем .
Так как 1,41<< 1,42, то <<
тогда 1,21…≤<1,23…,
а значит, =1,2 с точностью до 0,1.
Для любых положительных действительных чисел выполняются следующие равенства:
1) а + в = в+а
2) (а + в)+ с= а+(в+с)
3) ав = ва
4) (ав)с = а(вс)
5) (а+в)с = ас+вс.
.15.4.Отрицательные числа
С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, объема, массы и т.д. Но на практике бывает нужно выразить числом изменение величины, т.е. показать, на сколько изменилась величина. Изменение может идти в двух направлениях - она может как увеличиваться, так и уменьшаться, а может и остаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел, нужны иные числа, нужно расширить множество R+. Мы расширим его, присоединив к нему число 0 и отрицательные числа. Возьмем множество R+ положительных действительных чисел и поставим в соответствие каждому числу хR+ новое число, которое будем обозначать –х. Например, числу 4 ставится в соответствие число -4, числу 8,14- число -8,14 и т.д.
Числа вида –х, где хR+ назовем отрицательными числами, а множество обозначим R-. Кроме того, возьмем число 0.
Объединение множеств R+,R- и {0} называется множеством действительных чисел. Его обозначают буквой R.
Таким образом, R= R+ R-{0}, причем множества множеств R+,R- и {0 } попарно не пересекаются (ни одно число не может быть сразу и положительным, и отрицательным или и положительным и нулем). Так же как и положительные действительные числа, произвольные действительные числа изображаются точками координатной прямой. Причем положительные и отрицательные числа изображаются точками двух противоположных лучей, а число 0 - общим началом этих лучей. Числа х и - х, где хR+ , изображаются на координатной прямой, симметрично расположенными относительно начала отсчета О. Эти числа называются противоположными друг другу, причем считают, что –(-х) = х.
Например, -(-6)=6.Число 0 считают противоположным самому себе -0=0.
Расстояние от начала отсчета до точки, координатной прямой, изображающей число х, называют модулем числа и обозначается |х|.
Таким образом, |х|=
.15.5 Действия над действительными числами
Сравнение действительных чисел
Определение. Число а меньше числа в (а<в), если оно расположено левее на координатной прямой; число а больше числа в (а>в), если оно расположено правее на координатной прямой.
Из этого определения вытекает, что любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля. Кроме того, исходя из определений «меньше» и «больше» можно получить:
а<в тогда и только тогда, когда разность а - в есть отрицательное число;
а>в тогда и только тогда, когда разность а - в есть положительное число.
Для действительных чисел а и в истинно одно и только одно из положений:
а < в, а > в, а = в.
Сложение действительных чисел
Определение. Суммой двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:
1) Сумма двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел;
2) Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное; чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых;
3) Сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший.
Умножение действительных чисел
Определение. Произведением двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:
1) произведение двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел;
2) произведение двух отрицательных чисел есть число положительное;
3) произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел.
Вычитание и деление действительных чисел определяются как действия, обратные сложению и умножению.
Практические занятия
Практическое занятие №1 Решение задач, связанных с операциями над конечными множествами (2 часа).
цель: сформировать знания, умения и навыки решать задачи, связанные с операциями над конечными множествами
Приемы решения задач, связанных с операциями над конечными множествами
Решение задач
Методические указания к практическому занятию №1
Приемы решения задач, связанных с операциями над конечными множествами
На уроках математики, в том числе и в начальной школе, часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов либо в множестве, либо в объединении множеств, либо в дополнении подмножеств.
Рассмотрим приемы решения таких задач.
Для начала условимся обозначать число элементов конечного множества А символом п (А).
Например, если А = {т, р, r, s, t}, то можно записать п (А) = 5, и сказать, что в множестве А содержится 5 элементов.
Пример 1.
Пусть заданы два множества: A = {k, l, т} и В = {р, t, m, r}. Найдите число элементов в их объединении.
Решение: Видим, что п (А) = 3, п (В) = 4 и АВ , так как множества имеют общий элемент т. В объединение данных множеств войдут все элементы множества А и элементы р, t, r из множества В. Значит, n(AB) = 6.
Правило 1.1. Если заданы конечные множества А и В, такие, что АВ , то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле
n (AB) = п (А) + п (В) – п (АВ)
Правило 1.2. Если же множества А и В не имеют общих элементов, т.е. АВ = , то число элементов в их объединении определяют так:
n (AB) = п (А) + п (В)
Правило 1.3. Если В А и известно число элементов в множествах А и В, то число элементов в дополнении подмножества В до множества А подсчитывают по формуле
п (А\В) = п (А) - п (В)
Задача №1
Из 40 учащихся класса 34 выписывают газету «Пионерская правда», 23 — журнал «Пионер», 17 учащихся — и газету, и журнал. Есть ли в классе учащиеся, которые не выписывают ни журнала, ни газеты?
Решение:
В задаче речь идет о множестве А учащихся класса, п(А)=40, о множестве В учащихся, которые выписывают газету «Пионерская правда» п(В)=34, и о множестве С учащихся, которые выписывают журнал «Пионер» п(С)=23. Из условия следует также, что В и С — подмножества множества А, они пересекаются, п(ВС)=17. Изобразим описанную ситуацию при помощи кругов Эйлера (рис. 1.1).
11430012446000Видим, что выделение двух подмножеств В и С привело к разбиению множества А на 4 класса:
1 класс - учащихся, которые выписывают и газету и журнал, их 17;
2 класс - учащихся, которые выписывают газету и не выписывают журнал, их 17, так как 34 – 17 = 17 (чел.);
3 класс - учащихся, которые выписывают журнал и не
выписывают газету, их 6, так как 23 – 17 = 6 (чел.);
рис.1.14 класс - учащихся, которые не выписывают ни газету, ни журнал.
Чтобы найти число учащихся в последнем, четвертом классе, необходимо из числа всех учащихся класса вычесть число учащихся, выписывающих газету или журнал, т.е. число элементов объединения множеств В и С.
Найти число элементов в объединении множеств В и С можно различными способами.
Во-первых, просуммировать число учащихся, оказавшихся в первых трех классах: 17+17 + 6 = 40 (учащихся);
Во-вторых, воспользоваться формулой подсчета числа элементов объединения двух пересекающихся множеств (правило 1.1):
n (ВС) = п (В) + п (С) – п (ВС)= 34 + 23 - 17 = 40 (учащихся).
Так как в классе всего 40 человек, то число учащихся, не выписывающих ни газеты, ни журнала, равно 40 - 40 = 0, т.е.
в классе нет учащихся, которые бы не выписывали ни журнала, ни газеты.
Задача №2
Из 40 учащихся класса 23 занимается в математическом кружке, а 27— в литературном. Каким может быть число учащихся:
а) занимающихся и в математическом, и в литературном кружке;
б) занимающихся хотя бы в одном из этих кружков?
Решение:
В задаче рассматриваются множества:
А — учащихся класса, В — учащихся, занимающихся в математическом кружке, С — учащихся, занимающихся в литературном кружке, и известно, что п(А)=40, п(В)=23, п(С)= 27. Число учащихся, занимающихся одновременно в двух кружках,— это число элементов пересечения множеств В и С. Обозначим его через х. Число учащихся, занимающихся хотя бы в одном из этих кружков,— это число элементов в объединении множеств В и С. Обозначим его через у. Числа х и у принимают различные натуральные значения в зависимости от того, какие отношения существуют между множествами В и С.
В данной задаче множества В и С таковы, что их пересечение всегда не пусто. Действительно, если допустить, что ВС= , тогда п(ВС)= 23 + 27=5O, что невозможно, поскольку в классе всего 40 учащихся. Значит, для множеств В и С в данной задаче возможны случаи, представленные на рисунке 1.2.

рис.1.2
Очевидно, число х элементов в пересечении множеств В и С будет минимальным тогда, когда их объединение совпадает с множеством А, т.е. когда п(ВС)=п(В)+п(С)–п(ВС)=23+27-40=10. Это число может увеличиваться до тех пор, пока множество В не станет подмножеством множества С, и тогда n(ВС) = 23. При этом число учащихся, занимающихся хотя бы в одном из кружков, уменьшится от 40 до 27 (27— это число элементов в объединении множеств В и С при условии, что В С.
Таким образом, число учащихся, которые занимаются и в математическом, и в литературном кружке, может изменяться от 10 до 23 включительно, т.е. 10 х 23, xN, а число учащихся, которые занимаются хотя бы в одном кружке, при этом изменяется от 40 до, 27 включительно, т.е. 27 у 40, уN.
Задания к занятию №1 Решение задач
1.2.1. Можно ли узнать, сколько человек в классе, если в нем:
а) 17 мальчиков и 15 девочек;
б) 17 мальчиков и 23 пионера?
1.2.2. Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17 - немецкий. Сколько человек изучают оба языка?
1.2.3. В классе несколько мальчиков собирали марки. 15 человек собирали марки СССР, 11 человек собирали иностранные марки, из них 6 человек собирали и марки СССР, и иностранные марки. Сколько мальчиков в классе, собирали марки?
Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 - в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимается ни в волейбольной, ни в баскетбольной секциях?
1.2.5. Из 100 студентов английский язык изучают 44 человека: немецкий - 50 человек, французский - 49, английский и немецкий - 13, английский и французский - 14, немецкий и французский - 12. Все три языка изучают 5 учащихся. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?
1.2.6. В группе 30 учащихся, из них 18 увлекаются математикой, а 17 - русский языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся обоими предметами? увлекающихся хотя бы одним предметом?
Практическое занятие №3 Решение задач по теме «Соответствия»
Решение задач
Задания к занятию [4],[5] с.100
Практическое занятие №4 Решение задач по теме «Отношения»
Решение задач
Задания к занятию [4], [5] с.98-111
Практическое занятие №5 Решение задач по теме «Высказывания и операции над ними»
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция высказываний, отрицание высказывания, их свойства. Таблицы истинности составных высказываний
Задания к занятию[4],[3], [5] с.15-18
Практическое занятие №6 Решение задач по теме «Предикаты и операции над ними»
Конъюнкция, дизъюнкция, импликация предикатов. Множество истинности предиката
Задания: [5], с.16 №1-4, с.19 № 1-7 (нечетные номера).
Практическое занятие №7 Элементы комбинаторики
решение комбинаторных задач.
Задания к занятию[9] с.201-244
Задания: [9], с. 240 №1 –6, упр. с.241-244 (нечетные номера).
Практическое занятие №8 Арифметические операции в различных позиционных системах счисления
выполнение упражнений
Задания к занятию №8[1],[4], [5]с.192-193
Задания: [5], с. 195 №1 –10 (нечетные номера).
Практическое занятие №9 Нахождение НОД и НОК. Алгоритм Евклида
Выполнение упражнений
Задания к занятию №9 Выполнение упражнений по карточкам № 5
Практическое занятие №10 Действия над рациональными числами
Выполнение упражнений
Задания к занятию №10 Выполнение упражнений по карточкам №6
Практическое занятие №11 Математические понятия»
цель: уметь определять математические понятия; выделять в определениях математических понятий определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие; уметь определять идеальную математическую модель реальных предметов и зависимостей рассматриваемых в задачах.
Задания к занятию Выполните упражнения:
1.Решите следующие задачи и объясните, какие геометрические фигуры выступают в них в качестве идеальных моделей реальных предметов:
1.1. Прямоугольный участок земли размером 130 60 м окопали рвом шириной 1 м, причем ров выкопали на участке. Какова новая площадь участка?
1.2. Плавательный бассейн прямоугольной формы имеет длину 50 м, ширину 24 м и глубину 3 м. Сколько кубических метров воды вмещает бассейн, если уровень воды в бассейне на 50 см ниже его борта?
2.Какая функция является моделью зависимостей, рассматриваемых в задачах:
2.1. Путь от А до В турист прошел за 3 ч. За сколько времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 1,5 раза быстрее?
2.2. Совхозное поле три трактора могут вспахать за 60 часов. За какое время вспашут это поле 9 таких тракторов?
3. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата, и выясните, какое утверждение верное:
3.1. Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату;
3.2. Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику.
4. Среди следующих свойств выделите те, которыми обладает квадрат:
4.1. Диагонали делят друг друга в точке пересечения пополам;
4.2. Диагонали делят углы пополам.
4.3. Какими из названных свойств обладает:
а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб?
5. В нижеприведенных определениях выделите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие:
5.1. Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
5.2. Треугольник называется равнобедренным, если хотя бы две его стороны равны.
5.3. Значение переменной, которое обращает уравнение в истинное равенство, называется корнем уравнения.
5.4. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
6. В каких из приведенных ниже определений математических понятий имеются ошибки? Исправьте их, если это возможно.
6.1. Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам.
6.2. Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга.
6.3.Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности.
6.4. Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны.
6.5. Сложением называется действие, при котором числа складываются.
6.6. Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все его стороны и все его углы.
6.7.Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
7. Достаточно ли нижеприведенное условие для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником:
7.1. Он имеет две пары параллельных сторон;
7.2. Три его угла являются прямыми;
7.3. Его диагонали конгруэнтны;
7.4. Две его стороны параллельны?
8. Один учащийся определил понятие прямоугольника так:
«Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и стороны попарно равны».
Второй учащийся сказал:
«Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».
И наконец, третий дал такое определение:
«Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны».
Какой из учащихся дал правильное определение понятия прямоугольника?
Можно ли определить это понятие еще каким-либо образом?
Задания к занятию №11 Задания: [5], с. 240 №1 –6 (нечетные номера), с.242 №1-5(нечетные номера)
Практическое занятие №12 Уравнения с одной переменной.
Решение задач алгебраическим способом
решение уравнений и задач с помощью уравнений
Задания к занятию №12 Задания: [5], с. 253-254 № 1 –5,с.258-259 №1-7 (нечетн. номера)
Практическое занятие №13 Решение задач на геометрические преобразования
Практическое занятие №14 Решение задач арифметическим способом
Практическое занятие №15 Нестандартные и занимательные упражнения
Решение логических задач и творческих заданий
Тесты для 1 рубежного контроля
1. А = (-5;9], В = [7; 12), А В =?
А) (-5; 12); В) [-5; 12); С) [-5;7]; D) [7;9]; Е) (7; 9)
2. Запишите в десятичной системе счисления число 4 2135.
А) 558; В) 358; С) 368; D)550; Е) 528.
3. На множестве М={1, 2, 3,…, 15}заданы предикаты А(х): «Число х составное» и В(х): «Число х -нечетное». Определите множество истинности предиката А(х)В(х).
А) {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; В) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15};
С) {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,15}; D) {9, 15}; Е) = .
4. Запишите в троичной системе счисления число 1 109.
А) 1 112 002; В) 2 002 111; С) 200 211; D)112 002; Е) 111 202.
5. Выполните действие: 248 ∙ 478.
А) 1 5188; В) 1 4148; С) 1038; D) 738; Е) 1 4108
6. Найдите значение р: 102р + 212р = 3410.
А) 2; В) 9; С) 3; D) 6; Е) 4
7. А = [-7;16] , В = (-2; 16], А \ В =?
А) [-7;2]; В) [-7;16]; С) [-7;2); D) (-2; 16); Е) (-2; 16]
8. Запишите в десятичной системе счисления число 52478 .
А) 20 160; В) 2 727; С) 2 728; D)20 159; Е) 2855.
9. Запишите в двоичной системе счисления число 734.
А) 111 101 101; В) 11 011 110; С)101 101 110; D) 1 011 011 110; Е)101 101 111
10. Предикаты А(х): «число х кратно 3» и В(х): «число х нечетно» заданы на множестве Х={1, 2, 3,…, 10}. Определите множество истинности предиката А(х)В(х).
А) {3, 9}; В) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}; С) {2, 4, 6, 8, 10}; D) {1, 5, 7}; Е) ={6}.
11. Какая сумма является десятичной записью числа 20 308?
А) 2 ∙103+3∙102+8; В) 2 ∙105+3∙103+8; С) 2 ∙104+3∙102+8; D) 2∙104+3∙103+8; Е) 2∙105+3∙102+8.
12. Известно, что х >у - истинное неравенство. Укажите, какое из следующих неравенств ложно:
А) 2х >2у; В) - 2х-7<-2у-7; С) 2х-7< 2у-7; D) Е).
13. Какое из данных отношений является отношением порядка на множестве отрезков?
А) « х равно у»; В) « х длиннее у»; С) « х короче у на 2 см»; D) «х длиннее у в 3 раза»; Е) « х параллельно у».
14. Какое из данных множеств можно назвать отрезком натурального ряда?
А) {0,1;2}; В) {3;4;5}; С) {1;2;3;4}; D) {1;2;3;4;7}; Е){4;5; 6}
15. А = [-4;12], В = (-6; 7], А ∩ В = ?
А) (-6;12]; В) [-4;7]; С) [-6;7]; D) [-4;7); Е) [7;12].
16. Какое число представлено суммой 7∙103 + 2∙10?
А) 7 002; В) 7 020; С) 70 020; D) 7 200; Е) 700 020.
17. На множестве Х={1, 2, 3,…, 10, 11, 12} заданы предикаты А(х): «число х кратно 6» и В(х):«число х четно». Определите множество истинности предиката А(х)В(х).
А) {6, 12}; В) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; С) {2, 4, 6, 8, 10, 12}; D) {2, 4, 8, 10}; Е) .
18. Какое из данных отношений является отношением эквивалентности на множестве прямых плоскости?
А) « х перпендикулярна у»; В) « х пересекает у»; С) « х параллельна у»; D) « х длинее у»; Е) « х короче у».
19. На множестве Х= {1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «х кратно у». Сформулируйте свойства данного отношения.
А) рефлексивно, симметрично, транзитивно; В) рефлексивно, транзитивно; С) рефлексивно, антисимметрично, транзитивно; D) антисимметрично, транзитивно; Е) рефлексивно, антисимметрично.
20. Какое число представлено суммой 104+102?
А) 1010; В) 10 100; С) 10010; D)1000; Е)100100.
21. На множестве Х= {2,3,4,5,6} задано отношение «х больше или равно у». Сформулируйте свойства данного отношения.
А) рефлексивно, симметрично, транзитивно; В) рефлексивно, транзитивно; С) рефлексивно, антисимметрично, транзитивно; D) антисимметрично, транзитивно; Е) симметрично, антитранзитивно
22. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число 700 805.
А) 700+80+5; В) 7 008+5; С) 7 000+80+5; D) 70 000+800+5; Е) 700 000+800+5
23. На множестве М={1, 2, 3,…, 15}заданы предикаты А(х): «Число х составное» и В(х): «Число х -нечетное». Определите множество истинности предиката А(х)В(х).
А) {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; В) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}; С) {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,15}; D) {9, 15}; Е) = .
24. Известно, что а < в - истинное неравенство. Укажите, какое из следующих неравенств истинно:
А) В) -3,7а < -3,7в; С) D)-2(а+5) <-2(в+5); Е) -3а < -3в
25. Выполните действие: 42035 ∙345
А) 214 0125; В) 315 0125; С) 314 0125; D) 313 4125; Е) 313 0125 .
26. Найдите значение р в уравнений 752р - 647р = 6710.
А) 8;В) 9; С) 6; D)7; Е) 4.
27. А = (-3;17], В = (0; 7), А \ В = ?
А) (-3;0); В) [7;17]; С) (-3; 0)(7;17]; D) (-3; 0)[7;17]; Е) (-3;17).
28. Граф уникурсален, если
А) в каждой его вершине, кроме, может быть двух, сходится четное число ребер;
В) в каждой его вершине сходится нечетное число ребер;
С) в каждой его вершине, кроме, может быть одной сходится четное число ребер;
D) в каждой его вершине, кроме, может быть двух, сходится нечетное число ребер;
Е) в каждой его вершине, кроме, может быть трех, сходится четное число ребер.
29. Графом в математике называется
А) конечная совокупность точек, каждая из которых соединена с другой линиями; В) рисунок, состоящий из множества точек и направленных линий; С) конечная совокупность точек и направленных линий, соединяющих некоторые из этих точек; D) конечная совокупность точек, каждая из которых соединена с другой более чем одним ребром; Е) рисунок, состоящий из множества точек и направленных линий, соединяющих каждую вершину саму с собой.
30. Если отношение R во множестве X обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то его называют отношением
А) частичного порядка; В) нестрогого порядка; С) строгого порядка; D) эквивалентности; Е) линейного порядка.
Тесты для 2 рубежного контроля
1. какие из величин можно сравнить?
A) 55км * 56кг; B) 8м * 16м2; C) 8500мм *35км; D) 815л * 35км; Е) 255га * 56км
2. Выполните действия: 9 нед.21 ч 52 мин разделите на 1 нед.23 ч 44 мин
А) 9; В) 8,5; С) 8; D) 7; Е) 6
3. Назовите число делителей числа 36.
А) 2 В) 8 С) 7 D)3 Е) 9
4. Известно, что число х = 0,75..., у = 0,21.... Найдите первый десятичный знак произведения ху.
А) 0,2…; В) 1,7…; С) 0,1…; D) 1,6…; Е) 1,5….
5. Установите, какие из произведений делятся на 90?
А) 105 ∙ 20; В) 85 ∙ 33 ∙ 4; С) 42 ∙12 ∙ 5; D) 75 ∙ 32 ∙ 4; Е) 19 ∙ 32 ∙ 25.
6. Найдите множество таких натуральных чисел х, при которых - неправильная дробь.
А) (6, +); В) [6, +); С) (-; 6]; D) [5, +); Е) (5, +);
7. Значение, какого выражения делится на 3?
А) 30 240 – 9720; В) 946 - 540; С) 363 + 540 - 421; D) 370 + 123 - 513; Е) 936 + 540 - 412
8. Назовите число простых делителей числа 12.
А) 3; В) 2; С) 6; D) 5; Е) 1
9. Сколько делителей имеет число 37?
А) 1; В) 37; С) 3; D) 2; Е) делителей не имеет
10. Запишите в виде обыкновенной дроби 6,12(9):
А) 6; В) 6; С) 6; D) 6; Е) 6.
11. Известно, что число а = 5,48962..., в = 3,73541...Найдите четыре первых десятичных знака разности а-в.
А) 1,7541… ; В) 1,7543…; С) 1,7542…; D) 9,2250…; Е) 9,2251….
12. Найдите НОД чисел 126, 540 и 630.
А) 12; В) 3780; С) 1260; D) 18; Е) 36.
13. Найдите НОК чисел 270, 300 и 315.
А) 30; В) 18 900; С) 56 700; D) 60; Е) 15
14. Выразите в тоннах 125 кг 300 г
А) 1, 2530 т ; В) 12, 5300 т ; С) 0, 01253 т; D) 0, 1253 т; Е) 1, 02530 т
15. Выразите в кубических сантиметрах 4,2 м3
А) 4,2 ∙ 106 см3; В) 4,2 ∙ 103 см3; С) 4,2 ∙ 102 см3; D) 4,2 ∙ 105 см3; Е) 4,2 ∙ 104 см3
16. Запишите в виде обыкновенной дроби 5, 7(27):
А) 5; В) 5; С) 5; D) 5; Е) 5
17. Какие цифры надо подставить вместо *, чтобы получилась правильная несократимая дробь ?
А) 7; В) {8; 9}; С) 9; D) 8; Е) таких цифр нет.
18. Найдите НОК чисел (15, 21, 32).
А) 8160; В) 3360; С) 2720; D)10 080; Е) 1680.
19. Найдите множество таких натуральных чисел х, при которых - правильная дробь.
А) {1; 0; 2}; В) {1; 2}; С) {1; 2; 3}; D) {1; 0; 2; 3}; Е) {1; 2; 3; 4}.
20. Выразите в минутах 8 мин 12 сек
А) 8,12 мин; В) 8,2 мин; С) 8,5 мин; D) 8мин; Е) 8мин
21. Какое из данных множеств является множеством делителей произведения 75∙ 32 ∙27?
А) {18; 5; 7; 45}; В) {10; 15; 18; 21}; С) {14; 20; 35; 24}; D) {14; 28; 13; 42}; Е) {10; 15; 50; 16}.
22. Найдите НОД чисел (420, 126, 525).
А) 12; В) 21; С) 42; D) 1; Е) 84.
23. Выполните действия: из 5 ч 36 сек вычтите 45 мин 40 сек;
А) 4 ч 54 мин 16 сек; В) 4 ч 55 мин 56сек; С) 4ч 14 мин 56сек; D) 4 ч 55 мин 16сек; Е) 4 ч 15 мин 56 сек.
24. Выразите в часах 2ч 6 мин:
А) 2,6 ч; В) 2ч; С) 2,1 ч; D) 2, 06 ч; Е) 2,3 ч
25. Логическая операция, раскрывающая содержание понятия называется…
А) теорема; В) следствие; С) определение; D) постулат; Е) лемма
26. Длина прямоугольника 35 см, а его ширина 0,3 м. Найдите площадь прямоугольника в квадратных дециметрах.
А) 1 050 дм2; В) 0,105 дм2; С) 10,5 дм2; D) 105 дм2; Е) 1,05 дм2
27. Сравните величины 56 мин и час
А) больше; В) меньше; С) равны; D) Величины несравнимы; Е) величины разнородные
28. Ежегодно на орошение и другие нужды во всем мире забирают из рек 3600 км3 воды. Выразите объём этой воды в литрах:
А) 3,6 ∙1010 л; В) 3,6 ∙1012 л; С) 3,6 ∙1015 л; D) 3,6 ∙106 л; Е) 3,6 ∙1011 л
29. Установите, значение, какого выражения делится на 4.
А) 284+1440+1134; В) 284+124+1441; С) 284+1440+79224; D) 164+126+144; Е) 524+128+1434
30. Назовите число простых делителей числа 60
А) 4; В) 3; С) 6; D)5; Е) 12.
Вопросы к экзамену
Множество, виды множеств, способы задания множеств.
Отношения между множествами. Диаграммы Эйлера-Венна
Объединение множеств. Свойства объединения множеств.
Пересечение множеств. Свойства пересечения множеств.
Разность множеств. Дополнение к подмножеству.
Декартово произведение множеств. Графическое изображение декартова произведения множеств.
Граф. Виды графов.
Связные графы. Уникурсальные фигуры
Понятие соответствия. Граф и график соответствия.
Отношения на множестве и их свойства
Отношения эквивалентности. Разбиение множества на классы
Отношение порядка. Упорядоченные множества
Математические понятия. Объем и содержание понятия
Основные способы определения математических понятий, их структура.
Требования к определению математических понятий
Высказывания. Операции над высказываниями.
Предикаты. Операции над предикатами.
Теоремы. Виды теорем.
Способы доказательства теоремы
Теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств: сложение целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств: вычитание целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств: произведение целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный смысл арифметических действий и их свойств: деление целых неотрицательных чисел.
Запись чисел в р-ичной системе. Переход от одной системы счисления к другой.
Отношение делимости и его свойства.
Признаки делимости.
Простые числа. Таблица простых чисел.
НОД и его свойства.
НОК и его свойства.
Признаки делимости на составные числа.
Нахождение НОД и НОК разложением на простые множители.
Алгоритм Евклида.
Понятие дроби. Действия над обыкновенными дробями.
Десятичные дроби. Преобразование десятичной периодической дроби в обыкновенную.
Действительные числа. Действия над положительными действительными числами.
Отрицательные числа. Действия над действительными числами.
Перестановки без повторения и с повторениями.
Размещения без повторения и с повторениями.
Сочетания без повторения и с повторениями.
Арифметические операции в позиционных системах счисления

Приложенные файлы

  • docx 1239683
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий